Capitolo 1 - L’affidabilità strutturale
2 2
1.1 Introduzione
La progettazione delle strutture, deve garantire un prefissato livello di sicurezza,
nel periodo di “funzionamento”, cioè, nella vita nominale della struttura. La vita
nominale di una struttura è intesa come il numero di anni nel quale la struttura,
purché soggetta alla manutenzione ordinaria, deve poter essere usata per lo scopo al quale è
stata destinata. ( NTC, 2008 tabella 2.4.I)
N
V
Le NTC individuano possibili valori di in funzione della tipologia di struttura.
N
V
Tabella 1.1. Vita nominale per diversi tipi di opere
Quindi il progettista deve verificare che l’opera assolva la sua funzione, e gli
utenti che usufruiscono di tale opera devono trovarsi in sicurezza.
In questo caso dunque si parlerà di affidabilità della struttura, la quale si può
definire come la capacità della struttura di assolvere la funzione per cui è stata
realizzata (notiamo che per un edificio l’assoluzione della funzione non si riferisce
solo al raggiungimento delle distruzione dell’opera “stato limite ultimo o collasso
strutturale” ma di una qualsiasi condizione che determini il malfunzionamento
del sistema strutturale “stati limite di esercizio”), e per il periodo per cui è stata
concepita .
N
V
Per sicurezza strutturale in genere si intende il grado di protezione di persone e
beni rispetto alle conseguenze del collasso strutturale.
Una struttura deve possedere i seguenti requisiti:
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• Sicurezza nei confronti di stati limite ultimo (SLU): capacità di evitare crolli,
perdite di equilibrio e dissesti gravi, totali o parziali, che possono
compromettere l’incolumità delle persone ovvero comportare la perdita di
beni, ovvero provocare gravi danni ambientali e sociali, ovvero mettere
fuori servizio l’opera;
• Sicurezza nei confronti di stati limite di esercizio (SLE): capacità di garantire le
prestazioni previste per le condizioni di esercizio;
• Robustezza nei confronti di azioni eccezionali: capacità di evitare danni
sproporzionati rispetto all’entità della cause innescanti quali l’incendio,
esplosioni, urti.
Il superamento di uno stato limite ultimo ha carattere irreversibile e si definisce
collasso, mentre il superamento di uno stato limite di esercizio può avere carattere
reversibile o irreversibile;
Ma definiamo più in dettaglio quali sono i principali stati limite ultimi, e quali
invece i principali stati limite di esercizio:
Stati Limite Ultimo (SLU): (si elencano nel par. 2.2.1 delle NTC).
I principali Stati Limite Ultimi sono:
1. perdita di equilibrio della struttura o di una sua parte;
2. spostamenti o deformazioni eccessive;
3. raggiungimento della massima capacità di resistenza di parti di strutture,
collegamenti, fondazioni;
4. raggiungimento della massima capacità di resistenza della struttura nel suo
insieme;
5. raggiungimento di meccanismi di collasso nei terreni;
6. rottura di membrature e collegamenti per fatica;
7. rottura di membrature e collegamenti per altri effetti dipendenti dal tempo;
8. instabilità di parti della struttura o del suo insieme;
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Stati Limite di Esercizio (SLE) : (si elencano nel par. 2.2.2 delle NTC).
I principali Stati Limite di Esercizio sono :
1. danneggiamenti locali (ad esempio eccessiva fessurazione del calcestruzzo)
che possono ridurre la durabilità della struttura, la sua efficienza e il suo
aspetto;
2. spostamenti e deformazioni che possano limitare l’uso della costruzione, la
sua efficienza e il suo aspetto;
3. spostamenti e deformazioni che possano compromettere l’efficienza e
l’aspetto di elementi non strutturali, impianti, macchinari;
4. vibrazioni che possano compromettere l’uso della costruzione;
5. danni per fatica che possano comprometter la durabilità;
6. corrosione e/o eccessivo degrado dei materiali in funzione dell’ambiente di
esposizione;
Bisogna dunque effettuare una serie di verifiche affinché siano garanti questi
requisiti. Il corretto funzionamento della struttura però è determinato da enti
(azioni, proprietà dei materiali, caratteristica della risposta della struttura rispetto
alle sollecitazioni), che sono noti con incertezza, cioè il progettista non è in grado
di determinarli univocamente con assoluta certezza per una serie di motivi. Si
parlerà quindi di aleatorietà (valori noti con incertezza) e ovviamente vi sarà
maggiore sicurezza della struttura quanto meglio sarà possibile quantificare la
variabilità delle grandezze che influenzano il comportamento strutturale.
