Radiazione coerente di diffrazione da un gap in guida d'onda, prodotta da fasci ultracorti di elettroni nell'acceleratore FERMI@Elettra

INTRODUZIONE
Nel progetto di un acceleratore di elettroni, ed in particolare in quello di un
laser ad elettroni liberi, o Free Electron Laser (FEL) di ultima generazione,
come la macchina FERMI@ELETTRA in costruzione presso il laboratorio
Sincrotrone Trieste S.C.p.A.,  e di fondamentale importanza lo sviluppo e
l’integrazione di sistemi completi di diagnostica dei pacchetti di elettroni ac-
celerati, nonch e del raggio fotonico generato.
Tra le propriet a della macchina che debbono essere controllate,  e di grande
importanza il prolo longitudinale del pacchetto di elettroni. In particola-
re, al ne di garantire la necessaria stabilit a della potenza di picco della
radiazione FEL,  e necessario stabilizzare la lunghezza dei pacchetti. Que-
sta stabilizzazione, che  e ottenuta tramite un sistema di retroazione sulle
ampiezze e sulle fasi a radiofrequenza di una cavit a, si basa su una misura
non distruttiva della lunghezza del fascio di elettroni. A tale scopo,  e stata
sviluppata una diagnostica avanzata per la misura della lunghezza del fascio
detta Bunch Length Monitor (BLM).
Il sistema basa il suo funzionamento sui fenomeni sici di radiazione coerente
propri di un acceleratore di particelle, che avvengono quando il fascio viene
curvato, o quando questo attraversa delle discontinuit a della guida d’onda.
Quest’ultimo dispositivo interrompe la continuit a elettrica della guida d’on-
da, pur mantenendone la continuit a meccanica e le caratteristiche di vuoto.
Quando gli elettroni del fascio attraversano il GAP, il campo elettromagneti-
co induce delle correnti sulle pareti della guida d’onda, che sono a loro volta
sorgente di un campo elettromagnetico di dirazione che viene irradiato fuori
dalla guida.
Lo scopo di questa tesi  e lo studio della radiazione di dirazione generata
dagli elettroni che attraversano il GAP ceramico, al ne di sfruttare tale ra-
diazione per la determinazione delle caratteristiche longitudinali del fascio.
A partire dalla radiazione di una particella nello spazio libero, si studier a
il campo elettromagnetico di una carica puntiforme in una guida d’onda di
conduttore elettrico perfetto, sfruttando la teoria della relativit a ristretta e
confrontando il risultato ottenuto con quello che si ottiene mediante la ri-
9
soluzione delle equazioni di Maxwell con opportune condizioni al contorno,
che prevedono l’annullamento del campo elettrico tangente sulle pareti della
guida.
Si ricaver a quindi il campo elettromagnetico irradiato da una carica pun-
tiforme ultrarelativistica che si muove in una guida d’onda semiinnita o
che presenta delle discontinuit a, come nel caso del GAP. Il calcolo di tale
campo si basa sui lavori pionieristici di Bolotovskii, Voskresenskii, Ginzburg,
Weinstein, che risalgono alla ne degli anni cinquanta-inizi anni sessanta, suc-
cessivamente ripresi, ampliati ed applicati alla radiazione da GAP in guida
d’onda da Palumbo, Kheifets e collaboratori, presso il CERN di Ginevra. La
derivazione parte dalla scrittura di opportune equazioni e con l’imposizione
delle corrette condizioni al contorno, con la successiva applicazione del me-
todo di fattorizzazione di Wiener-Hopf. Si introdurr a dunque tale metodo,
determinando grazie ad esso la densit a spettro-angolare dell’energia irradia-
ta da una particella uscente da una guida cilindrica circolare semiinnita, e
della densit a spettro-angolare dell’energia irradiata dalla carica puntiforme
entrante nella guida. I risultati cos  ottenuti saranno quindi sfruttati per il
calcolo dell’energia irradiata dal GAP, che pu o essere visto come una struttu-
ra costituita da due guide d’onda cilindriche, circolari, coassiali ed aacciate.
