Tecniche di interrogazione per sensori a reticoli di Bragg

 8 
alla struttura del reticolo di Bragg vengono codificate, sottoforma di variazioni di 
lunghezza d'onda, nel segnale ottico che raggiunge l'elettronica di controllo. 
L'elettronica decodifica il segnale ottico e trasmette i dati delle misure a un PC 
che provvede alla visualizzazione e memorizzazione dei dati. 
Sorge la necessita di implementare un sistema capace di decodificare 
opportunamente queste traslazioni dello spettro del Bragg, attraverso le variazioni 
del segnale riflesso. Tale sistema deve essere affidabile, veloce e nello stesso 
tempo a basso costo.  
Il tipo di tecnica studiato si presta alla realizzazione di sistemi di interrogazione 
per sensori a reticoli di Bragg impiegati in misure dinamiche, ossia quando la 
sollecitazione applicata al Bragg non è uniforme e ci sono rapide fluttuazioni dello 
spetto del FBG. Inoltre, si vogliono raggiungere risoluzioni subpicometriche, 
soprattutto perché una delle possibili applicazioni riguarda i sistemi di 
interrogazione per antenne optoacustiche, dove c’è bisogno di risoluzioni  così 
spinte.  
Il mercato non offre un sistema del genere, quindi questo può essere un valido 
motivo di tale lavoro scientifico.  
Il sistema adoperato introduce una novità fondamentale rispetto al precedente 
sistema da laboratorio. Tale novità consta in una modulazione Double Side Band 
Full Carrier della portante ottica generata dalla sorgente che và ad illuminare il 
sensore. Sostanzialmente, si vuole sfruttare l’informazione contenuta dalle side 
band, prodotte dalla DSB FC, per decodificare un possibile shift del Bragg. Infatti, 
una variazione della lunghezza d’onda di Bragg determina uno sbilanciamento 
delle bande laterali, che indica uno shift del Bragg.  
 9 
 Il Capitolo 1 della presente tesi sarà dedicato alla presentazione di alcune 
tipologie di sensori in fibra ottica, tra le innumerevoli ormai presentate in 
letteratura, che più si prestano alla realizzazione di sistemi di misura per 
applicazioni industriali o, in ogni caso, di largo consumo.  
In particolare saranno richiamati i sensori basati su reticoli di Bragg, che sono 
certamente le strutture più studiate ed impiegate.  
Sarà riportata una trattazione del principio fisico impiegato nell’elemento 
sensibile. Inoltre, le tecniche di interrogazione fino ad ora impiegate. 
Nel capitolo 2 verrà presentata l’analisi numerica del sistema di interrogazione 
proposto, che consta in due fasi. La prima, ottica, vuole simulare ciò che accade 
prima che il segnale venga trasdotto in elettrico, ossia il segnale ottico modulato 
riflesso dal Bragg, con relativa sensibilità allo shift. 
Nella seconda fase si analizza ciò che accade a valle del fotodiodo.  
Nel Capitolo 3 sarà descritto il sistemi di misura realizzato, nelle sue diverse parti: 
l’elemento sensibile, l’elettronica di controllo, i componenti ottici necessari al fine 
di rendere effettivamente possibile la misurazione delle grandezze legate al 
misurando.  
Il Capitolo 4 sarà invece dedicato alla fase sperimentale, dove si è messo in 
pratica ciò che si era simulato al calcolatore: In particolar modo, la 
caratterizzazione del setup, quindi dell’elemento sensibile, e verranno mostrati i 
dati sperimentali opportunamente elaborati. 
Infine, nel Capitolo 5 verrà descritto nel dettaglio il concetto utilizzato per 
apportare delle migliorie al sistema analizzato, con relativa fase numerica. Inoltre, 
le possibili strade da seguire per mettere in pratica tale miglioramento.  
 
 
 10 
CAPITOLO 1 
 
SENSORI A RETICOLI DI BRAGG 
 
 
1.1  Introduzione 
 
Al fine di progettare reticoli in fibra ottica, è necessario possedere specifici 
strumenti matematici utili per le loro analisi e sintesi. In questo capitolo viene 
illustrata la teoria dei modi accoppiati che si è rivelata un efficace strumento per la 
descrizione della propagazione dei campi elettromagnetici in fibra ottica, quindi, il 
punto di partenza per la caratterizzazione ed il progetto di sensori in fibra. Nel 
capitolo sarà tracciata, in modo necessariamente sintetico, una panoramica sullo 
stato attuale della sensoristica in fibra ottica. Innanzitutto saranno cercate le 
ragioni che giustificano il notevole e crescente interesse che la fibra suscita come 
supporto fisico non solo per applicazioni nel settore delle telecomunicazioni, ma 
anche di sensoristica. 
 Nel seguito del Capitolo saranno riportate alcune delle tecniche di sensing più 
studiate e più utilizzate in applicazioni anche commerciali, selezionate tra le 
innumerevoli presenti ormai in letteratura. 
 
 
1.1 I reticoli di Bragg 
 
 
Le strutture in fibra ottica che impiegano i fiber Bragg grating (FBG) sono tra le 
più studiate e certamente quelle che contano il maggior numero di applicazioni 
 11 
commerciali, nella realizzazione sia di sensori che di particolari filtri adottati in 
diverse applicazioni. Inoltre i sensori basati su FBG, essendo di piccole 
dimensioni, risultano non invasivi, sono dunque i candidati ideali per applicazioni 
di monitoraggio delle così dette strutture ‘smart’.

Un reticolo di Bragg in fibra è un segmento di fibra ottica nel cui nucleo è 
impressa una variazione permanente dell’indice di rifrazione, secondo una 
modulazione periodica o quasi periodica.  
Una tipica fibra ottica è mostrata in Figura 1.1: la fibra è costituita da una parte 
interna detta core, con un indice di rifrazione n1 e da una parte esterna chiamata 
cladding, con indice di rifrazione n2.  
 
Figura 1.1 Principio di funzionamento della fibra ottica 
 
Le fibre ottiche sono realizzate in vetro o polimeri e sono usualmente rivestite con 
una guaina protettiva. L'indice di rifrazione n1 è leggermente maggiore di n2 e 
questa caratteristica premette alla fibra ottica di guidare al suo interno i raggi di 
luce che entrano con un angolo, rispetto all'asse della fibra, maggiore dell’angolo 
di riflessione totale. I raggi che entrano con angoli inferiori a quello limite, 
vengono rifratti nel cladding e quindi persi. 
Le fibre ottiche possono essere singolo-modo o multi-modo a seconda che la luce 
propaghi all'interno delle fibra su un solo percorso o su più percorsi; questa 
caratteristica dipende dalla lunghezza d'onda della luce inviata nella fibra ottica e 
dalle dimensioni geometriche della fibra stessa[1]. 
 12 
Le fibre ottiche impiegate per realizzare i reticoli di Bragg sono in vetro di tipo 
singolo modo alla lunghezza d'onda d' impiego che, per le applicazioni nel campo 
delle telecomunicazioni e dei sensori, è usualmente nella banda ottica 
dell'infrarosso (tra 1,3 e 1,6 mm). Il diametro tipico di una fibra ottica 
monomodale è di 0,125 mm, che diventano 0,250 mm considerando anche la 
guaina protettiva. 
Quando una radiazione elettromagnetica si propaga all’interno di un tratto di 
guida corrugata dove si alternano regioni ad alto e basso indice di rifrazione,  essa 
viene parzialmente riflessa ad ogni interfaccia [2].  
 
Figura 1.2 Principio di funzionamento del reticolo di Bragg in fibra ottica. 
Se la spaziatura tra queste due regioni è tale che tutte le riflessioni parziali si 
sommano in fase, la riflessione totale del raggio in ingresso può crescere fino a 
raggiungere il 100%, anche se le singole riflessioni parziali sono estremamente 
basse. 
Naturalmente questa condizione di alta riflettività è verificata solo per delle 
specifiche lunghezze d’onda che sono funzione del periodo della modulazione: in 
particolare il reticolo ne riflette un intervallo molto stretto, centrato intorno alla 
lunghezza d’onda di Bragg λ B  definita dalla relazione: 
Λ= effB n2λ                                            (1.1) 
 13 
dove effn  è l’indice di rifrazione efficace relativo al modo propagante e Λ  è il 
periodo spaziale del reticolo. 
Per tutte le altre lunghezze d’onda, le riflessioni parziali si sommano fuori fase 
annullandosi vicendevolmente causando di conseguenza alti valori di intensità nel 
raggio trasmesso 
La creazione dei reticoli di Bragg in fibra è stata resa possibile grazie alla scoperta 
di una importante proprietà del mezzo dielettrico detta  “fotosensibilità”, ossia 
della possibilità di far variare in modo permanente l’indice di rifrazione del nucleo 
di una fibra ottica mediante l’assorbimento di raggi luminosi[3]. 
 
