Interazioni deboli di neutrino e loro applicazioni in fisica astroparticellare

Introduzione
In natura tutti i fenomeni fisici possono essere ricondotti a quattro intera-
zioni fondamentali tra particelle che, in ordine di intensita`decrescente,sono
dette: forte (nucleare), elettromagnetica, debole e gravitazionale.
Tutte quante var iano con la distanza tra i corpi interagent i , ma quel la che a
noi interessa in questa tesi e`l’interazionedebolechesidifferenziadall’intera-
zione forte (oltre che per l’intensita`) poiche`agiscetratuttiitipidiparticelle.
Essa causa i decadimenti di molte particelle instabili in leptoni e adroni piu`
stabili come elettroni, neutrini e protoni.
Inoltre e`l’unicainterazionechepu`ovariarelacaricadelleparticelleintera-
genti (la carica totale e`comunqueinvariante),cambialafamiglia(sivedano
iquark“downtype”eilmescolamentoCKM),haunpiccoloraggiod’azione,
un piccolo range energetico e a differenza di tutte le altre interazioni, non
produce stati legati (l’interazione forte giustifica la formazione dei nuclei,
l’eletromagnetica unisce atomi e molecole, la gravita`attraelemassefinoa
scale astronomiche).
Ineutrini,rilevatiperlaprimavoltadaC.L.CowaneF.Reinesnel1956([1]
e[2]),hannolaparticolarit`adiinteragiresolodebolmente,perch`eprividi
carica elettromagnetica, per questo in tutto il mondo sono stati costruiti e si
stanno costruendo rivelatori sotterranei di neutrini, le ragioni di tale impegno
sono molteplici.
Oltre agli aspetti puramente fisici delle interazioni di queste particelle, la loro
bassa reattivita`(interazionesolodebole)lirendeportatoridiinformazioni
di interese cosmologico, astrofisico e geofisico:
• L’oscillazione del neutrino e quindi l’esistenza di masse non nulle e di-
verse, delle 3 famiglie leptoniche, sono una delle ragioni fondamentali
per ritenere che esista della fisica oltre il Modello Standard.
• Come la radiazione cosmica di fondo puo`rivelarcimoltosullastoria
dell’universo, cosi i neutrini prodotti dal Big Bang possono aggiungere
dati alla nostra conoscenza della materia che esso contiene (Materia
i
ii Introduzione
Oscura, evoluzione dell’universo, antimateria mancante).
• L’astrofisica e l’astronomia moderna fanno ormai grande uso delle os-
servazioni sui fasci di neutrini atmosferici per comprendere meglio le
reazioni nucleari che avvengono nel Sole e nelle stelle in generale.
Per esempio la gran parte dell’energia di una supernova collassante (la
densita`delnucleoraggiunge10
14
g
cm
3
)vieneirradiatainformadineu-
trini, prodotti quando i protoni e gli elettroni del nucleo si combinano
aformareneutroni.
Questa reazione produce un flusso considerevole di neutrini.
La prima prova sperimentale di questo fatto si ebbe nel 1987, quando
vennero rivelati i neutrini provenienti dalla supernova 1987a.
• L’uso in geofisica e`pi`urecentemadestinatoadaumentareesibasasui
successi ricavati in astrofisica, l’obbiettivo e`quellodiriuscireamappare
il sottosuolo (in particolare le concentrazioni di
232
Th e
238
U).
Irivelatoridineutrini(dettianchetelescopidineutrini)disolitocontengono
centinaia di tonnellate di materiale, costruito in modo tale che pochi atomi
al giorno interagiscano con i neutrini entranti.
Due telescopi attivati di recente, particolarmente prolifici, sono Borexino e
Super-Kamiokande:
Figura 1: Struttura e fotografia di Borexino.
