Problemi sperimentali nella sottostrutturazione di sistemi assemblati

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INTRODUZIONE 
 
La sottostrutturazione dinamica sperimentale pone 2 problemi principali: l’accoppiamento 
ed il disaccoppiamento. L’accoppiamento di più sottosistemi permette di  creare il modell o 
dinamico del sistema completo; il disaccoppiamento, ossia l’eliminazione del la dinamica 
di uno o più sottosistemi dal sistema completo, genera la risposta disaccoppiata della 
sottostruttura sconosciuta. Mentre l’accoppiamento porta a risultati soddisfacenti anche in 
casi complicati, il disaccoppiamento é fonte di problemi anche nei casi più banali. Il 
disaccoppiamento assume importanza in strutture precostruite dove alcuni componenti 
(parti o giunzioni) non possono essere rimossi o accessibili facilmente. Soluzioni affidabili 
al problema del disaccoppiamento conducono a promettenti sviluppi nel campo della 
diagnostica, quali il monitoraggio del comportamento dinamico di un sottosistema critico 
che non può essere rimosso o raggiunto facilmente, e il controllo delle vibrazioni, ossia 
l’identificazione dinamica delle caratteristiche di un sottosistema accoppiato agli altri, che 
può modificare il comportamento dell’intero sistema. Alcuni approcci sono stati proposti in 
letteratura per affrontare il problema del disaccoppiamento:  
- l’approccio nello spazio di stato, che include un’analisi sui possibili mal 
condizionamenti dovuti ai rapporti tra inerzie all’interfaccia dei sottosistemi;  
- quello modale, che evidenzia problemi di troncamento dei dati; 
-  l’approccio basato sulla FRF (impedenza, mobilità o inertanza) , sensibile al mal 
condizionamento dei dati.  
Le cause che portano al mal condizionamento sono dovute ad una mancanza di 
informazioni nella determinazione delle forze di accoppiamento. 
Lo scopo del presente lavoro consiste nel misurare la FRF del sistema completo descritto e 
di confrontarla con la FRF calcolata dal programma di accoppiamento.
7 
 
CAPITOLO 1 
TEORIA DELLA SOTTOSTRUTTURAZIONE DINAMICA  
 
1.1 LA SOTTOSTRUTTURAZIONE DINAMICA NEL DOMINIO  
DELLE FREQUENZE 
 
La sottostrutturazione dinamica permette di identificare il comportamento dinamico di un 
sistema strutturale partendo dalle informazioni riguardanti la restante parte del sistema 
(definito come sottosistema residuo) e dal comportamento dinamico del sistema completo 
(Figura 1). 
 
 
Figura 1: schema di un sistema sottoposto a sottostrutturazione dinamica 
 
Un’applicazione é la cancellazione di massa che permette di eliminare gli effetti della 
presenza degli accelerometri nelle misure di risposta complessa in frequenza. A causa di 
problemi di troncamento modale, nella sottostrutturazione dinamica sperimentale si 
preferisce l’ utilizzo della funzione di risposta complessa in frequenza rispetto ai parametri 
modali. Il dual decoupling consente di realizzare una sola inversione di matrici rispetto ad 
altre tecniche di disaccoppiamento che ne prevedono un numero maggiore. Consideriamo
8 
 
un sistema strutturale formato da n sottosistemi accoppiati. In frequenza l’equazione del 
moto di un sottosistema lineare e stazionario r può essere scritta come: 
 
(1)   
   
      
   
       
   
       
   
    
1
 
 
dove:   
  
   
     é la matrice di rigidezza dinamica del sottosistema r; se la [Z] è non singolare 
vale la:   
   
       
   
    
  
; 
  
   
     é il vettore dei gradi di libertà del sottosistema r; 
  
   
     é il vettore delle forze esterne; 
  
   
     é il vettore delle forze di connessione con gli altri sottosistemi (forze vincolari 
associate alle condizioni di compatibilità).  
Per semplicità da qui in poi si ometterà la dipendenza esplicita dalla frequenza. 
L’equazione del moto di n sottosistemi da accoppiare può essere scritta in forma diagonale 
a blocchi: 
 