1.1.1 Principio di funzionamento 
 
 
I reticoli di Bragg sono caratterizzati da uno spettro riflesso ottenibile grazie allo 
scambio di potenza che avviene tra il modo co-propagante nel core, e il modo 
contro-propagante che si genera in riflessione a causa della perturbazione 
dell’indice di rifrazione efficace, e quando si verifica una particolare condizione 
detta phase-matching. Utilizzando la teoria dei modi accoppiati, si vuole 
descrivere il meccanismo di accoppiamento che avviene nei reticoli di Bragg. 
Un modo in una fibra ottica è rappresentato da un campo elettromagnetico che si 
propaga in fibra, trasportando energia. Un numero finito di modi guidati viaggia 
nella fibra con costanti di propagazione , funzioni della lunghezza d’onda della 
sorgente ottica e dei parametri della fibra. Tali modi possono essere determinati 
sfruttando le equazioni di Maxwell e le condizioni al contorno del campo elettrico 
e magnetico all’interfaccia core-cladding [4]. Si ha a che fare con modi LP 
(linearly-polarized), ottenuti con delle semplificazioni di Gloge . 
 14 
Un altro set di modi soddisfano le equazioni di Maxwell e le condizioni al 
contorno [5]. Questi modi sono tipicamente detti modi di cladding o di radiazione, 
conseguenza di imperfezioni presenti nella fibra, hanno continue perdite di 
potenza. In poche parole, questi modi non sono guidati dalla fibra[6]. 
Un reticolo in fibra ottica è semplicemente un reticolo di diffrazione, e quindi il 
suo effetto su di una leggera onda incidente con un angolo 1 su di esso può essere 
descritto dall’equazione: 
n sen(2) = n sen(1) + m /   (1.2) 
dove 2 è l’angolo dell’onda diffratta e m un numero intero che indica l’ordine di 
diffrazione. Questa equazione prevede solo le direzioni di 2 in cui si verifica 
l'interferenza costruttiva, ma è comunque in grado di determinare la lunghezza 
d'onda in cui il reticolo accoppia in maniera più efficiente la luce trasportata dai 
due modi. La figura 1.3 illustra la riflessione che avviene nel Bragg, ad opera di 
un modo con angolo 1 in uno stesso modo che viaggia nella direzione opposta 
con un angolo 2 = - 1 . Siccome la costante di propagazione del modo 
(2 / )
eff
nβ pi λ= dove sin( )
eff con n θ= , si può riscrivere la (1.2) per i modi guidati 
come: 
2 1
2m piβ β= +
Λ
.                        (1.3)  
Per la diffrazione del primo ordine, che di solito è quella dominante in FBG, si ha 
m=-1. Questa condizione è illustrata in figura 1.3 ossia il  plot. I cerchi pieni 
rappresentano i modi di core con 
cl eff con n n< < , mentre i cerchi aperti i modi di 
cladding con 1
eff cl
n n< < , e le regioni tratteggiate rappresentano i continui modi 
di radiazione. I valori di  negativi descrivono i modi che si propagano nella 
 15 
direzione –z. Utilizzando la (1.3) ed essendo 2 < 0, si trova che la lunghezza di 
risonanza per la riflessione di un modo di indice 
,1effn in un modo di indice ,2effn è: 
          
,1 ,2( )eff effn nλ = + Λ .       (1.4)  
 
Figura 13 Riflessione del modo di core in un reticolo di Brag; il  plot dimostra la relazione (1.3) 
 
Se i due modi sono identici, si arriva al risultato familiare per la riflessione del 
Bragg: 2
eff
nλ = Λ [7]. 
 
1.1.2  Teoria dei modi accoppiati 
 
La teoria dei modi accoppiati è un buon tool per ottenere informazioni 
quantitative sull’efficienza di diffrazione e sulla dipendenza spettrale dei reticoli 
in fibra ottica. Anche se sono disponibili anche altre tecniche per descrivere tale 
fenomeno, è stata scelta la teoria dei modi accoppiati perché è semplice intuitiva e 
fornisce modelli precisi per le proprietà ottiche di molti reticoli di interesse. 
 16 
Nell’approssimazione dei modi ideali, si assume che la componente trasversa del 
campo elettrico può essere scritta come una sovrapposizione dei modi ideali 
indicati con j (i modi in una guida d’onda ideale senza perturbazione), tale che 
( , , , ) [ ( ) exp( ) ( )exp( )] ( , ) exp( )
t j j j j jt
j
E x y z t A z i z B z i z e x y j tβ β ω= + − −


 

   (1.5) 
dove Aj(z) e Bj(z) sono, rispettivamente, le variazioni delle ampiezze dei modi j 
propaganti nelle direzioni +z e –z. 
I campi trasversi ( , )
jt
e x y


 potrebbero descrivere le condizioni al contorno del core 
o i modi di radiazione LP[8], o i modi di cladding. Poichè in una guida d’onda 
ideale i modi sono ortogonali, e quindi non scambiano energia, la presenza della 
perturbazione dielettrica causa l’accoppiamento dei modi tale che le ampiezze Aj 
e Bj dei modi j-esimi evolvono lungo l’asse z secondo le seguenti equazioni: 
( ) exp[ ( ) ] ( ) exp[ ( ) ]
j t z t z
k kj kj k j k kj kj k j
k k
dA
i A K K i z i B K K i z
dz
β β β β= + − + − − +
 
 (1.6) 
( ) exp[ ( ) ] ( ) exp[ ( ) ]
j t z t z
k kj kj k j k kj kj k j
k k
dB
i A K K i z i B K K i z
dz
β β β β= − − + − + − −
 
 1.7 
Nella (1.6) e (1.7), ( )tkjK z rappresenta il coefficiente di accoppiamento trasverso 
tra i modi j e k ed è uguale a: 
*
( ) ( , , ) ( , ) ( , )
4
t
kj kt jtK z dxdy x y z e x y e x y
ω
ε
∞
= ∆

 

      (1.8) 
Dove  è la perturbazione alla permettività, approssimata a 2n nε δ∆ ≅  quando 
n nδ  . Il coefficiente d’accoppiamento longitudinale ( )z
kj
K z  è analogo a ( )t
kj
K z , 
ma generalmente ( ) ( )z tkj kjK z K z per i modi in fibra, perciò viene solitamente 
trascurato. 
 17 
Nei principali reticoli in fibra il cambiamento dell’indice indotto è 
approssimativamente uniforme lungo il core e non esistente all’esterno del core, 
ed è dato da: 
       
2
( ) ( ) 1 cos ( )effeffn z n z z z
pi
δ δ ν φ
  
= + + 	 
Λ 
 
               (1.9) 
dove effnδ  è la variazione di indice di rifrazione mediata sul singolo periodo del 
reticolo, (z) la fase del reticolo, 	 la visibilità delle frange e  il periodo del 
reticolo. 
Si  può descrivere l’indice del core con l’equazione (1.9) sostituendo ( )effn zδ  con 
( )con zδ . Si definiscono due nuovi coefficienti 
        
*
( ) ( ) ( , ) ( , )
2
co
cokj kt jt
core
n
z n z dxdye x y e x y
ω
σ δ= 

 

                  (1.10) 
( ) ( )
2
kj kjk z z
ν
σ=         (1.11) 
dove 
 è il coefficiente di auto-accoppiamento “dc” e k è il coefficiente di mutuo-
accoppiamento “AC”, e il coefficiente d’accoppiamento generale è: 
                
2
( ) ( ) 2 ( ) cos ( )tkj kj kjK z z k z z z
pi
σ φ = + +
	 
Λ 
       (1.12) 
Le equazioni (1.6)-(1.12) rappresentano le equazioni dei modi accoppiati che 
vengono utilizzate per descrivere lo spettro del Bragg. 
L’interazione dominante in un reticolo di Bragg si ha nell’intorno della lunghezza 
d’onda dove avviene l’accoppiamento di un modo di ampiezza A(z) con un 
medesimo modo contro propagante di ampiezza B(z). In tal caso le equazioni 
(1.6) e (1.7) possono essere semplificate considerando solo i termini che 
includono le ampiezze di un particolare modo[9]. I termini sulla parte destra 
 18 
dell’equazioni differenziali che contengono la dipendenza alle rapide oscillazioni 
lungo z, possono essere trascurati in quanto le ampiezze decadono rapidamente. 
Le equazioni risultanti possono essere scritte nel seguente modo: 
         ˆ ( ) ( )
dR
i R z ikS z
dz
σ= +                       (1.13) 
                  
*
ˆ ( ) ( )
dS
i S z ik R z
dz
σ= − −                            (1.14) 
dove le ampiezze R e S sono ( ) ( )exp( / 2)R z A z i zδ φ≡ − e ( ) ( )exp( /2)S z B z i zδ φ≡ − +  . 
In queste equazioni k è il coefficiente AC dalla (1.11) e σˆ  è un coefficiente di 
auto-accoppiamento generale definito come: 
       
1
ˆ
2
d
dz
φ
σ δ σ≡ + − .                   (1.17) 
Si definisce la variabile di “detunng”, che è indipendente da z per tutto il reticolo, 
ed è la seguente: 
               
1 1
2 ( )D eff
D
n
pi
δ β β β pi
λ λ
≡ − = − = −
Λ
                            (1.18) 
dove 2D effnλ ≡ Λ è la lunghezza d’onda di progetto per lo scattering del Bragg da 
un reticolo debole ( 0)
eff
nδ →  con periodo . 
Perdite di assorbimento nel reticolo possono essere descritte da un coefficiente 
complesso 
, dove il coefficiente di potenza persa è =2Im(
). 
Per un reticolo di Bragg valgono le seguenti relazioni: 
   
2
effn
pi
σ δ
λ
=              (1.19) 
   
*
k k neff
pi
νδ
λ
= =                 (1.20) 
Se il reticolo è uniforme lungo z,  effnδ è costante e / 0d dzφ = , si ha che ,k σ  e 
σˆ  sono costanti. Così, la (1.13) e la (1.14) sono equazioni differenziali del primo 
 19 
ordine accoppiate con coefficienti costanti, per cui soluzioni in forma chiusa 
possono essere ricavate applicando specifiche condizioni al contorno. La 
riflettività di un reticolo di Bragg uniforme di lunghezza L può essere calcolata       
considerando l’ampiezza della componente progressiva del campo all’ingresso del 
reticolo ( R(-L/2)=1 ) sia unitaria, mentre l’ampiezza del campo regressivo 
all’uscita del reticolo ( S(L/2)=0 ) sia nulla.  
La seconda uguaglianza indica che non può esistere una componente regressiva 
del campo per z>L in quanto la perturbazione che lo genera si estende fino a z=L 
e non oltre. 
L’ampiezza del coefficiente di riflessione è data dal rapporto dell’onda regressiva 
e quella progressiva ( / 2) / ( / 2)S L R Lρ = − − , la potenza è il modulo quadro 
2
r ρ= e rispettivamente possono essere mostrate come di seguito [10],[11]: 
         
2 2
2 2 2 2 2 2
ˆsinh( )
ˆ ˆ ˆ ˆsinh( ) cosh( )
k k L
k L i k k L
σ
ρ
σ σ σ σ
− −
=
− + − −
                  (1.21) 
                                   
2 2 2
2
2 2 2
2
ˆsinh ( )
ˆ
ˆcosh ( )
k L
r
k L
k
σ
σ
σ
−
=
− −
        (1.22) 
Definendo N=L/ come il numero totale di periodi del reticolo, se N è grande la 
larghezza di banda dello spettro in riflessione del Bragg diminuisce e viceversa se 
N è piccolo aumenta la banda, per un fissato valore di kL, come mostra la 
figura1.4.  
Dalla (1.22), si trova che la riflettività massima di un reticolo di Bragg è: 
               
2
max tanh ( )r kL=                                         (1.23)   
ed occorre quando ˆ 0σ =  alla lunghezza d’onda max 1
eff
D
eff
n
n
δ
λ λ
 
= + 
 
 
 
 20 
 
Figura 1.4 Riflettività di un reticolo uniforme per diversi valori di kL .  
 
Il motivo per il quale risulta che max Dλ λ≠  è da ricercarsi nel fatto che una 
modulazione positiva dell’indice di rifrazione produce una valore di 0
eff
nδ ≠  . 
 
 
La banda del reticolo è fortemente influenzata dal valore di Kl, come è possibile 
osservare dall’equazione seguente: 
               
2
2 2 2
eff
k L
n L
λ
λ pi
pi
∆ = +                                        (1.24) 
Incrementando la lunghezza del reticolo diminuisce la banda del Bragg. 
Aumentando k, cresce la larghezza di banda. 
Utilizzando l’espressione (1.22) è possibile calcolare la riflettività di un reticolo di 
Bragg uniforme, tramite il software MATLAB, fissando i parametri del FBG.