Progettazione di reattanze in aria

Sommario
Nell’elaborato viene descritto lo studio di progettazione di reattanze in aria utilizzate nei
filtri accordati e come dispositivo per limitare la corrente di cortocircuito.
La base di partenza e` il tirocinio svolto presso la ditta Euroelettro s.p.a. di Meledo
di Sarego, dove ho avuto l’opportunita` di acquisire le attuali tecniche di progettazione
e da l`ı iniziare lo studio di ottimizzazione del progetto. Le principali problematiche che
mi sono state poste ad inizio del lavoro furono: discordanza tra il valore di induttanza
di progetto e quello misurato, aspetto termico e tenuta all’impulso di fulminazione.
Dopo una fase di ricerca bibliografica, il lavoro dedica una prima parte allo studio
di ottimizzazione del valore di induttanza dato che e` il primo parametro significativo e
in seguito il progetto viene corredato con gli altri aspetti quali quello termico, tensioni
impulsive e sforzi elettrodinamici. Poiche` in partenza erano noti pochi concetti, la prima
parte ha occupato una buona parte del lavoro e quindi per gli altri aspetti e` stato fatto
un lavoro piu` superficiale dato che si potrebbero sviluppare delle vere e proprie tesi per
ciascuno degli altri argomenti.
Euroelettro realizza questi componenti sia utilizzando conduttori in filo, piattina o
nastro impiegando sia rame che alluminio. Sara` proprio questo uno dei punti di partenza
dato che la tipologia di conduttore influenza direttamente la predeterminazione del valore
di induttanza.
Lo strumento che ho utilizzato per lo studio e` stato un software di simulazione agli
elementi finiti che mi ha permesso di avere una visione della realta` senza realizzare
il componente. Oggi giorno questi simulatori risultano essere degli ottimi strumenti
progettuali che semplificano e rendono piu` economico la realizzazione di un progetto;
tuttavia il loro utilizzo non e` per nulla banale e richiede una buona conoscenza della teoria
e del funzionamento del software stesso poiche` occorre, una volta eseguita la simulazione,
essere in grado di interpretare i risultati ottenuti. I simulatori utilizzati sono disponibili
gratuitamente in rete e sono il FEMM 3.3 per le simulazioni di campo magnetico e BELA
1.0 per le simulazioni di campo elettrico. Altri software di elaborazione dati utilizzati
sono Microsoftr Excel e MatLabr 7.0.
Il riferimento normativo utilizzato principalmente e` dato dalla Norma CEI EN 60289
classificata come 14-5 del 1997-09 - edizione seconda.
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Introduzione
All’inizio del lavoro ho fatto una ricerca bibliografica accurata la quale mi ha permesso
di capire al meglio i problemi e in seguito, con la collaborazione dell’ufficio tecnico, mi
sono calato in quattro, cinque casi reali in modo da riuscire a capire quali erano le vere
difficolta`.
Sembrerebbe che, sfogliando alcuni articoli citati in bibliografia e soprattutto la rac-
colta di Grover [11], una volta assegnata la geometria, siano state ricavate formule molto
accurate per il calcolo del valore dell’induttanza con precisioni anche al di sotto dell’1%.
Cio`, come vedremo, si dimostra del tutto veritiero, ma a complicare il gioco intervengono
le nuove tecnologie di realizzazione degli avvolgimenti.
L’ipotesi fondamentale alla base di tutti i calcoli citati e` la distribuzione uniforme di
corrente in tutta la sezione occupata dall’avvolgimento; nel caso di nastro, tipologia oggi
molto comune, si verifica che la corrente si addensa nelle estremita` superiore ed inferiore
dell’avvolgimento. Questo fenomeno causa una riduzione dell’energia magnetica e quindi
dell’induttanza.
Un aspetto molto importante e` legato anche alla corretta geometria, vale a dire che
nell’esecuzione dell’induttore le dimensioni devono rispettare esattamente quelle indicate
in fase progettuale e utilizzate per il calcolo analitico del valore di autoinduttanza; impre-
cisioni, anche di qualche percento, non sono certo da trascurare, poiche` sono i parametri
principali di tutte le formulazioni del calcolo di L.
