Modelli matematici e soluzioni numeriche per flussi di miscele di gas perfetti

Introduzione 
Scopo di questa tesi è quello di presentare un modello fisico-matematico e 
la sua soluzione numerica, per l’analisi di flussi di miscele non reagenti di 
gas perfetti euleriani, monodimensionali e non stazionari. 
Negli ultimi anni tale problema è stato ampiamente studiato, per il suo 
rilievo in molte applicazioni. Nel nostro caso lo studio è motivato 
dall’analisi del transitorio di ignizione della fase di combustione di un SRM 
(Solid Rocket Motor). Ai fini di un’accurata previsione del transitorio di 
ignizione di un SRM non è sufficiente considerare i soli gas derivanti dalla 
combustione del propellente; oltre ai gas prodotti dalla combustione del 
propellente, dobbiamo considerare i gas immessi in camera di combustione 
dall’ignitore al fine di accendere il grano di propellente solido ed il gas 
pressurizzante, posto in camera di combustione prima dell’accensione del 
grano allo scopo di creare una lieve sovrapressione rispetto all’ambiente 
esterno. In [6] viene chiarita l’importanza del gas pressurizzante dal punto 
di vista della fenomenologia fisica che caratterizza il transitorio di ignizione 
di un SRM. Test sperimentali condotti sul prototipo Zefiro 16 dell’ SRM 
Vega hanno mostrato la presenza di oscillazioni della pressione totale sulla 
sezione di testa del motore. Tali oscillazioni sono pericolose in quanto 
possono tradursi in carichi transitori sulla struttura e sul carico utile. Uno 
studio condotto tramite il codice SPIT, ha mostrato la natura gasdinamica di 
queste oscillazioni e che un rimedio per eliminarle è quello di cambiare il 
gas pressurizzante ovvero di utilizzare l’elio in luogo dell’azoto. Infatti, 
l’evoluzione del campo fluidodinamico in camera di combustione è simile a 
quella di un problema di Riemann in un tubo d’urto: il getto immesso in 
camera di combustione dall’ignitore genera onde di compressione che 
coalescono eventualmente in un urto, seguito da una discontinuità di 
contatto separante i gas caldi, immessi in camera di combustione 
dall’ignitore, dal gas pressurizzante freddo. La fenomenologia fisica che 
caratterizza il transitorio di ignizione di un SRM è determinata 
dall’interazione fra adduzione di massa dell’ignitore e la geometria della 
camera di combustione o, equivalentemente, dall’interazione con le 
variazioni dell’area di porta della discontinuità di contatto e dell’urto. 
Utilizzando l’elio come gas pressurizzante, l’interazione della discontinuità 
di contatto con le variazioni dell’area di porta avviene in un campo di 
pressione circa uniforme in quanto l’elio è caratterizzato da un elevata 
velocità di propagazione dei disturbi (circa 1150m/s a temperatura 
ambiente), molto maggiore della velocità, indotta dal getto dell’ignitore, a 
cui si muove la discontinuità di contatto. Essendo la velocità di 
propagazione maggiore, il segnale proveniente dal getto dell’ignitore 
propaga più rapidamente nel campo. Questo ha l’effetto di eliminare le 
oscillazioni della pressione. Utilizzando l’elio, in luogo dell’azoto, le 
oscillazioni sono eliminate e quindi viene ridotta l’influenza del gas 
pressurizzante sul transitorio di ignizione. Questo chiarisce l’importanza del 
gas pressurizzante dal punto di vista della fenomenologia fisica che 
caratterizza il transitorio di ignizione di un SRM e quindi l’importanza di 
uno studio delle miscele. Per quanto riguarda lo studio delle miscele è 
ampiamente utilizzata una estensione (modello termodinamico standard) 
delle equazioni di Eulero in forma conservativa, valide per un sistema 
4 
monocomponente, nella quale si utilizzano le equazioni di bilancio della 
massa delle singole specie, l’equazione di bilancio della quantità di moto 
della miscela e l’equazione di bilancio dell’energia della miscela con 
l’aggiunta della seguente formulazione per il calcolo del rapporto dei calori 
specifici della miscela: 
K
ccp

kk
k1
 
K
ccv
kk
k1
 dove le c rappresentano le frazioni in massa dei componenti ovvero la 
k
composizione della miscela. 
Simulazioni numeriche hanno tuttavia mostrato che, con questo tipo di 
approccio, la pressione non resta uniforme attraverso discontinuità di 
contatto non stazionarie separanti gas diversi e con diversa temperatura. In 
alternativa al precedente modello è stato proposto un modello (modello 
Gamma) nel quale vengono utilizzate le equazioni di bilancio della massa, 
della quantità di moto e dell’energia della miscela con l’aggiunta di una 
equazione di evoluzione del rapporto dei calori specifici, in forma 
conservativa, per il calcolo del rapporto dei calori specifici della miscela: 

u0 
tx
 Tuttavia anche per questo modello, le simulazioni hanno mostrato che la 
pressione non si mantiene uniforme attraverso discontinuità di contatto non 
stazionarie separanti differenti gas. Il problema, in entrambi i casi, è la 
determinazione impropria del rapporto dei calori specifici della miscela. Il 
valore medio del rapporto dei calori specifici ottenuto con le due precedenti 
formulazioni non è quello necessario a preservare la pressione attraverso la 
discontinuità di contatto. Ci sono stati numerosi tentativi di risolvere il 
problema. Sempre restando nell’ambito di un approccio del tipo Shock 
capturing, un contributo significativo è stato apportato da Abgrall, che in 
[1], propone un approccio quasi conservativo, per prevenire le oscillazioni 
di pressione in flussi multicomponenti. In tale approccio si utilizzano le 
equazioni di bilancio della massa, della quantità di moto e dell’energia della 
miscela e si aggiunge, la seguente equazione in forma non conservativa: 

u0 
tx
 5 
1
con . 
1
 L’introduzione di questa equazione consente di determinare un valor medio 
del rapporto dei calori specifici della miscela in grado di preservare 
l’uniformità della pressione attraverso la discontinuità di contatto. 
Successivamente Jenny, Muller e Thomann hanno proposto una correzione 
per Conservative Euler Solvers [2]. In tale approccio si commette un errore 
sull’energia interna il quale è tuttavia confinato in vicinanza delle superfici 
materiali, svanisce quando la temperatura è uniforme e nel caso di un 
sistema monocomponente. La correzione implica che soltanto l’energia 
totale perda la sua conservatività. Wang, Anderson, Oakley, Corradini e 
Bonazza, partendo dal presupposto che il problema non è rappresentato 
dalla formulazione conservativa, hanno proposto un approccio 
completamente conservativo nel quale alle equazioni di bilancio della 
massa, della quantità di moto e dell’energia della miscela si aggiunge la 
seguente equazione in forma conservativa: 

u0 
tx
 
con . 

1
 Tale modello tuttavia funziona correttamente solo se la densità è uniforme 
attraverso la discontinuità di contatto. 
In questa tesi, sempre restando nell’ambito di un approccio del tipo Shock 
capturing, vengono determinati e discussi ulteriori modelli, in aggiunta a 
quelli noti in letteratura. 
La tesi è strutturata come segue: 
 Nel capitolo 1, dopo aver presentato il modello fisico-matematico della 
miscela, discutendo le relazioni di salto per una miscela viene determinato 
il vincolo che deve essere soddisfatto attraverso una discontinuità di 
contatto e quindi viene derivato il modello discreto corretto utilizzando 
uno schema Shock capturing. Da tale modello vengono ottenuti altri 
modelli tramite approssimazioni e varianti. 
 Nel capitolo 2 viene esaminato in dettaglio il comportamento di tutti i 
modelli, inclusi quelli noti in letteratura, per discontinuità di contatto 
isolate. 
 Nei capitoli 3 e 4 vengono presentate simulazioni numeriche di 
discontinuità di contatto isolate e di problemi di Riemann. 
6 
1. MODELLI PER MISCELE DI GAS PERFETTI 
1.1 Equazioni di bilancio 
Oggetto di interesse è la definizione di un modello matematico continuo e 
discreto che consenta di simulare flussi multicomponente di fluidi 
comprimibili. 
Per semplicità di esposizione, consideriamo flussi 1D, non stazionari ed 
euleriani (assenza di scambio termico e viscosità), ma la trattazione analitica 
è valida anche per problemi multidimensionali. 
Come noto, per un flusso monocomponente, il modello matematico è 
rappresentato dalle equazioni di Eulero: 
UFU
0 1.1 
tx
 nelle quali rappresenta il vettore delle variabili conservate ed  il 
UFU
vettore dei flussi: 
u


2
Uu F(U)pu 1.2 


ehu

 Abbiamo indicato con  la densità, con p la pressione, con u la velocità, 
con e e con h, rispettivamente, l’energia totale (somma dell’energia interna 
e dell’energia cinetica) e l’entalpia totale (somma dell’entalpia interna e 
dell’energia cinetica) per unità di massa. 
Risulta valida la seguente relazione fra l’entalpia interna h e l’energia 
i
interna e per unità di massa: 
i
 p
he 1.3 
ii

 Se il gas è termicamente perfetto, risulta valida l’equazione di stato: 
pRT 1.4 
7 
Nel caso in cui il gas sia, oltre che termicamente, anche caloricamente 
perfetto, valgono le seguenti equazioni: 
ecvT 1.5 
i
 hcpT 1.6 
i
 con i calori specifici a pressione e volume costante cp e cv dati dalle: 
R
cv 1.7 
1
 R
cp 1.8 
1
 dove RR/M è la costante del gas (rapporto fra la costante universale 
o
dei gas R ed il peso molecolare M) e  è il rapporto dei calori specifici, 
o
definito come: 
cp
 1.9 
cv
 I calori specifici a pressione e volume costante risultano legati dalla 
seguente relazione: 

cpcvR 1.10 
Possiamo dunque esprimere l’energia e l’entalpia totale per unità di volume 
secondo una delle seguenti espressioni: 
11p1
222
eeucvTuu 1.11 
i
2212
 11
22
hhueppucpT 
i
212
 1
2
u 1.12 
2
 8 
Il sistema 1.1 con le 1.2 è costituito da tre equazioni in tre incognite. Le 
tre incognite sono rappresentate dalla densità, dalla velocità e dall’energia 
totale per unità di massa. 
Note l’energia totale, la densità e la velocità, possiamo calcolare la 
pressione dall’equazione: 
1

2
p1eu 1.13 

2

 detta a volte equazione di stato, per estensione. 
Il sistema di equazioni 1.1 con le 1.2, valido per un flusso 
monocomponente, può essere direttamente esteso al caso di un flusso 
multicomponente considerando “grandezze di miscela”. A tal fine 
assumiamo che i gas componenti la miscela abbiano uguale velocità e 
temperatura (i componenti sono fra loro in equilibrio termico) quindi pari a 
quelle della miscela e che le grandezze rispettino le definizioni riportate in 
seguito. 
Data una miscela costituita da K gas termicamente e caloricamente perfetti, 
la densità della miscela è fornita dalla relazione: 
K
 1.14 

k
k1
 nell’ipotesi in cui i K gas occupino lo stesso volume pari al volume della 
miscela. 
Infatti, in tal caso: 
K
m
k
KK
m
m
k1k
 
k
VVV
k1k1
 La pressione della miscela è fornita dalla legge di Dalton: 
K
pp 1.15 
k
k1
 dove le p sono le pressioni parziali, definite come: 
k
 pRT 1.16 
kkk
 9 
e la è la pressione che avrebbe il gas se occupasse da solo il 
pkesimo
k
volume a disposizione. 
Le frazioni in massa dei componenti sono definite dalle relazioni: 

k
c k1,...,K 1.17 
k

 Risultano valide per l’energia interna e per il calore specifico a volume 
costante della miscela le seguenti relazioni: 
 
ecvT1.18
i
 K
cvccv 1.19 
kk
k1
 Infatti risulta: 
K
ee 
iki
k
k1
 e, considerando le 1.17: 
K
ece 1.20 
iki
k
k1
 Se i gas componenti la miscela sono termicamente e caloricamente perfetti, 
la 1.20 si può scrivere come: 
K
eccvT 
ikk
k1
 Se anche la miscela è un gas termicamente e caloricamente perfetto risulta 
valida la 1.18 che, sostituita nella precedente, fornisce: 
K
cvTccvT 
kk
k1
 10 
e quindi la 1.19. 
Procedendo in maniera analoga, per l’entalpia interna e per il calore 
specifico a pressione costante della miscela, troviamo: 
hcpT 1.21 
i
 K
cpccp 1.22 
kk
k1
 Infatti risulta: 
K
 
hh

ikik
k1
 e, considerando le 1.17: 
K
hch 1.23 
ikik
k1
 Se i gas componenti la miscela sono termicamente e caloricamente perfetti, 
la 1.23 si può scrivere come: 
K
hccpT 
ikk
k1
 Se anche la miscela è un gas termicamente e caloricamente perfetto risulta 
valida la 1.21 che, sostituita nella precedente, fornisce: 
K
cpTccpT 
kk
k1
 e quindi la 1.22. 
Per la costante della miscela vale la relazione: 
K
RcR 1.24 
kk
k1
 11 
Infatti, utilizzando le 1.15, 1.16 e 1.17: 
KKKK
ppRTcRTTcR 
kkkkkkk
k1k1k1k1
 Se la miscela è un gas termicamente perfetto risulta: 
pRT 1.25 
che,sostituita nella precedente, fornisce la 1.24. 
Risulta valida la seguente relazione fra i calori specifici: 
cpcvR 1.26 
Infatti, utilizzando la 1.22, possiamo scrivere: 
KKKK
cpccpccvRccvcR 
kkkkkkkkk
k1k1k1k1
 dalla quale, grazie alle 1.19 e 1.24, otteniamo la 1.26. 
Nella precedente abbiamo utilizzato la: 
cpcvR 1.27 
kkk
 Il rapporto dei calori specifici della miscela, considerate le 1.19 e 1.22, 
è fornito dalla relazione: 
K
ccp
kk
cp
k1
 1.28 
K
cv
ccv
kk
k1
 I calori specifici a pressione e volume costante, per la 1.26, sono dati 
dalle: 
12 
R
  
cv1.29
1
 R
cp 1.30 
1
 nelle quali valgono le definizioni di  e di R sopra riportate per la miscela. 
Risulta valida la relazione: 
p
  
he1.31
ii

 Applicando infatti le 1.18, 1.21,1.25 e 1.26 abbiamo: 
p
hcpTcvRTcvTRTe 
ii

 La pressione, la temperatura e la velocità del suono sono fornite dalle stesse 
relazioni valide nel caso di flusso monocomponente: 
1

2
peu1 1.32 

2

 p
T 
R
 ap/ 1.33 
nelle quali valgono le definizioni di  e di R sopra riportate per la miscela. 
Infatti, per ciascun gas, in virtù della 1.11, possiamo scrivere: 
2
u

ee k1,...,K 
kkkikk
2
 Per la miscela: 
13 
KK2K2K

uu
eeecvT 
kkkikkkk
k

22
k1k1k1k1

 22
KK
uuR
ecvTcvTT 
kkk
221
k1k1
 22
upu
 
212
 dove abbiamo tenuto conto delle 1.14, 1.17, 1.19, 1.25 e 1.29. 
Per quanto riguarda la velocità del suono della miscela, ricordiamo che, per 
definizione, risulta: 
p
2

a 1.34 

ρ

S
 Nell’ipotesi di mescolamento isotermico delle specie e se ogni specie 
occupa lo stesso volume, risultano valide le 1.15 e 1.16 e quindi: 
KK


pp

kk

dpdpddT 


kk

T
k1k1
k
Tk
 K
dpRTdRdT 1.35 
kkkk
k1
 E’ possibile ricavare un’espressione per il dT a partire dalla: 
K
ee 
ikik
k1
 Infatti, differenziando tale equazione, si trova: 
KKK
ded(e)deed 
ikikiik
kkk
k1k1k1
 14 
KK
 
decvdTed

ikkikk
k1k1
 dalla quale otteniamo, tenendo presente le 1.17 e 1.19: 
K
1
dTdeed 

iikk
cv
k1
 che, sostituita nella 1.35 assieme alle 1.17 e 1.24, fornisce: 
KK
R
dpRTddeed 
kkiik
k
cv
k1k1
 K
RR

dpRTedde 1.36 


kikki
cvcv

k1
 D’altra parte: 
K

ppp
2

ach 

ki


e
k1
ki
S
 che, tenendo presente la 1.36, fornisce: 
K
RR

2
aRTech 

kiki
k
cvcv
k1
 la quale può essere riscritta nel modo seguente: 
KK
R
2
acRThce 
kkiki
k
cv
k1k1
 
Utilizzando le 1.3, 1.4, 1.23, 1.24, 1.25 e 1.29, possiamo 
scrivere: 
15 
K
R
2
 
aRTche

kikik
cv
k1
 K
Rp
2
aRTcRTRT1RTRT 
kk
cv
k1
 che prova la 1.33. 
Considerando “grandezze di miscela”, otteniamo un sistema che è 
formalmente identico al sistema valido nel caso di un singolo componente. 
Tuttavia, nel caso di un flusso multicomponente, il sistema costituito dalle 
equazioni di Eulero con l’aggiunta dell’equazione di stato del gas (assunto 
termicamente e caloricamente perfetto) non costituisce un sistema chiuso in 
quanto il rapporto dei calori specifici della miscela e la costante del gas 
(miscela) non sono costanti note, essendo funzioni della composizione della 
miscela che è incognita. 
Per modellizzare flussi multicomponente, una possibilità è considerare, in 
luogo dell’equazione di bilancio della massa della miscela, le equazioni di 
bilancio della massa dei componenti in quanto, note le densità dei 
componenti, è possibile ricostruire la densità della miscela e quindi le 
frazioni in massa ovvero la composizione della miscela. Tale modello è noto 
come modello termodinamico standard. 
In particolare, per due componenti, possiamo scrivere il sistema di 
equazioni 1.1 considerando i seguenti vettori delle variabili conservate e 
dei flussi: 
u
11

u

22
U F(U) 1.37 
2

upu


ehu

 Sommando le prime due equazioni del sistema, otteniamo l’equazione di 
conservazione della massa per la miscela: 
u
0 1.38 
tx
 essendo: 
 1.39 
12
 Risultano valide le seguenti definizioni: 
16 
ccpccp
1122
  
1.40
ccvccv
1122
 RcRcR 1.41 
1122
 con: 

1
 c 
1

 
2
 c 
2

 1.2 Propagazione ondosa 
Scriviamo il sistema 1.1 con le 1.37 nella forma quasi lineare: 
UU
A0 1.42 
tx
 Il precedente sistema, in forma estesa, risulta: 
u

11
u0
1

txx


u
22
u0
2

txx
 
uu1p

u0
txx

ppu

up0

txx
 U
La matrice A che moltiplica il vettore è la seguente: 
x
 17 
u00
1

0u0
2
 A
1
00u



00pu

 Per calcolare gli autovalori di questa matrice imponiamo che si annulli il 
determinante: 
AI 0 
ovvero che: 
u00
1
0u0
2
 0 
1
00u

00pu 
Imponendo tale condizione, otteniamo: 
p
2
uuu0 



 Il sistema bifluido è un sistema strettamente iperbolico con direzioni di 
propagazione: 
1
 ua 1.43 
23
 u 1.44 
4
 ua 1.45 
dove l’autovalore u ha molteplicità due. 
Le onde semplici generate associate sono: 
nn
dldU 1.46 
18