Verifica dell'ipotesi di contagio tramite Gretl: una analisi empirica degli spillover tra mercati finanziari basata sui modelli Garch

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Introduzione. 
La graduale integrazione delle politiche economiche attuate nei paesi 
industrializzati e la contestuale liberalizzazione dei movimenti dei capitali 
portano inevitabilmente a scaricare sul sistema finanziario una buona parte 
delle anomalie che in certe situazioni interessano i rapporti economici 
internazionali. Ad esempio si può pensare all’effetto sinergico generato dal 
naturale riposizionamento dei creditori comuni dopo uno shock negativo 
particolarmente importante su un certo mercato e dalla rilevanza del 
contenuto informativo di tale evento per le successive analisi di rischio, ma 
in generale si può far riferimento a tutti quei meccanismi che, poichØ 
provocano delle alterazioni nei legami di interdipendenza preesistenti, 
possono intaccare l’affidabilità delle previsioni fornite da un qualsiasi 
modello econometrico costruito in precedenza. I dati finanziari 
rappresentano comunque un campo di osservazione privilegiato per 
individuare empiricamente questo tipo di fenomeni macroeconomici, e 
poichØ non considerano molte delle fluttuazioni dovute alle imperfezioni 
dei mercati, le volatilità dei rendimenti settimanali o mensili possono 
riuscire a sintetizzare, in un certo senso, anche lo stato delle fondamentali 
macroeconomiche. 
Le caratteristiche distributive attribuite in letteratura ai rendimenti 
delle attività finanziarie hanno ispirato nel tempo numerose delle varianti 
comprese nella classe dei modelli ARCH, inizialmente introdotti da Engle 
(1982), e l’estrema parsimoniosità dei modelli GARCH(1,1), dovuti invece 
a Bollerslev (1986), rende questo particolare tipo di specificazioni un 
ottimo punto di partenza per le analisi di una qualsiasi serie storica di dati 
di tal genere. Nel primo capitolo della presente dissertazione si è perciò 
deciso di riassumere brevemente le proprietà di quelli che tra i modelli 
della classe ARCH possono essere considerati i più interessanti dal punto di 
vista delle analisi finanziarie, e di delineare anche quelle tecniche per il 
trattamento dell’eteroschedasticità condizionata che sono appunto fondate 
sull’utilizzo di questo tipo di modelli. Nel secondo capitolo si introducono 
invece alcune delle diverse tematiche legate a tutti quei fenomeni che 
secondo la letteratura economica e finanziaria possono essere compresi nel 
termine “contagio”, prestando particolare attenzione soprattutto al
4 
problema della verifica empirica dell’effettiva presenza di questo tipo di 
anomalie. La medesima ipotesi è valutata nei successivi capitoli terzo e 
quarto su un insieme di dati reali adottando come definizione di contagio lo 
spillover sui rendimenti mensili delle dinamiche osservate su un unico 
mercato di riferimento fissato a priori secondo criteri di comodo. Nei 
modelli bivariati costruiti sulla base dell’ipotesi di questa relazione di 
dipendenza sono state introdotte delle variabili dummy in corrispondenza 
di ciascuno shock negativo individuato sul mercato benchmark, in modo da 
poter dunque verificare l’assenza di fenomeni di contagio semplicemente 
controllando la significatività delle stime ottenute per i rispettivi 
coefficienti. 
La suddivisione dell’analisi empirica su due distinti capitoli è da 
ricondurre invece alla difformità esistente tra il modello teorizzato e le 
possibilità pratiche offerte dalle sole funzioni effettivamente incluse nel 
software adottato: i modelli ad aggregazione degli errori come quello 
descritto da Engle, Ito e Lin (1990), richiedono infatti di poter stimare una 
regressione con disturbi GARCH, in cui il termine di errore della variabile 
indipendente possa essere compreso in entrambe le equazioni, sia quella 
per il valore atteso che quella per la varianza condizionata, e sebbene le 
potenzialità del linguaggio di programmazione del software econometrico 
open-source GRETL di Cottrell e Lucchetti (2000-2008) possano in parte 
abbattere i limiti imposti dai comandi inclusi nel pacchetto applicativo 
fornito con la versione 1.7.5, alcuni problemi di ordine tecnico legati alla 
rigidità richiesta nell’organizzazione delle funzioni avrebbero comunque 
influenzato la complessità di un tale algoritmo. I coefficienti per la 
valutazione degli spillover possono però essere stimati ricorrendo soltanto 
ai comandi inclusi in GRETL secondo una procedura strutturata in due fasi 
(il terzo capitolo è dedicato alle applicazioni preliminari per il trattamento 
dell’eteroschedasticità basate sulla usuale rappresentazione della volatilità 
prevista dai modelli GARCH, mentre la valutazione diretta dei 
comovimenti in volatilità trova spazio solo nel quarto capitolo), e 
potenzialmente tanto più utile quanto più complessa potrebbe risultare la 
programmazione di un modello teorico di dimensioni maggiori.
5 
Capitolo Primo: I Modelli ARCH e GARCH nelle Analisi Finanziarie. 
 