A questo punto si introdurranno, e si giusticheranno, alcune importanti
semplicazioni dell’espressione ottenuta, prima fra tutte l’assunzione che la
radiazione che arriva ad un determinato punto sia somma di soli due termi-
ni, legati alla dirazione dai due estremi del GAP, ovvero dall’estremo destro
della prima guida e dall’estremo sinistro della seconda; si trascurano in que-
sto modo i contributi provenienti dalla mutua interazione fra le due estremit a
del GAP. Si proceder a quindi al calcolo del campo lontano della radiazione
emessa.
Dopo lo studio della radiazione da una carica puntiforme, si introdurr a il con-
cetto di radiazione coerente da un pacchetto di N elettroni; si ha coerenza
temporale all’interno di un pacchetto quando gli elettroni irradiano in fase.
Questo implica che la radiazione coerente porta in s e informazioni sulla lun-
ghezza del fascio di elettroni. Questa  e infatti caratterizzata da una densit a
spettrale che dipende dalla trasformata di Fourier del prolo longitudinale
del pacchetto.
Una radiazione da un pacchetto di elettroni  e caratterizzata da una frequen-
za cosiddetta di onset, al di sotto della quale la radiazione stessa  e di tipo
coerente, e c’ e una dipendenza quadratica di questa dal numero di elettroni
N, e al di sopra della quale la radiazione  e incoerente, e la sua dipendenza
con il numero di elettroni  e lineare.
Le espressioni ricavate saranno applicate ai casi di interesse, considerando
alcune note distribuzioni longitudinali, cos  come la geometria del GAP ce-
10
ramico che verr a montato a valle dei compressori dell’acceleratore.
Quale estensione dello studio analitico nel dominio della frequenza, si passer a
allo studio della radiazione da GAP con l’ausilio di simulazioni numeriche nel
dominio del tempo, utilizzando il software CST PARTICLE STUDIO.
Dalle simulazioni si intende ottenere il campo elettrico in funzione del tempo,
e di conseguenza la densit a spettro-angolare di energia. Questo risultato sar a
poi confrontato con quello ottenuto per via analitica.
Inne, si eseguiranno alcune misure con il GAP eettivamente installato sulla
macchina, e per un’energia del fascio di 100 MeV .
11
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Capitolo 1
FERMI@ELETTRA
Il progetto FERMI@ELETTRA ha la nalit a di realizzare un acceleratore
lineare di elettroni di tipo single pass, ovvero in cui ciascun pacchetto di
elettroni generato dalla macchina passa una volta sola all’interno dell’acce-
leratore, a dierenza ad esempio dei sincrotroni, in cui il fascio di elettroni
viene accumulato, e percorre l’anello diverse volte al secondo. Tale progetto
rappresenta l’opportunit a per investigazioni scientiche di processi ultravelo-
ci e ad alta risoluzione, tipici di scienze dei materiali e bioscienze, con impulsi
elettromagnetici dalla regione degli ultravioletti no ai raggi X.
Gli elettroni all’interno della macchina vengono accelerati no a raggiungere
un’energia di circa 1.5 GeV
1
, quindi una velocit a molto prossima a quella
della luce, e vengono pertanto deniti \ultrarelativistici".
L’importanza di portare gli elettroni ad un’alto valore di energia  e legata
alla lunghezza d’onda della radiazione emessa dall’acceleratore, che risulta
proporzionale all’inverso del quadrato dell’energia stessa, come apparir a nel
seguito (si veda l’equazione (1.1)).
Il principio su cui si basa la macchina per generare fotoni caratterizzati da
altissima brillanza
2
 e quello di un amplicatore ad elettroni liberi ( Free Elec-
tron Laser) (FEL).
