Dinamiche caotiche nel modello preda-predatore di Volterra-Lotka

Capitolo 1
Risultati preliminari
In questa sezione introduciamo la teoria elementare dei sistemi dinamici,
le definizioni ed i risultati principali che serviranno nelle argomentazioni di
questa tesi.
1.1 Sistemi dinamici continui
n
Definizione 1. Un sistema dinamico continuo in un aperto W ⊆ Rè
un’equazione differenziale ordinaria autonoma
dX
_
X ==F (X)
dt
n1
ove F è un campo vettoriale definito su W a valori inRdi classe C.
Le soluzioni possono essere definite solo in un sottoinsieme diR. Se l’insieme
di definizione di una soluzione è tutto R, chiamiamo orbita la traiettoria
descritta da tale soluzione.
Osservazione 2. Un sistema non autonomo:
(
_
X =F (X,t)
X(t) =X
00
può essere trasformato nel sistema autonomo di dimensione superiore ma
equivalente:
8
_
>
Y =G(Y )
>
<
 !
t
0
>
>Y (0) =
:
X
0
dove
 !
t
Y =
X
1
2CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
 !
1
G(Y ) =
F (Y )
Definizione 3. Dato un sistema dinamico continuo
_
X =F (X)
in un aperto W, si chiama punto di equilibrio un punto S 2 W tale che
F (S) = 0.
Osservazione 4. Un punto di equilibrio è la traiettoria di una soluzione
costante, dunque un’orbita.
Teorema 5. Se una certa soluzione X(t) di un sistema dinamico continuo
ha limite per t! +1 e questo limite è il punto P2W allora P è un punto
di equilibrio del sistema. Analogamente per i limiti a−1.
Dimostrazione. SiaY (t)lasoluzioneconcondizioneinizialeP. Perilteorema
di esistenza ed unicità essa esiste unica ed è definita almeno in un intervallo
t
dilunghezzaT > 0 abbastanzapiccolo. Ilflusso integrale Φ, ossiala famiglia
di applicazioni, parametrizzata dalla variabile t, che ad ogni punto Q di W
associa il valore della soluzione di condizione iniziale Q al tempo t, dipende
con continuità da Q; dunque:
TT
Φ(P ) = Φ( limX(t)) = limX(t +T ) =P.
t!+1t!+1
Questo significa che il punto P è l’immagine di una soluzione costante ovvero
è un punto di equilibrio.
D’orainavanti, salvoindicazionicontrarie, parleremodisistemadinamico
continuo sottointendendo le notazioni fin qui usate come quella dell’aperto
1
W su cui il sistema è definito o del campo F supposto di classe C.
1.2 Analisi della stabilità
Definizione 6. Un puntoP2W si dice attrattivo se esiste un intornoU di
P (contenuto inW) tale che per ogni condizione inizialeX2U, la soluzione
0
X(t) ad essa corrispondente converge a P per t! +1.
Osservazione 7. Per il teorema 5 un punto attrattivo è un punto di equili-
brio.
1.2. ANALISI DELLA STABILITÀ3
Definizione 8. Un punto P 2 W si dice stabile se per ogni intorno U di
P esiste un intorno V di P tale che per ogni condizione iniziale in V la
corrispondente soluzione è contenuta in U per ogni t≥ 0. Si intende che
U,V⊆W.
Osservazione 9. Un punto stabile deve essere necessariamente un punto
di equilibrio. Ragioniamo per assurdo: se P2 W rispettasse la definizione
di stabilità ma non fosse un punto di equilibrio allora la soluzione con con-
dizione iniziale P non sarebbe costante ovvero esisterebbe un certo S6= P,
T
S = Φ(P ). Dunque esisterebbe un intorno U di P non contenente S. Al-
lora qualunque intorno V di P conterrebbe ovviamente P ma la soluzione
con condizione iniziale P non potrebbe stare in U per ogni t≥ 0 perchØ per
t =T essa dovrebbe passare per S che non appartiene ad U.
Definizione 10. Un punto stabile e attrattivo per un sistema dinamico si
dice asintoticamente stabile.