 
 
1.1: Volatilità e Leptocurtosi. 
Buona parte delle misure di incertezza più rilevanti nelle teorie 
economiche moderne sono statisticamente traducibili in termini di 
momenti condizionati del secondo ordine: nonostante esistano in 
letteratura svariati metodi di misurazione delle loro variazioni temporali, le 
componenti di eteroschedasticità che spesso si presentano nelle analisi delle 
serie storiche macroeconomiche e finanziarie, anche nel contesto di una 
matrice di varianze e covarianze costante nel tempo, possono essere prese 
in considerazione servendosi più in particolare di modelli appartenenti alla 
classe ARCH (acronimo per AutoRegressive Conditional Heteroscedastic, 
Engle, 1982). Storicamente la prima applicazione empirica dei modelli 
della classe ARCH riguardò il fenomeno dell’inflazione nel Regno Unito, 
ma la loro capacità di cogliere la dipendenza seriale della volatilità 
(volatility clustering), da tempo ritenuta una delle regolarità empiriche 
salienti nei rendimenti delle attività finanziarie (Mandelbrot, 1963), ha 
gradualmente portato tali specificazioni a diventare uno strumento molto 
diffuso soprattutto nell’ambito delle analisi di rischio, delle scelte di 
portafoglio e della derivazione dei prezzi, in cui l’elevata eteroschedasticità 
dei dati non è altrettanto controllabile tramite le usuali procedure dei 
minimi quadrati. L’adozione di una metodologia black-box, tuttavia, 
nonostante permetta sempre di descrivere e di prevedere i dati in modo 
molto semplice, sarebbe comunque controproducente nel caso in cui invece 
si volesse affrontare anche una loro analisi esplicativa: d’altra parte, una 
scelta di questo tipo può sicuramente trovare una sua giustificazione 
nell’obiettivo della presente dissertazione così come nell’estrema 
complessità del fenomeno da indagare. 
L’assunzione fondamentale che è alla base della costruzione di un 
qualsiasi modello della classe ARCH riguarda la possibilità di poter 
migliorare la previsione introducendo ulteriori informazioni sulle 
osservazioni più recenti nella stima di una varianza condizionata, mentre la
6 
specificazione nel modello di alcune ipotesi aggiuntive sulla forma della 
dipendenza di tale parametro dagli eventi passati permetterebbe inoltre di 
calcolarne la funzione di autocorrelazione. Formalmente si può associare 
un modello della classe ARCH al generico processo stocastico scalare a 
tempo discreto {ε
t
(θ˛ Θ)}, dove Θ˝´ m
, se indicando con θ
0
 il vero valore 
del parametro θ, sono rispettate le due seguenti condizioni (Bollerslev, 
Engle, Nelson, 1994): 

 ad ogni istante t, il suo valore atteso condizionato dalla storia passata 
del processo e dall’informazione disponibile al tempo t-1, è nullo: 
E(ε
t
(θ
0
)|` t-1
)=0 " t; 

