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INTRODUZIONE GENERALE
Da una ventina d’anni, i sistemi di potenza devono far fronte a sfide molto
importanti. La liberazione del mercato dell’elettricità crea scenari di funzionamento
molto più complessi rispetto al passato. Il permanente aumento della dipendenza
elettrica della società implica un funzionamento dei sistemi di potenza al 100% della
loro capacità e una sicurezza massimale. Inoltre, la qualità della potenza elettrica è
attualmente divenuta una grande preoccupazione per i consumatori e i fornitori. Di
conseguenza, sono sempre più necessari rigorosi criteri di sviluppo e di funzionamento.
In tali condizioni, la stabilità dei sistemi di potenza diviene una delle maggiori
preoccupazioni per i fornitori di elettricità. Questi sistemi devono rimanere stabili per
tutte le piccole variazioni in vicinanza dei punti di funzionamento, nonché per
condizioni severe. Di conseguenza, nuovi metodi e le nuove tecnologie che consentono
di migliorare la stabilità dei sistemi sono oggetto di lavori di ricerca estremamente
importanti.
Tenendo conto della varietà delle condizioni di funzionamento e della gravità
degli incidenti, le apparecchiature di comando attualmente installate sulle reti possono
rivelarsi troppo limitate o insufficienti per rispondere in modo efficace alle diverse
perturbazioni. Di conseguenza, gli operatori di rete cercano di ottimizzarne il
funzionamento pur mantenendo un livello di sicurezza soddisfacente.
Un sistema di potenza è un sistema altamente non-lineare funzionante in un
ambiente in continua evoluzione: cariche, potenza di generazione, topologia della rete,
ecc. Il sistema può quindi essere sottoposto a perturbazioni; la perturbazione può essere
debole o importante. Piccole perturbazioni, sotto forma di variazioni di carica, si
producono continuamente. Il sistema deve essere in grado di “rispondere” in modo
soddisfacente ai bisogni della carica. Il sistema deve anche essere in grado di resistere a
numerose perturbazioni di natura severa, come il fulmine, la perdita di un’unità di
generazione, un corto circuito su una linea di trasmissione, ecc.
In seguito ad una perturbazione transitoria, se il sistema è debole raggiungerà un
nuovo stato di equilibrio. Se è instabile, ciò si tradurrà, per esempio, con un progressivo
aumento dello scarto tra gli angoli rotore dei generatori o con un progressivo calo delle
tensioni dei nodi della rete. Uno stato instabile del sistema potrà condurre a guasti a
cascata e ad una disconnessione di gran parte della rete elettrica.
Le oscillazioni dei sistemi di potenza sono state predette fin dalla prima
installazione di un sistema di potenza. Un sistema avente vari generatori interconnessi
tramite una rete di trasporto si comporta come un insieme di masse interconnesse da una
rete di molle e presenta modi di oscillazione multipli. L’ammortizzamento delle
oscillazioni è sempre stato considerato come un elemento importante per il buon
funzionamento dei sistemi di potenza. Una prima soluzione per ammortizzare tali
oscillazioni è così scomparsa, ma l’ammortizzamento globale del sistema è sempre
rimasto ignorato (Farmer, 2006).
Vari punti considerati evidenti in questo momento restano sempre validi:
- le oscillazioni a debole frequenza (tra 0.2 e 2 Hz) si producono nei sistemi di
potenza a causa dell’insufficienza delle coppie di ammortizzamento che agiscono
sui rotori dei generatori;
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- le oscillazioni compaiono principalmente nel sistema sotto due forme:
o le oscillazioni dei modi locali, associate principalmente a un generatore
e ai relativi controllori;
o le oscillazioni dei modi interregionali, associate a un gruppo di
generatori e alle proprietà del sistema (configurazione della rete di
trasporto, scorrimento di potenza, ecc.).
- le oscillazioni dei rotori dei generatori provocano delle fluttuazioni su
variabili elettriche (tensioni, potenze attive e reattive, frequenza, ecc.), da cui
l’origine del loro nome: oscillazioni elettromeccaniche.