• Borexino e`unrivelatorecostruitoailaboratorinazionalidelGranSasso
con degli scintillatori ultrapuri, chepermettediosservareglielettroni
oipositroniurtatidaneutrinioantineutriniconenergiealdisottodel
ii
iii
MeV ed anche i prodotti finali del decadimento β inverso (inverse β
decay IBD).
In particolare dopo lo scattering ν¯
e
p −→ e
+
n il neutrone uscente vie-
ne rivelato quando interagisce con iprotoni“liberi”all’internodel
telescopio: np→ Dγ.
Figura 2: Struttura e fotografia di Super-Kamiokande.
• Super-Kamiokande e`statocostruitodopoiltelescopioKamiokande(en-
trambi a Kamioka in Giappone) e puo`rilevareparticellecaricheultra-
relativistiche per mezzo di rivelatori Cerenkov.
Il limite inferiore di rilevazione degli elettroni e positroni prodotti dai
neutrini e antineutrini e`dicirca5MeV .
In questa tesi studieremo alcune reazioni interessanti per questi e altri rive-
latori:
• leptonici elastici:
νe
−
−→ νe
−
ν¯e
−
−→ ν¯e
−
• semileptonici elastici e quasi elastici:
νp −→ νp
ν¯
e
p −→ e
+
n
iii
iv Introduzione
Figura 3: il neutrino o l’antineutrino urtando un elettrone atomico produce
l’evento rilevabile nella direzione del suo impulso (σ
ES
∝ G
2
F
m
e
E
ν
,studiato
nel capitolo 2).
Figura 4: la IBD e`unprocessoquasiisotropico,haunasogliaminimadi
E
ν
=1, 8MeVσ
IBD
∝ G
2
F
m
p
E
ν
>>σ
ES
ed e`trattatoindettaglionel
capitolo 6.
L’obiettivo finale di questo lavoro e`quellodicalcolareconprecisionelese-
zioni d’urto dei canali considerati.
Il tutto sara`fattoevidenziandogliandamentiinenergiaeacosacorrispon-
dono fisicamente i diversi contributi nelle espressioni delle sezioni d’urto.
Nel primo capitolo individueremo il settore del Modello Standard che descri-
ve la fisica di cui ci occuperemo e le approssimazioni che ha senso adottare.
Nel secondo considereremo i canali con urti elastici, del tipo neutrino-leptone
enericaveremolesezionid’urtoadeguateallebasseenergie.
Nel terzo quantificheremo il numero di eventi che caratterizzano la ricer-
ca sperimentale dei neutrini, nel caso del flusso derivante dalla reazione
7
Be + e
−
→
7
Li + ν
e
all’interno del Sole.
Nel quarto, come preambolo ai due capitoli successivi, ci occuperemo dell’ap-
proccio con cui si calcolano le sezioni d’urto dell’interazione neutrino-quark,
indispensabile nei processi semileptonici neutrino-nucleone.
Successivamente nel quinto capitolo ci concentreremo sui processi neutrino-
nucleone, a basse energie, in particolare introdurremo la teoria dei fattori di
forma e poi studieremo in dettaglio il processo a correnti neutre νp→ νp.
Nel sesto ed ultimo capitolo tratteremo il IBD (ν¯
e
p → e
+
n)eilprocesso
analogo νn→ e
−
p.
iv
vPer questi processi troveremo l’errore percentuale piu`precisoepi`uaggior-
nato rispetto a quelli presenti in letteratura, grazie ai piu`recentivaloridei
parametri caratteristici.
Figura 5: Immagine del sole ottenuta con scattering elastico νe
−
−→ νe
−
da
Super-Kamiokande
v
vi Introduzione
vi
Capitolo 1
Interazione debole
La scienza rappresenta in un
certo senso, la crescita del
genere umano, e sostituisce le
fantasie animistiche con un
mondo esterno oggettivo. ...
La realta`hainserbomeraviglie
ben piu`grandidituttelefavole
dell’Oriente, dandoci in cambio
per il nostro perduto senso di
onnipotenza una qualche
conoscenza del mondo esterno,
un notevole controllo e una
certa responsabilita`perlenostre
vite, e anche un tocco di umilta`.
