Una nuova tecnica di compensazione dinamica dei convertitori SAR

Introduzione                                                                                                                   5
fondamentale di tali tecniche Ł il fatto che esse sono valide per qualsiasi convertitore
A/N.
Tuttavia il problema principale della compensazione post-processing Ł la
conoscenza del modello di errore. Si possono quindi delineare due importanti classi
di tecniche di compensazione: quelle effettuate basandosi sulla modellazione a
posteriori dell’errore di non linearit , e quelle basate sulla modellazione a priori.
Lo stato dell’arte delle tecniche di compensazione che rientrano nella prima
categoria Ł senz’altro riassunto dai lavori di F.H. Irons, T.A. Rebold e D. Asta ([20],
[33], [9]) che hanno poi dato origine ai risultati ottenuti dal gruppo di ricerca
costituito da Irons, Hummels e Kennedy dell’Universit  di Maine ([18], [19], [22]).
In tali lavori si modella l’errore di non linearit  sulla base dei risultati sperimentali
ottenuti nella caratterizzazione di ogni singolo convertitore. Si segue un approccio
del tipo phase-plane in cui l’errore Ł caratterizzato in un piano delle fasi costituito
dal codice corrente e dalla pendenza del segnale in ingresso. In questo modo si
ottiene un modello della non linearit  dinamica del convertitore. Proprio perchØ non
viene fatta alcuna assunzione sul tipo di convertitore modellato, occorre una verifica
estremamente dettagliata ed onerosa del convertitore in esame. D’altra parte
l’approccio Ł il piø generico possibile e pu  essere applicato a qualsiasi convertitore
A/N. Una volta ottenuta la modellazione dell’errore, si procede all’elaborazione
numerica dei codici in uscita per minimizzare la distorsione armonica (valutata con
indici come il SINAD: SIgnal-to-Noise And Distortion ratio o l’SFDR: Spurious
Free Dinamic Range).
Negli ultimi anni si Ł assistito ad uno sforzo di ricerca nella modellazione a
priori dell’errore di non linearit  dei convertitori A/N. In pratica si cerca di derivare
un modello analitico-procedurale dell’errore partendo da assunzioni sull’architettura
Introduzione                                                                                                                   6
del tipo di convertitore considerato [7]. In questo modo Ł possibile sfruttare
l’esistenza di un modello analitico per procedere alla compensazione di un
particolare tipo di convertitore riducendo l onere sperimentale per la
caratterizzazione dell’errore dell’approccio precedente [6]. Naturalmente lo
svantaggio di tale approccio Ł la perdita di generalit  conseguente al fatto che
occorre effettuare delle assunzioni sull’architettura del convertitore considerato.
Nel presente lavoro di tesi si propone una nuova tecnica di compensazione
delle non linearit  di un convertitore A/N che prescinde dall approccio sulla
modellazione dell errore. La tecnica proposta non presuppone nessuna assunzione
sul tipo di convertitore considerato, in quanto parte esclusivamente dalla conoscenza
della caratteristica di trasferimento reale del convertitore. In particolare, se si applica
tale tecnica a convertitori di cui si conosce il modello analitico dell’errore di non
linearit , Ł possibile, con poche prove sperimentali risalire alla caratteristica di
trasferimento e, quindi, procedere alla compensazione. Le potenzialit  di tale tecnica
sono ben sfruttate, pertanto, quando si possiede un adeguato modello analitico delle
non linearit  in questione (come avviene per il convertitore ad approssimazioni
successive).
Tramite questa tecnica Ł possibile compensare le non linearit   intrinseche 
nel principio di funzionamento del convertitore SAR [8]. Tale applicazione permette
di evidenziarne le potenzialit  in quanto il convertitore SAR presenta una non
linearit  peculiare di difficile correzione in quanto (i) d  luogo ad una INL minore
dell’LSB; (ii) gli effetti sono invisibili dallo spettro di ampiezza (o di potenza) in
quanto sono esclusivamente costituiti da una distorsione di fase.
Pertanto si proceder  ad una simulazione della tecnica di compensazione
applicata su un convertitore A/N fortemente non lineare per mostrarne l’applicabilit 
Introduzione                                                                                                                   7
anche a convertitori A/N con non linearit  completamente differenti da quelle del
SAR, mentre si proceder  ad una simulazione su un convertitore SAR a 8 bit per
evidenziare al meglio i pregi e i vantaggi di tale tecnica.
PARTE I
STATO DELL’ARTE
CAPITOLO I
La compensazione dei convertitori A/N
I.1 Generalit 
Le attuali tendenze nell’elettronica industriale e di consumo ampliano sempre
piø il mondo digitale a discapito di quello analogico e pertanto determinano una
crescente richiesta di convertitori A/N ad alte prestazioni. Nel progetto e nella
produzione di tali dispositivi, sono purtroppo inevitabili sorgenti di distorsione non
lineare. La ricerca spinge sempre piø verso l’identificazione e la successiva
rimozione di tali sorgenti di distorsione mediante opportuni interventi. Naturalmente
questi miglioramenti dei convertitori A/N sono tanto piø costosi quanto piø incidono
sulla fase di produzione o, addirittura, di progettazione.
Ultimamente, tuttavia, per compensare la distorsione non lineare nei
convertitori A/N sono state ideate diverse tecniche a basso costo e applicabili sui
convertitori gi presenti sul mercato (evitando, quindi, una dispendiosa
riprogettazione del componente). Per rimuovere la distorsione tali tecniche operano
direttamente sui codici in uscita dai convertitori. Si parla, pertanto, di tecniche di
compensazione di tipo post-processing.
Prima di analizzare lo stato dell’arte riguardante tali tecniche di
compensazione, si ritiene opportuno richiamare i principali simboli e definizioni del
presente lavoro di tesi.
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 10
I.2 Simboli e definizioni
Un’operazione di conversione A/N comprende le seguenti tre fasi (fig. 1.1):
• una fase di campionamento che fornisce l’ampiezza del segnale analogico di
ingresso in determinati istanti;
• una fase di quantizzazione che trasforma un intervallo di valori dell’ampiezza del
segnale in ingresso (intervallo di quantizzazione) in un valore numerico;
• una fase di codifica che fa corrispondere (in modo biunivoco) ad ogni valore
numerico risultato della precedente fase di quantizzazione un particolare codice
binario (ad esempio: naturale, in complemento a uno, in complemento a due,
Gray, ecc.).
Quello riportato in figura 1.1 Ł il modello di un convertitore A/N ideale dove
l’unica causa di errore Ł l’errore di quantizzazione.
Di seguito sono riportati simboli e definizioni per la caratterizzazione
metrologica dei convertitori A/N in accordo allo Standard IEEE 1057-1994  IEEE
Standard for Digitizing Waveform Recorders  [38].
Fig. 1.1   Schema convertitore A/N ideale
Codificatore
Campionamento
k
x
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 11
Definizioni
• full-scale range: differenza tra il massimo e il minimo valore dell ingresso
applicabile al convertitore;
• full-scale signal: un segnale che copre in ampiezza l intero range del
convertitore;
• codice binario k: un uscita digitale che corrisponde a un particolare intervallo
dei valori in ingresso (intervallo di quantizzazione del codice k);
• ampiezza ideale del passo di quantizzazione Q: il full-scale range diviso il
numero di codici;
• livello di transizione T[k]: minimo valore del segnale in ingresso che, applicato
al convertitore, determina che in uscita si abbiano il 50% dei codici maggiori o
uguali a k; Ł detto anche soglia di transizione;
• ampiezza del passo di quantizzazione W[k]: differenza tra i livelli di
transizione che delimitano il codice k
W[k]=T[k+1]-T[k]
• guadagno ed offset: costanti tali che, moltiplicata la prima al segnale in ingresso
e sommata poi la seconda, la caratteristica di trasferimento reale coincida con
quella ideale in corrispondenza del primo e dell ultimo codice;
• non linearit  differenziale : differenza fra una specificata ampiezza di un codice
e l ampiezza media dei codici, diviso per l ampiezza media dei codici;
• non linearit  integrale : massima differenza fra i livelli di transizione ideali e
quelli reali, dopo aver corretto l errore di guadagno e l errore di offset.
• spurious free dynamic range (SFDR): rapporto (espresso in dB) tra l ampiezza
della fondamentale e l ampiezza della componente spuria piø significativa.
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 12
Simboli
• k = codice in uscita
• N = numero di bit del convertitore
• FS = full-scale range del convertitore
• M = numero di codice del convertitore pari a 2
N
• Q = ampiezza ideale del passo di quantizzazione pari a 
N
FS
2
• Q  = ampiezza media del passo di quantizzazione pari alla differenza tra l ultimo
e il primo livello di transizione diviso il numero di codici intermedi
• G = guadagno (idealmente pari ad 1)
• V
off
 = tensione di offset (idealmente pari a 0 V)
• T[k] = livello di transizione tra il codice k-1 e il codice k
• T(k) = valore ideale di T[k] pari a T(1)+Q(k-1)
• V
MIN
 = 
2
)1(
Q
T −
• T (k) = coincide con T[k] (k-esimo livello di transiz. per un convertitore reale)
• W[k] = ampiezza del passo di quantizzazione associato al codice k
• DNL = massima non linearit  differenziale su tutti i codici k
• DNL[k] = non linearit  differenziale del codice k
• INL = non linearit  integrale
• INL[k] = 
∑
−
=
⋅
′
1
1
][
k
i
iDNLQ  e coincide con T (k)-T(k) quando T(1)=T (1), cioŁ
dopo aver corretto l errore di guadagno e l errore di offset
• V
0
 = ampiezza della sinusoide in ingresso
• f
0
 = frequenza della sinusoide in ingresso
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 13
• mse = errore quadratico medio
I.3 Compensazione basata su modellazione  a posteriori  e  a
priori  dell errore
Le prime tecniche di compensazione tentavano di rimuovere la distorsione dai
campioni in uscita dai convertitori A/N sottraendo loro un termine di errore
dipendente esclusivamente dal codice binario corrente. L errore veniva determinato
sottraendo dal campione in uscita dal convertitore il corrispondente valore del
segnale in ingresso (stimato in qualche modo), quando in ingresso era presente una
sinusoide con una certa frequenza. Questa compensazione era basata sulla
modellazione  a posteriori  dell errore. La tecnica funzionava piuttosto bene per
frequenze prossime alla frequenza di calibrazione, ma falliva per altri valori della
frequenza in ingresso.