I reattori limitatori di cortocircuito e di filtro sono compresi nella norma CEI EN
60289, la quale spiega per ciascuna tipologia le prove da eseguire e indica le tolleranze
ammesse sul valore di L. Quest’ultima, per i reattori limitatori, e` pari a +20%/-0% sia
per i reattori mono che trifase; per i reattori di filtro la norma dice che in caso in cui non
sia provvisto di sistemi di variazione dell’induttanza, si deve specificare e garantire una
tolleranza per l’induttanza nominale stabilita tra committente ed esecutore. Il range,
usualmente, si riduce per questi casi a +5%/-0% in quanto, un valore tanto diverso da
quello nominale, scorda il filtro.
Per un reattore limitatore le specifiche sono il valore della corrente da limitare, il
valore della corrente limitata e la tensione concatenata; con questi dati si ricava il valore
di L con il metodo riportato in Appendice A.
Nel caso di reattore di filtro, le specifiche tecniche fornite dal committente danno
molte indicazioni relative all’induttore in particolare, ma anche al sistema di filtraggio
completo. Un esempio e` riportato di seguito.
Specifiche tecniche di un induttore di filtro.
Il sistema comprende un filtro di 5a e di 7a armonica costituito da 3 reattori monofase
inseriti in un sistema trifase a tensione nominale di 13,8 kV - 60 Hz.
Le specifiche dell’induttore di 5a armonica sono:
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Standard di progetto, realizzazione e collaudo IEC 60289
Sito d’installazione Interno in cabina elettrica
Tipo di servizio Continuo
Tipo di nucleo Aria
Tipo di raffreddamento AN (aria naturale)
Classe d’isolamento F o H
Tipo d’isolamento Uniforme
Forma dell’avvolgimento Cilindrico
Materiale conduttore Rame o Alluminio
Tensione di prova a fn per 1 minuto 38 kV
Impulso atmosferico 95 kV
Impedenza nominale 1,85 Ω
Induttanza nominale 4,9 mH
Tolleranza sull’induttanza nominale +5/-0 %
Corrente nominale alla frequenza nominale 265 A
Corrente massima alla 5a armonica 160 A
Corrente massima alla 7a armonica 3 A
Corrente massima alla 11a armonica 15 A
Corrente massima alla 13a armonica 10 A
Corrente termica di cortocircuito per 2s 4 kA
Corrente dinamica di cortocircuito per 2s 10 kA
Vengono poi riportati i dati del filtro completo di 5a armonica i quali permettono di
comprendere meglio la reale installazione.
Totale potenza alla tensione nominale 4500 kvar
Massima tensione di servizio continuo 16 kV
Banco di condensatori 5a
Configurazione Doppia stella Y-Y
Capacita` nominale del banco 60, 1 µF
Tolleranza sulla capacita` +5/-0 %
Tensione nominale del banco 11 kV
Reattore di accordo 5a
Numero di reattori monofase 3
Induttanza nominale 4,9 mH
Tolleranza sull’induttanza nominale +5/-0 %
Corrente nominale alla frequenza nominale 265 A
Corrente massima alla 5a armonica 160 A
Corrente massima alla 7a armonica 3 A
Corrente massima alla 11a armonica 15 A
Corrente massima alla 13a armonica 10 A
Corrente termica di cortocircuito per 2s 4 kA
Corrente dinamica di cortocircuito per 2s 10 kA
Con queste ulteriori specifiche e con l’aiuto dello schema elettrico riportato in Appen-
dice B, il progettista puo` fare delle verifiche sulla bonta` dei dati forniti. Ad esempio la
corrente nominale alla frequenza nominale pari a 265 A, e` pari alla somma dei quadrati
sotto radice di tutte le componenti di corrente compresa quella a 60 Hz. Cio` e` significa-
tivo in quanto il collaudo avviene alla frequenza nominale e in realta` questo particolare
componente viene impiegato per la 5a armonica e quindi, l’effetto termico collaudato
e` notevolmente diverso rispetto a quello reale se si trascura di tener conto di tutte le
componenti armoniche.
Il calcolo per la corrente nominale a frequenza nominale sopracitato per il filtro di 5a
armonica e` il seguente:
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L e C sono connessi in serie come si vede dallo schema dell’Appendice B. Innanzi-
tutto e` necessario calcolare il valore dell’impedenza nominale di L e di C:
xL = 2 · pi · f · L = 2 · pi · 60 · 4, 9 · 10−3 = 1, 85 Ω
xC =
1
2 · pi · f · C =
1
2 · pi · 60 · 60, 1 · 10−6
= 44, 14 Ω
La serie delle impedenze e` pari a:
xeq = xL − xC = −42, 29 Ω
da cui si nota che prevale la componente capacitiva. Quindi essendo la tensione
nominale concatenata del sistema pari a 13, 8 kV , si ricava la corrente assorbita
alla frequenza nominale come:
I60Hz =
U√
3 · xeq
= 188, 40 A
Il valore della corrente nominale a frequenza nominale si ricava dunque come:
I =
√
I2fond + I25a + I27a + I211a + I213a = 247, 85 A
Il committente si tiene poi un margine di sicurezza che comprende anche le armo-
niche trascurate e fornisce nell’esempio citato un valore di 265 A.
14
Capitolo 1
Formule per la determinazione
di L
Come premesso esistono diverse formulazioni che risalgono ai primi del 1900 le quali
permettono di calcolare l’autoinduttanza in modo accurato. Chiaramente a quel tempo,
la mancanza dei calcolatori rendeva difficili tutte le normali operazioni che oggi siamo
abituati a fare con una banale calcolatrice, cosicche` tutte le formualazioni prevedevano
l’utilizzo di tabelle che fornivano diversi coefficienti in funzione della geometria e una
volta interpolati con semplici operazioni di prodotto si risaliva al valore di induttanza.
Numerose pubblicazioni sono state fatte negli anni successivi, ma la maggior parte
riguardano i trasformatori e non superano gli anni ’50. Di recente impiego sono conduttori
in nastro di alluminio e rame i quali danno un risparmio notevole di tempo nell’operazione
di realizzazione dell’avvolgimento, ma sono caratterizzati da una distribuzione di corrente
non uniforme e questo e` l’aspetto principale che le formule esistenti non tengono conto.
Ogni induttore viene caratterizzato innanzitutto dal valore proprio di L e dalla sua
corrente nominale. In secondo luogo puo` essere riportata la tensione, la classe d’isola-
mento,. . . .
1.1 Formulazione di Frederick W. Grover[11]
Grover ha dedicato gran parte della sua attivita` di ricerca al calcolo di induttanze in
quanto cercava di realizzare un campione di misura. Le sue formulazioni portano a
soluzione analitiche di non facile calcolo. Numerose equazioni di vari autori tra cui
Weinstein, Lyle, . . . , forniscono il valore di induttanza molto accurato, il problema e` che
nella formula sono presenti operazioni come integrali, funzioni trigonometriche e le loro
inverse, ecc. . . , le quali per quei tempi erano difficili da calcolare. Era essenziale quindi
semplificare il calcolo data l’onerosita` che esso comportava per cui non e` da stupirsi se
per i calcoli che oggi sembrano banali, come ad esempio un logaritmo, venga fornita la
tabella dei logaritmi dato l’argomento.
Il modello di calcolo presentato nel suo libro e` molto dettagliato e comprende nu-
merosi casi, tuttavia tratta sempre induttori realizzati con avvolgimenti in filo, scelta
che oggi viene evitata se possibile dato l’elevato costo del rame e la difficolta` di avvol-
gimento rispetto, ad esempio, ad un nastro equivalente di alluminio. Cio` significa che
l’utilizzo di queste formulazioni, pur corrette, non portino al valore desiderato di indut-
tanza utilizzando avvolgimenti in nastro poiche` l’ipotesi fondamentale di Grover e` che la
distribuzione di corrente deve essere uniforme sulla sezione della bobina.
Per induttori circolari a sezione rettangolare, nella bibliografia vengono riportate due
formulazioni per questa particolare costruzione geometrica: una utilizzata per bobine
“sottili” e un’altra per le bobine “spesse”.
16 Formule per la determinazione di L
Figura 1.1: Geometria
b/2a K b/2a K b/2a K b/2a K
0 0 0.25 0.365432 0.50 0.525510 0.75 0.623011
0.01 0.034960 .26 .373818 .51 .530310 .76 .626122
.02 .061098 .27 .381986 .52 .535018 .77 .629185
.03 .083907 .28 .389944 .53 .539637 .78 .632200
.04 .104562 .29 .397703 .54 .544170 .79 .635170
0.05 0.123615 0.3 0.405269 0.55 0.548620 0.80 0.638094
.06 .141395 .31 .412650 .56 .552988 .81 .640974
07 .158119 .32 .419856 .57 .557278 .82 .643811
.08 .173942 .33 .426890 .58 .561491 .83 .646605
.09 .188980 .34 .433762 .59 .565628 .84 .649358
0.10 0.203324 0.35 0.440474 0.60 0.569691 0.85 0.652070
.11 .217044 .36 .447036 .61 .573683 .86 .654743
.12 .230200 .37 .453450 .62 .577606 .87 .657376
.13 .242842 .38 .459724 .63 .581462 .88 .659972
.14 .255011 .39 .465860 .64 .585252 .89 .662532
0.15 0.266744 0.40 0.471865 0.65 0.588976 0.90 0.665054
.16 .278070 .41 .477742 .66 .592638 .91 .667540
.17 .289019 .42 .483496 .67 .596239 .92 .669991
.18 .299614 .43 .489129 .68 .599780 .93 .672408
.19 .309876 .44 .494646 .69 .603263 .94 .674792
0.20 0.319825 0.45 0.500052 0.70 0.606689 0.95 0.677142
.21 .329479 .46 .505348 .71 .610060 .96 .679460
.22 .338852 .47 .510539 .72 .613376 .97 .681747
.23 .347960 .48 .515628 .73 .616639 .98 .684003
.24 .356816 .49 .520617 .74 .619850 0.99 .686228
0.25 0.365432 0.50 0.525510 0.75 0.623011 1.00 0.688423
Tabella 1.1: Valori della costante K di Nagaoka
In relazione alle figura 1.1, per bobine sottili approssimabili ad un solenoide multi-
strato corto si utilizza la seguente formula:
L = 0, 019739
(
2a
b
)
N2acmK ′ [µH] (1.1)
dove il coefficiente K ′ e` la differenza tra (K − k). K e` la costante della formula di
Nagaoka per i solenoidi ed e` tabulata in funzione di 2ab o
(
b
2a
)
in tabella 1.1. Il coefficiente
k si ricava invece dalla tabella 1.3 e tiene conto della riduzione d’induttanza dovuta alla
separazione delle spire in direzione radiale.
Per le bobine spesse approssimabili alla forma di disco la formula da utilizzare e` invece
la seguente:
L = 0, 001N2acmP ′ [µH] (1.2)
dove il coefficiente P ′ risulta dal prodotto di due fattori P e F , dei quali il primo e`
funzione di c2a e si ricava dalla tabella 1.2, mentre F tiene conto della riduzione di
1.1 Formulazione di Frederick W. Grover[11] 17
c/2a P c/2a P c/2a P c/2a P
0 ∞ 0.25 28.767 0.50 20.601 0.75 16.360
0.01 69.008 .26 28.290 .51 20.381 .76 16.235
.02 60.299 .27 27.832 .52 20.165 .77 16.112
.03 55.206 .28 27.392 .53 19.955 .78 15.992
.04 51.595 .29 26.968 .54 19.750 .79 15.874
0.05 48.794 0.30 26.560 0.55 19.550 0.80 15.759
.06 46.507 .31 26.166 .56 19.354 .81 15.646
.07 44.574 .32 25.786 .57 19.162 .82 15.536
.08 42.902 .33 25.418 .58 18.976 .83 15.428
.09 41.428 .34 25.063 .59 18.793 .84 15.323
0.10 40.111 0.35 24.719 0.60 18.614 0.85 15.220
.11 38.920 .36 24.386 .61 18.440 .86 15.119
.12 37.835 .37 24.063 .62 18.269 .87 15.021
.13 36.838 .38 23.750 .63 18.102 .88 14.925
.14 35.916 .39 23.446 .64 17.939 .89 14.832
0.15 35.058 0.40 23.150 0.65 17.779 0.90 14.740
.16 34.258 .41 22.863 .66 17.623 .91 14.650
.17 33.507 .42 22.584 .67 17.470 .92 14.563
.18 32.800 .43 22.313 .68 17.320 .93 14.478
.19 32.132 .44 22.049 .69 17.174 .94 14.394
0.20 31.500 0.45 21.792 0.70 17.032 0.95 14.314
.21 30.900 .46 21.541 .71 16.891 .96 14.235
.22 30.330 .47 21.297 .72 16.754 .97 14.158
.23 29.785 .48 21.059 .73 16.620 .98 14.083
.24 29.265 .49 20.827 .74 16.489 0.99 14.010
0.25 28.767 0.50 20.601 0.75 16.360 1.00 13.939
Tabella 1.2: Valori del coefficiente P
induttanza dovuta alla separazione delle spire in direzione assiale e si ricava dalla tabella
1.4.