Alan Cromer
L’eresia della scienza
In questo capitolo, dopo un breve sguardoalModelloStandard,delimiteremo
il settore, le particelle e gli accoppiamenti che sono coinvolti nei canali di
interazione di cui ci occuperemo successivamente.
Inoltre circoscriveremo l’attenzione sull’ordine di grandezza in cui la teoria
abasseenergiee`efficace,concentrandocisulcomportamentodellecorrenti
deboli.
1
2Interaziodbl
1.1 Interazione universale di Fermi
Nel 1896 Becquerel osservo`cheicristallidiuraniopostiacontattoconun
film fotografico lo contaminano, negli anni a seguire Becquerel, Kaufmann
eRutherforddimostraronochel’uranio,comealtrimateriali,emetteraggi
carichi e veloci (raggi β), che sono elettroni con velocita`prossimeaquella
della luce.
Oggi noi sappiamo che tali elettroni provengono dal decadimento del pro-
toattinio in uranio
234
91
Pa −→
234
92
U, piu`altriprodottididecadimento.
Con l’introduzione del concetto modernodistrutturaatomica(nubeatomi-
ca) intorno al 1910, si ipotizzo`cheglielettroniemessineldecadimentoβ
dovessero essere presenti nel nucleo anche prima del decadimento.
Tuttavia secondo i l model lo di Bohr glielettronidell’atomosidovrebbero
muovere principalmente su orbite “piuttosto distanti” dal nucleo.
Con la scoperta del neutrone nel 1932 (Chadwick) divenne chiaro che l’elet-
trone e`generatoquandoilneutronediventaprotone(n → p
+
+ e
−
)perla
conservazione della carica elettromagnetica.
Altra difficolta`nellacomprensionedeldecadimentoβ era l’apparente viola-
zione del principio di conservazione dell’energia, ossia nel bilancio energetico
del processo mancava una parte dell’energia iniziale: n → p + e
−
⇒ E
n
>
E
p
+ E
e
−.
Nel 1930 Pauli propose l’esistenza di un ulteriore particella emessa nel de-
cadimento, oggi sappiamo che tale particella e`l’antineutrino(Q
ν
= Q
ν¯
=
0;m
ν
= m
ν¯
% 0):
n −→ p+ e
−
+ν¯
e
Avendo il neutrone, il protone e l’elettrone tutti spin
!
2
,perconservazione
del momento angolare il neutrino ha lo stesso spin.
Nel 1934 Fermi estese l’idea di Pauli a tutti i decadimenti β assumendo che
nella Hamiltoniana del sistema ci fosse un termine di interazione contenente
le funzioni d’onda di tutte le particelle libere del processo:
1
H
F
= H
0
n
+H
0
p
+H
0
e
+H
0
ν
+
∑
i
C
i
∫
d
3
x(
¯
ψ
p
ˆ
O
i
ψ
n
)(
¯
ψ
e
ˆ
O
i
ψ
ν¯
e
)
Gli
ˆ
O
i
sono le matrici che caratterizzano il decadimento e che sono pesati
1
per le soluzioni dell’equazioni di Dirac si veda Appendice C.2, per la rappresentazione
di Dirac l’Appendice B.5.
2
1.1 Interazione universale di Fermi 3
dalle costanti C
i
.
Dal termine di interazione si ricava la costante di accoppiamento tra correnti,
ben nota in elettrodinamica.
Qui il termine corrente e`moltogenerale,pu`oessereperesempiounacorrente
vettoriale
ˆ
O
i
= γ
µ
,ounoscalare
ˆ
O
i
=1,inognicaso
ˆ
O
i
deve essere una
matrice di spin 4x4.
La H
F
trasforma come la componente temporale di un quadrivettore e
∫
d
3
x
indica l’integrazione sulla coordinate spaziali x
1
,x
2
,x
3
.