Il punto debole di tale tecnica Ł il fatto che viene utilizzato un modello statico
dell errore. Tale modello schematizza il convertitore A/N nel modo rappresentato in
Fig. 1.2.
L uscita del primo blocco dipende esclusivamente dal valore corrente del
segnale in ingresso e la sua caratteristica di trasferimento non lineare viene
determinata sperimentalmente. Successivamente la compensazione consiste nel
rettificare la funzione di trasferimento non lineare. I risultati ottenuti con tale tecnica
Convertitore A/N
ideale
k
x
Sistema non lineare
senza memoria
Fig. 1.2   Modello convertitore A/N non lineare senza memoria
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 14
sono validi solo per segnali in un ristretto campo di frequenze poichØ tale modello
non tiene conto del comportamento dinamico dell errore. Infatti nella realt  il
sistema non lineare a monte del convertitore A/N, Ł un sistema non lineare
dinamico. Lo sforzo da effettuare era, quindi, quello di generalizzare il modello
dell errore affinchØ tenesse conto anche dei campioni del segnale in ingresso al
convertitore precedenti a quello corrente.
Nel 1986 Irons e Rebold (F.H. Irons   T.A. Rebold [20]) diedero una risposta
a tale ricerca. Essi proposero un modello dell errore del convertitore visto come
funzione del campione in uscita corrente e della derivata del segnale in ingresso. In
questo modo era possibile modellare l errore in condizioni dinamiche.
Una schematizzazione di questo modello pu  essere vista nella fig. 1.3.
Tale modello dinamico non pretende di descrivere completamente il
comportamento del convertitore, ma Ł certamente piø completo del modello statico.
Per quanto riguarda la compensazione, l errore del convertitore viene rappresentato
da una superficie nel piano delle fasi (k,s) dove k Ł il codice corrente in uscita e s Ł
la pendenza del segnale ad inizio conversione. Per questo motivo si parla di  phase-
plane .  Per poter compensare l errore, la soluzione immediata Ł gestire una tabella
bidimensionale in cui si accede tramite  due coordinate  che sono proprio k e s. Il
d/dt
f(x,x )
x
Convertitore A/N ideale
Sistema non lineare con
memoria (del primo ordine)
Fig. 1.3   Modello non linearit  dinamica
k
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 15
problema Ł valutare la pendenza s. Esistono diversi metodi per ottenere tale risultato.
Si possono utilizzare tecniche hardware che impieghino due ADC di cui uno opera
sul segnale lievemente ritardato, in modo da ottenere due valori del segnale in istanti
di tempo molto vicini (la cui differenza Ł molto inferiore al periodo di
campionamento); oppure Ł possibile agire direttamente in software approssimando
la pendenza del segnale con il rapporto incrementale 
c
nn
c
T
xx
nTx
1
)(
−
−
≅

 o
impiegando un filtro FIR che agisca da differenziatore sui campioni in uscita.
Comunque occorre identificare la superficie di errore definita nel phase-plane.
Per far questo le prime tecniche impiegate erano basate sulla calibrazione della
superficie di errore mediante l impiego di un tono di frequenza e ampiezza fissate.
L errore veniva determinato sottraendo i valori della sinusoide ideale in ingresso dai
campioni in uscita mediante una simulazione. Quindi si memorizzavano i valori
dell errore nella tabella bidimensionale di cui sopra. I passi venivano ripetuti fino a
riempire l intera tabella.
Successivamente F.H. Irons, D.M. Hummels e S.P. Kennedy hanno migliorato
la procedura di compensazione modellando l errore mediante tre frequenze di
calibrazione anzichØ una sola frequenza [22]. Su questo filone di ricerca si sono poi
innestati altri lavori che cercavano soluzioni migliori per la determinazione
dell errore, per la stima della pendenza del segnale in ingresso, per la
compensazione specifica della distorsione di intermodulazione, ecc. [26], [18], [1].