Il principio che sta alla base del funzionamento del cosiddetto seeded FEL  e
il seguente: nell’interazione fra elettroni e fotoni, che avviene lungo una cate-
na di dispositivi detti ondulatori (che saranno descritti nel seguito di questo
capitolo) si crea un addensamento longitudinale (bunching) di elettroni, che
aumenta l’intensit a dell’emissione di radiazione. L’aumentata intensit a a sua
volta aumenta il bunching, causando un eetto di guadagno, da cui il termine
1
1 eV  e l’energia acquisita da un elettrone che viene accelerata da un potenziale di 1V
2
Si denisce brillanza di una sorgente di radiazione elettromagnetica la potenza emessa
dall’unit a di supercie in un angolo solido unitario . L’unit a di misura della brillanza  e
[W=(m
2
 sr)]
13
laser (light amplication by stimulated emission of radiation ).
L’interazione con il seed laser produce una modulazione dell’energia del fa-
scio, che viene convertita in una modulazione di carica da una sezione della
macchina detta sezione dispersiva. Il segnale laser (seed signal), interagente
con il pacchetto di elettroni, determina la durata, la banda e la lunghezza
d’onda della radiazione generata dal FEL, e quindi tutti questi parametri
sono regolabili, agendo sul laser stesso.
Le propriet a temporali dell’impulso di fotoni generato permetteranno lo stu-
dio di processi dinamici molto veloci che avvengono a livello atomico e su-
batomico. Per garantire tali caratteristiche del fascio di fotoni,  e necessario
assicurare la qualit a e l’uniformit a di alcune propriet a del fascio di elettroni.
Tali propriet a sono:
 Energia
 Variazione di energia (Energy Spread), denita come il valore medio
della dierenza di energia delle particelle, rispetto ad una particella
avente l’energia nominale
 Emittanza, che rappresenta il grado di collimazione del fascio.
Nella sica degli acceleratori si tiene conto dell’emittanza prenden-
do in considerazione lo spazio delle fasi, avente come coordinate la
posizione della singola particella (x;y;z), e la sua quantit a di mo-
to (mv
x
;mv
y
;mv
z
). L’emittanza rappresenta il volume occupato dal
sistema di particelle che compongono il fascio in tale spazio
 Durata del pacchetto di elettroni
 Corrente di picco
Sono inoltre di fondamentale importanza per il processo FEL lo Slice Energy
Spread, e la Slice Emittance, ovvero i valori di Energy Spread ed emittanza
riferiti ad una \fettina" longitudinale del fascio di lunghezza pari alla slice
FEL
3
. Le propriet a di coerenza del fascio di fotoni di FERMI@ELETTRA
permettono la cattura di immagini di molecole e nanostrutture complesse.
La potenza media del fascio di fotoni, superiore a quella della luce di sincro-
trone, permetter a lo studio di campioni di nanomateriali, e ulteriori progressi
nella sica dell’atmosfera, ambientale e nell’astrosica. La breve durata de-
gli impulsi e l’elevata brillanza di picco consentono lo studio di processi di
3
Si pu o denire la Slice FEL come la frazione longitudinale del pacchetto entro la quale
gli elettroni emettono coerentemente, ovvero l’emissione del singolo elettrone risulta in fase
con quella degli altri elettroni dello slice
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rilassamento, formazione e rottura di legami chimici, e modiche nella confor-
mazione delle molecole. Inoltre questa caratteristica permetter a un aumento
della risoluzione nella microscopia a raggi X, limitata attualmente dai feno-
meni di diusione, riscaldamento e cambiamenti chimici che accompagnano
la radiazione X.
Per un dettagliato panorama delle plausibili applicazioni, si veda il riferimen-
to [1].
15
1.1 LA SORGENTE DI LUCE
FERMI@ELETTRA
La macchina FERMI@ELETTRA generer a impulsi di fotoni di durata del-
l’ordine delle centinaia di fs (10
 15
s), potenza di picco di qualche GW ,
lunghezza d’onda compresa fra 10 e 100 nm (frequenza 30000 3000 THz),
ad una frequenza di ripetizione di 10 o 50 Hz.
Al ne di ottenere tale radiazione, la macchina si compone di diversi elementi,
qui di seguito elencati e successivamente considerati uno alla volta:
 Il FOTOINIETTORE, che genera pacchetti (bunch) di elettroni di du-
rata 10ps, carica di 0:8 1nC ed energia di circa 5MeV . Gli elettroni
vengono estratti da un catodo in rame, per eetto fotoelettrico, median-
te l’invio di impulsi laser di energia superiore alla funzione di lavoro.
L’energia dell’impulso laser dipende dalla sua frequenza , e dal nume-
ro di fotoni incidenti N
ph
mediante la relazione E = N
ph
h , dove h  e
la costante di Planck.
Il fotocatodo  e inoltre parte integrante della cavit a risonante che costi-
tuisce il cosiddetto Gun RF, progettato per una frequenza di ripetizione
di 10 Hz, che sar a in seguito portata a 50 Hz
 I LINAC (Linear Accelerator): costituiti dalle sezioni acceleranti, che
accelerano gli elettroni no a che essi acquisiscano complessivamente
energie di circa 1:5 GeV .
Sono previsti diversi linac, costituiti ciascuno da pi u sezioni acceleranti,
come specicato in seguito
 Il Laser Heater, nel quale il fascio di elettroni viene fatto interagire con
un impulso laser che imprime ad esso una modulazione di energia, di
lunghezza d’onda dell’ordine di quella del laser, minimizzando in questo
modo il fenomeno del microbunching, come spiegato nel paragrafo 1.5
 I COMPRESSORI, costituiti da una chicane magnetica, all’interno dei
quali la lunghezza temporale del pacchetto di elettroni viene diminuita
 I Free Electron Laser (FEL1 e FEL2), di tipo seeded, a loro volta com-
posti da un primo ondulatore detto MODULATORE, seguito da una
sezione dispersiva, e un secondo ondulatore denominato RADIATORE
che \converte" il fascio di elettroni in fascio di fotoni (quindi radiazione
elettromagnetica)
 Il sistema di trasporto del fascio di fotoni dagli ondulatori all’area di
sperimentazione
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L’area di sperimentazione stessa.
Il fascio di elettroni  e costituito da pacchetti ( bunch) di elettroni, che possono
essere di due tipi: \SHORT BUNCH", con carica di 330 pC, e \MEDIUM
LENGTH BUNCH", con carica di 800 pC.
L’intera macchina di luce FERMI@ELETTRA,  e stata studiata tramite una
cosiddetta Start-to-End Simulation (S2E), in modo da avere una visione com-
pleta e dettagliata del suo funzionamento, e tener conto del maggior numero
di variabili possibile.
Una simulazione S2E permette, come descritto in [2], l’utilizzo e l’integrazio-
ne di vari codici di simulazione preesistenti, ciascuno dei quali  e pi u adatto
alla modellizzazione di una determinata sezione della macchina.
I risultati della simulazione di una singola sezione vengono quindi utilizza-
ti come parametri di ingresso nelle simulazioni successive, preservando in
questo modo la maggior parte delle informazioni utili, nel passaggio da una
simulazione alla successiva.
I vari software utilizzati sono codici di tracking delle particelle, come ad esem-
pio GPT (General Particle Tracer) [3], ASTRA (A Space Charge Tracking
Algorithm) [4] per il fotoiniettore, LITRACK [5] ed ELEGANT (ELEctron
Generation ANd Tracking) [6] per LINAC, bunch compressor e X-band, GIN-
GER [7] e GENESIS [8] per il FEL.
La gura 1.1 presenta uno schema della macchina FERMI@ELETTRA, con
l’indicazione della denominazione utilizzata per i principali componenti.
Figura 1.1: Schema della macchina FERMI@ELETTRA.
17
1.2 FOTOINIETTORE
Il sistema di iniezione  e progettato per produrre il fascio di elettroni:  e il
cuore della sorgente di luce e determina le caratteristiche iniziali del fascio di
elettroni. Si tratta di un fotoiniettore nel quale un laser ad alta energia, di
lunghezza d’onda appartenente alla banda degli ultravioletti (263nm) colpi-
sce un catodo di rame. Gli elettroni vengono estratti dal catodo per eetto
fotoelettrico.
L’eetto fotoelettrico  e il fenomeno per cui un elettrone viene strappato dal-
l’atomo al cui nucleo  e legato; la radiazione elettromagnetica (in questo caso
la luce del laser), di frequenza  che colpisce il catodo,  e composta da fotoni
di energiaE =h , doveh  e la costante di Planck. Se tale energia risulta su-
periore a quella che tiene legato l’elettrone all’atomo, allora l’elettrone viene
strappato da quest’ultimo.
Il catodo  e parte integrante di una cavit a risonante a 3 GHz, ad alto gra-
diente di accelerazione (circa 110MV=m), che porta gli elettroni estratti dal
catodo ad un’energia di circa 5 MeV all’uscita del cosiddetto Gun (vedi -
gure 1.1).
Si  e visto che, per avere una distribuzione \piatta" di energia e di corrente
dei pacchetti di elettroni, e per poter compensare gli eetti dei campi scia
(wakeelds
4
)  e necessario un prolo dell’impulso laser a forma di \rampa".
1.3 LINAC
Gli elementi di accelerazione, come in un acceleratore di particelle, sono delle
cavit a risonanti, divise in un certo numero di sezioni all’interno delle quali si
instaura un campo elettromagnetico che ha il valore massimo all’istante di
passaggio del pacchetto di elettroni.
Il campo elettromagnetico viene eccitato nelle cavit a attraverso guide d’onda
che convogliano la potenza fornita da un klystron, il quale pu o essere visto co-
me un amplicatore a radiofrequenza. All’interno di esso gli elettroni emessi
da un catodo (tipicamente per eetto termoelettrico) transitano in un tubo
a vuoto no a raggiungere un collettore. Tra catodo e anodo (collettore),
viene applicata una tensione continua di alcune decine di kV .
Nel tragitto tra catodo e anodo, gli elettroni transitano all’interno di una
prima cavit a risonante, nella quale viene eccitato dall’esterno un campo elet-
tromagnetico alla frequenza desiderata, che imprime agli elettroni una modu-
lazione di velocit a, rallentandone cio e alcuni ed accelerandone altri; in altre
4
Si deniscono wakeelds , o campi scia, i campi elettromagnetici generati dalle cariche
in movimento
18
parole il fascio di elettroni viene raggruppato in una serie di pacchetti succes-
sivi. Il fascio di elettroni modulato attraversa quindi una o pi u cavit a nelle
quali  e esso stesso ad eccitare un campo elettromagnetico ad una potenza
di picco dell’ordine di decine di MW , che viene estratto e convogliato verso
le sezioni acceleranti. Uno schema di principio di un klystron  e riportato in
gura 1.2.
Le due sezioni acceleranti che seguono il catodo portano gli elettroni ad un’e-
nergia di 95 MeV .
Il sistema di iniezione, descritto nel paragrafo 1.2  e seguito da un primo linac
(Linear Accelerator), denominato L0, costituito da due sezioni acceleranti
(S0A;S0B) di tipo Travelling Wave (TW) (in cui cio e la radiofrequenza
viene iniettata dall’ingresso della sezione, a dierenza delle sezioni di tipo
Backward Travelling Wave (BTW), nelle quali il segnale radio entra dalla
ne della sezione), che introducono un aumento di energia di 50 MeV cia-
scuna, e portano quindi il fascio di elettroni ad un’energia di circa 100MeV .
Queste due sezioni operano in banda S, ad una frequenza di 2:998 GHz.
Al linac0 segue il laser heater, descritto nel paragrafo 1.5. C’ e quindi un
secondo linac (L1), composto da quattro sezioni acceleranti anch’esse di ti-
po TW, inframezzate da una sezione accelerante in banda X (11:4 GHz),
per linearizzare la successiva compressione longitudinale dei pacchetti, e che
portano il fascio di elettroni in ingresso a BC1 ad un energia di 250 MeV .
Un terzo linac (L2), composto da 3 sezioni dello stesso tipo delle precedenti,
 e posto a valle del primo compressore. A questo seguono altre 2 sezioni di
tipo BTW, che costituiscono il linac L3, e portano l’energia ad un valore
di circa 600 MeV , precedendo il secondo compressore, al quale, per nire,
segue il linac L4, composto da cavit a BTW. All’uscita di L4, viene raggiunta
l’energia massima di 1:5 GeV .