Allora (
¯
ψ
p
ˆ
O
i
ψ
n
)(
¯
ψ
e
ˆ
O
i
ψ
ν
)deveessereunoscalarediLorentz.
Sotto queste condizioni generali
ˆ
O
i
puo`esserescrittain16modidiversi:
2
ˆ
O
i
proprieta`ditrasformazione
¯
ψ
ˆ
O
i
ψ numero di matrici
1 scalare (S) 1
γ
µ
vettore (V) 4
σ
µν
=
i
2
[γ
µ
,γ
ν
] nsT 6
γ
µ
γ
5
vettore assiale (A) 4
γ
5
pseudoscalare (P) 1
Nel decadimento β dei nuclei il protone e il neutrone hanno velocita`non
relativistiche, quindi si puo`consideraresololapartenucleonicadellaH
F
.
Per lo stesso motivo:
Ψ =
(
φ
χ
)
S,V
T,A
P













v<<c
−−−→









φ
φ
+
p
φ
n
φ
+
p
)σφ
n
0
Icasiincuilospinnonvariasonodettitransizioni:
di Fermi: S,V→ φ
†
p
φ
n
; di Gamow-Teller: T,A→ φ
†
p
)σφ
n
negli altri casi lo spin del nucleo che decade cambia, cio`significachesipos-
sono avere solo gli accoppiamenti: S-T o S-A o V-T o V-A.
Di tutti questi l’unico accoppiamento in accordo con le misure dell’interazio-
ne debole e`ilV-A.
2
Appendice D.
3
4Interaziodbl
Idatisperimentalisullevitemediedimoltinucleiindicanochelecostanti
dei due tipi di transizioni sono approsimativamente uguali alla costante di
Fermi:
G
F
=1, 166· 10
−11
MeV
−2
Dal 1938 ad oggi sono stati osservati molti decadimenti, tutti con questa
costante di accopiamento:
µ
±
→ e
±
+ ν
e
µ
+ν¯
µ
e
pi
±
→ µ
±
+
ν
µ
ν¯
µ
K
±
→ pi
0
+ µ
±
+
ν
µ
ν¯
µ
Λ
0
→ p + e
−
+ν¯
e
etc.
In questo senso si parla di interazione universale di Fermi,responsabiledel
decadimento β di molte particelle instabili.
Piu`precisamentel’interazionediventauniversaleconl’introduzionedellama-
trice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (vedi 1.7), che rimescola gli autostati
dell’interazione forte corrispondenti aiquarkditipodown,rendendoliauto-
stati dell’interazione debole.
L’idea di Fermi sul decadimento β puo`essereespressainterminidiuna
densita`diLagrangianaefficacedeltipo:
L
eff
= −
G
F
√
2
{
[
¯
ψ
p
(x)γ
λ
ψ
n
(x)][
¯
ψ
e
(x)γ
λ
ψ
ν¯
e
(x)]+
+[
¯
ψ
ν¯
e
(x)γ
ρ
ψ
e
(x)][
¯
ψ
n
(x)γ
ρ
ψ
p
(x)]
}
con la scoperta della violazione di parita`(LeeeYang1956,Wuetal.1957)
si arrivo`allaformulazionedellateoriaV-A(FeinmaneGell-Mann1958[3],
Sudarshan e Marshak 1958, Sakuray 1958),cheprendendospuntodaldeca-
dimento β eriprendendoilconcettodicorrente (vedi la corrente elettroma-
gnetica j
α
(x)=e
¯
Ψ(x)γ
α
Ψ (x)) ha la forma:
L
eff
= −
G
F
√
2
J
†
λ
(x)J
λ
(x)+hermitianoconiugato
4
1.1 Interazione universale di Fermi 5
in questa forma la corrente contiene sia il contributo leptonico sia quello
adronico:
J
λ
(x)=J
lλ
(x)+J
hλ
(x)
dove:
J
λ
l
(x)=
¯
ψ
ν¯
e
(x)γ
λ
(1− γ
5
)ψ
e
(x)+
¯
ψ
ν
µ
(x)γ
λ
(1− γ
5
)ψ
µ
(x)(1.)
