Simulazione numerica 3D dell'idrodinamica costiera. Applicazione alla Rada di Augusta

SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
14 
 
CAPITOLO I 
“ DINAMICA DEI FLUIDI” 
Prima di entrare nel merito della dinamica dei fluidi, faremo una breve 
introduzione sui fluidi e sulle loro principali proprietà. 
I.1 Introduzione : Fluidi e proprietà. 
Un fluido è un sistema continuo che non può opporre sforzo di taglio quando è a 
riposo. Lo sforzo di taglio è una forza che agisce parallelamente alla superficie 
considerata (forza per unità di superficie), mentre prende il nome di pressione la forza 
che agisce perpendicolarmente alla superficie considerata (fig. I.1). 
• T = F// / S (sforzo di taglio) 
• P = F⊥ / S (pressione) 
 
Fig. I.1 
Consideriamo un esperimento che, sfruttando la definizione di fluido appena 
data, permette di decidere se un dato materiale è un fluido. Si ponga il materiale fra due 
lastre parallele e lo si sottoponga ad uno sforzo di taglio esterno. In fig.I.2 è mostrato 
l’esperimento; lo sforzo di taglio è ottenuto mediante un peso. PoichØ un fluido non può
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA
 
opporre alcun tipo di resistenza fin
fluido se la lastra superiore si muove verso destra 
indipendentemente dall’entità dello sforzo.
La lastra che si sposta verso 
funzione di una proprietà del fluido che prende il nome di viscosità. Piø viscoso è il 
fluido e piø lento è il movimento della lastra. La forza per unità di superficie della 
lastra, quindi lo sforzo di taglio 
di questa ed inversamente proporzionale alla distanza h tra le due lastre:
                                  
Il coefficiente di proporziona
Così, per quel particolare esperimento si ha:
                                              
Il rapporto tra viscosità dinamica di un fluido e la sua dens
cinematica e si indica con υ
     
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA
MICHELANGELO 
tipo di resistenza fin quando è a riposo, il materiale sarà considerato un 
fluido se la lastra superiore si muove verso destra finchØ è applicato lo sforzo di taglio, 
indipendentemente dall’entità dello sforzo. 
Fig. I.2 
La lastra che si sposta verso destra si muoverà con una certa velocità che è 
funzione di una proprietà del fluido che prende il nome di viscosità. Piø viscoso è il 
fluido e piø lento è il movimento della lastra. La forza per unità di superficie della 
lastra, quindi lo sforzo di taglio T esercitato sulla lastra, è proporzionale alla velocità v
di questa ed inversamente proporzionale alla distanza h tra le due lastre:
                                  null null null null ∝ null null                                         
Il coefficiente di proporzionalità è detto viscosità dinamica esi indica con 
Così, per quel particolare esperimento si ha: 
                                              null null null 
null null                                   
Il rapporto tra viscosità dinamica di un fluido e la sua densità è detto viscosità 
υ, 
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
ICHELANGELO GRANATA 
 
15 
a riposo, il materiale sarà considerato un 
è applicato lo sforzo di taglio, 
 
destra si muoverà con una certa velocità che è 
funzione di una proprietà del fluido che prende il nome di viscosità. Piø viscoso è il 
fluido e piø lento è il movimento della lastra. La forza per unità di superficie della 
T esercitato sulla lastra, è proporzionale alla velocità v 
di questa ed inversamente proporzionale alla distanza h tra le due lastre: 
                                         (1.1) 
lità è detto viscosità dinamica esi indica con null . 
                                    (1.2) 
ità è detto viscosità
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
16 
 
                            null = 
null null (null null /nullnullnull)                               (1.3) 
In generale, quanto maggiore Ø lo sforzo di taglio applicato, tanto maggiore è la 
velocità di scorrimento della lastra. 
La reologia studia il legame esistente tra lo sforzo di taglio applicato e il 
gradiente di velocità prodotto. Per mezzo della reologia è possibile differenziare il 
comportamento dei fluidi in diverse categorie. 
Quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente di velocità Ø una costante, 
il fluido viene detto newtoniano. L’acqua Ø un fluido newtoniano. Questo 
comportamento può essere espresso attraverso la relazione: 
                                null = null 
nullnull nullnull                                         (1.4) 
dove T Ø lo sforzo di taglio, dv/dy Ø il gradiente di velocità e null Ø la viscosità dinamica. I 
fluidi per i quali per i quali non esiste una proporzionalità semplice tra sforzo di taglio e 
gradiente di velocità vengono generalmente definiti non newtoniani. 
Tipici fluidi non newtoniani sono, ad esempio, le vernici le colle, le gelatine, 
molti prodotti alimentari, il sangue ecc. I fluidi non newtoniani possono essere suddivisi 
in diverse categorie. Quelli nei quali la viscosità diminuisce all’aumentare del gradiente 
di velocità sono detti fluidi pseudo plastici ; analiticamente ciò può essere espresso dalla 
relazione: 
                               null = null null nullnull nullnull null n
                                  (1.5) 
dove k Ø definita viscosità apparente, ed n<1; Ø il comportamento tipico di tutti quei 
fluidi che contengono in sospensione molecole di peso molecolare elevato; 
incrementando lo sforzo di taglio, le molecole tendono ad allinearsi nella direzione di 
scorrimento offrendo sempre meno resistenza.
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
17 
 
Sono detti fluidi dilatanti, ad esempio gli amidi ed i grassi utilizzati per la 
produzione alimentare, quelli per i quali vale la relazione:  
                               null = null null nullnull nullnull null n
                                  (1.6) 
con n>1. 
I fluidi di Bingham sono fluidi che si comportano come i fluidi newtoniani 
(null =cost), solo dopo che Ø stato raggiunto un certo valore dello sforzo di taglio applicato; 
sono un particolare caso di fluidi plastici. Esempi di fluidi plastici sono le soluzioni 
molto concentrate e i colloidi, per i quali Ø necessario uno sforzo di taglio tale da 
rompere la struttura reticolata che essi presentano. 
I.2 Dinamica dei fluidi 
Dopo aver definito le proprietà  fisiche, la statica e la cinematica dei fluidi, 
affronteremo ora il problema del moto dei fluidi come effetto di forze applicate, sia 
esternamente che generate all'interno del fluido stesso.  Questo argomento costituisce la 
dinamica dei fluidi e comprende la derivazione delle equazioni di bilancio e 
conservazione (rispettivamente quantità di moto, massa ed energia). 
Le leggi di conservazione della Massa, della Quantità di Moto e dell’Energia 
costituiscono le relazioni di base della Fluidodinamica. Esse si ricavano applicando 
alcuni principi fisici fondamentali ad una parte del fluido in studio (il Sistema), sia in 
termini finiti che infinitesimi. La forma finita o integrale, applicata ad una porzione di 
spazio scelta in maniera opportuna (il Volume di Controllo), permette di ottenere le 
equazioni da utilizzare per la risoluzione degli esercizi in casi di flussi piø o meno 
semplici. La forma differenziale porta invece alle equazioni alle derivate parziali che 
reggono i moti fluidi piø generali.
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
18 
 
1.2.1Definizione di Sistema 
Il Sistema è una quantità di fluido avente una ben determinata identità, che 
pertanto deve considerarsi come composto sempre dalle stesse particelle fluide, e che 
può muoversi, deformarsi, e interagire con l’ambiente esterno. Una immediata 
conseguenza della precedente definizione deriva dall’applicazione al Sistema del 
principio fisico di conservazione della massa: durante l’evoluzione del Sistema, la sua 
massa si mantiene costante. 
1.2.2 Definizione di Volume di Controllo 
Il Volume di Controllo è un volume individuato nello spazio, scelto in maniera 
completamente arbitraria. E’ un’entità geometrica indipendente dalla massa, e con un 
volume che può essere fisso, mobile, indeformabile o deformabile. 
La dinamica dei fluidi studia il moto dei fluidi, ossia delle correnti fluide. 
Esistono diversi tipi di correnti fluide: 

 stazionaria o non stazionaria; 

 comprimibile o incomprimibile; 

 viscosa o non viscosa; 

 rotazionale o non rotazionale. 
In una corrente stazionaria la velocità (vettoriale) delle particelle di fluido in 
ogni punto è costante nel tempo. La maggior parte dei liquidi è incomprimibile, cioè la 
massa volumica non varia con la pressione. Per contro i gas sono altamente 
comprimibili. Un fluido è viscoso quando non fluisce facilmente . Invece un fluido con 
viscosità nulla fluisce senza impedimenti o attriti. Una corrente fluida è rotazionale 
quando una parte del fluido si muove di moto rotatorio oltre che di moto traslatorio. 
L’atto di moto di un sistema continuo può essere studiato assegnando, in ogni 
istante, la velocità posseduta da una generica particella del sistema, intendendo per
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
19 
 
particella un elemento che comprenda un numero di molecole sufficientemente grande, 
in modo che la risultante delle velocità “termiche” sia nulla, ma tale da potere ritenere 
che le forze agenti siano applicate in un unico punto. Per individuare una tale particella, 
si può assumere la posizione P
0
 che essa occupa all’istante t
0
; allora l’atto di moto del 
sistema, note le posizioni iniziali r
0
 di ogni particella, è dato dal vettore velocità, 
funzione di r
0
 e del tempo t: 
                          v(r
0
, t).                                  (1.7) 
Il punto di vista assunto è forse il piø spontaneo e viene chiamato punto di vista 
lagrangiano. Peraltro, trattandosi di un sistema a molte particelle, è praticamente 
impossibile formulare e risolvere il problema in questi termini. Tuttavia, l’atto di moto 
di un sistema continuo può essere assegnato, ponendosi da un altro punto di vista: il 
punto di vista euleriano. Esso consiste nell’assegnare, in ogni istante t, la velocità v che 
possiede una particella imprecisata, la quale, in quell’istante, transita per un determinato 
punto P del campo del moto, individuato dal vettore posizione r, (fig.I.3). Perciò l’atto 
di moto è dato dal vettore velocità: 
                         v(r, t).                                   (1.8)
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
20 
 
 
Fig I.3 Punto di vista Lagrangiano 
Il punto di vista lagrangiano implica la descrizione “storica” della velocità di 
ogni particella; viceversa il punto di vista euleriano descrive, in ogni istante, la 
distribuzione delle velocità nei punti del campo di movimento. L’equazione precedente 
fornisce dunque la velocità, a un certo istante, della particella che transita per P e 
definisce così l’atto di moto all’istante considerato. Se, in particolare, l’atto di moto non 
dipende dal tempo, cioè la velocità di ogni particella che transita per P è la stessa, il 
moto si dice stazionario. Nel campo euleriano delle velocità, definiamo linea di flusso 
una linea che, in ogni suo punto e ad ogni istante, ha per tangente il vettore velocità 
della particella di fluido che transita in tale punto. La linea di flusso si riferisce a un 
certo istante e può cambiare col tempo. Se il moto è stazionario le linee di flusso sono 
chiamate linee di corrente o, se non sussistono ambiguità, ancora linee di flusso. La loro 
configurazione evidentemente non muta nel tempo. L’insieme delle linee di flusso 
passanti per i punti di una linea chiusa, determina un tubo di flusso il quale, nel caso di 
moto stazionario, è fermo ed assume lo stesso ruolo di un tubo reale all’interno del 
quale scorre il fluido (fig.I.4) .
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
21 
 
 
Fig. I.4 tubo di flusso 
I.2.3 Equazione di continuità 
Nella Meccanica classica la massa non varia durante il moto; se il sistema è 
isolato l’invariabilità della massa è in accordo con l’intuizione; se non è isolato la massa 
può variare. In questi casi, considerato un sistema piø esteso, si verifica solo un 
trasferimento di massa da una parte all’altra del sistema complessivo; la conservazione 
della massa è  sempre verificata e costituisce una legge fondamentale della Meccanica 
classica. 
Nel caso di un sistema continuo, detta ρ la densità, la massa del sistema sarà: 
                               (1.3.1) 
e l’invariabilità della massa, principio di conservazione della massa, si traduce 
nell’equazione : 
                                                  (1.3.2)
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
22 
 
Da questa equazione discende che detto V il volume occupato ad un certo istante 
da una porzione di fluido, sempre formato dagli stessi elementi materiali, vale la 
relazione: 
                          (1.3.3) 
L’equazione di continuità, come già detto, traduce matematicamente il principio 
fisico di conservazione della massa. 
In notazione vettoriale l’equazione di continuità può essere scritta: 
0 ) ( = +
¶ ¶ u r r div
t
                        (1.3.4) 
dove ρ è la densità del fluido e u è il vettore velocità. 
Per i fluidi omogenei e incomprimibili, per i quali la densità è costante in tutta la 
massa fluida e nel tempo, l’equazione di continuità si particolarizza nella forma 
indefinita: 
0 = u div
                                    (1.3.5)
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
23 
 