 ad ogni istante t, la sua varianza condizionata dipende in modo non 
banale dalla sigma-algebra generata dalle osservazioni passate: 
σ
2
t
(θ
0
)≡Var(ε
t
(θ
0
)|` t-1
)=E(ε
t
2
(θ
0
)|` t-1
)=h(` t-1
;θ
0
) " t. 
Tale definizione può essere estesa anche al processo {ε
t
} che rappresenta 
l’innovazione in un modello più complesso {y
t
}, e più precisamente, 
l’ipotesi di indipendenza di tale errore dalla storia passata del processo, 
completamente nota, permetterebbe di avvalersi in questi casi di una 
relazione additiva y
t
=μ
t
(θ
0
)+ε
t
(θ
0
), in cui il termine μ
t
 indica il valore atteso 
condizionato, ed ε
t
 descrive una componente stocastica la cui varianza 
condizionata σ
2
t
 caratterizza anche il processo {y
t
}. 
Considerando innovazioni di tipo ARCH, da queste si può ottenere 
facilmente un processo {z
t
} a media condizionata nulla e a varianza 
condizionata unitaria e costante nel tempo, standardizzando rispetto alla 
varianza condizionata:  
z
t
(θ
0
)≡ε
t
(θ
0
)·σ
2
t
(θ
0
)
-1/2
. 
Supponendo, per semplicità, che la distribuzione condizionata del processo 
standardizzato {z
t
} sia invariante nel tempo, se esiste finito il momento 
quarto di tale distribuzione allora la disuguaglianza di Jensen assicura che:  
E(ε
t
4
) = E(z
t
4
)·E(σ
t
4
) = E(z
t
4
)·E((σ
2
t
)
2
) ≥ E(z
t
4
)·E(σ
2
t
)
2
 = E(ε
t
2
)
2
 " t. 
Tale disuguaglianza ci dice in particolare che, se le innovazioni 
standardizzate si comportano come un processo gaussiano, e cioè se si 
assume che z
t
(θ
0
)~ N(0,1) " t, allora la distribuzione non condizionata di ε
t
 
deve necessariamente essere una distribuzione leptocurtica perchØ risulta 
caratterizzata da code più alte di quelle della corrispondente distribuzione
7 
normale: di conseguenza, quando σ
2
t
 non è costante nel tempo, e la 
disuguaglianza di Jensen vale perciò in senso stretto, la curtosi in eccesso 
nella distribuzione non condizionata delle innovazioni sarebbe quindi da 
imputare proprio alla presenza di questa componente di eteroschedasticità 
condizionata nel processo {ε
t
}, ma poichØ è notevole che invece rispetto 
alle distribuzioni condizionate il tipo di standardizzazione appena 
introdotto non può in alcun modo incidere sull’indice di curtosi in 
questione per via della validità, in tale contesto, dell’equivalenza 
κ(ε
t
)≡E(ε
t
4
)/E(ε
t
2
)
2
=E(z
t
4
)/E(z
t
2
)
2
=E(z
t
4
) " t, andrebbe sempre considerata 
l’eventualità che anche la leptocurtosi nella distribuzione condizionata di z
t
 
possa essersi trasferita, attraverso le innovazioni condizionate, sulla 
distribuzione di ε
t
. La possibilità di collegare la leptocurtosi nei dati alla 
dipendenza seriale della volatilità attraverso una standardizzazione della 
serie dei residui proprio rispetto a σ
2
t
, in alcuni casi senza avere neanche la 
necessità di specificare una particolare distribuzione che sia caratterizzata 
da un determinato indice di curtosi κ, può quindi essere ampiamente 
sfruttata anche nell’ambito di altre tipologie di modelli per l’analisi della 
varianza condizionata, nonostante l’utilità di tale approccio sia però 
evidente soprattutto per quanto riguarda i rendimenti finanziari, la cui 
leptocurtosi è da tempo nota e documentata (vedi ad esempio Mandelbrot, 
1963, e Fama, 1965). 
 
 
 
1.2: Componenti ARCH Stazionarie. 
Tra le due condizioni utilizzate nel definire i processi ARCH, 
un’osservazione importante riguarda l’ipotesi per cui σ
2
t
 è noto, ad ogni 
istante temporale successivo al tempo t-1, se si conosce completamente la 
storia passata del processo {ε
t
}. Ciò implica, infatti, l’indipendenza della 
varianza condizionata da z
t+k
 " k≥0, e nel caso particolare in cui {z
t
} fosse 
un processo i.i.d., si avrebbero dunque innovazioni non autocorrelate: 
γ
t
(k) ≡ Corr(ε
t
,ε
t-k
) ≡ E(ε
t
·ε
t-k
) = E(σ
t
·z
t
·σ
t-k
·z
t-k
) =  
= E(z
t
) · E(σ
t
·σ
t-k
·z
t-k
) = 0 " k≥0.
8 
Sotto l’ipotesi per cui {z
t
}~ i.i.d., se E(ε
t
2
) esiste finito ed è costante nel 
tempo, le innovazioni {ε
t
}~ ARCH sono quindi un processo white-noise, 
cioè sono incorrelate, a media nulla, e a varianza finita e costante, ma non 
sono necessariamente indipendenti tra loro: di conseguenza, le 
specificazioni ARCH stazionarie in covarianza possono essere utilizzate in 
modo adeguato nel descrivere la componente di varianza condizionata 
nell’ambito di un modello più complesso, ma soltanto nei casi in cui la 
dipendenza lineare tra i residui può essere considerata assente. 
Volendo associare a σ
2
t
 una media ponderata basata sulle 
informazioni disponibili e sulla loro importanza, si può postulare che la 
varianza condizionata, al tempo t, sia una funzione lineare delle precedenti 
p innovazioni quadratiche, in modo cioè che i parametri del modello 
possano riflettere quindi gli effetti di ciascuna delle osservazioni passate su 
tale parametro. La relazione temporale di cui si parla può essere espressa in 
forma compatta utilizzando nella notazione un polinomio lineare 
nell’operatore ritardo L (per definizione vale che L
i
·x
t
=x
t-i
):  
σ
2
t
 = w + Σ
i˛ {1..p}
[a i
·ε
t-i
2
] = w + Σ
i˛ {1..p}
[a i
·L
i
·ε
t
2
] ≡ w + a (L)
p
·ε
t-1
2
. 
É comunque necessario che la varianza condizionata sia strettamente 
positiva, e a questo scopo può essere utile avvalersi nella specificazione del 
modello di una nota condizione, sufficiente per σ
2
t
>0, data da un insieme di 
vincoli di positività, molto semplici, da imporre ai parametri da stimare:  
w >0; 
a i
≥0 " i˛ {1..p}. 
Osservando l’espressione formale che quindi definisce nella pratica un 
modello ARCH, se ne può perciò dedurre la non linearità:  
ε
t
 = z
t
·σ
t
 = z
t
 · [w +a (L)
p
·ε
t-1
2
]
1/2
 " t;  
{z
t
}~ i.i.d.; 
w >0; a i
≥0 " i˛ {1..p}.  
Inoltre, poichØ σ
2
t
 può essere comunque interpretato come un previsore di 
ε
t
2
, semplicemente considerando i residui ν
t
≡ε
t
2
-σ
2
t
=(z
t
2
-1)·σ
2
t
 si può 
dimostrare che una qualsiasi rappresentazione ARCH(p) per {ε
t
} implica 
necessariamente che {ε
t
2
}~ AR(p): 
ε
t
2
 = w + a (L)
p
·ε
t-1
2
 + ν
t
.
9 
I residui della previsione sarebbero infatti serialmente incorrelati e a media, 
condizionata e non condizionata, nulla, proprio perchØ deve risultare che 
{z
t
}~ i.i.d., e la corrispondenza formale si avrebbe quindi nei casi in cui la 
varianza non condizionata dei residui appena ottenuti esiste finita ed è 
costante. Di conseguenza, sotto l’ipotesi che {ν
t
}~ WN, condizionatamente 
eteroschedastico, si avrebbe l’opportunità di sfruttare il fatto che la 
stazionarietà in covarianza per {ε
t
2
}~ AR(p) implica la medesima proprietà 
anche per le innovazioni {ε
t
}~ ARCH(p): 

 condizione di stazionarietà in covarianza: un processo {ε
t
}~ ARCH(p) 
è stazionario in covarianza se e solo se $a (L)
p
-1
, cioè se e solo se le 
radici della corrispondente equazione caratteristica (1-Σ
i˛ {1..p}
[a i
·x
i
]=0) 
sono tutte esterne al cerchio immaginario di raggio unitario: |x
j
|>1 " j; 
sotto tale condizione la varianza non condizionata del processo {ε
t
} può 
essere ottenuta ricorrendo alla sua rappresentazione equivalente come 
processo {ε
t
2
}~ AR(p) e alla corrispondente formula per il valore atteso: 
E(ε
t
2
)=w /(1-Σ
i˛ {1..p}
a i
)≡w /(1-a (1)
p
) " t. 
Per ottenere un processo {ε
t
}~ ARCH(p) stazionario in covarianza 
nell’ambito della già citata condizione sufficiente per σ
2
t
>0, è dunque 
necessario e sufficiente imporre un valore strettamente positivo anche al 
denominatore di E(ε
t
2
): 
a (1)
p
<1. 
Le caratteristiche teoriche dei processi ARCH, tuttavia, non possono essere 
sfruttate pienamente nelle applicazioni empiriche perchØ spesso la 
lunghezza del ritardo per cui una data osservazione ha un effetto sulla 
varianza condizionata può portare alla proliferazione dei parametri del 
modello. Per ovviare a questo inconveniente è però possibile utilizzare una 
rappresentazione approssimativa del processo che possa essere 
caratterizzata da un numero ridotto di parametri da stimare: ricorrendo ad 
esempio ai modelli ARCH generalizzati, meglio noti come modelli 
GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedastic, 
Bollerslev, 1986), le osservazioni meno recenti possono essere incluse 
ricorsivamente nella relazione che lega la varianza condizionata alla storia 
passata del processo, semplicemente attuando una riparametrizzazione del 
modello per σ
t
 rispetto anche ai suoi valori passati. Più precisamente,
10 
seguendo tale approccio, la varianza condizionata può essere approssimata 
considerando la funzione:  
σ
2
t
 = w +Σ
i˛ {1..p}
[a i
·ε
t-i
2
]+Σ
j˛ {1..q}
[β
j
·σ
2
t-j
] ≡ w +a (L)
p
·ε
t-1
2
+β(L)
q
·σ
2
t-1
. 
Per imporre la positività stretta si può ricorrere ad una condizione 
sufficiente per σ
2
t
>0 data in questo caso (Nelson e Cao, 1992) dal 
contemporaneo verificarsi di:  
w >0;  
a i
≥0 " i˛ {1..p};  
β
j
≥0 " j˛ {1..q}. 
Applicando tali vincoli ai parametri, una condizione necessaria e 
sufficiente per la stazionarietà in covarianza del processo 
{ε
t
}~ GARCH(p,q) è che:  
[a (1)
m
+β(1)
m
] < 1. 
Ciò deriva dall’osservazione che, poichØ i modelli GARCH possono essere 
visti come rappresentazioni parsimoniose di un modello ARCH(∞), sotto 
l’ipotesi che {z
t
}~ i.i.d. esiste una corrispondenza formale tra il processo 
{ε
t
}~ GARCH(p,q) ed il processo {ε
t
2
}~ ARMA(m≡max{p,q},q): 
ε
t
2
 = w + a (L)
p
·ε
t-1
2
 + β(L)
q
·(ε
t-1
2
-ν
t-1
) + ν
t
 =  
= w + [a (L)
p
+β(L)
q
]·ε
t-1
2
 + ν
t
 - β(L)
q
·ν
t-1
. 
Tale implicazione, che si verifica ancora nei casi in cui i residui {ν
t
} sono a 
varianza non condizionata finita e costante, permette di derivare la 
seguente: 

 condizione di stazionarietà in covarianza: un processo 
{ε
t
}~ GARCH(p,q) è stazionario in covarianza se e solo se 
$ [a (L)
p
+β(L)
q
]
-1
, cioè se e solo, introducendo formalmente i |p-q| 
parametri mancanti e ponendoli tutti uguali a zero, le radici 
dell’equazione caratteristica (1-Σ
i˛ {1..m}
[(a i
+β
i
)·x
i
]=0) sono tutte esterne 
al cerchio immaginario di raggio unitario: |x
j
|>1 " j; sotto tale 
condizione la varianza non condizionata del processo {ε
t
} può essere 
ottenuta ricorrendo alla sua rappresentazione equivalente come processo 
{ε
t
2
}~ ARMA(m,q)  e alla corrispondente formula per il valore atteso: 
E(ε
t
2
)=w /(1-Σ
i˛ {1..m}
[a i
+β
i
])≡w /(1-[a (1)
m
+β(1)
m
]) " t. 
Perciò, applicando i già esposti vincoli di varianza strettamente positiva, se 
la somma di tutti i parametri del modello GARCH specificato, esclusa
11 
comunque la costante w , risulta strettamente minore all’unità, allora la 
varianza non condizionata di {ε
t
} deve necessariamente esistere finita, e per 
via dell’assunzione di parametri costanti nel tempo, tali condizioni sono 
anche sufficienti. Soprattutto quando si analizzano dati finanziari ad alta 
frequenza di campionamento specificandone le componenti di 
eteroschedasticità condizionata con un modello di tipo GARCH, può però 
accadere che la stima della sommatoria [a (1)
m
+β(1)
m
] sia troppo vicina 
all’unità: di conseguenza, mentre la varianza non condizionata risulterebbe 
comunque abbastanza elevata per via di un denominatore quasi nullo, la 
presenza di almeno una radice unitaria nel polinomio autoregressivo 
rispecchierebbe inoltre una teoria di persistenza degli shock su {σ
2
t
}. Per 
evitare che ad ogni nuova osservazione sia necessaria una revisione delle 
previsioni della varianza condizionata ad ogni orizzonte futuro, e per 
ridurne anche la variabilità non condizionata, sarebbe perciò consigliabile 
in questi casi il ricorso ai modelli GARCH integrati, anche noti come 
modelli IGARCH (Integrated GARCH, Engle e Bollerslev, 1986), 
ottenendoli semplicemente considerando l’ulteriore restrizione: 
a (1)
m
 + β(1)
m
 = 1. 
Tale tipo di specificazione riesce a catturare la presenza della componente 
di non stazionarietà in covarianza nella forma di un processo integrato per 
l’eteroschedasticità condizionata, e più in particolare, considerando ad 
esempio un modello GARCH(1,1), la radice unitaria nell’equazione 
caratteristica porterebbe, di fatto, all’implicazione di un processo 
{ε
t
2
}~ I(1), stazionario nelle differenze prime, la cui componente stocastica 
sarebbe data ancora da un processo condizionatamente eteroschedastico del 
tipo white-noise. 
 
 
 
1.3: Verifica della Presenza di Eteroschedasticità Condizionata. 
Esistono svariati metodi che si propongono di accertare l’effettiva 
esistenza di componenti di eteroschedasticità condizionata nel processo 
generatore dei dati, e tra questi il più noto è riconducibile all’utilizzo dei 
moltiplicatori di Lagrange nella costruzione, appunto, di un test LM per il
12 
controllo della significatività di almeno uno tra tutti i p parametri ARCH 
considerati nel modello per {ε
t
}, escludendo da tale verifica il termine 
d’intercetta w (Engle, 1982). La disponibilità delle stime di massima 
verosimiglianza per il modello che incorpora gli effetti di eteroschedasticità 
condizionata, specificato sotto l’ipotesi alternativa, renderebbe inoltre 
possibile il calcolo numerico di un test di Wald, mentre l’applicazione di un 
test del rapporto di verosimiglianza, nonostante rappresenti spesso una 
soluzione molto potente, può comunque risultare difficoltosa soprattutto 
per quanto riguarda la conoscenza della distribuzione della statistica test in 
questione sotto l’ipotesi nulla. 
Il test LM di Engle si basa fondamentalmente sul calcolo dell’indice 
di determinazione lineare R
2
 di una regressione lineare degli ultimi T 
termini del processo {ε
t
2
}, su una costante c e sui valori ritardati 
corrispondenti alle p osservazioni precedenti del medesimo processo, cioè 
sulle variabili {c, ε
t-1
2
, ε
t-2
2
, .., ε
t-p
2
}, ed è utilizzabile nei confronti di un 
qualsiasi processo {ε
t
}~ WN così come di una serie di residui quadratici 
stimati da un eventuale modello più complesso, solamente nei casi in cui la 
distribuzione condizionata del processo da valutare risulti essere anche 
gaussiana: se, ad esempio, il processo {y
t
} potesse essere approssimato 
sotto l’ipotesi nulla con un modello lineare costruito su un insieme di 
regressori strettamente esogeni e di variabili dipendenti ritardate, sarebbe 
infatti possibile ottenere il vettore dei parametri β, e quindi anche la serie 
dei residui ε
t
, avvalendosi delle stime OLS calcolate su un campione di T+p 
unità statistiche, o equivalentemente ricorrendo ancora alle stime ML. In 
breve, la prova consiste nel considerare una particolare proprietà di 
convergenza che è valida nei casi in cui è rispettata H
0
: a i
=0 " i˛ {1..p}: 
T·R
2
 → χ
2
(p)
 in distribuzione. 
Allo stesso modo si può formulare un test F per la verifica della 
significatività dei parametri del modello ARCH specificato per le 
innovazioni {ε
t
}, sfruttando ancora la regressione ausiliaria da cui è stato 
ottenuto R
2
, basandosi su un’altra delle convergenze che sussistono sotto 
l’ipotesi nulla di non significatività di tali parametri: 
F ≡ (R
2
/p)/[(1-R
2
)/(T-(p+1))] → F
(p, T-p-1)
 in distribuzione.