Per le forme intermedie l’utilizzo di una o l’altra formula porta a risultati pressoche`
identici. Vediamo a tal proposito un esempio.
Esempio. Si calcoli il valore di induttanza di una bobina avente a = 3, 41 cm,
N = 220 spire, c2a = 0, 209, bc = 49 .
Dalle tabelle si ricavano i seguenti valori:
k = 0, 0692
K = 0, 19319
cos`ı il coefficiente K ′ vale:
K ′ = K − k = 0, 1240
e utilizzando la 1.1 si ricava:
L = 0, 019739
(
1
0, 09289
)
(220)2(0, 1240)(3, 41) = 4, 349 mH
Per la formula 1.2 si ricavano i seguenti coefficienti:
F = 0, 85135
P = 30, 96
per cui risulta:
L = 0, 001(220)2(3, 41)(30, 96)(0, 85135) = 4, 350 mH
valore praticamente uguale a quello calcolato con la 1.1.
18 Formule per la determinazione di L
c/2a
c/b 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 c/b
0 0 0.0325 0.0633 0.0925 0.1200 0.1458 0.1700 0
0.05 0 .0316 .0621 .0911 .1186 .1445 .1687 0.05
0.10 0 .0308 .0608 .0896 .1170 .1428 .1671 0.10
0.15 0 .0300 .0594 .0879 .1151 .1409 .1651 0.15
0.20 0 .0293 .0581. .0861 .1131 .1388’ .1630 0.20
0.25 0 0.0286 0.0569 0.0843 0.1109 0.1365 0.1607 0.25
0.30 0 .0280 .0557 .0826 .1085 .1342 .1583 0.30
0.35 0 .0274 .0546 .0810 .1069 .1319 .1558 0.35
0.40 0 .0269 .0535 .0796 .1051 .1297 .1533 0.40
0.45 0 .0264 .0525 .0782 .1033 .1276 .1510 0.45
0.50 0 0.0259 0.0516 0.0769 0.1016 0.1256 0.1467 0.50
0.55 0 .0254 .0507 .0755 .0999 .1236 .1464 0.55
0.60 0 .0250 .0498 .0742 .0982 .1216 .1442 0.60
0.65 0 .0246 .0490 .0730 .0966 .1197 .1421 0.65
0.70 0 .0242 .0482 .0719 .0952 .1179 .1400 0.70
0.75 0 0.0238 0.0474 0.0708 0.0937 0.1161 0.1380 0.75
0.80 0 .0234 .0467 .0697 .0923 .1144 .1360 0.80
0.85 0 .0230 .0460 .0687 .0910 .1128 .1341 0.85
0.90 0 .0227 .0453 .0677 .0897 .1113 .1323 0.90
0.95 0 .0224 .0447 .0667 .0884 .1097 .1305 0.95
1.00 0 0.0221 0.0441 0.0658 0.0872 0.1082 0.1288 1.00
c/2a
c/b 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 c/b
0 0.1925 0.2133 0.2325 0.2500 0.2658 0.2800 0.2925 0
0.05 .1913 .2123 .2317 .2494 .2655 .2800 .2928 0.05
0.10 .1898 .2109 .2304 .2484 .2648 .2795 .2926 0.10
0.15 .1879 .2091 .2288 .2470 .2636 .2786 .2920 0.15
0.20 .1858 .2071 .2270 .2453 .2621 .2773 .2910 0.20
0.25 0.1835 0.2048 0.2248 0.2432 0.2603 0.2758 0.2897 0.25
0.30 .1810 .2024 .2224 .2410 .2582 .2739 .2881 0.30
0.35 .1785 .1999 .2199 .2386 .2559 .2718 .2862 0.35
0.40 .1759 .1973 .2174 .2361 .2536 .2695 .2841 0.40
0.45 .1732 .1945 .2146 .2335 .2509 .2671 .2818 0.45
0.50 0.1706 0.1916 0.2118 0.2308 0.2483 0.2645 0.2794 0.50
0.55 .1682 .1890 .2091 .2280 .2456 .2619 .2769 0.55
0.60 .1658 .1866 .2065 .2252 .2280 .2592 .2743 0.60
0.65 .i635 .1842 .2039 .2225 .2400 .2564 .2716 0.65
0.70 .1613 .1818 .2014 .2199 .2373 .2536 .2689 0.70
0.75 0.1591 0.1794 0.1988 0.2173 0.2346 0.2509 0.2662 0.75
0.80 .1569 .1770 .1963 .2147 .2320 .2483 .2636 0.80
0.85 .1548 .1747 .1939 .2121 .2294 .2456 .2609 0.85
0.90 .1527 .1725 .1915 .2096 .2268 .2430 .2582 0.90
0.95 .1507 .1704 .1892 .2071 .2242 .2404 .2556 0.95
1.00 0.1489 0.1683 0.1869 0.2047 0.2217 0.2378 0.2530 1.00
c/2a
c/b 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 c/b
0 0.3033 0.3125 0.3200 0.3258 0.3300 0.3325 0.3333 0
0.05 .3040 .3135 .3213 .3275 .3321 .3351 .3363 0.05
0.10 .3040 .3138 .3221 .3287 .3337 .3371 .3388 0.10
0.16 .3037 .3139 .3225 .3294 .3349 .3386 .3408 0.15
0.20 .3031 .3136 .3225 .3298 .3356 .3397 .3423 0.20
0.25 0.3021 0.3129 0.3221 0.3298 0.3359 0.3404 0.3434 0.25
0.30 .3007 .3118 .3213 .3294 .3359 .3408 .3441 0.30
0.35 .2991 .3104 .3202 .3286 .3355 .3407 .3445 0.35
0.40 .2972 .3088 .3189 .3276 .3347 .3403 .3445 0.40
0.45 .2951 .3070 .3173 .3263 .3337 .3397 .3442 0.45
0.50 0.2929 0.3050 0.3156 0.3248 0.3326 0.3389 0.3436 0.50
0.55 .2906 .3028 .3137 .3231 .3311 .3377 .3428 0.55
0.60 .2881 .3005 .3116 .3213 .3295 .3363 .3417 0.60
0.85 .2856 .2981 .3093 .3192 .3277 .3348 .3404 0.65
0.70 .2830 .2957 .3070 .3171 .3258 .3331 .3390 0.70
0.75 0.2804 0.2932 0.3046 0.3149 0.3238 0.3313 0.3375 0.75
0.80 .2777 .2906 .3022 .3126 .3217 .3294 .3358 0.80
0.85 .2750 .2880 .2998 .3103 .3195 .3274 .3340 0.85
0.90 .2724 .2855 .2973 .3079 .3172 .3253 .3321 0.90
0.95 .2698 .2829 .2949 .3055 .3149 .3231 .3301 0.95
1.00 0.2672 0.2804 0.2929 0.3031 0.3126 0.3209 0.3281 1.00
Tabella 1.3: Valori di k
1.1 Formulazione di Frederick W. Grover[11] 19
c/2a
b/c 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 b/c
0 1 1 1 1 1 1 1 0
0.05 1 0.9871 0.9843 0.9821 0.9801 0.9782 0.9763 0.05
0.10 1 .9749 .9695 .9651 .9612 .9575 .9541 0.10
0.15 1 .9634 .9555 .9491 .9434 .9381 .9332 0.15
0.20 1 .9524 .9422 .9339 .9266 .9197 .9133 0.20
0.25 1 0.9419 0.9294 0.9194 0.9105 0.9021 0.8943 0.25
0.30 1 .9318 .9172 .9059 .8950 .8853 .8762 0.30
0.35 1 .9221 .9054 .8920 .8802 .8692 .8589 0.35
0.40 1 .9128 .8941 .8792 .8660 .8537 .8423 0.40
0.45 1 .9038 .8832 .8668 .8523 .8389 .8264 0.45
0.50 1 0.8951 0.8727 0.8548 0.8391 0.8246 0.8111 0.50
0.55 1 .8867 .8625 .8434 .8264 .8108 .7964 0.55
0.60 1 .8786 .8527 .8322 .8141 .7975 .7822 0.60
0.65 1 .8707 .8432 .8214 .8022 .7847 .7686 0.65
0.70 1 .8830 .8339 .8109 .7907 .7723 .7554 0.70
0.75 1 0.8556 0.8249 0.8007 0.7796 0.7603 0.7426 0.75
0.80 1 .8484 .8162 .7908 .7688 .7487 .7303 0.80
0.85 1 .8413 .8077 .7813 .7584 .7374 .7184 0.85
0.90 1 .8345 .7995 .7720 .7482 .7265 .7068 0.90
0.95 1 .8279 .7914 .7629 .7383 .7159 .6956 0.95
1.00 1 0.8214 0.7837 0.7548 0.7287 0.7056 0.6848 1.00
c/2a
b/c 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 b/c
0 1 1 1 1 1 1 1 0
0.05 0.9745 0.9728 0.9712 0.9696 0.9679 0.9663 0.9648 0.05
0.10 .9507 .9474 .9442 .9412 .9381 .9351 .9322 0.10
0.15 .9283 .9237 .9189 .9145 .9102 .9059 .9017 0.15
0.20 .9070 .9010 .8951 .8894 .8839 .8785 .8732 0.20
0.25 0.8868 0.8795 0.8725 0.8656 0.8590 0.8526 0.8463 0.25
0.30 .8675 .8591 .8510 .8431 .8355 .8282 .8210 0.30
0.35 .8491 .8396 .8305 .8217 .8132 .8051 .7971 0.35
0.40 .8314 .8210 .8110 .8013 .7920 .7831 .7745 0.40
0.45 .8145 .8032 .7923 .7819 .7718 .7622 .7531 0.45
0.50 0.7983 0.7861 0.7744 0.7632 0.7526 0.7424 0.7327 0.50
0.55 .7827 .7697 .7573 .7454 .7342 .7235 .7132 0.55
0.60 .7677 .7540 .7409 .7284 .7166 .7054 .6947 0.60
0.65 .7533 .7389 .7251 .7121 .6998 .6882 .6771 0.65
0.70 .7394 .7243 .7100 .6965 .6837 .6717 .6603 0.70
0.75 0.7260 0.7103 0.6955 0.6816 0.6683 0.6560 0.6443 0.75
0.80 .7130 .6968 .6816 .5672 .6536 .6409 .6290 0.80
0.85 .7005 .6838 .6681 .6533 .6394 .6264 .6143 0.85
0.90 .6884 .6712 .6551 .6399 .6257 .6124 .6002 0.90
0.95 .6767 .6591 .6426 .6271 .6126 .5991 .5867 0.95
1.00 0.6656 0.6474 0.6306 0.6148 0.6001 0.5865 0.5738 1.00
c/2a
b/c 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 b/c
0 1 1 1 1 1 1 1 0
0.05 0.9633 0.9618 0.9604 0.9591 0.9577 0.9562 0.9547 0.05
0.10 .9293 .9265 .9238 .9212 .9187 .9161 .9136 0.10
0.15 .8977 .8938 .8900 .8863 .8829 .8794 .8763 0.15
0.20 .8683 .8634 .8586 .8540 .8497 .8457 .8421 0.20
0.25 0.8405 0.8347 0.8292 0.8239 0.8190 0.8144 0.8103 0.25
0.30 .8143 .8078 .8017 .7959 .7905 .7854 .7807 0.30
0.35 .7897 .7825 .7759 .7697 .7638 .7583 .7532 0.35
0.40 .7664 .7587 .7515 .7450 .7388 .7329 .7274 0.40
0.45 .7443 .7360 .7285 .7217 .7152 .7090 .7032 0.45
0.50 0.7234 0.7146 0.7068 0.6996 0.6929 0.6865 0.6805 0.50
0.55 .7036 .6945 .6862 .6787 .6717 .6651 .6590 0.55
0.60 .6847 .6754 .6668 .6589 .6516 .6448 .6386 0.60
0.65 .6668 .6572 .6484 .6402 .6326 .6256 .6194 0.65
0.70 .6497 .6399 .6308 .6224 .6146 .6075 .6012 0.70
0.75 0.6334 0.6234 0.6140 0.6055 0.5976 0.5904 0.5839 0.75
0.80 .6179 .6076 .5981 .5894 .5815 .5742 .5676 0.80
0.85 .6030 .5926 .5829 .5742 .5662 .5589 .5521 0.85
0.90 .5888 .5782 .5684 .5597 .5517 .5443 .5375 0.90
0.95 .5752 .5644 .5545 .5459 .5378 .5303 .5236 0.95
1.00 0.5621 0.5512 0.5413 0.5324 0.5244 0.5170 0.5102 1.00
Tabella 1.4: Valori di F