Il lavoro si articolerà in varie fasi: dapprima verrà sviluppato un modello
dinamico bidimensionale di una gru a portale, caratterizzato da una natura
fortemente non lineare; successivamente, individuati gli obiettivi di controllo,
verrà proposta una strategia tramite la quale si possa trovare una risposta
soddisfacente alle problematiche esposte. Infine verranno presentati i
risultati ottenuti con simulazioni fatte per verificare la validità delle tecniche
utilizzate. Per le suddette simulazioni ci si riferirà ad un modello di gru di
dimensioni ridotte
Capitolo I: IL MODELLO
1
CAPITOLO I: IL MODELLO
Il modello matematico di una gru a portale che viene considerato è stato sviluppato
sostanzialmente sulla base dell’osservazione degli impianti industriali. Per motivi pratici di
realizzazione sono stati apportati dei cambiamenti dovuti essenzialmente all’esigenza di dover
lavorare con un modello in scala che riportasse il più fedelmente possibile le caratteristiche
degli impianti reali.
Il sistema in questione consta pertanto di una guida montata su dei supporti rigidi, in una
struttura a portale, sulla quale scorre un carrello mosso da un motore remoto tramite cavi; un
altro cavo, azionato da un altro motore, consente il sollevamento della massa.
In questo capitolo, tuttavia, non sarà analizzata la struttura in tutta la sua completezza, ma
sarà dapprima sviluppato il modello matematico del sistema meccanico, che includerà le
dinamiche del moto del carrello e della massa, includendo le parti meccaniche dei motori e
considerando rigida l’infrastruttura che funge da guida; successivamente sarà considerato il
circuito elettrico equivalente dei motori utilizzati per lo spostamento e per il sollevamento.
1.1 Il Modello Matematico Del Sistema Meccanico
Per la deduzione del modello in questione si è fatto riferimento ad articoli presenti in
letteratura [1,12,13,14];si tratta di un modello in due dimensioni, il cui schema risulta di facile
comprensione, come si vede in figura (1.1), quando si osservi che gli spostamenti del carrello
vengono misurati a partire dal baricentro del motore apposito, così come gli spostamenti della
massa M. Per comodità di trattazione, ma senza perdita di generalità, tale massa viene
considerata coincidente con il suo baricentro, di cui vengono calcolate le coordinate istantanee
x
G
e y
G
in funzione degli spostamenti bΘ
1
e bΘ
2
, ed in funzione dell’angolo di oscillazione
ϕ.
Capitolo I: IL MODELLO
2
figura 1.1
Nello schema di figura 1.1:
Θ
1
≡ angolo di rotazione motore 1; Θ
2
≡ angolo di rotazione motore 2;
b
1
≡b
2
≡b≡ raggio del tamburo del motore ; m
≡ massa (carrello + 4 ruote);
M ≡ massa di carico; ϕ ≡ angolo di oscillazione della massa di carico,
J
1
≡ J
2
≡ J momento d’inerzia del motore
La lunghezza del cavo viene misurata a partire dal bordo superiore della guida, quota che
è stata scelta come origine delle ordinate. Gli spostamenti del carrello sono controllati dal
motore (1), mentre la massa viene sollevata dal motore (2); i due motori hanno il raggio del
tamburo uguale, così come sono uguali i momenti d’inerzia rispettivi.
Le ipotesi di lavoro che si fanno sono le seguenti:
• Modello in 2D;
• I cavi si considerano inestensibili ;
• La massa dei cavi è trascurabile rispetto alle altre masse .
Capitolo I: IL MODELLO
3
Sulla base delle ipotesi precedentemente fatte, ed in riferimento allo schema del modello
della gru in figura (1.1), applicando il teorema di Köenig [4], possiamo scrivere le relazioni
sull’energia cinetica e potenziale del sistema:
G
G
G
MgyU
yxMmbJJT
−=
++Θ+Θ+Θ=
•••••
222
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(1.1)
in cui
ϕ
ϕ
cos
22
2211
Θ=
Θ+Θ=
by
sinbbx
G
G
•••••
••
••••••••
ΘΘ−Θ+Θ=
ΘΘ+
+ΘΘ+ΘΘ+Θ+Θ+Θ=
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
cos2cos
cos2
cos22cos
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
21
21
21
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
sinbsinbby
sinb
bbsinbbbsinbbx
G
G
ϕϕϕϕ cos22
2
1
21
21
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
22
•••••••••
ΘΘ+ΘΘ+Θ+Θ+Θ=+ bbsinbbbbbyx
G
G
(1.2)
L’energia totale del sistema è
L=T-U T ≡ Energia Cinetica; U ≡ Energia Potenziale
Verranno ora ricavate le equazioni che definiscono il modello matematico del sistema
riconducendolo alla forma standard valida per i sistemi meccanici:
() () ()( )
rm
AGBA TTqqqqqqq −+
+
=
−
••
−
••
11
, (1.3)
Capitolo I: IL MODELLO
4
con
=
3
2
1
q
q
q
q vettore di parametri Lagrangiani, avendo posto
ϕ=Θ=Θ=
32211
,, qqq ;
ed essendo
T
m
vettore delle coppie di controllo agenti sul sistema;
T
r
vettore delle coppie resistenti equivalenti;
Il primo passo è quello di esprimere in forma matriciale l’energia cinetica, ovvero
scrivere in forma esplicita la A(q), infatti la prima delle relazioni (1.1) può essere espressa in
modo più compatto come
()
••
= qqq AT
T
2
1
(1.4)
Identificando i vari termini della forma quadratica (1.3) nell’espressione dell’energia
cinetica si ricava che
()
()
+
++
=
2
2
2
23221
2
22321
3221321
2
11
0cos
0
cos
qMbqqbMb
MbJsinqbMb
qqbMbsinqbMbbMmJ
A q (1.5)
Dalla teoria di Eulero-Lagrange [3] sappiamo che
() ()
i
Qqqqqqq =
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
••••
•
i
T
i
T
i
q
U
A
q
A
q
dt
d
2
1
2
1
(1.6)
dove Q
i
è il vettore delle forze esterne generalizzate agenti sul sistema.
Capitolo I: IL MODELLO
5
Le equazioni (1.6) possono essere ricondotte nella forma più maneggevole
() () () ()
rm
T
U
AAA TT
q
qqq
q
qqqq −=
∂
∂
+
∂
∂
−+
••••••
2
1
(1.7)
Confrontando la (1.7) con la (1.3) si può notare che
() () ()qqqq
q
qqq
q
qq GB
U
AA
T
+
=
∂
∂
+
∂
∂
−−
••••••
,
2
1
(1.8)
con
()
qq
qqq
q ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
••
LU
A
T
2
1
. (1.9)
Poiché
()
−
−
=
•••
•
•••
•
22
2
23323221
3321
33232213321
20cos
00cos
coscos0
qqMbqsinqqqqbMb
qqbMb
qsinqqqqbMbqqbMb
A q
(1.10)
sviluppando i calcoli si ricava
−
−−−
=
•••
•
•••
•
22
2
231213221
32
2
2
33232213321
2coscos
00
coscos0
,
qqMbqqbMbqqbMb
qqMb
sinqqqqqbMbqqbMb
B qq
(1.11)
e inoltre
Capitolo I: IL MODELLO
6
()
−
=
322
32
cos
0
sinqqMgb
qMgbG q (1.12)
ottenendo alla fine la matrice A
-1
(q), come segue:
()
( )() ()() ()()
() () ()
()() )() ()()()
−+++−
−++−
+−−+
=
−
2
321
2
2
2
2
2
1133213213321
2
22
3321321
2
3321
2
2
2
2
2
11321
2
2
2
2
3321
2
22321
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
1
coscos
coscos
cos
det
1
sinqbMbqMbbMmJqqbMbsinqbMbqqbMbMbJ
qqbMbsinqbMbqqbMbqMbbMmJsinqbMbqMb
qqbMbMbJsinqbMbqMbqMbMbJ
A
A q
(1.13)
in cui
Le (1.11)-(1.13) definiscono completamente, a meno del vettore Q, il modello del sistema
nella forma (1.3).
()( ()()()()()()
2
3321
2
22
2
321
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
11
cosdet qqbMbMbJsinqbMbqMbqMbMbJbMmJA +−−+++=
Capitolo I: IL MODELLO
7
1.2 I Motori
Gli azionamenti utilizzati sono sostanzialmente dei motori DC a Controllo d’Armatura, i
quali possiedono un propria dinamica che sarà successivamente descritta; tuttavia, essendo
stati inclusi i loro parametri meccanici nello sviluppo del modello matematico di cui sopra, in
questa sezione sarà analizzato soprattutto l’aspetto elettrico (equazioni di equivalenza
elettromeccaniche, equazioni di equilibrio elettrico etc.). Inoltre i due motori sono supposti
uguali, pertanto è sufficiente descrivere solo uno dei due, essendo tale descrizione valida
anche per l’altro.
Per ciò che concerne gli azionamenti elettrici che alimentano tali motori, l’ipotesi che si
fa è che tali azionamenti possiedano una dinamica che si può considerare trascurabile
rispetto alla dinamica dei motori stessi
In realtà con il termine “MOTORE” si vuole intendere più che un oggetto fisico, un
sistema di più oggetti che contribuiscono al movimento delle parti meccaniche per le quali
tale motore è utilizzato. Infatti, il complesso del motore consta di tre distinte parti:
1. Il motore DC vero e proprio;
2. Un riduttore planetario;
3. Un encoder;
Lo schema meccanico di assemblaggio delle varie parti è riportato di seguito nella figura
(1.2), successivamente sarà spiegato con dettaglio il funzionamento di queste tre distinte parti.
figura 1.2
Capitolo I: IL MODELLO
8
1.2.1 Il motore DC
IL motore utilizzato è un motore DC del tipo 3557 CS con spazzole in grafite prodotto
dalla ditta MINIMOTOR
SA
; per iniziare l’analisi di questo dispositivo, si riportano di seguito
i principali parametri di funzionamento:
MICROMOTORE DC MINIMOTOR 3557 CS
PARAMETRO VALORE UNITA’ DI MISURA
Tensione nominale 24 V
Resistenza ai morsetti 5.5
Ω
Coppia d’arresto 0.177 Nm
Costante di velocità K
v
24.4 (Rad/sec
-1
)/V
Costante FEM K
e
0.041 V/(Rad/sec
-1
)
Costante di coppia K
t
0.04105 Nm/A
Costante di corrente K
i
24 A/Nm
Induttanza ai morsetti 0.00085 H
Inerzia del rotore J 49.03 gcm
2
Il motore è schematizzabile tramite un modello di motore DC che si può trovare in
letteratura, pertanto le equazioni che governano il funzionamento del motore sono le seguenti;
dette:
i
a
(t) corrente d’armatura;
V
a
(t) tensione ai morsetti;
R
a
resistenza d’armatura;
L
a
induttanza d’armatura;
e(t) forza controelettromotrice;
T
m
coppia motrice;
T
r
coppia resistente;
Capitolo I: IL MODELLO
9
L’equazione dell’equilibrio elettrico sarà:
()
() () ()tetiRtv
dt
tdi
L
baaa
a
a
−−=
; (1.14)
ossia, passando al dominio di Laplace:
() () () ()sEsIRsVsIsL
aaaaa
−−= (1.15)
La forza controelettromotrice è data da:
)()( tKte
e
ω=
o, in termini di variabile s:
)()( sKsE
e
Ω= 1
a
Relazione di equivalenza elettromeccanica; (1.16)
in cui ω(t) è la velocità del motore, espressa in rad/sec e Ω(s) la sua L-trasformata.
Inoltre
)()( sIKsT
atm
= 2
a
Relazione di equivalenza elettromeccanica; (1.17)
In definitiva, quindi, possiamo affermare che, detta:
)()()( sEsVsV
a
−=
avremo
)(
)(
)(
aa
a
sLR
sV
sI
+
=
e che quindi:
Capitolo I: IL MODELLO
10
)(
)(
)(
aa
tm
sLR
sV
KsT
+
= Coppia motrice; (1.18)
La coppia motrice T
m
è la variabile di controllo del sistema meccanico; tale coppia è
infatti applicata alle parti meccaniche, che in tal modo ricevono l’energia per muovere, sia il
carrello che trasla, sia il carico che viene sollevato.
Capitolo I: IL MODELLO
11
1.2.2 Il riduttore planetario
Il Riduttore utilizzato è il modello MINIMOTOR 38/1, che è prodotto dalla ditta stessa in
modo da assicurare completa compatibilità con il motore MINIMOTOR 3557 CS di cui si è
parlato precedentemente. Tale dispositivo, come è stato illustrato nello schema di Fig.(1.2),
calettato sull’asse del motore 3557 CS. E’ un tipo di riduttore con cuscinetti a sfera, di cui
vengono riportate di seguito le principali caratteristiche nella tabella che segue:
RIDUTTORE PLANETARIO MINIMOTOR 38/1
PARAMETRO VALORE UNITA’ DI MISURA
Rapporto di riduzione 43:1
Ω
max
in ingresso
418.88 rad/sec
Cuscinetti dell’albero in uscita A sfera
Carico max assiale sull’albero 300 N
Coppia d’esercizio (servizio permanente) 1.4 Nm
Lo scopo di questo riduttore è di aumentare la coppia motrice disponibile, la quale
aumenta di un fattore pari al rapporto di riduzione, ossia di un fattore 43; tale fattore è
ottenuto tramite una serie di ingranaggi in acciaio interni al dispositivo, tipicamente, dei
rotismi impieganti ruote dentate con diverso numero di denti.
Naturalmente, poiché deve valere il principio di conservazione dell’energia, in particolare
si deve conservare in uscita la potenza entrante, a meno di un contributo dissipativo, la
velocità angolare in uscita risulta ridotta di un fattore 43. Infatti:
)()()( sTssP
min
Ω=
In uscita avremo:
)()()( sPsPsP
dinout
−=
dove P
d
è la potenza dissipata per attrito; in forma estesa avremo:
)()()('43)()(')(')( sPsTssPsTssP
dmdmout
−Ω=+Ω=
Capitolo I: IL MODELLO
12
Ma allora sarà:
43
)(
)('
s
s
Ω
=Ω (1.19)
affinché valga l’eguaglianza delle potenze.
Per quanto riguarda la potenza dissipata, questa è data dall’attrito degli ingranaggi interni
al riduttore; rifacendosi alla teoria delle ruote dentate, dei rotismi e dell’attrito, possiamo
scrivere che:
)()()( ssTsP
bd
Ω=
in cui T
b
è la coppia d’attrito; perciò
)()]([)( ssKsP
bd
ΩΩ=
dove K
b
è una costante che dipende dal coefficiente d’attrito usato, e dal quadrato del raggio
del tamburo del motore. In tal modo:
mb
bbK '
2
= (1.20)
in cui b è il raggio del tamburo del motore, mentre
m
b' è il coefficiente d’attrito viscoso, visto
a valle del riduttore secondo la relazione
()
mmm
bb
N
N
b
2
2
1
2
43' =
= (1.21)
dove b
m
è il coefficiente d’attrito viscoso sull’asse del motore
Per quanto detto sopra, quindi, la coppia “netta” disponibile per il sistema sarà:
Capitolo I: IL MODELLO
13
)()()(')( sTsTsTsT
brm
−−= (1.22)
Anche il momento d’inerzia del motore risulta moltiplicato per un fattore che dipende dal
rapporto di riduzione, pertanto il momento d’inerzia effettivo a valle del riduttore risulta:
()JJ
N
N
J
2
2
1
2
43' =
= (1.23)
Abbiamo quindi ricavato tutte le grandezze che interessano il complesso motore-
riduttore, tuttavia l’analisi non è ancora completa, in quanto, per i fini del controllo è
necessario poter ottenere, nella maniera più diretta possibile, la posizione angolare dell’albero
del motore. Tale posizione è ottenibile tramite l’impiego del terzo dispositivo utilizzato in tale
schema, l’ENCODER.
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