I.3 Equazioni di Navier-Stokes 
Il comportamento di un fluido dal punto di vista macroscopico è descritto dalle 
equazioni di Navier-Stokes, un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali 
non lineare. Esse presuppongono la continuità del fluido in esame. 
L’ipotesi di base è che il fluido possa essere modellato come un continuo deformabile. 
La grande efficienza predittiva di tali equazioni viene pagata in termini di difficoltà di 
calcolo. A causa della loro non linearità, infatti, le equazioni di Navier-Stokes non 
ammettono quasi mai una soluzione analitica (ovvero una soluzione esatta), ma 
esclusivamente numerica (una soluzione approssimata con un metodo numerico). 
Tali equazioni si ricavano a partire delle equazioni di bilancio (o leggi di conservazione) 
e, in particolare, dalla legge di conservazione della massa, dalla legge di conservazione 
della quantità di moto (secondo principio della dinamica) e dalla legge di conservazione 
dell’energia. 
I modelli numerici per la simulazione dell’idrodinamica partono tutti dalla 
risoluzione del sistema di equazioni differenziali.  
Distinte le forze applicate ad una massa fluida ed introdotte opportune relazioni 
costitutive per i fluidi newtoniani, si può ricavare l’equazione indefinita dell’equilibrio 
dinamico, nota come equazione di Navier – Stokes, qui riportata nella formula valida 
per fluidi incomprimibili: 
    
0
2
= -  -  + f u
u
n r p
Dt
D
              (1.3.1) 
nella quale ciascun termine ha le dimensioni di una forza per unità di massa ed 
in particolare u è il vettore velocità, p è la pressione, ρ è la densità, ν è la viscosità
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
24 
 
cinematica determinata dal prodotto tra la viscosità dinamica null e la densità ρ, f è la forza 
di massa per unità di massa. 
L’equazione di Navier – Stokes e l’equazione di continuità riunite insieme 
forniscono il seguente sistema vettoriale: 







= +
¶ ¶ = -  -  +
0 ) (
0
2
u
f u
u
r r n r div
t
p
Dt
D
      (1.3.2) 
Si tratta di un sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali nei 
quattro campi incogniti u
1
(x,y,z,t), u
2
(x,y,z,t), u
3
(x,y,z,t), p(x,y,z,t). 
Il sistema ottenuto può essere riscritto utilizzando la notazione di Einstein: 
      







=
¶ ¶ = - ¶ ¶ +
¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ +
¶ ¶ 0
0
1
2
j
j
i
i j j
i
j
i
j
i
x
u
f
x
p
x x
u
x
u
u
t
u
r n (1.3.3)   
Se si indica con Φ la latitudine e si orientano localmente gli assi x1, x2, x3, 
rispettivamente, lungo la direzione del parallelo passante per il punto considerato, lungo 
quella del meridiano e lungo la normale del geoide, il vettore accelerazione di Coriolis 
assume la forma: 
          
r c u ω f  = 2
                            (1.3.4) 
Tornando all’equazione di Navier – Stokes, è possibile scomporre in due il 
termine f
i
 relativo alle forze di massa.
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
25 
 
Si possono esplicitare infatti il termine g
i
, che si riferisce agli effetti della forza 
di gravità ed il termine f
c
 che tiene conto degli effetti della forza di Coriolis. 
Il sistema precedente si può quindi riscrivere come segue: 
         







=
¶ ¶ = + - ¶ ¶ +
¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ +
¶ ¶ 0
0
1
2
j
j
c i
i j j
i
j
i
j
i
x
u
f g
x
p
x x
u
x
u
u
t
u
r n (1.3.5) 
 
I.4 Moto turbolento ed esperimento di Reynolds 
Il moto dei fluidi reali avviene molto raramente nella maniera regolare e 
gradualmente variata che viene considerata nei modelli e negli schemi studiati nella 
parte introduttiva del corso. 
I fenomeni che si incontrano nella vita di tutti i giorni evidenziano anzi 
frequentemente l' estrema variabilità spaziale e temporale del moto dei fluidi; variabilità 
che inoltre spesso non sembra possedere alcun aspetto di regolarità ed appare del tutto 
caotica. 
Si consideri ad esempio la scia che segue qualunque veicolo che si muova in 
aria: la velocità fluttua in maniera imprevedibile, cambiando continuamente di direzione 
e modulo. Una semplice visualizzazione di questo fenomeno è costituita dai gas di 
scarico che spesso ritornano verso la parte posteriore del veicolo, oppure dalle gocce di 
pioggia e fango che formano una nuvola indistinta (spesso la parte posteriore è la parte 
piø sporca di un' autoveicolo). 
Fenomeni di scia non stazionaria e caotica del tutto analoghi sono visibili a 
poppa delle imbarcazioni, nella zona di corrente a valle dei piloni di un ponte su un
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
26 
 
fiume, o su scala spaziale maggiore  si possono avvertire stando nella zona sottovento di 
un edificio o di un pilone in un giorno molto ventoso. 
Un altro esempio evidente è rappresentato dalle linee di fumo generate dalla 
combustione di una sigaretta: il primo tratto immediatamente sopra la zona di 
combustione è un getto regolare; alcuni centimetri piø in altro la colonna di fumo 
comincia ad oscillare in maniera abbastanza regolare; piø in alto ancora il movimento 
diventa agitato e imprevedibile. 
In tutti questi casi, il fatto piø notevole Ø questo: il moto del fluido è in una certa 
zona (a monte dell'ostacolo o del veicolo, nel primo tratto della colonna di fluido) 
sostanzialmente stazionario ed uniforme; altrove invece esso diventa fortemente 
variabile nello spazio e nel tempo senza alcuna causa apparente: niente nello spazio 
circostante sembra causare tale comportamento. ( le pareti od il fluido circostante sono 
fermi o si muovono di moto regolare). 
Tale variazione spaziale e temporale non è riconducibile ad alcuna regolarità ed 
appare del tutto casuale ed imprevedibile: il moto Ø caotico. 
A questo comportamento dei fluidi di dà il nome di TURBOLENZA. Lo studio e 
la comprensione della turbolenza sono il principale problema della Meccanica dei 
Fluidi. 
La classica esperienza di REYNOLDS, che descriveremo nei paragrafi 
successivi, fornisce un ulteriore ed importantissimo esempio di moto turbolento.
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
27 
 
I.4.1 Esperimento di Reynolds 
 
Fig. I.5 – L’impianto costruito da Reynolds 
Nel 1880 un ingegnere inglese Osborne Reynolds affrontò il problema del moto 
dei  fluidi in un condotto cercando, con l’ausilio di esperimenti, di definire le leggi che 
lo governano. 
L’apparecchiatura usata consisteva in una cassa, riempita con acqua, dalle pareti 
di vetro lunga 1,8 m, larga 0,45 m ed altrettanto alta. All’interno pose un tubo di vetro 
con un imbuto di legno verniciato e perfettamente collimante con il bordo del tubo. 
Come si può osservare dall’illustrazione il tubo prosegue al di fuori della cassa, scende 
al di sotto del piano della vasca fino ad arrivare a una valvola V(vedi fig. I.5) azionabile 
tramite una lunga leva. Dal lato opposto, all’esterno della cassa, è situata un’ampolla A 
(vedi fig.I.5.) che contiene liquido colorato ed è collegata mediante un condotto che 
termina ad ugello all’interno dell’imbuto di legno.  
L’ immissione del liquido colorato nel condotto viene regolata tramite un 
rubinetto R (vedi fig.I.5). All’apertura della valvola V all’interno del tubo si crea un 
     R 
 
A 
V
SIMULAZIONE NUMERICA 3D DELL’IDRODINAMICA 
COSTIERA. APPLICAZIONE ALLA RADA DI AUGUSTA 
MICHELANGELO GRANATA 
 
28 
 
flusso d’acqua. Tale flusso può essere colorato agendo sul rubinetto R che permette il 
rilascio del colorante. 
In questo modo Reynolds riuscì ad osservare le caratteristiche del moto 
dell’acqua nel condotto, egli rilevò che aprendo lentamente la valvola l’acqua scorreva 
nel condotto in modo lineare, aprendo invece, la valvola velocemente l’acqua compiva 
vortici e gorghi all’interno del condotto. 
I.4.2 Regime di moto dei fluidi 
In base alle osservazioni effettuate, Reynolds distinse due tipi diversi di moto di 
un fluido viscoso all'interno di un condotto che, successivamente, furono definiti 
rispettivamente regime laminare e regime turbolento.   
Nel regime laminare le particelle del fluido scorrono seguendo linee di flusso 
lineari, è come se il fluido venisse suddiviso in cilindri concentrici di “spessore“ 
infinitesimo che scorrono l’uno accanto l’altro. 
Il regime turbolento si ottiene aumentando la velocità del flusso che si rompe in 
una serie di gorghi non perfettamente prevedibili neppure con le moderne teorie.  
Ogni fluido presenta una velocità w
c
 alla quale avviene la transizione da un 
regime all’altro. Tale valore è stato definito velocità critica ed è funzione della densità 
rr r r , della viscosità dinamica mm m m del fluido e del diametro D del condotto tramite un fattore 
di proporzionalità. 
 
D
w
c
r m Re =
   (1.4.2.1)