Proprio perché lo stato di conoscenza di queste grandezze è incerto si parlerà di
numeri aleatori, (molto spesso, impropriamente si parla di variabili aleatorie, definiti
impropriamente, perché questi valori sono dei numeri ben precisi e non variabili)
si pensi ad esempio al valore della resistenza allo snervamento dell’ acciaio in un
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pilastro di una data struttura, esso esiste ed è unico, ma non è noto a meno di
indagini che migliorino lo stato di conoscenza.
A questo punto entra in campo il calcolo della probabilità, il quale ha proprio lo
scopo di rendere matematicamente quantificabile lo stato limitato di conoscenza
relativo ad un certo fenomeno. Quindi si parlerà di affidabilità della struttura,
R(T), intendendo per affidabilità la probabilità che la struttura funzioni
correttamente nell’intervallo di tempo di interesse (0,T).
R(T) = Pr { La struttura non ha raggiunto il collasso prima di T} (1.1)
Il complemento ad uno dell’affidabilità, e dunque, il rischio di raggiungimento di
uno stato limite per cui la struttura non garantisce più le prestazioni necessarie, si
definisce probabilità di collasso .
f
P
=
f
P 1 – R(T) = 1 – Pr {sopravvivenza al tempo T} (1.2)
Una volta accettato il rischio che si può correre, relativo ad una determinata
struttura, si definisce la probabilità di collasso minima che deve avere la struttura
( ); calcolata l’effettiva probabilità di collasso della struttura in esame, bisogna
verificare che:
*
f
P
*
f f
P P ≤ (1.3)
Ovviamente a bassi valori di (case, ponti scuole ecc. ) corrispondono strutture
*
f
P
più costose. Inoltre per una stessa struttura la probabilità di collasso varia in
funzione dello stato limite che si vuole garantire. Ad esempio, è ragionevole che la
probabilità accettata che un solaio vibri troppo (stato limite di esercizio) sia
maggiore della probabilità accettata che lo stesso solaio crolli (stato limite ultimo),
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analogamente la probabilità accettata che crolli un edificio residenziale sia
maggiore di quella di un edificio pubblico a grande affollamento.
1.2 Variabili aleatorie
Abbiamo già accennato al fatto che, il funzionamento di una struttura è regolato
da enti che sono noti con incertezza. Quindi il progettista si trova a confrontarsi
con dei numeri aleatori. Si definisce Funzione distribuzione cumulata (CDF), che si
indica con F(x) una funzione che associa ad ogni valore della variabile aleatoria X,
la probabilità che essa assuma valore inferiore a x (possibile valore della variabile
X).
A tale funzione è associabile il concetto di percentile o frattile, il quale è il possibile
valore della variabile aleatoria associato ad una precisa probabilità di
minoramento, per esempio il quinto percentile della VA resistenza del
calcestruzzo è quel particolare valore della resistenza tale che solo il 5% dei
provini a presentano resistenza inferiore, quindi F(x) = 0,05. Si definisce inoltre
Funzione densità di probabilità (PDF), che si indica con f(x), la derivata di F(x).
f(x) dx = è la funzione che associa ad ogni specifico valore x della variabile
aleatoria X, la probabilità che la VA sia compresa tra x e x+dx.
La funzione densità di probabilità, esprime proprio il fatto che con le tecnologie a
disposizione, non siamo in grado di definire l’esatto valore della variabile (visto
che esiste ed è unico). Per esempio, per conoscere la resistenza a compressione del
calcestruzzo, ci avvaliamo di provini confezionati in cantiere e portati a rottura in
laboratorio. Ora, per il fatto stesso che il calcestruzzo è un materiale realizzato in
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opera mediante il mescolamento di più materiali, senza un rigido controllo di
qualità industriale, le proprietà di tale materiale possono presentare variabilità
significativa. Inoltre i provini vengono realizzati dall’uomo, quindi proprio per
questi motivi, se si confezionano 100 provini, i risultati in termini di resistenza di
questi, saranno tutti differenti, e varieranno in un intervallo di valori.
Figura 1.1. PDF e CDF di una variabile aleatoria uniforme
Esistono molti modelli di VA che si usano comunemente per descrivere le
incertezze di un certo fenomeno. Uno dei modelli più semplici è quello di VA
uniforme la cui PDF è costante in un intervallo e nulla al di fuori di questo.
Parlando in modo grossolano essa rappresenta il caso in cui diamo eguale credito
al fatto che la variabile assuma uno qualunque dei valori nell’intervallo, mentre
siamo certi che non può assumere uno dei valori al di fuori di questo, la PDF e la
CDF di una VA uniforme definita in un intervallo [1,7] sono rappresentate nella
figura 1.1. Notiamo che la CDF vale 0 prima dell’estremo inferiore dell’intervallo
ed è 1 dopo l’estremo superiore. Da ciò deduciamo che l’area sottesa alla f(x) a
sinistra di x è proprio F(x).
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Le variabili aleatorie che tipicamente entrano nella valutazione della sicurezza
delle strutture sono legate ai carichi e alle proprietà dei materiali, le incertezze
sulla proprietà dei materiali possono dipendere, per esempio, dallo stesso
processo produttivo dei materiali. Se si prende per esempio un materiale
eterogeneo come il calcestruzzo la cui produzione spesso è un processo che
avviene a piè d’opera senza un rigido controllo di qualità industriale, le sue
proprietà possono presentare variabilità significativa. Simili considerazioni
possono essere fatte anche per l’acciaio il quale, essendo per sua natura meno
eterogeneo del calcestruzzo e prodotto in stabilimento, gode tipicamente di
incertezza inferiore.
In genere i modelli di variabile aleatoria più utilizzati per caratterizzare le
resistenze di acciaio e calcestruzzo sono le distribuzioni normale (o gaussiana),
lognormale e weibull.
1.2.1 Modello di distribuzione normale (gaussiana)
Figura 1.2. PDF e CDF di una variabile aleatoria gaussiana
Un modello di variabile aleatoria molto utilizzato, per descrivere le incertezze sul
valore della resistenza a compressione del calcestruzzo, è quello di VA gaussiana o
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normale , la cui PDF ha la nota forma a campana. La CDF, nota anche come
funzione di Gauss, è indicata con la lettera Φ .
2
2
1
2
2
1
) (
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅ −
⋅
⋅ ⋅
=
σ
μ
σ π
x
e x f
] , ] +∞ ∞ − ∈ x (1.4)
dx e x x F
x
x
∫
∞ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅ −
⋅
⋅ ⋅
= Φ =
2
2
1
2
2
1
) ( ) (
σ
μ
σ π
Dalla (1.4) si nota che la PDF e la CDF della VA gaussiana dipende da due soli
parametri, i quali sono:
• µ che prende il nome di media (o valore atteso), che è il valore centrale nella
PDF di figura 1.2, cioè è il valore intorno al quale ci si aspetti che si trova il
valore vero della variabile, infatti si nota che sono più probabili i valori
vicini alla media, e meno frequenti quelli più distanti. La media
campionaria si valuta con la relazione 1.5
n
x
n
i
i ∑
=
=
1
μ (1.5)
Dove, nel caso dell’esempio fatto prima, (campione casuale di provini):
n = numero di osservazioni (numero di provini);
=
i
x valore della resistenza dell’iesimo provino;
• σ che prende il nome di deviazione standard, la quale è una misura della
“larghezza” della campana ( è la distanza della media dal punto di flesso
della curva, figura 1.3) e quindi misura l’incertezza sull’assumere come
valore della variabile proprio la media. La deviazione standard si valuta
con la relazione 1.6
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1 10 0
()
1
1
2
−
−
=
∑
=
n
x
n
i
i
μ
σ (1.6)
Dove:
() = − μ
i
x si definisce scarto, differenza fra l’iesimo valore della variabile e la media
Figura 1.3. Deviazione standard di una gaussiana
Figura 1.4. (sx) Bassa dispersione dei risultati; (dx) alta dispersione dei risultati.
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