1.4 COMPRESSORI MAGNETICI
Le caratteristiche del fascio di fotoni generato dai FEL dipendono oltre che
dall’energia del fascio di elettroni, anche dalla lunghezza (e quindi dalla du-
rata) dei pacchetti.
Il progetto FERMI@ELETTRA prevede l’installazione di due dispositivi de-
nominati compressori magnetici (bunch compressor), il cui scopo  e appunto
quello di ridurre la dimensione longitudinale dei singoli pacchetti di elettroni.
I compressori sono composti da quattro magneti curvanti che guidano il fascio
di elettroni lungo una traiettoria a forma di chicane (g. 1.3(c)). All’ingresso
del compressore viene imposto al pacchetto di elettroni un energy chirp, im-
primendo agli elettroni della coda del bunch un’energia maggiore, e a quelli
19
Figura 1.2: Schema di principio di un klystron (che fornisce la potenza a
radiofrequenza alle sezioni acceleranti).
20
in testa un’energia minore. Attraversando il compressore, gli elettroni con
energia maggiore risentiranno meno dell’eetto dei magneti, e quindi il loro
percorso sar a pi u corto, mentre gli elettroni con energia minore eettueranno
un percorso pi u lungo. Tale chirp si ottiene regolando opportunamente la
fase della radiofrequenza.
Se gli elettroni in testa al pacchetto incontrano la radiofrequenza in un pun-
to di ampiezza minore rispetto agli elettroni della coda, l’eetto sar a quello
desiderato, ottenendo dunque, grazie al chirp, una compressione delle par-
ticelle, e quindi un bunch pi u compatto, di minore durata. Il principio di
funzionamento  e schematizzato in gura 1.3.
1.5 LASER HEATER
I pacchetti di elettroni che viaggiano lungo l’acceleratore, presentano una
modulazione di energia. Tale modulazione viene convertita in una modula-
zione della densit a degli elettroni all’interno del pacchetto, quando questo
attraversa i compressori, per il principio di funzionamento di essi, illustrato
nel paragrafo 1.4. Questo eetto  e denito microbunching instability. L’ef-
fetto di microbunching risulta poi ulteriormente amplicato dalla presenza di
radiazione coerente di sincrotrone, o coherent synchrotron radiation (CSR),
emessa quando un fascio corto di elettroni a velocit a relativistiche viene cur-
vato.
Tale radiazione  e denita coerente dal momento che la sua lunghezza d’onda
 e comparabile con la lunghezza del pacchetto di elettroni, e l’energia irradiata
da ogni singola particella ha una fase tale da sommarsi in modo costruttivo
con quella emessa dalla precedente, aumentando l’intensit a della radiazione
stessa.
Un metodo per controllare l’eetto del microbunching  e l’impiego di un laser
heater a valle delle prime due sezioni acceleranti (S0A ed S0B), che costi-
tuiscono il primo linac, denominato L0.
In questo dispositivo, un raggio laser viene fatto interagire con il fascio di
elettroni all’interno di un ondulatore locale, ottenendo un incremento della
variazione di energia (energy spread) incorrelata, mediante una modulazione
di energia di lunghezza d’onda dell’ordine di quella del laser.
L’utilizzo del laser heater, e della corrispondente modulazione di energia per-
mette lo smorzamento (Landau damping) del microbunching. Uno schema di
principio del laser heater  e illustrato in gura 1.4.
21
(a) Distribuzione longitudinale del pacchetto di elettroni.
(b) Pacchetto di elettroni sottoposto ad Energy Chirp.
(c) Percorsi degli elettroni di diversa energia.
Figura 1.3: Principio di funzionamento di un compressore magnetico: Le
gure 1.3(a) e 1.3(b) mostrano la distribuzione di energia del pacchetto di
elettroni rispettivamente prima e dopo l’introduzione dell’Energy Chirp.
La gura 1.3(c) mostra come il percorso degli elettroni con energia maggiore
(in blu) risulti pi u breve di quello degli elettroni ad energia minore (in rosso),
che risentono maggiormente dell’eetto dei magneti curvanti.
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