Realizzazione di un azionamento per motore Brushless per il controllo di un pendolo inverso su carrello

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 Introduzione 
 
Lo scopo del lavoro è di realizzare un azionamento per motore Brushless a FEM trapezia. 
Per tale ragione è stato scelto come problema di controllo assai noto e usato come esempio in 
numerosi corsi di controlli automatici: il problema del pendolo inverso. Il motore brushless 
ha il compito di mantenere in equilibrio l’asta del pendolo annullando l’effetto dei disturbi 
esterni. La tesi è organizzata come segue:
 Capitolo 1 
Il sistema pendolo 
In questo capitolo introduttivo si presenta per sommi capi il contenuto della tesi. Sarà 
pertanto una descrizione generale dell’intero sistema evidenziando l’obiettivo di progetto, le 
parti che lo compongono e le problematiche da affrontare . 
1.1  Descrizione del sistema 
Esistono diverse tipologie di pendolo inverso. In Figura1-1 è riportato lo schema 
di principio del pendolo inverso su carrello oggetto del presente studio. Esso è 
composto da una base mobile su cui è incernierata un‟asta rigida. Il carrello è libero di 
traslare su una guida lungo un‟unica direzione; l‟asta, vincolata al carrello mediante una 
coppia cilindrica, è montata a sbalzo e può ruotare liberamente sull‟intero angolo giro. 
L‟obiettivo è quello di stabilizzare l‟asta nella sua posizione verticale superiore instabile 
agendo sulla posizione del carrello. Il sistema è mosso da un motore brushless a FEM 
trapezia attraverso una cinghia di trasmissione, che induce una coppia di controllo 
sull‟asta incernierata, tale da contrastare quella dovuta alla forza di gravità che la 
farebbe cadere. Le altre coppie del sistema sono in prevalenza dovute ai fenomeni di 
attrito. 
 
 
Figura 1-1 Principio di funzionamento.
Il sistema pendolo Capitolo 1 
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1.1.1 Pendolo 
L‟asta del pendolo è costituita da un profilato cilindrico di alluminio dove 
l‟estremità inferiore è rigidamente collegata a un albero che, ruotando in appositi 
cuscinetti, realizza una coppia cilindrica ad un solo grado di libertà. Allo stesso albero è 
calettato per mezzo di un giunto, un sensore potenziometrico in grado di rilevare la 
posizione angolare dell‟asta rispetto alla verticale del carrello. La rotazione dell‟asta 
provoca evidentemente una variazione della resistenza del sensore che un opportuno 
circuito di condizionamento converte in un segnale elettrico proporzionale allo 
spostamento angolare. 
 
1.1.2 Carrello 
Il carrello in Figura1-2 è costituito da un corpo in materiale plastico che può 
scorrere, grazie al rotolamento di cuscinetti a sfere su una guida di scorrimento. Sulla 
sommità del carrello hanno sede gli alloggiamenti dei cuscinetti che realizzano la 
coppia cilindrica dell‟asta. 
Sulla parte inferiore del carrello è fissata la cinghia di trasmissione che trasferisce 
attraverso una coppia di pulegge il moto dal motore al carrello stesso. La posizione di 
quest‟ultimo lungo la guida è misurata attraverso un encoder incrementale calettato 
sull‟albero motore 
 
 
 
Figura 1-2 Carrello con asta incernierata.
Il sistema pendolo Capitolo 1 
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1.1.3 Guida 
La guida è costituita da un particolare profilo metallico in grado di permettere il 
rotolamento dei cuscinetti calettati sul carrello. Vicino alle estremità della guida sono 
posizionati dei microinterruttori di fine corsa, la chiusura di uno dei due segnala che il 
carrello è arrivato alla sua massima escursione ammissibile e disattiva l‟alimentazione 
delle fasi del motore. 
 
 
 
Figura 1-3 Sistema di movimentazione. 
 
 
1.1.4 Riduttore 
Il moto di rotazione del motore non è direttamente fornito alla puleggia che sposta 
il carrello, ma tra essi è interposto un riduttore realizzato da una coppia di pulegge di 
diverso diametro come evidenziato in Figura1-3. Il motivo di tale scelta risiede nelle 
caratteristiche del motore brushless in dotazione, in quanto esso è in grado di generare 
piccole coppie ma grandi velocità, l‟inserimento di un riduttore di velocità avrà l‟effetto 
positivo di aumentare in modo considerevole la coppia fornita al carrello. 
 
1.1.5 Motore 
Il motore è un brushless a FEM trapezia. Al suo interno sono istallati 3 sensori ad 
effetto hall sfasati di 120° che consentono di risalire alla posizione del rotore per poter 
fornire una corretta commutazione delle fasi con una risoluzione di 60°. E‟ anche 
installato all‟interno del motore un encoder incrementale a 255 impulsi/giro, ma non 
sarà utilizzato nella nostra applicazione.
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1.1.6 Azionamento 
Per controllare il motore brushless useremo un inverter trifase che si interfaccia 
con una scheda di sviluppo dedicata al controllo motori. L‟inverter permette di essere 
gestito via software in ogni sua parte, inoltre mette a disposizione del controllo dei 
segnali proporzionali alle correnti e alle tensioni in uscita mediante sensori ad Effetto 
Hall e resistenze di Shunt. 
 
1.1.7 Controllo 
L‟intero sistema viene controllato via software attraverso un microcontrollore 
della serie dsPIC30F. Quest‟ultimo è montato su una scheda di sviluppo, riportata in 
Figura1-4, avente diverse periferiche dedicate al Motion control. L‟attività di tesi ha 
comportato la scrittura di un software in linguaggio C per il microcontroller per gestire 
l‟intero sistema.  
 
 
 
Fgura 1-4 Inverter e scheda di sviluppo. 
 
 
1.1.8 Attività della tesi 
Per poter giungere all‟obiettivo, l‟attività è stata suddivisa in varie fasi: 
 Definizione del modello matematico del sistema 
 Verifica della raggiungibilità e osservabilità del sistema 
 Ricerca di una legge di controllo in ambiente Matlab 
 Simulazione del sistema in ambiente Matlab Simulink 
 Analisi dei risultati teorici e valutazione della fattibilità del sistema reale
Il sistema pendolo Capitolo 1 
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 Realizzazione del sistema meccanico 
 Realizzazione dei trasduttori di posizione 
 Discretizzazione del sistema di controllo elaborato in Ambiente Matlab 
 Studio dell‟architettura del micro controller dsPIC30F6010 
 Studio della scheda dsPICDEM MC1 Motor Control Development Board 
 Studio dell‟architettura dell‟inverter dsPICDEM 3-Phase HV Power Module 
 Stesura del software di controllo in ambiente Mplab IDE 
 Messa in scala dei trasduttori in accordo con il software sviluppato 
 Prove sperimentali
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1.2 Analisi in prima approssimazione 
Andiamo alla ricerca di un modello approssimato del pendolo inverso trascurando 
sia le forze di attrito che la massa del carrello, che non verranno inizialmente 
considerate. 
I sistemi di riferimento di asta e carrello sono stati orientati come in Figura1-5, la 
posizione angolare dell‟asta è nulla nel punto di equilibrio instabile superiore, il verso 
positivo è quello antiorario, mentre per quanto riguarda le coordinale lineari del 
carrello, la posizione è nulla al centro della guida, il verso positivo è da sinistra a destra. 
In particolare si hanno: 
 �� ,�� , ��  Posizione velocità e accelerazione del carrello  
 �� ,�� ,
 
�� 
  Posizione velocità accelerazione angolare dell‟asta 
 J Momento di inerzia dell‟asta rispetto all‟asse di rotazione 
 m Massa totale costituita dall‟asta e dalla massa applicata alla sommità 
 g Accelerazione di gravità 
 l Lunghezza equivalente del pendolo 
 G Centro di gravità 
 
 
Fgura 1-5 Forze agenti sul pendolo. 
 
 
Scriviamo ora l‟equazioni di equilibrio (1-1) dei momenti ( �� 0
= 0) rispetto al centro 
di rotazione „o‟del pendolo. Le forze esterne che agiscono sul sistema sono due: 
 la prima, è la forza peso del pendolo 
 la seconda, indotta dall‟accelerazione del carrello
Il sistema pendolo Capitolo 1 
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 �������������� − ���� 
+ ���� ���������� = 0 (1-1) 
 
 
Entrambe le coppie sono dipendenti in modo non lineare dall‟angolo �� tramite le 
funzioni sin�� , cos�� . Queste non linearità possono essere ignorate nell‟ipotesi che �� 
assuma valori “molto prossimi” alla posizione di equilibrio �� ≈ 0 che corrisponde alla 
posizione in cui si intende stabilizzare il pendolo. In tal caso e solo in tal caso valgono 
le approssimazioni: 
 
 
 sin�� ≈ ��  (1-2) 
 cos�� ≈ 1  (1-3) 
 
 
L‟equazione (1-1) può essere riscritta come: 
 
 
 �������� − ���� 
+ ���� �� = 0 (1-4) 
 
 
per il calcolo della funzione di trasferimento (f.d.t) dobbiamo passare dal dominio del 
tempo al dominio delle frequenze, applichiamo quindi la trasformata di Laplace 
all‟equazione (1-4): 
 
 
 �������� ��  − ���� 2
�� ��  + ��ℒ ��  ��  �� = 0 (1-5) 
 
 
Ora non resta che fissare i parametri di ingresso e di uscita. Visto l‟obiettivo di 
tenere l‟asta in equilibrio in funzione della posizione del carrello, ne consegue che 
l‟angolo θ sarà l‟uscita e l‟accelerazione ��  l‟ingresso. 
La funzione di trasferimento  �� �� =
�� �� 
ℒ ��  ��  
 tra l‟accelerazione del carrello e la 
posizione dell‟asta risulta essere quindi: 
 
 
 �� �� =
���� ���� 2
−������ (1-6) 
 
 
Dal polinomio caratteristico si può osservare come il sistema sia caratterizzato da 
due poli reali simmetrici rispetto allo zero, si verifica cioè che, nell‟intorno di �� = 0 il
Il sistema pendolo Capitolo 1 
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sistema è localmente instabile. Il fatto è verificabile sperimentalmente in quanto l‟asta, 
in evoluzione libera, tende ad allontanarsi definitivamente dalla posizione �� = 0.   
 
 
 �� 1,2
= ± 
������ �� (1-7) 
 
 
Il modello (1-4) può essere rappresentato dallo schema a blocchi riportato in Figura 1-
6. Si noti la retroazione intrinseca positiva. 
 
 
 
Figura 1-6 schema a blocchi sistema pendolo 
 
 
Fin‟ora abbiamo solo provato l‟instabilità della sola asta capovolta, come era 
d'altronde intuibile. Nei prossimi capitoli lo studio sarà rivolto alla ricerca di un modello 
più preciso che include le restanti parti meccaniche ed elettroniche.