(2)      
  
   
 
 
  
   
 
       
  
   
 
 
  
   
 
        
  
   
 
 
  
   
 
       
  
   
 
 
  
   
 
     
 
Le condizioni di compatibilità all’interfaccia implicano che ogni coppia di gradi di libertà 
corrispondenti  
 
   
   
 
   
, cioè il grado di libertà l del sottosistema r e il grado di libertà m 
del sottosistema s devono avere gli stessi spostamenti, il che si traduce  
 
   
   
 
   
  . 
Questa condizione può essere espressa generalmente come            dove ogni riga di 
[B] corrisponde ad una coppia di gradi di libertà corrispondenti. È da notare che [B] è una 
matrice Booleana e può essere scritta distinguendo il contributo dei singoli sottosistemi. 
La condizione di equilibrio per le forze vincolari associate con le condizioni di 
compatibilità implicano che per ogni coppia di gradi di libertà corrispondenti la loro 
somma deve essere {0}, cioè: 
 
 
   
  
 
   
     
                                                 
1
 In questo documento si indicheranno tra parentesi quadre le matrici e tra parentesi graffe i vettori.
9 
 
 
In generale le condizioni precedenti possono essere espresse come    
 
        dove L é 
una matrice di localizzazione Booleana. Il numero di righe di    
 
 é uguale al numero dei 
gradi di libertà interni più il numero di coppie di gradi di libertà all’interfaccia tra i 
sottosistemi. Il sistema totale che descrive l’accoppiamento é il seguente: 
 
(3)  
               
          
   
 
       
 
 
 
1.1.1 LA FORMULAZIONE PRIMALE NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE 
 
Nella formulazione primale si definisce un unico gruppo di gradi di libertà e le forze di 
vincolo sono eliminate automaticamente soddisfacendo l’equilibrio. Questo si ottiene 
imponendo che: 
 
(4)             
 
dove     é l’unico insieme di gradi di libertà e [L] é la matrice di localizzazione. Questa 
equazione stabilisce che i gdl di tutti i sottosistemi sono ottenuti da un insieme di gdl totali 
e la condizione di compatibilità che vale per ogni     diventa: 
 
(5)                                 
 
quindi le colonne di [L] appartengono al nucleo di [B] e viceversa: 
 
(6)  
               
   
 
           
 
 
 
 
 
Il sistema di equazioni risulta: 
 
(7)
10 
 
 
Premoltiplicando l’equazione di equilibrio dinamico per [L]
T
 si ottiene il sistema 
assemblato ridotto: 
 
(8)    
 
             
 
   . 
 
I gdl totali si ottengono trovando {q} dalla (8):  
 
(9)         
 
       
  
   
 
   . 
 
La problematica che sorge nell’utilizzo di questo approccio é dovuta alla misura della [Z] . 
Infatti esprimendo il singolo elemento della matrice come: 
 
(10)  
  
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
   
        
 
si nota che il calcolo della Z
ij
 va realizzato bloccando tutti gli spostamenti e rotazioni degli 
altri gradi di libertà della struttura, cosa molto difficile da realizzare praticamente. Si 
preferisce quindi l’utilizzo della formulazione duale per risolvere i problemi. 
 
1.1.2 FORMULAZIONE DUALE NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE 
 
Nella formulazione duale si considerano tutti i gradi di libertà, cioè ogni interfaccia é 
presente tante volte quante sono le sottostrutture connesse attraverso quei gradi di libertà. 
La condizione di equilibrio ad ogni coppia di gradi di libertà di interfaccia 
 
(11)  
 
   
  
 
   
     
    
é assicurata attraverso la scelta di: 
 
(12)    
 
   
        
 
   
  .
11 
 
 
L’equilibrio totale può essere assicurato scrivendo le forze di connessione nella forma: 
 
(13)         
 
    
 
dove     sono i moltiplicatori di Lagrange corrispondenti all’intensità delle forze di 
connessione.  La condizione di equilibrio all’interfaccia può essere quindi scritta: 
 
(14)    
 
        
 
   
 
        
 
Dato che le colonne di [B]
T
 fanno parte del nucleo di [L]
T
, l’equazione precedente é 
sempre soddisfatta mentre la (3) diventa: 
 
(15)  
          
 
       
          
 
 
 
Distinguendo i contributi dei differenti sottosistemi, in notazione matriciale, la prima riga 
del precedente sistema può essere scritta come: 
 
(16) 
 
 
 
 
 
  
   
   
   
 
 
  
  
   
   
   
 
 
  
   
    
   
    
 
 
 
 
 
 
 
 
  
   
 
 
  
   
 
    
 
 
  
 
 
 
  
   
 
 
  
   
 
    
 
 
 
 
Per avere la risposta del sistema accoppiato si deve eliminare {λ}. Dalla prima delle (15) si 
ricava {u} che sostituito nella seconda dà          Z 
  
   
T
 
  
    Z 
  
 f . 
Sostituendo questa espressione nella prima delle (15) si ottiene: 
 
(17)           
 
       
  
   
 
 
  
      
  
        
 
 Moltiplicando per [Z]
-1
 si ricava la risposta del sistema accoppiato:
12 
 
(18)         
  
    
  
   
 
       
  
   
 
 
  
      
  
     
 
Nell’equazione  si distinguono: 
 
 [Z]
-1
{f} spostamento libero 
 ([Z]
-1
[B]
T
([B][Z]
-1
[B]
T
)
-1
[B][Z]
-1
){f} spostamento vincolare dovuto alla interface 
flexibility matrix ([B][Z]
-1
[B]
T
). Tale matrice riporta lo spostamento del sistema 
sconosciuto nel sottospazio [B]{u}={0} (Figura 2). 
 
 
Figura 2: spostamento libero e spostamento vincolare 
 
1.2 LA SOTTOSTRUTTURAZIONE E LA DUAL DOMAIN 
DECOMPOSITION 
 
Si consideri un sistema accoppiato formato da un sottosistema sconosciuto A e da un 
sottosistema residuo B uniti da un certo numero di collegamenti. Il sottosistema residuo B 
può essere a sua volta composto da una o più strutture. I gradi di libertà del sistema 
accoppiato possono essere suddivisi in gradi di libertà interni al sistema A (a), in gradi di 
libertà del sistema B (b) e accoppiati (c). La risposta complessa in frequenza della struttura 
A può essere calcolata dalla FRF del sistema accoppiato AB cancellando gli effetti
13 
 
dinamici del sottosistema residuo B. Questo si ottiene aggiungendo al sistema AB un 
sistema fittizio con una rigidezza dinamica opposta a quella del sistema residuo B e 
rispettando le condizioni di equilibrio e compatibilità. In questo modo l’interfaccia tra i 
sottosistemi A e B comprenderà anche i gradi di libertà del sistema - . In quest’ottica per i 
problemi di sottostrutturazione si possono effettuare 2 possibili scelte per i gradi di libertà 
all’interfaccia: 
 interfaccia standard che include solo i gradi di libertà all’interfaccia tra i sistemi A 
e B; 
 interfaccia estesa che include anche alcuni gradi di libertà interni del sistema 
residuo.  
Utilizzando la decomposizione nel dominio duale, l’unione tra il sistema accoppiato A  e 
il sistema fittizio -B (Figura 3) può essere scritta nella forma 
 
(19)  
  
  
      
  
 
 
      
 
   
 
 
 
  
  
   
 
    
  
  
  
 
  
 
 
   
   
  
  
 
  
 
 
   
     
 
 
Figura 3: schema di un problema di disaccoppiamento strutturale 
 
Le matrici [B
AB
] e [B
B
] selezionano i gdl accoppiati nell’insieme totale dei gradi di libertà , 
quale che sia l’interfaccia utilizzata. Eliminando λ dalla (19) é possibile ottenere 
{u}=[H]{f}: