Il metodo GMM applicato alla stima di un modello short rate e valutazione numerica di opzioni su tassi

Capitolo1
I modelli short-rate per i tassi di
interesse
1.1 PerchØ modelliamo i tassi di interesse?
1
Iniziamoquesto capitolo con una domanda: “PerchØ ci interessa modellare i
tassi di interesse?” Per determinare come cambia il valore del denaro dispo-
nibile a date future. Questo valore può essere stimato ricorrendo alla “teoria
2
della valutazione di non-arbitraggio”. Secondo questa teoria i prezzi di non
arbitaggio dei titoli sono dei valori attesi sotto la c.d. misura neutrale al
rischio o misura equivalente di martingala sotto la quale il processo
3
dei prezzi attualizzato risulta essere una martingala. Detto diversamente,
1
In tutto ciò che segue supporremo di lavorare con uno spazio di probabilità ( ;F;F;P)
con filtrazioneF =fFg: Il significato intuitivo di filtrazione è quello di flusso di in-
tt2[0;T]
formazione a disposizione degli operatori sul mercato. Tecnicamente è una successione
crescente di sotto- -algebre della -algebraF. Tuttavia il significato intuitivo di informa-
zione disponibile al tempot basta agli scopi della presente tesi. Avremo poi a che fare con
processi stocastici (p.s.) adattati, il che vuol dire che la v.a. XèF-misurabile per ognit
tt
(per maggiori particolari su filtrazioni e processi stocastici vedi Pascucci [18]). Comunque
nel seguito potremo tranquillamente ignorare queste condizioni tecniche. Ci basterà l’in-
terpretazione di un processoF-adattato come un processo in cui la variabile X, in base
tt
all’informazione disponibile in t, è nota. Occorre giusto avere la nozione di valore atteso
condizionato per la quale si rimanda al testo di Shreve [19].
2
Vedi in proposito Harrison e Kreps [13] e Harrison e Pliska [14], [15]
3
Un processo stocasticofX: t2 [0;T ]g, definito sullo spazio di probabilità filtrato
t
( ;F;F;P), si dice una martingala seE[XjF] = X;8t < s: Talvolta il valore atteso
stt
3
 .
 R
4CAPITOLO1. IMODELLISHORT-RATEPERITASSIDIINTERESSE
se sul mercato vale il non arbitraggio, allora esiste una misura di probabilità
4
(unica se il mercato è completo) neutrale al rischio, equivalente alla misu-
ra di probabilità naturale, che rende i prezzi attualizzati delle martingale.
Quindi, dato un contingent claim, il cui processo di payoff indichiamo con
fX:s2 [0;T ]g, allora il suo prezzo al tempo t si può calcolare come:
s
hi
T
r(s)ds
~
t^
X=EeXjF=valore atteso [fattore di sconto payoff]
tTt
dove il valore atteso è calcolato rispetto alla filtrazione naturale generata dal
processo, cioèF:=  (X(s); 0 s t) e r(s) è il c.d. tasso istantaneo
t
5
di interesse, ovvero la quantità che interessa modellare nei modelli short
rate. Essa non è una quantità direttamente osservabile sul mercato, ma una
grandezza teorica che ha comunque una grande importanza per i motivi che
adesso cerchiamo di esporre.
Se come payoff scegliamo X= 1, otteniamo che
T
hi
T
r(s)ds
t
X=EejF=
tt
= prezzo di uno zcb in t con scadenza T =:P (t;T );
cioè il valore atteso sotto la misura risk-neutral del fattore di sconto consente
di ottenere il prezzo (teorico) di uno zcb (zero-coupon bond).
condizionato sarà indicato con una notazione sintetica E[:jF] = E[:]: Il valore atteso
tt
~
sotto la misura neutrale al rischio sarà indicato conE[:]:
t
4
Un mercato (a tempo continuo) si definisce completo, se per ogni contingent claim
esiste una strategia di replica (a tempo continuo) e autofinanziante che lo replica.
5
Ricordiamo qui le definizioni di money market account e di tasso istantaneo di
interesse. SiaB(t) il valore di un conto corrente al tempo t 0 eB(0) = 1. Assumiamo
che B(t) segua la seguente ODE (ordinary differential equation):
dB(t) =r(t)B(t)dt;r(t) 0
In tal casor(t) è il tasso istantaneo di interesse a cui cresce il conto corrente. La soluzione
t
dell’ODE, con la condizione iniziale B(0) = 1, è semplicemente B(t) = expr(s)ds
0
@ lnP(t;T)
Inoltre si ha che r(t) = limR(t;T ) =j; dove R(t;T ) è il tasso spot
T!tT=t
@T
composto annuo.
 R
 R
1.1. PERCHÉ MODELLIAMO I TASSI DI INTERESSE?5
Quindi, grazie alla teoria della valutazione di non arbitraggio, se siamo
in grado di:
1. assegnare una dinamica evolutiva al tasso istantaneo (il che vorrà dire
specificare una equazione differenziale stocastica (SDE) per il processo
del tasso);
R
T
2. trovare la distribuzione di probabilità dir(s)ds;
t
potremo (sperare di) riuscire a calcolare il valore atteso e ottenere i prezzi
teorici degli zcb.
Questo si rivela utile in quanto, noti i prezzi degli zcb, possiamo costruire
la curva dei fattori di sconto (cioè la curva T7! P (t;T )) e da essa ricavare
le curve dei tassi (composti, composti continui, spot e forward). Con queste
curve poi possiamo prezzare coupon bonds e floating rate notes e anche titoli
piø complessi e derivati su tassi come CAP, FLOOR, SWAPTIONS, etc.
6
Nei modelli short rate che consideriamo, dunque, si assegna la dinamica
evolutiva di r(t) e da essa si risale ai prezzi degli zcb. Si porrà ovviamente
il problema di valutare il modello, sia in termini di capacità di riprodurre i
prezzi osservati sul mercato, sia a livello di complessità nella calibrazione dei
parametri ai dati di mercato.
Un problema che si incontra con questi modelli risiede nel fatto che questi
sono modelli endogeni della struttura a termine. Cosa vuol dire che i modelli
short rate sono modelli endogeni? Supponiamo di conoscere la curva degli
zcb al tempo t = 0 per tutte le maturity T > t, ossia di osservare sul
M
mercato i prezzi P(0;T );T > 0. Il problema che incontriamo consiste nel
fatto che, se vogliamo che il nostro modello incorpori la curva di mercato,
occorre forzare i parametri ad assumere valori che rendano il modello il piø
possibile “vicino”, in senso statistico, alla curva di mercato. Tuttavia questi
modelli (che hanno un numero finito di parametri) non sono in grado di
riprodurre in modo soddisfacente la curva iniziale di mercato. Per questo
6
Per semplicità limitiamo l’analisi ai modelli short rate unifattoriali, in cui l’evoluzione
del tasso è governata da un’unica fonte di incertezza rappresentata da un moto browniano
R
t
W (t) =dW (s). Perun’introduzioneaimodellimultifattorialisipuòvedere, adesempio,
0
[19]
6CAPITOLO1. IMODELLISHORT-RATEPERITASSIDIINTERESSE
sono nati modelli c.d. esogeni che riescono meglio a riprodurre la struttura a
termine iniziale, introducendo parametri variabili nel tempo. Consideriamo
ad esempio il modello di Vasicek:
dr(t) =k(  r(t))dt +dW (t);
questo modello può essere trasformato in un modello esogeno semplicemente
introducendo un parametro, non piø costante , ma variabile nel tempo (t).
La funzione  (t) può essere espressa in termini della curva iniziale T 7!
M
P(0;T ) in modo tale da riprodurre esattamente la curva di mercato al
tempot = 0: Alcuni di questi modelli esogeni verranno brevemente presentati
nei successivi esempi; tra essi ricordiamo il modello di Hull e White (1990) e
quello di Black e Karasinski (1991).
A questo punto vogliamo fornire una serie di esempi di modelli short rate,
riportarne le principali proprietà e, per alcuni di essi, derivare i prezzi degli
zcb. Non vogliamo quindi fare una trattazione generale ed esaustiva di questi
modelli, ma presentarne alcuni, i principali, mettendo in evidenza i pregi e i
limiti di questi modelli.
1.2 Alcuni esempi di modelli short rate
Per cominciare, consideriamo i modelli endogeni, con parametri costanti,
indipendenti dal tempo.
1.2.1 Il modello di Merton
IlmodellodiMertonsupponecheiltassoistantaneoseguaunprocessoditipo
ABM (Arithmetic Brownian Motion). Questo vuol dire che r(t) soddisfa la
seguente SDE:
dr=dt +dW;
tt
dove Wè un moto browniano standard.
t
2
Di conseguenza si ha che: drN (dt;dt):
t
 
 
1.2. ALCUNI ESEMPI DI MODELLI SHORT RATE7
Il nostro obiettivo è quello di ricavare un’espressione per i prezzi degli
zcb. Per fare ciò, integriamo su [t;s]:
ZZ
ss
r=r+du +dW
stu
tt
Z
s
=r+ (s t) +dW:
tu
t
Con un’ulteriore integrazione su [t;T ], abbiamo:
ZZZ
TTs
2
(T t)
rds =r(T t) ++dWds:
stu
2
ttt
7
Ora, applicando il teorema di Fubinisullo scambio dell’ordine di inte-
8
grazione nella sua versione stocastica, si ottiene:
ZZZ
TsTT
dWds =dsdW
uu
tttu
Z
T
=(T u)dW:
u
t
Ricordando la proprietà della somma di v.a. aleatorie indipendenti (pen-
7
Vedi anche Björk [3] pag. 414. Siano (X;F; ) e (Y;G; ), due spazi misurati (o
di probabilità). Consideriamo lo spazio prodotto (X Y;FG ;   ) e una funzione
1
misurabile f :X Y ! R. Se f2L(X Y ) allora:
ZZZZZ
fd(   ) =dfd =dfd:
X YXYYX
8
Sia (X;  ; ) uno spazio misurato  -finito e ( ;F;P) uno spazio di probabilità.
Sia f(x;t) := f(x;t;!); f : X[0;T ] ! R un funzione  B ([0;T ])F -
misurabile. Se (t;!) 7! f(x;t;!) è integrabile rispetto a una (semi)martingala W,
t
R
(t;!)7!f(x;t)d (x) è ben definito e integrabile rispetto a We se
t
X
ZZ
T
f(x;t)dWd (x)< +1;
t
X0
allora
ZZZZ
TT
f(x;t)dWd (x) =f(x;t)d (x)dW:
tt
X00X
 Z
 :
 r
 e
 =:
 R
8CAPITOLO1. IMODELLISHORT-RATEPERITASSIDIINTERESSE
siamo all’integrale come limite di una somma) e sfruttando la proprietà di
9
isometriadell’integrale stocastico, si ha:
ZZ
TsT
22
dWdsN0;(T u)du
u
ttt
Di conseguenza:
Z
T
23
(T t)(T t)
2
rdsN(T t) +;
st
23
t
hi
T
rds
~s
t
Questo ci consente di calcolare facilmenteEe. Infatti, sfruttan-
t
10
do la funzione generatrice dei momentidi una variabile aleatoria normale,
si ha:
hi
T1
rds X m+v
~s~
t
2
Ee=E ( 1) =e;
tt
23
(T t)(T t)
2
essendo m :=r(T t) +e v :=:
t
23
Di conseguenza il prezzo di uno zcb nel modello di Merton è:
23
(T t)(T t)
2
 r(T t) +
t
26
P (t;T ) =e:
Questo modello tuttavia non consente di ottenere una curva realistica dei
tassi di interesse ed è stato presentato solo allo scopo di mostrare come è
possibile operare, nel caso sia nota la distribuzione del processo, per ricavare
esplicitamente i prezzi degli zcb (nei casi analiticamente trattabili).
Piø interessante è invece il modello di Vasicek.
1.2.2 Il modello di Vasicek
Il modello di Vasicek (1977) assume che, sotto la misura neutrale al rischio,
il tasso istantaneo segua un processo Ornstein-Uhlembeck, detto anche
processo mean reverting:
R
tt
9
Proprietà di Isometria: VardW (s)=ds:
00
10
La funzione generatrice dei momenti di una v.a. aleatoria X è definita come:  ( ) :=
R
Xx2
E[e] =ef(x)dx: Nel caso di una v.a. normale, X N (;), si ha:  ( ) =
X
R
1
+
2
e:

 2
 2
 2
 R
 R
 Z