- il regolatore di tensione AVR (Automatic Voltage Regulator) del sistema di
eccitazione del generatore è praticamente l’unica fonte responsabile delle
oscillazioni del sistema;
- dopo avere stabilito le fonti delle oscillazioni, è naturalmente auspicabile
identificare, per motivi economici e di affidabilità, i punti più efficaci per
aggiungere i dispositivi di ammortizzamento necessari.
Dagli anni ’60, i processi di interconnessione tra i sistemi di potenza sono
fortemente aumentati e le reti di trasporto si sono estesi su regioni vaste. Inoltre, la
liberalizzazione del mercato dell’elettricità ha provocato un aumento del caricamento
delle reti di trasporto.
Questa evoluzione è stata accompagnata dalla ricomparsa del problema delle
oscillazioni. I motivi di questa ricomparsa possono essere riassunti come segue
(Dandeno et al., 1968; Farmer, 2006):
- l’utilizzo di regolatori di tensione caratterizzati da risposte rapide e da
guadagni elevati (necessari per migliorare la stabilità transitoria) aumenta la
potenzialità di ammortizzamento negativo;
- gli avvolgimenti ammortizzanti non sono più sufficientemente efficaci nei
sistemi interconnessi a causa dell’alta impedenza esterna vista da tali sistemi;
- l’aumento del numero dei controllori automatici messi in servizio nei
sistemi aumenta la probabilità di interazioni nefaste tra i controllori;
- le piccole oscillazioni prodotte in ogni generatore, eventualmente non
significative a titolo individuale, possono accrescere l’impatto negativo delle
oscillazioni delle linee di interconnessione che si estendono sul sistema;
- le oscillazioni elettromeccaniche implicano vincoli meccanici considerevoli,
se non pericolosi, sulle masse girevoli dei generatori.
In queste nuove condizioni, le oscillazioni rappresentano un problema
considerevole dei grandi sistemi di potenza. Il problema di tali oscillazioni viene così
ridefinito dal loro ruolo importante nella stabilità dell’angolo rotore a piccole
perturbazioni (chiamata stabilità dinamica) potendo condurre alla perdita di sincronismo
e ad una restrizione della potenza trasmissibile nel sistema. Il miglioramento della
stabilità a piccole perturbazioni, in particolare il miglioramento delle oscillazioni
interregionali, diventa così sempre più importante (Samouhi, 1983; Sadeghzadeh, 1998;
Snyder, 1999; Roosta, 2003).
Per superare il problema delle oscillazioni elettromeccaniche e migliorare
l’ammortizzamento del sistema, vengono introdotti segnali supplementari di
stabilizzazione nel sistema di eccitazione tramite il relativo regolatore di tensione.
Questi segnali produrranno delle coppie in fase con la variazione di velocità di
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generatore per compensare il ritardo di fase introdotto dal sistema di eccitazione. Gli
stabilizzatori di potenza (Power System Stabilizers, PSS), grazie ai loro vantaggi in
termini di costo ed efficacia, sono i modi abituali non soltanto per eliminare gli effetti
negativi dei regolatori di tensione, ma anche per ammortizzare le oscillazioni
elettromeccanici e assicurare la stabilità globale del sistema (DeMello et al., 1978;
Larsen et al., 1981, I).
Convenzionalmente, per regolare i parametri dello PSS, le equazioni del modello
non-lineare del sistema sono linearizzate attorno al punto di funzionamento, e le
tecniche di controllo lineare vengono applicate in seguito. I parametri dello PSS
vengono allora fissati ad alcuni valori corrispondenti a determinate condizioni di
funzionamento. È importante ricordare che i parametri del generatore variano con la
carica: il comportamento della macchina varia a seconda dei punti di funzionamento. I
PSS devono quindi essere regolati e coordinati in modo che la stabilità globale del
sistema sia garantita per una grande varietà di punti di funzionamento.
Oltre al problema della regolazione dei PSS, la scelta della loro ubicazione
rappresenta un fattore critico per ottenere una performance ottimale di stabilizzazione.
Uno PSS può essere “ben” regolato per migliorare l’ammortizzamento di un mezzo, ma
può produrre effetti nocivi per altri modi. Inoltre, ubicazioni differenti provocano
oscillazioni differenti a seconda dei punti di funzionamento.
In numerose ricerche, viene scelta l’ubicazione dei PSS prima di affrontare
l’analisi dei possibili metodi di regolazione. Il metodo dei fattori di partecipazione (FP)
è stato utilizzato in modo intensivo per identificare le possibili aree di ubicazione dei
PSS (Abdel-Magid et al., 1999; Do Bomfim et al., 2000; Abdel-Magid et al., 2003).
In generale, un numero troppo considerevole o un cattivo posizionamento dei PSS
può provocare un disfunzionamento del sistema. È quindi essenziale “ben localizzare” e
scegliere un adeguato numero di PSS per ridurre questi effetti indesiderabili.
In letteratura, sono stati proposti vari approcci che utilizzano l’algoritmo genetico
(AG) per la robusta regolazione dei PSS nelle reti multi-macchina (Abdel-Magid et al.,
2003; Hongesombut et al., 2004; Rashidi et al., 2004; Hongesombut et al., 2005; Panda
et al., 2007). Il vantaggio degli AG rispetto alle altre tecniche di ottimizzazione, è la
loro indipendenza rispetto alla complessità dei problemi. Inoltre, esso lavora su un
insieme di punti (una popolazione) e non su un solo punto. L’AG è quindi un metodo di
ottimizzazione globale.
Il PSS è sempre considerato un mezzo efficace per l’ammortizzamento dei modi
elettromeccanici locali ma, nello stesso tempo, il suo ruolo nell’ammortizzamento dei
modi interregionali resta sempre considerato debole. L’obiettivo del nostro lavoro è
quindi quello di assicurare un ammortizzamento massimo dei modi tanto interregionali
quanto locali. A tal fine, proponiamo una regolazione ottimale dei PSS con la migliore
localizzazione possibile e il numero più debole di PSS. Ciò consente di assicurare un
ammortizzamento soddisfacente delle oscillazioni rotoriche e di garantire la stabilità
globale del sistema per diversi punti di funzionamento. Abbiamo quindi sviluppato un
programma di AG con una funzione multi-scopo basata sull’analisi dei valori propri del
sistema (parte reale del valore proprio e fattore di ammortizzamento.
Per verificare le performance del metodo proposto, abbiano analizzato una rete
multi-macchina comprendente 16 generatori e 68 nodi (New England/New York),
(Rogers, 2000).
13
Per valutare i risultati ottenuti, applichiamo un metodo di analisi nel settore
complesso, ovvero il metodo dei valori propri, per determinare le varie modalità del
sistema. Tale analisi fornisce informazioni importanti sulla stabilità del sistema
indicando la presenza dei modi mal o non ammortizzati. Può inoltre essere stabilita
l’origine di questi modi. L’analisi della stabilità è stata completata dalla simulazione del
modello non-lineare originale in campo temporale.
Il primo capitolo della nostra tesi riguarda la modellizzazione generale di un
sistema di potenza adattato allo studio della stabilità angolare a piccole perturbazioni.
Esso presenta anche l’analisi per valori propri e l’analisi modale basate sulla
linearizzazione del modello.
Nel secondo capitolo, abbiamo richiamato la stabilità secondo Lyapunov.
Abbiamo anche ricordato le caratteristiche dei vari tipi di stabilità di un sistema di
potenza. In seguito, abbiamo studiato, nel dettaglio, la stabilità angolare a piccole
perturbazioni con gli stabilizzatori di potenza (PSS).
Il terzo capitolo riguarda una presentazione teorica degli algoritmi genetici, che è
il metodo di ottimizzazione utilizzata in questo lavoro.
Il quarto capitolo presenta la rete test studiata (rete multi-macchina interconnesso
di New York/New York). Viene anche presentato l’approccio proposto. L’obiettivo è di
migliorare l’ammortizzamento delle oscillazioni elettromeccaniche (associate ai modi
globali e locali). A tal fine, proponiamo un’ottimizzazione globale dei parametri, della
localizzazione e del numero di PSS necessari per assicurare una performance robusta.
Abbiamo anche analizzato la reazione del sistema (in modello lineare e non-lineare)
durante l’applicazione di vari scenari severi (analisi e discussione dei risultati).
Il quinto capitolo si propone di migliorare la performance dell’ottimizzazione e
l’accelerazione della convergenza di un AG. Durante l’ottimizzazione del problema,
questo approccio consente di adattare lo spazio di ricerca al processo di ottimizzazione
garantendogli dei vincoli dinamici adattativi.
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Capitolo I
Modellizzazione del sistema di
potenza
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1.1- Introduzione.
Una grande rete elettrica (chiamata anche sistema di potenza) si compone di
elementi (generatori, trasformatori, linee, ecc.) interconnessi e più o meno numerosi a
seconda della dimensione della rete, che formano un sistema complesso in grado di
generare, di trasmettere e di distribuire l’energia elettrica attraverso vaste estese
geografiche (figura 1). Un modello matematico tipico non ridotto di un “grande”
sistema può contenere fino a 15.000, se non più, variabili di stato (Farmer, 2006). I
sistemi di potenza moderni sono così caratterizzati da dimensione e complessità
crescenti. Più la dimensione di un sistema di potenza aumenta, più i processi dinamici e
l’analisi dei fenomeni fisici sottostanti sono complessi. Oltre alla loro dimensione e
complessità, i sistemi di potenza presentano un comportamento non lineare e variante
nel tempo. Le non linearità possono essere introdotte con elementi a funzionamento
discontinuo, quali relè, tiristori, ecc…, tramite elementi con isteresi o saturazione. Ai
nostri giorni, tale complessità strutturale influenza sempre di più l’evoluzione dei
problemi di stabilità e dei fenomeni dinamici nei sistemi di potenza interconnessi.
Produzione
Trasporto
Distribuzione
Carichi
Figura 1. I vari livelli di un sistema di potenza.
I grandi componenti di un sistema di potenza possono essere rappresentati con uno
schema a blocchi, come mostra la figura 2 (Sauer et al., 1998). Questa rappresentazione
non mostra tutte le interazioni dinamiche tra gli elementi e i loro controlli, ma può
servire per una descrizione generale per le strutture dinamiche.
Lo studio della performance dinamica di un sistema di potenza è molto importante
per gli operatori del sistema (punto di vista economico) e per la società in generale
(punto di vista dell’affidabilità). Una tappa essenziale di questo tipo di studio è di
comprendere fisicamente e matematicamente i fenomeni dinamici di interesse. La
modellizzazione e la simulazione effettuate del sistema possono in seguito rifletterne il
comportamento critico.
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Altri
generatori
Regolatore
di tensione
Sistema della
forza motrice
ω V
Generatore
Fonte
di energia
Controllo
Regolatore
della fonte
di frequenza
di energia
Potenza di
generazione
Rete di trasporto
Carichi
Altri sistemi
Potenza
trasmessa
Segnali di controllo della
Frequenza de
potenza di generazione desiderata
Sistema di controllo centrale
sistema
Frequenza di
Programmazione
riferimento del
di potenza
sistema di trasmissione
Figura 2. Struttura generale di un sistema di potenza.
1.2- I fenomeni dinamici.
In un sistema di potenza, è in grado di prodursi una grande varietà di fenomeni
dinamici diversi. Tali fenomeni dinamici hanno delle caratteristiche e delle origine fisiche
differenti e si producono in gamme di tempi diverse.
In genere, un fenomeno dinamico comincia con una perturbazione, l’azione di un
controllore, una manovra di perturbazione, ecc.
A seconda del livello della perturbazione d’origine, possiamo distinguere due classi
di fenomeni dinamici:
- le “piccole” perturbazioni. Si tratta di fluttuazioni normali, di debole
ampiezza, delle grandezze elettriche o meccaniche (ad esempio, variazione continua
di carico). Questi fenomeni si manifestano di solito nel sistema con deboli
oscillazioni transitorie spesso poco ammortizzate;
- le “grandi” perturbazioni. Questo tipo di perturbazione corrisponde, ad
esempio, ad un corto circuito su una linea di trasmissione, alla perdita di un
generatore, ecc. Queste, al contrario, provocheranno oscillazioni importanti.
Al fine di comprendere meglio i meccanismi di instabilità dei sistemi di potenza,
devono essere definiti e classificati i vari fenomeni dinamici. Se si tiene conto dei loro
caratteri fisici, nonché delle loro zone di risposta temporali, i fenomeni dinamici sono di
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solito divisi in quattro gruppi: (Machowski et al., 1998).
1.2.1- I fenomeni di propagazione.
Essi si producono nelle linee di trasmissione ad alta tensione di grande lunghezza e
corrispondono alla propagazione delle onde elettromagnetiche provocati da colpi di
fulmine o da operazioni di interruzione/chiusura. La gamma di tempi della dinamica di
questi fenomeni va dal microsecondo al millisecondo. Essi possiedono le dinamiche più
rapide.
1.2.2- I fenomeni elettromagnetici.
Essi hanno principalmente luogo negli avvolgimenti dei generatori e dei motori
(avvolgimenti ammortizzanti di armature e) e nei dispositivi elettronici di potenze. Essi
scorrono da una perturbazione (come un corto circuito), da un’operazione di un sistema di
protezione, da una commutazione (tiristore, ecc.) o da un’interazione tra le macchine
elettriche e la rete.
Tali fenomeni generano correnti e coppie elevate all’interno dei generatori su una
scala di tempi tipica di diversi millisecondi. Al di là di questi lassi di tempo, le inerzie
della turbina e del generatore sono sufficienti ad impedire ogni importante variazione
della velocità del rotore.
1.2.3- I fenomeni elettromeccanici.
I fenomeni elettromeccanici comprendono principalmente i campi di rotori, gli
avvolgimenti ammortizzanti e le inerzie dei rotori. Essi sono principalmente dovuti ai
movimenti delle masse girevoli dei generatori e dei motori. Essi si producono in seguito a
una perturbazione, un’operazione di comando sul sistema di controllo di tensione o sul
controllo della turbina. La gamma di tempi di questi fenomeni si estende da circa un
secondo a più secondi. Tale scala di tempi è ritenuta sufficientemente grande affinché i
fenomeni siano influenzati dalla turbina e dai sistemi di comando di generatore. In questa
gamma di tempi, le variazioni di velocità di rotori, accoppiate alle variazioni
elettromagnetiche, producono allora effetti elettromeccanici.
1.2.4- I fenomeni termodinamici.
I fenomeni termodinamici si sviluppano nelle caldaie delle centrali termiche
durante la richiesta di comando automatico di generazione, applicata in seguito ad una
perturbazione di equilibrio tra la produzione e il consumo di potenza. Essi si estendono da
alcune decine di secondi ad alcune decine di minuti: essi presentano così le dinamiche più
lente.
La figura (3) mostra la classificazione dei fenomeni dinamici sopra spiegati.
Una "buona" comprensione fisica e matematica del sistema e dei fenomeni associati
consente di comprendere meglio la modellizzazione e la simulazione del sistema per
riflettere i comportamenti critici di quest’ultimo. Il paragrafo seguente definisce il
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modello matematico utilizzato e i relativi elementi.
Figura 3. Caratteristiche dei fenomeni dinamici riscontrati nei sistemi di potenza.
1.3- Il modello generale non lineare
1.3.1- Introduzione
La prima tappa quando si vuole analizzare e comandare un sistema elettrico di
potenza consiste nel trovare un “buon” modello matematico. Generalmente, un modello,
nell’analisi dei sistemi, è un insieme di equazioni o di relazioni, che descrive in maniera
conveniente le interazioni tra le variabili studiate, nella gamma di tempo considerata e
con la precisione desiderata, per un elemento o un sistema. Di conseguenza, secondo lo
scopo dell’analisi, un elemento, o anche un sistema fisico, può dare luogo a modelli del
tutto diversi.
In molti casi, la scelta del modello corretto è spesso la parte più difficile dello
studio. Il punto essenziale è trovare il “buon modello” che realizzi un compromesso tra la
fedeltà del comportamento qualitativo e quantitativo e la semplicità di realizzazione a
scopi di analisi e di sintesi. I modelli complessi necessitano generalmente di un numero
più importante di parametri. Inoltre, l’ottenimento di valori affidabili per tali parametri
esige un lavoro importante. Infine, se si utilizzano i metodi troppo complessi, l’analisi e i
calcoli sono inutilmente “voluminosi” e anche l’interpretazione del risultato esige un
lavoro molto importante (Andersson, 2006).
In genere, per stabilire un modello di rete elettrica per gli studi dinamici, si tiene
unicamente conto delle attrezzature in attività durante l’arco temporale del fenomeno
dinamico considerato. Il risultato è quindi il modello di conoscenza completo del sistema:
esso si compone di equazioni differenziali ordinarie non lineari e di equazioni algebriche
(Kundur, 1994).
Dinamiche di
propagazione
Dinamiche
elettromagnetiche
Dinamiche
elettromeccaniche
Dinamiche
termodinamiche
microsecondi millisecondi secondi minuti
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I modelli presentati in questo modello riguardano gli elementi seguenti:
- le unità di produzione: generatori elettrici, sistemi di eccitazione, turbine e sistemi
di controllo associati;
- i trasformatori e le linee di trasmissione della rete di trasporto;
- i carichi per la parte di consumo.
1.3.2- Gli elementi del modello
1.3.2.1- Modello del generatore
L’energia elettrica è generalmente prodotta dalle macchine sincrone. Queste sono
caratterizzate da una velocità di rotazione dell’albero di uscita di ogni macchina uguale
alla velocità di rotazione del campo rotante. Per ottenere un tale funzionamento, viene
applicata una coppia meccanica generata da una fonte di energia primaria, (ad esempio,
l’energia idraulica, l’energia nucleare o l’energia chimica) sopra l’asse della macchina
sincrona tramite un collegamento meccanico intermedio, ovvero la turbina. Il campo
magnetico rotorico è di solito generato da un circuito di eccitazione alimentato da una
corrente continua. La posizione del campo magnetico rotorico è quindi fissa rispetto al
rotore: in funzionamento normale, ciò impone una velocità di rotazione identica tra il
rotore e il campo rotante statorico. Gli avvolgimenti statorici sono quindi sottoposti a
campi magnetici che variano periodicamente. Una f.e.m. di corrente alternativa è quindi
indotta nello statore.
I generatori sincroni partecipano in modo estremamente importante ai fenomeni
dinamici e alla qualità globale dell’alimentazione in energia. Risulta quindi necessario
sviluppare diversi modelli pratici e realisti delle macchine sincrone. In questo capitolo,
presenteremo e discuteremo un modello adattato all’analisi della stabilità dinamica.
1.3.2.1.1- Modello della macchina sincrona nel riferimento di Park
Nella macchina ideale, lo statore è munito di tre avvolgimenti a, b, c che distano tra
loro di 120 gradi. Il rotore comporta un certo numero di avvolgimenti ripartiti su due assi:
l’asse d (asse diretto) che coincide con quello dell’avvolgimento di eccitazione, e l’asse q
(asse quadratico) in quadratura rispetto all’asse diretto (Custem, 2002, II).
Per sopprimere la non linearità tra le grandezze dello statore e quelle del rotore, gli
avvolgimenti della macchina devono essere ordinati secondo due assi perpendicolari.
Ogni macchina è modellizzata nel proprio riferimento locale (d-q) girando col proprio
rotore (Andersson, 2006). Per formalizzare l’accoppiamento tra le equazioni del sistema e
stabilire le equazioni che descrivano il comportamento del sistema globale, tutte le
tensioni e le correnti devono essere rappresentate in un solo riferimento comune a tutte le
macchine. Generalmente, un riferimento alla velocità sincrona funge da riferimento
comune. Un approccio di questo tipo può essere realizzato dalla trasformazione di Park.
Lo sviluppo di tale trasformazione è dato nell’allegato A.
La figura (4) mostra schematicamente gli avvolgimenti e i sensi delle correnti in
una macchina sincrona. La figura (5) fornisce il modello equivalente nel riferimento di
Park (d-q). I vari avvolgimenti nelle due rappresentazioni sono i seguenti:
13
- i tre avvolgimenti statorici a, b e c e gli avvolgimenti equivalenti d
s
e q
s
;
- l’asse diretto comporta l’avvolgimento di eccitazione f ed un avvolgimento
ammortizzatore d
a
;
- l’asse in quadratura comporta un avvolgimento ammortizzatore q
a
.
Notiamo infine che l’avvolgimento di eccitazione è sottoposto ad una tensione V
f
mentre i circuiti da, qa sono permanentemente in corto circuito.
Figura 4. Modellizzazione della macchina sincrona idealizzata
Figura 5. Modello della macchina sincrona nel riferimento di Park
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1.3.1.2- Le ipotesi del modello
Il modello del generatore e dei relativi controlli si limita di solito alle equazioni
differenziali ordinarie accoppiate tra loro attraverso le equazioni algebriche della rete di
trasporto. Ogni equazione differenziale esprime la derivata di una variabile di stato (la
tensione di eccitazione, l’angolo rotore, ecc.) in funzione di altre variabili di stato e di
variabili algebriche. Il numero delle equazioni differenziali che descrive il modello del
generatore definisce l’ordine del modello. Esistono diversi modelli, dal più semplice – il
modello classico rappresenta soltanto le caratteristiche elettromeccaniche del generatore –
al più complesso, ovvero il modello di ottavo ordine tenendo conto di tutti i circuiti di
rotore, di statore, di ammortizzamento e di campo di saturazione (Anderson et al, 2003).
Negli studi delle oscillazioni elettromeccaniche, il modello del generatore deve mostrare
due caratteristiche fondamentali, ovvero: le caratteristiche elettriche degli avvolgimenti di
eccitazione e le caratteristiche meccaniche dell’albero del generatore.
Le diverse ipotesi considerate per stabilire questo modello sono basate trascurando
l’influenza:
- delle resistenze rotoriche e statoriche;
- degli avvolgimenti ammortizzatori;
- del campo di saturazione;
- dei fenomeni transitori nello statore;
- della variazione di velocità nelle equazioni di tensione dello statore (così ω
r
= ω
o
= 1 [p.u.]. Tale supposizione viene fatta per compensare l’effetto di annullamento dei
fenomeni transitori nello statore).
Questo modello trascura anche l’ammortizzamento che è prodotto dalle correnti di
Foucault nel corpo del rotore (si suppone che la f.e.m. transitoria che segue l’asse d, ossia
E’
d
, sia costante). Poiché non vi è alcun avvolgimento sull’asse in quadratura per
rappresentare il corpo del rotore, avremo quindi:
E’
d
= 0, X’
q
= X
q
E’
d
: f.e.m. del generatore indotta seguendo l’asse d, in p.u.
X’
q
: reattanza sincrona di asse q, in p.u.
X
q
: reattanza transitoria di asse q, in p.u.
Infine, supporremo che l’angolo rotore δ (posizione angolare del rotore rispetto al
riferimento al sincronismo) coincida con l’angolo della tensione interna del generatore.
Il modello risultante è il modello del terzo ordine. Esso è descritto dalle seguenti
variabili di stato:
E’
q
: f.e.m. del generatore indotta seguendo l’asse q, in p.u.
ω: velocità angolare del rotore, in p.u.
δ: angolo di rotore, in radicale.
Questo modello, ben adattato allo studio della stabilità dinamica, è il più semplice.
Esso è ampiamente utilizzato nell’analisi dei valori propri e anche nella regolazione dei
parametri degli stabilizzatori di potenza (Sauer et al. 1998).
15
1.3.2.1.3- Equazioni elettriche
Consideriamo una prima macchina di una rete multi-macchina. In tale paragrafo,
determineremo le equazioni algebriche dello statore di questa macchina, vale a dire le
equazioni riguardanti le tensioni che seguono gli assi d e q e le potenze elettriche.
Le grandezze elettriche di questa macchina sono rappresentate sulla figura (6).
Prima di iniziare il calcolo, possiamo fare le considerazioni seguenti:
- il riferimento (d
i
, q
i
) riguarda soltanto la prima macchina, mentre il riferimento (D,
Q) è comune a tutte le macchine del sistema;
- l’angolo di coppia δ
i
visto tra D e q
i
, della prima macchina rispetto al riferimento
comune (D, Q): esso varia costantemente nel tempo e può essere positivo o negativo (Yu,
1983).
Figura 6. Fasori relativi alla prima macchina di un sistema multi-macchina.
Secondo la figura (6), la tensione terminale della prima macchina del sistema può
determinarsi con l’equazione seguente:
(1)
Notiamo nel riferimento comune (D, Q) le espressioni seguenti:
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