J
λ
h
(x)=
¯
ψ
u
γ
λ
(1− γ
5
)ψ
d
θ
+
¯
ψ
c
γ
λ
(1− γ
5
)ψ
s
θ
/
ψ
d
θ
= ψ
d
cos θ
c
+ ψ
s
sin θ
c
ψ
s
θ
= ψ
s
cos θ
c
− ψ
d
sin θ
c
(1.2)
qui la teoria postulava l’esistenza del quark charm (Bjorken-Glashow 1964)
protagonista del mecanismo GIM (Glashow-Iliopoulos-Maiani 1970), i con-
tributi della terza famiglia leptonica
(
ν
τ
τ
)
edegliadroni
(
t
b
)
sono omessi
perche`quandoe`stataformulatalateoriaquesteparticellenoneranoprevi-
ste, tuttavia nei capitoli successivi li considereremo.
Allo stesso modo nella sua prima formulazione la teoria non prevedeva la pos-
sibilita`dicorrentineutreovverodiprocessicomeνX → νX,infattiJ
l
,J
h
sono correnti esclusivamente cariche.
Queste ultime corrispondono a processi bilineari nel campo fermionico da cui
si ricava l’operatore di proiezione dell’elicita`(1− γ
5
).
Tutto c io`equivaleadirechesoloifermionileft-handed sono presenti nelle
correnti deboli:
¯
ψγ
λ
(1− γ
5
)ψ =2
¯
ψ
L
γ
λ
ψ
L
Se ci limitiamo al leading order la L
eff
concorda con i dati sperimentali
della maggior parte dei processi deboli a basse energie, tuttavia ci sono due
difficolta`strutturalicherendonolateoriadebolediFermiinappropriata:
• La teoria non e`rinormalizzabile(L
eff
e`unoperatorea6dimensioni,o
piu`semplicementeG
F
ha la dimensione di una (massa)
−2
,quindiicon-
tributi di ordini superiori sono sempre piu`divergentienonridefinibili
in un numero finito di parametri bare ).
3
3
Nel 1957 Schwinger propose l’idea di unificare leinterazionielettromagneticheedeboli,
nel 1958 Glashow sugger`ıchelateoriarinormalizzabilefosseconseguentementeunificatrice
5
6Interaziodbl
• Violazione di unitarieta`(perl’unitariet`a σ(J =1)∝ s
−1
tuttavia esi-
stono processi che per la L
eff
hanno: σ(ν
µ
e → ν
e
µ) ∝ s), si veda [4]
capitolo 11.2 “The unitarity argument”.
Tutte queste problematiche sono r iso l te ne l b en pi u`ampioModelloStandard
che descrive tutte le particelle note e le interazioni forte, elettromagnetica e
debole.
Le ultime due sono rappresentate nel settore elettrodebole di tale modello.
1.2 Il Modello Standard
Il Modello Standard della fisica delle particelle elementari (MS) e`unateoria
quantistica di campo rinormalizzabile, basata sulla simmetria di gauge non
abeliana SU(3)
C
×SU(2)
L
×U(1)
Y
.
Come si puo` notare, il gruppo di simmetria del MS e`ilprodottodirettodi
tre gruppi indipendenti, ognuno con la propria costante di accoppiamento.
Tale gruppo ha 8 + 3 + 1 = 12 generator i , e le trasformazioni ag iscono sui
campi fondamentali.
SU(3)
C
e`ilgruppodicoloredelleinterazionifortitraquarkegluoni,elateo-
ria che da esso deriva prende il nome di cromodinamica quantistica (QCD).
SU(2)
L
×U(1)
Y
descrive le interazioni elettrodeboli, ed in seguito alla rottura
spontanea di simmetria attraverso il meccanismo di Higgs si riduce al gruppo
di gauge della QED U(1)
Q
,associatoallacaricaelettricaQ.
In una teoria di gauge ad ogni generatore t e`associatounbosonevettore
(bosone di gauge) con gli stessi numeri quantici di t,inoltretalebosoneha
massa nulla se la simmetria e`esatta.
Tal i part ice l le d i spin 1 agiscono come i mediator i de l la corr i spondente inte-
razione.
Nel MS ci sono otto gluoni non massivi associati ai generatori di SU(3), men-
tre per SU(2)×U(1) ci sono i quattro bosoni di gauge W
±
, Z eilfotoneγ.
Di questi, solo il fotone e`amassanulla,poich`elasimmetriaindottadagli
altri tre generatori e`spontaneamenterotta.
La QCD e`unateoriadigaugenonabelianaesatta.
La richiesta che essa sia una teoria di gauge rinormalizzabile basata sul grup-
enel1961proposeilmodelloasimmetriaSU(2)×U(1).
Tuttavia in questo modo la teor ia non era r inormal izzabi le se le masse dei bosoni vettor i
erano inserite “manualmente”,ilmeccanismodiHiggscheassegna tali masse e salvaguarda
la rinormalizzabilita`fuformulatodaWeinbergnel1967eSalamnel1968.Perquestola
teoria standard (IVB) e`dettadiWeinberg-SalamoGlashow-Weinberg-Salam.
6
1.2 Il Modello Standard 7
po SU(3)
C
,incuiicampideiquarksonotriplettidicolore,fissalalagrangiana
nella forma:
L
QCD
= −
1
4
8
∑
a=1
F
aµν
F
a
µν
+
n
f
∑
j=1
q¯
j
(iγ
µ
D
µ
−m
j
)q
j
q
j
sono i campi spinoriali associati ai quark di n
f
sapori differenti con masse
m
j
;laderivatacovarianteD
µ
e`:
D
µ
= ∂
µ
+ ig
s
8
∑
a=1
T
a
G
a
µ
dove g
s
e`lacostantediaccoppiamentoforte,G
a
µ
sono i campi di gauge
gluonici e T
a
igeneratoridiSU(3)nellarappresentazionefondamentaledei
quark.
Igeneratoriobbedisconoall’algebradiLie[T
a
,T
b
]=if
abc
T
c
,dovef
abc
sono
le costanti di struttura completamente antisimmetriche di SU(3).
Il tensore di campo dei gluoni e`:
F
a
µν
= ∂
µ
G
a
ν
− ∂
ν
G
a
µ
− g
s
f
abc
G
b
µ
G
c
ν
Nella procedura di quantizzazione bisogna aggiungere alla lagrangiana un
termine di gauge fixing e uno associatoaighosts,chenelformalismofun-
zionale sorgono in modo naturale durante l’eliminazione dei gradi di libert a`
ripetuti e associati all’invarianza di gauge della teoria.
1.2.1 Settore elettrodebole
Come detto in precedenza, le interazioni deboli ed elettromagnetiche sono
descritte dal gruppo SU(2)
L
×U(1)
Y
.
Le interazioni elettromagnetiche coinvolgono tutte le particelle cariche, e sono
mediate dallo scambio di fotoni, la versione quantizzata del campo elettro-
magnetico classico.
Le interazioni deboli sono coinvolte in processi che vanno dalla radioattivit a`
β che rende instabili alcuni nuclei, alle reazioni termonucleari che alimentano
le stelle, fino ai decadimenti degli adroni e delle particelle elementari.
Tutte le interaz ioni de i neutr in i finora osservate sono esc lus ivamente debol i .
La piccola intensita`dell’interazionedebolee`imputabileallemassepesanti
che i mediatori W
±
e Z hanno rispetto alle scale di energia in gioco nei fe-
nomeni finora osservati.
7