I concetti di stabilità e stabilità asintotica non coincidono, ovvero si pos-
sono trovare degli esempi di punti stabili ma non attrattivi e attrattivi ma
non stabili.
Definizione 11. Dato un qualunque punto di equilibrio P per un sistema
dinamico continuo, si dice bacino di attrazione (o semplicemente bacino)
di P l’insieme Bac(P ) delle condizioni iniziali che danno luogo a soluzioni
convergenti a P.
Lo studio delle caratteristiche di stabilità di un dato punto di equilibrio
non prevedono metodi del tutto esaustivi. Lo studio di un particolare sistema
lineare, detto «linearizzato», permette di esprimere condizioni sufficienti per
la stabilità di un punto di equilibrio.
_
Definizione 12. SiaX =F (X) un sistema dinamico continuo con il punto
di equilibrio P. Dall’ipotesi di regolarità della mappa F segue che:
_
X =F (X) =DF (P )(X−P ) +G(X)
ove DF è la matrice jacobiana di F e dunque G è un infinitesimo di ordine
superiore al primo rispetto a (X−P ). Il sistema dinamico lineare
_
Y =DF (P )Y, Y =X−P
si dice linearizzato del sistema originale in P. Chiamiamo esponenti di
Lyapounov del sistema in P le parti reali degli autovalori della matrice
DF (P ).
4CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
Definizione 13. Se tutti gli esponenti di Lyapounov in P sono negativi, P
si dice pozzo, se gli esponenti di Lyapounov sono positivi,P si dice sorgente.
Teorema 14. Data la matrice A a coefficienti reali le seguenti condizioni
sono equivalenti:
_
a. L’origine è un pozzo per il sistema dinamico lineareX =AX.
b. Esistono due costanti α,β positive tali che per ogni condizione iniziale
Xe per ogni t positivo
0
−tβ
j exp(tA)Xj≤αejXj.
00
Allo stesso modo le seguenti condizioni sono equivalenti:
_
c. L’origine è una sorgente per il sistema dinamico lineareX =AX.
d. Esistono due costanti α,β positive tali che per ogni condizione iniziale
Xe per ogni t positivo
0
tβ
j exp(tA)Xj≥αejXj.
00
Dimostrazione. Dalla teoria elementare delle equazioni differenziali sappia-
mo che le soluzioni del sistema dinamico lineare sono tutte esprimibili come
Lt
combinazioni lineari di funzioni del tipo: eZ(t) ove L è un esponente di
Lyapounov e Z(t) è una funzione che per t! +1 cresce piø lentamente di
ogni esponenziale. Se β è una costante positiva tale che ogni esponente di
Lyapounov è minore di−β allora ogni componente della soluzione tende a
−βt
zero piø rapidamente die. Viceversa, per assurdo, se esiste anche un solo
Lt
esponente di LyapounovL non negativo, allora la funzioneeZ(t) non tende
a 0 pert! +1 e quindi qualche componente della soluzione non tende a 0.
L’equivalenza tra i punti c e d si prova in modo analogo studiando il
comportamento per t negativo ed i limiti per t!−1. Scambiando infatti
__
t con−t il sistema dinamicoX =AX diventaX =−AX e gli autovalori di
−A sono gli opposti degli autovalori A.
Il comportamento di pozzi e sorgenti nel caso lineare si estende al ca-
so non lineare. Per questo è necessario un risultato di cui non diamo la
dimostrazione.
Lemma 15. SiaA una matrice a coefficienti reali,α,β due numeri reali tali
che per ogni autovalore λ di A
α<Re(λ)<β.
1.2. ANALISI DELLA STABILITÀ5
n
Allora esiste una base V =fV,...,Vg di Re un corrispondente prodotto
1n
scalare
n
X
(X,Y )=xy,
Vii
i=1
dove x,ysono le coordinate di X e Y rispetto a V, per cui vale la disugua-
ii
glianza
n
8Y2Rα(Y,Y )≤ (AY,Y )≤β(Y,Y ),
VVV
ovvero, passando alla norma indotta dal prodotto scalare,
n22
8Y2RαjjYjj≤ (AY,Y )≤βjjYjj.
V
VV
_
Teorema 16. Sia P un pozzo per il sistema dinamicoX = F (X) e sia
A =DF (P ) la matrice del sistema linearizzato inP. Sec è un numero reale
positivo tale che per ogni esponente di Lyapounov L di A vale L<−c allora
esiste un intorno U⊆W di P tale che:
t
1. Il flusso integrale Φ(X) è definito per ogni X2U e per ogni t> 0;
2. Esiste una costante B > 0 tale che per ogni X2U e per ogni t≥ 0:
t−ct
jΦ(X)−Pj≤BejX−Pj.
Perciòinpresenzadiunpozzoilcomportamentoasintoticolocaledellesoluzioni
è simile al caso lineare: tutte le soluzioni arbitrariamente vicine convergono
al pozzo che è dunque asintoticamente stabile.
Dimostrazione. Innanzitutto operiamo un cambio di coordinate mediante
una traslazione X7!X−P.
Certamente esiste un numero reale positivo b tale che, per ogni esponente di
LyapounovL del sistema linearizzato in 0, valgaL<−b<−c. Per il lemma
n
15 esiste una certa base V diRe un prodotto scalare associato a tale base
per i quali:
n2
8X2R(AX,X)≤−bjjXjj.
V
V
Per definizione di differenziabilità, ricordando che A è la matrice jacobiana
n
di F in 0, e per l’equivalenza di qualunque coppia di norme inRsi ha che:
jjF (X)−AXjj
V
lim= 0
X!0
jjXjj
V
Dalla disuguaglianza di Cauchy segue che:
(F (X)−AX,X)≤jjF (X)−AXjjjjXjj
VVV
6CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
2
e dividendo perjjXjje passando al limite:
V
(F (X)−AX,X)
V
lim= 0.
2
X!0
jjXjj
V
Scelto un intornoU di 0 abbastanza piccolo esiste un piccolo tale che inU:
2
(F (X),X)= (F (X)−AX,X)+ (AX,X)≤ ( −b)jjXjj.
VVV
V
In conclusione, definitivamente per X! 0:
2
(F (X),X)≤−cjjXjj.
V
V
Sia ora X(t) una soluzione con condizione iniziale X(0)2 U. U è aperto e
dunque esiste un tempo t> 0 tale che per 0≤ t≤ tla soluzione X(t) è
11
definita e contenuta in U. In tale intervallo, detta n(t) =jjX(t)jj, si ha:
V
q
_
dd(X,X)(F (X),X)
VV
n(t) =(X,X)==≤−cn(t)
V
dtdtn(t)n(t)
e integrando:
d1
−ct
n(t)≤−c) logn(t)≤−ct +costante)n(t)≤n(0)e.
dtn(t)
Applicandonuovamentel’equivalenzadellenormelaprecedentedisuguaglian-
za si può esprimere nella norma euclidea facendo comparire una costante B
positiva come nella tesi 2.
Scegliendo come intorno U una palla di centro 0 e raggio > 0, per quanto
detto, la soluzione è definita e resta in U per un certo intervallo di tempo
[0,t]. La soluzione può essere continuata a partire da t. La chiusura di U
11
in W è un compatto e quindi la soluzione resta definita per ogni t > 0 in
virtø del teorema di prolungamento delle soluzioni.
Osservazione17. Anchenelcasodellasorgenteilrisultatolinearesiestende
al caso non lineare in modo del tutto analogo al teorema precedente.
Se un particolare punto di equilibrio non è nØ di tipo pozzo nØ di tipo
sorgente, in generale, non è possibile concludere sulla stabilità a partire dagli
esponenti di Lapounov. Uno strumento piø potente, che useremo nel capitolo
3.3, è dato dalle funzioni di Lyapounov.
1
Definizione18. UnafunzioneV definitaediclasseCinunintornoU⊆W
di un punto di equilibrio P si dice funzione di Lyapounov se verifica: