Modelli GARCH multivariati per l'analisi dei mercati finanziari

Introduzione 
Lo studio delle serie storiche finanziarie è un argomento che ha sempre suscitato 
particolare interesse sia tra ricercatori sia tra semplici appassionati di finanza. 
Comprendere le dinamiche che regolano l’andamento dei titoli azionari e riuscire a 
tradurle in termini rigorosamente statistici è un obiettivo che in molti si sono posti negli 
ultimi decenni, affascinati dall’idea di poter utilizzare le rappresentazioni ottenute a scopi 
previsionali. 
Il problema, tuttavia, non era di facile soluzione, in quanto le serie storiche 
finanziarie hanno sempre presentato caratteristiche tali da renderle differenti da ogni altra 
tipologia di serie storica, rendendo le tecniche fino ad allora utilizzate, non adeguate al 
compito proposto. 
La situazione si sbloccò nel 1982, quando Robert Engle propose i modelli ARCH 
(AutoRegressive Conditional Eteroschedasticity), per i quali vinse il premio Nobel per 
l’economia del 2003. L’idea alla base di questo modello era di applicare una tecnica già 
ampiamente diffusa, come quella dell’autoregressione, alle varianze condizionate delle 
serie storiche dei rendimenti. 
A questa rappresentazione seguì, quattro anni più tardi, una generalizzazione, 
proposta da Bollerslev, che consentì una maggiore parsimonia nei parametri utilizzati. 
Questo modello, che prese il nome GARCH (Generalized ARCH), costituisce tuttora il 
pilastro fondamentale da conoscere per intraprendere studi di questo tipo. 
I modelli ARCH e GARCH, se da un lato hanno avuto il grande merito di indicare 
la giusta strada da percorrere per ottenere delle previsioni sui titoli azionari, dall’altro 
avevano una grande lacuna da colmare: sono modelli simmetrici. Ciò significa che le 
reazioni causate da variazioni positive e negative dei titoli sono considerate nella stessa 
identica maniera. La realtà empirica, al contrario, dimostra che le reazioni a shock negativi 
sono molto più forti rispetto a quelle causate da shock positivi. Per questo motivo furono 
sviluppati i modelli asimmetrici, il cui scopo è appunto quello di trovare una soluzione a 
4 
questo problema. Tra le principali proposte a riguardo ricordiamo i modelli EGARCH 
(Exponential GARCH, Nelson 1991) e i modelli TGARCH (Threshold GARCH, Zakoian 1994). 
Il passo successivo nello sviluppo della letteratura fu quello di allargare il campo di 
ricerca ad analisi di tipo multivariato. Si rese possibile in questo modo raffinare 
ulteriormente la modellazione delle serie storiche prendendo in considerazione il fatto che, 
oltre a causa degli shock di mercato interni, la volatilità di un titolo possa essere 
influenzata anche da shock esterni al mercato preso in esame. 
La prima proposta a riguardo si deve a Bollerslev, Engle e Wooldridge, che, nel 
1988, proposero la rappresentazione vech, la quale altro non è che la trasposizione in forma 
matriciale del modello GARCH. 
Tra le soluzioni più interessanti presentate successivamente, un ruolo 
assolutamente primario spetta ai modelli multivariati che stimano separatamente le 
varianze condizionate e i coefficienti di correlazione condizionati, come ad esempio il 
modello CCC (Constant Conditional Correlation), suggerito da Bollerslev nel 1990, ed il 
recentissimo DCC (Dynamic Conditional Correlation), ideato da Engle nel 2002. 
Quest’ultimo risulta essere piuttosto interessante, in quanto, seppur con alcuni 
limiti che saranno analizzati nel corso della trattazione, consente di sviluppare un’analisi 
storica sui coefficienti di correlazione tra mercati appartenenti a diversi paesi, andando a 
verificare quanto questi siano legati tra loro e come questi reagiscano ad alcuni shock 
comuni, quali ad esempio interventi di politica economica o periodi di crisi. 
L’obiettivo di questo elaborato è ripercorrere la strada che, dal 1982, nascita del 
modello ARCH, ad oggi è stata effettuata. Per motivi di tempo e per non appesantire 
troppo il lavoro, non saranno sviluppate tutte le proposte pubblicate, ma solamente quelle 
che hanno portato ad un reale passo avanti nella ricerca e che appartengono comunque 
alla famiglia GARCH; per gli altri modelli, ci si limiterà ad una semplice classificazione e 
ad un richiamo alla letteratura esistente. 
Per ogni rappresentazione presa in considerazione verranno analizzate le 
derivazioni matematiche che la caratterizzano, le motivazioni che ne hanno portato alla 
nascita, le problematiche che questa è in grado di risolvere e le questioni che invece 
vengono lasciate aperte. 
Il lavoro è composto di quattro capitoli. Nel primo vengono forniti gli strumenti 
statistico-matematici necessari per comprendere a pieno gli argomenti trattati. Nel 
5 
secondo viene eseguita una panoramica sullo sviluppo dei principali modelli univariati, 
partendo dall’ARCH di Engle e proseguendo con le varie estensioni cui diversi autori 
hanno dato seguito. Nel terzo capitolo si passerà alla presentazione dei modelli 
multivariati, dando una spiegazione del perché la letteratura si sia posta il problema di 
arrivare al loro sviluppo e classificandoli in base alle differenti tecniche di stima. Infine, 
nell’ultimo capitolo sarà eseguita una breve applicazione del modello multivariato DCC, 
utilizzando come dati storici le quotazioni di sette indici azionari europei. 
6 
Capitolo 1 
Analisi quantitativa dei mercati finanziari 
Prima di concentrarci nel vero oggetto del lavoro, appare opportuno effettuare una 
breve descrizione del contesto nel quale verranno effettuate le successive analisi. In 
particolare, il presente capitolo si propone di fornire una sintesi delle variabili che 
entreranno in gioco nel proseguo della trattazione e di come esse possano essere utilizzate 
da un punto di vista statistico-metodologico. 
Per prima cosa si esporranno le principali tipologie di strumenti finanziari presenti 
sui mercati finanziari nonché i loro più importanti parametri di valutazione, ovvero 
prezzo, rendimento e volatilità. 
In seguito verranno effettuati dei richiami agli strumenti statistici necessari per lo 
sviluppo degli argomenti trattati nei successivi capitoli, come ad esempio il concetto di 
variabile casuale, il quale rappresenta lo strumento teorico fondamentale per 
rappresentare in modo probabilistico l’andamento delle variabili suddette, le principali 
distribuzioni teoriche e gli indici di posizione e variabilità. 
Infine, dopo aver accennato misure alternative di volatilità, saranno evidenziate le 
somiglianze fra il comportamento di alcuni mercati finanziari europei; analogie che 
inducono ad una loro analisi statistica di tipo multivariato. 
1.1 Tre fondamentali oggetti d’analisi: prezzi, rendimenti e volatilità 
Ogni giorno nei mercati finanziari di tutto il mondo milioni di soggetti (traders) 
eseguono operazioni di compravendita sui titoli quotati. Negli ultimi anni poi, con lo 
sviluppo delle tecnologie informatiche e con la possibilità di poter effettuare operazioni 
anche dal salotto di casa propria (il cd trading online), il volume medio giornaliero delle 
transazioni effettuate è aumentato notevolmente, rendendo lo studio di questa disciplina 
di estrema attualità. 
7 
Le motivazioni che spingono un individuo ad operare nei mercati finanziari 
possono essere di varia natura. Alcuni traders possono agire per esigenze di utilità, come 
ad esempio un investimento sui propri risparmi, oppure una divisione o una copertura dei 
rischi su operazioni future incerte che questi dovranno compiere; altri, come ad esempio 
gli speculatori o i dealers, operano con lo scopo principale di conseguire un profitto. 
Esistono diverse tipologie di strumenti finanziari, ciascuna con le proprie 
peculiarità, sulle quali poter effettuare le proprie operazioni. Tra le principali ricordiamo: 
 Le azioni, con le quali si acquisisce una quota del capitale sociale dell’emittente. 
L’azionista acquisirà sia diritti patrimoniali, primo fra tutti la partecipazione agli 
utili, sia diritti amministrativi per quanto riguarda la gestione politica della società. 
Le azioni sono scambiate su mercati specializzati, che possono essere primari (dove 
si trovano i titoli di nuova emissione) o secondari (dove si scambiano i titoli in 
circolazione). 
Durante i giorni di trattative l’incontro fra domanda e offerta di azioni determina il 
prezzo di mercato dell’azione. Poiché questo varia in continuazione nel corso della 
giornata, vengono effettuate delle registrazioni sia all’apertura dei mercati (prezzo 
Open) sia alla chiusura (prezzo Close); inoltre vengono solitamente registrati il 
prezzo più alto della giornata (prezzo High) e quello più basso (prezzo Low); 
ultimo dato che viene registrato durante il giorno di trattative è il volume delle 
azioni scambiate per il titolo; 
 Le obbligazioni, con le quali si acquisisce un credito nei confronti della società 
emittente, la quale si impegna a rimborsare il capitale, maggiorato degli interessi 
stabiliti dal contratto, ad una certa scadenza e, qualora previsto, al pagamento 
periodico delle cedole; 
 Le valute, sulle quali si può investire sia per cercare di sfruttare l’andamento dei 
tassi di cambio per trarne un vantaggio, sia per ottenere una copertura in caso di 
compravendite internazionali; 
 I prodotti derivati, come ad esempio le opzioni, ossia strumenti finanziari il cui 
valore è legato al prezzo di altri strumenti principali, detti sottostanti (materie 
prime, valute, tassi di interesse, titoli o indici azionari). 
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In questo modo, un investitore che vorrà semplicemente mantenere il valore dei 
propri risparmi, potrà acquistare obbligazioni, mentre un altro che vorrà speculare, magari 
sulla base di proprie aspettative future su una determinata società, potrà investire sulle 
azioni da questa emesse. 
Esiste poi una terza categoria di soggetti che opera prevalentemente nei mercati 
valutari, nota come arbitraggisti, che sfrutta la presenza di diverse quotazioni della stessa 
valuta in mercati diversi, in modo da poter trarre un rapido profitto. Se, ad esempio, a 
New York il tasso di cambio dollaro/euro è quotato a 1,1 $/€, mentre a Londra è quotato 
1,2 $/€, un arbitraggista potrebbe scambiare 1000 dollari a New York ottenendo in cambio 
909 euro (1000$/1,1$/€) e subito dopo scambiare i 909 euro a Londra ottenendo 1090 
dollari (909€*1,2$/€), ricavando così un profitto di 90 dollari in pochi minuti. Ovviamente, 
l’aumento della domanda di euro nel mercato americano ed il contemporaneo aumento 
dell’offerta di euro nel mercato inglese, farà in modo che si arrivi rapidamente ad una 
quotazione identica (compresa tra 1,1 $/€ e 1,2 $/€) in entrambe le piazze. 
Indipendentemente dal titolo oggetto di investimento, chiunque desideri operare in 
borsa in maniera efficiente necessiterà di alcune informazioni essenziali. 
La prima di queste informazioni è lo studio sull’andamento del prezzo di ogni 
singolo titolo a cui si è interessati, alla cui base troviamo una disciplina nota come analisi 
1
tecnica, nella quale, principalmente tramite analisi grafiche, si valuta il possibile 
andamento futuro del titolo. 
Economicamente, il prezzo di un titolo rappresenta il costo di ogni singola azione e 
può essere indicizzato dall’istante temporale t al quale viene osservato 
P P(1r), 
tt1t
moltiplicando il valore del prezzo per la quantità totale di azioni quotate dalla stessa 
società si ottiene la capitalizzazione di questa. Sommando le singole capitalizzazioni 
presenti nel mercato di riferimento si ottiene la capitalizzazione di mercato e, infine, 
sommando le singole capitalizzazioni di mercato, si ottiene la capitalizzazione mondiale. 
La capitalizzazione è uno dei fattori maggiormente utilizzati per la classificazione 
delle azioni. Potremo trovare dunque mercati specializzati nei titoli ad elevata 
1
 Per un approfondimento della disciplina si veda Pring (1991) ed Edwards e Magee (1992). 
9 
capitalizzazione (tecnicamente definiti blue chips), solitamente più esposti all’interesse del 
pubblico, e mercati specializzati nei titoli a medio-bassa capitalizzazione (mid e small caps). 
Il prezzo di mercato di un’azione, però, non è certo il fattore di maggior interesse per chi 
effettua un investimento e il motivo è facilmente intuibile: chi opera nei mercati finanziari 
è interessato ai guadagni e alle perdite che i singoli titoli comportano e non al valore 
nominale che questi assumono a fine giornata; per questo motivo, a partire dai prezzi, si 
calcolano i rendimenti dei titoli, i quali rappresentano una buona approssimazione del 
tasso di variazione percentuale. 
Matematicamente, il rendimento di un titolo può essere interpretato come segue 
PP
tt1
 rlogPlogP.
ttt1
P
t1
Terzo e ultimo fattore di importanza cruciale è la volatilità del titolo, ossia il rischio, 
che si corre, effettuando l’investimento, di subire una perdita. E’ stata ampiamente 
dimostrata l’esistenza di una correlazione negativa tra rischio (volatilità) e rendimento, 
2
sulla quale è stata fondata da Markowitz la teoria moderna del portafoglio, ovvero 
l’insieme delle tecniche che consentono di massimizzare il rendimento ottenibile dal 
proprio portafoglio, dato un prefissato valore del rischio. 
Riuscire ad effettuare corrette previsioni sull’andamento della volatilità è un 
obiettivo che molti studiosi si sono posti negli ultimi anni, riuscendo in alcuni casi ad 
ottenere ottimi risultati. 
Vedremo più avanti diversi metodi con i quali è possibile calcolare la volatilità e le 
caratteristiche che questa presenta nelle serie storiche finanziarie. 
1.2 Indici azionari 
Tutte le analisi che affronteremo in questo lavoro avranno come oggetto i principali 
indici azionari europei (tabella 1.1). 
Un indice azionario è un indicatore di sintesi sull’andamento di determinati titoli, 
quotati nei mercati azionari di appartenenza presenti nel paniere di riferimento. 
Solitamente vengono considerati i titoli con le più elevate quote di capitalizzazione sul 
2
 The journal of finance, vol. 7, No. 1, (Mar., 1952), pp. 77-91. 
10 
mercato, quelli più rappresentativi di un determinato settore, quelli che rappresentano 
maggiormente il peso relativo delle attività economiche, e così via. 
Ciascun indice azionario può essere ricondotto ad una delle seguenti categorie: 
 indici come media aritmetica dei prezzi di tutti i k titoli presenti nel paniere 
k
1p
it
I. 

t
fk
i1
t
Il valore f viene detto fattore di correzione e serve per correggere le alterazioni 
t
subite dai titoli nel tempo quali gli splits (ripartizione del capitale sociale su un 
numero maggiore di azioni), le ricapitalizzazioni e il cambiamento nella 
composizione dell’indice. In questo modo si può correttamente eseguire un 
confronto sui valori assunti dall’indice nel corso del tempo anche a seguito di 
modifiche dello stesso. 
Uno dei problemi principali degli indici così calcolati è che l’influenza di 
un’azienda all’interno dell’indice non dipende dalla sua capitalizzazione, ma dal 
prezzo che le proprie azioni assumono sul mercato; 
 indici “ponderati per il valore”, che hanno il vantaggio di eliminare il problema 
visto sopra per l’altra tipologia di indici. Matematicamente vengono determinati 
come media aritmetica ponderata 
kP
it
W
i0
i1
P
1
i0
I 
t
k
f
W
t
i0
i1
dove k indica il numero di titoli che compongono il paniere su cui l’indice viene 
calcolato, P è il prezzo della i-esima azione rilevato al tempo base, P è il prezzo 
i0it
dell’azione al tempo t e W sono i pesi utilizzati per ciascun titolo, che ovviamente 
i0
dipenderanno dal valore di capitalizzazione della società. Anche in questo caso il 
fattore f serve per garantire la continuità dell’indice qualora il paniere di 
t
riferimento subisca aggiornamenti, sia per composizione che per pesi attribuiti a 
ciascuna azione anche in conseguenza di aumenti di capitale circolante. 
11