Come Ł intuibile, il principale vantaggio di questo approccio basato sulla
modellazione  a posteriori  dell errore Ł la genericit  della compensazione che pu 
essere applicata a tutti i tipi di convertitori A/N. Lo svantaggio Ł che occorre
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 16
effettuare una fase di calibrazione in cui bisogna gestire una notevole mole di dati e
misure.
D altra parte negli ultimi anni si sono visti diversi lavori caratterizzati dalla
presenza di un qualche tipo di modellazione  a priori  dell errore di un particolare
convertitore A/N [7], [10], [12]. Ad esempio nel 1993 Abuelma atti [3] ha proposto
un modello matematico dell errore di un convertitore (reale) ad approssimazioni
successive dovuto ad un mismatch dei componenti che causava uno shift dei livelli
di transizioni e, quindi, una non linearit  statica.
Infine si riporta l articolo di Arpaia, Daponte e Michaeli [8] in cui si descrive
il modello delle non linearit  dinamiche dei convertitori ad approssimazioni
successive. Dall analisi di tale modello Ł possibile caratterizzare il comportamento
dinamico dei convertitori SAR (con un basso onere sperimentale) e, quindi,
effettuarne una compensazione. Essendo questo l argomento centrale del presente
lavoro di tesi, nel paragrafo successivo verranno riportati i risultati fondamentali
derivati dall articolo su citato.
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 17
I.4 Modello matematico delle non linearit  dinamiche del principio
di conversione SAR
In un convertitore SAR (Fig. 1.4) gli N bit che compongono il codice k sono
determinati sequenzialmente, dal piø significativo al meno significativo, mediante
successivi confronti tra il segnale in ingresso x(t) e le tensioni di soglia ottenute
all uscita del DAC al cui ingresso vi Ł il registro ad approssimazioni successive.
Tutto il funzionamento Ł controllato dalla logica di controllo che effettua N passi
che durano ciascuno τ
0
 secondi. quindi dopo Nτ
0
 secondi dall inizio della
conversione (SOC alto), il codice binario Ł pronto in uscita (EOC alto).
Sia b
N-1
 l MSB del registro binario e sia b
0
 l LSB. Si supponga che il segnale
SOC venga applicato all istante t = 0. La logica di controllo pone tutti i bit a zero
escluso b
N-1
 che viene posto a  1 . All istante t = τ
0
  si effettua il confronto tra x(t) e
Comparatore
Logica di
controllo
Registro ad
approssimazioni
successive
DAC
x(t)
SOC
EOC
k
Fig. 1.4   Schema di un convertitore SAR
Capitolo 1   La compensazione dei convertitori A/N                                                 18
l uscita del DAC (che Ł pari a T(2
N-1
) ). Se x(t) Ł maggiore dell uscita del DAC il bit
b
N-1
 rimane posizionato a  1  altrimenti la logica di controllo lo posiziona a  0 .
A questo punto viene posto a  1  il bit b
N-2
 e si procede ad un ulteriore
confronto. Il ciclo si ripete per ognuno degli N bit del registro e solo all istante t =
Nτ
0
  verr  posizionato l LSB. In pratica si d  origine ad una struttura ad albero in cui
ogni nodo rappresenta un confronto ed una successiva decisione (posizionare o
meno il bit corrente a  1 ).
Se durante la conversione il segnale x(t) Ł costante non ci sono problemi. Se,
viceversa, x(t) varia durante la conversione, il convertitore ad approssimazioni
successive si comporta in maniera errata e la sua funzione di trasferimento tanto piø
si discosta dal comportamento reale quanto maggiormente varia il segnale (piø
elevata Ł la sua pendenza). Nelle condizioni nominali di funzionamento il segnale in
ingresso non deve subire una variazione maggiore di un LSB durante tutto il tempo
di conversione, per cui si pone un vincolo sulla massima pendenza del segnale:
0
max
τN
Q
ss
′
=≤
Considerando i valori numerici in gioco nei convertitori reali di questo tipo, il
segnale pu  essere assunto lineare con buona approssimazione in relazione al tempo
di conversione, al periodo di campionamento e alla sua frequenza massima. Infatti,
per un convertitore reale ad 8 bit con un input range di ±5 V e τ
0
 pari a 1 µs, s
max
 Ł
pari a 4882 V/s per cui una sinusoide di ampiezza 5 V pu  avere una frequenza
massima di 155.42 Hz. PoichØ la frequenza di campionamento massima teorica Ł
l inverso del tempo di conversione (f
c 
≤ 125 ksamples/s), il segnale x(t) Ł ben
approssimato con il suo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine: