Metodi computazionali per lo studio delle varietà di Grassmann: il problema della difettività

nomi omogenei, quelli che sono particolari potenze di forme lineari, le va-
rieta` multisecanti alle varieta` di Veronese hanno dimensione pari a quella
aspettata, tranne in quattro casi eccezionali.
Sfruttando la corrispondenza che mette in relazione le varieta` di Veronese,
legate all’algebra simmetrica, con le varieta` di Grassmann, connesse invece
all’algebra esterna, M. V. Catalisano, A. V. Geramita e A. Gimigliano,
in un articolo del 2002, hanno proposto una congettura secondo la quale le
Grassmanniane difettive corrispondono esattamente alle varieta` di Veronese
difettive. Questa idea si e` rivelata non del tutto corretta, visto che oltre
ad esaminare G(1, 5)2, G(3, 6)3, G(2, 6)3 e G(3, 7)3 (che corrispondono ai
quattro casi difettivi eccezionali), nello stesso articolo si spiega la difettivi-
ta` di G(2, 8)4; tuttavia ci ha offerto lo spunto per affrontare un problema
aperto, su cui si hanno soltanto risultati parziali.
Con l’ausilio del sistema di calcolo Macaulay2, abbiamo tentato di costrui-
re un algoritmo che, dopo aver dato le equazioni per la Grassmanniana
che si intende studiare, sapesse anche calcolare la dimensione della varieta`
multisecante cercata. L’intento era quello di ottenere conferme ai risultati
noti dalla teoria ed insieme ampliare le conoscenze gia` acquisite, mentre
coesisteva la speranza di trovare anche qualche sorpresa, visto che sulle
Grassmanniane di dimensione piuttosto alta non si conosce molto.
Fin da subito sono sorte difficolta` computazionali considerevoli.
Il primo problema che si e` posto riguardava la definizione stessa della va-
rieta` Grassmanniana; tale questione e` stata affrontata con metodi diver-
vi
si, che hanno condotto a risultati sempre piu` raffinati e rapidi dal punto
di vista computazionale. Cos`ı siamo partiti dalla semplice definizione di
coordinate pluckeriane, nella tappa successiva abbiamo introdotto le re-
lazioni di Plu¨cker ed infine le equazioni parametriche; l’ultimo algoritmo
elaborato ha consentito di giungere alla definizione della Grassmanniana
G(4, 11) ⊂ P791.
In secondo luogo, abbiamo dovuto definire le varieta` delle multisecanti alle
Grassmanniane e calcolare la loro dimensione, per controllarne la difettivi-
ta`.
In un primo momento, abbiamo optato per un algoritmo deterministico
che fornisse le equazioni per una G(k, n)s partendo dalla sua semplice
definizione come chiusura dell’unione degli spazi generati da s punti gene-
rici di G(k, n); ma questa strada si e` mostrata troppo ambiziosa, perche´
prevedeva calcoli cos`ı impegnativi che il computer non riusciva a conclu-
derli positivamente, se non per dimensioni molto basse.
Percio` abbiamo tentato la via probabilistica.
I punti generici della Grassmanniana sono allora stati presi a caso, confi-
dando nel fatto che, qualora la dimensione trovata fosse quella aspettata,
il risultato sarebbe stato sicuramente corretto, mentre nel caso contrario
avremmo dovuto compiere ulteriori verifiche.
L’approccio probabilistico ha ridotto lo studio della difettivita` al calcolo del
rango di certe matrici a coefficienti costanti, con ordini molto grandi (in-
torno al migliaio); l’ultimo risultato che l’algoritmo ha potuto mostrare,
vii
prima che il computer esaurisse la sua memoria, ha riguardato G(4, 11)5.
Purtroppo non abbiamo conseguito nessuna novita` che interessasse Grass-
manniane difettive ancora sconosciute, sebbene gli algoritmi che abbiamo
costruito possano essere ancora perfezionati e siano in grado, speriamo, di
contribuire ad ampliare le conoscenze in questo settore.
La tesi si articola in sei capitoli.
Nel primo capitolo sono raccolti alcuni richiami di algebra lineare e multi-
lineare, indispensabili per poter definire le varieta` di Grassmann.
Nel secondo capitolo approfondiamo la trattazione delle relazioni di
Plu¨cker, spiegando anche un risultato teorico che consente una descrizione
locale della Grassmanniana e che si e` rivelato utile ai fini computazionali.
Inoltre indichiamo una formula che fornisce la dimensione delle quadriche
di Plu¨cker per G(k, n):
dim(I(G)2) = 1
2
(
n+ 1
k + 1
)
[
(
n+ 1
k + 1
)
+ 1
]
−
(
n+ 2
k + 1
)(
n+ 1
k + 2
)
1
n− k .
Nel terzo capitolo definiamo le varieta` tangenti TX e multisecanti Xs ad
una varieta` generica X e ricordiamo il lemma di Terracini:
< Tx1X, . . . , TxsX >= TzXs
per ogni z in un aperto U di Xs, x1, . . . , xs ∈ X, z ∈< x1, . . . , xs >.
Un corollario di questo teorema assicura che la dimensione della varieta`
viii
s-secante ad una Grassmanniana G e` pari alla dimensione dello spazio ge-
nerato dagli spazi tangenti a G in s punti; in quest’ultima formulazione, il
lemma di Terracini si e` rivelato di fondamentale importanza nell’ideazione
degli algoritmi probabilistici.
Nel quarto capitolo trattiamo la questione centrale della presente tesi, la
difettivita` delle multisecanti alle Grassmanniane; illustriamo i risultati
esposti nell’articolo di M. V. Catalisano, A. V. Geramita e A. Gimigliano
e la loro congettura.
Il quinto capitolo e` dedicato alla descrizione dell’algoritmo deterministico,
che ha costituito il primo approccio computazionale al problema della difet-
tivia` che ci siamo proposti.
Nel sesto capitolo, invece, si da` spazio alla spiegazione della struttura degli
algoritmi probabilistici e se ne osservano i limiti.
Le due appendici, infine, contengono rispettivamente i testi degli algoritmi,
accompagnati da alcuni tabulati, e le tabelle in cui sono riassunti gli esiti
positivi raggiunti grazie agli stessi algoritmi.
ix
Ringrazio in primo luogo il professor Giorgio Ottaviani, mio relatore,
perche´ per questa tesi mi ha proposto un argomento che si e` rivelato in
corso d’opera sempre piu` interessante e stimolante.
Inoltre, nelle diverse fasi di realizzazione del lavoro, mi ha offerto la sua
autorevole presenza.
Gran parte di questa tesi presenta i risultati di uno studio svolto al com-
puter: un ringraziamento sincero va al dottor Gianni Ciolli per i suoi
preziosi consigli che mi hanno consentito di approfondire ed applicare le
mie conoscenze sul software Macaulay 2.
Infine sono grata agli studiosi del gruppo fiorentino di Geometria Algebrica
per la pazienza e la disponibilita` che mi hanno sempre concesso.
x
Capitolo 1
Introduzione alle
Grassmanniane
1.1 Richiami di algebra lineare
Nei prossimi paragrafi studieremo spazi vettoriali di dimensione finita su
un campo algebricamente chiuso K di caratteristica diversa da 2.
Sia V uno spazio di dimensione n su K.
Data una base {e1, . . . , en} per V , la base duale per V ∗ si indica con
{e∗1, . . . , e
∗
n} e vale
e∗j(ei) = δi,j =



1 se i = j
0 se i 6= j
Inoltre si ha V ∗
∗ = V .
Definizione 1.1.1. Sia W ⊆ V un sottospazio vettoriale di V ; si dice
1
annullatore di W lo spazio
W⊥ = {ϕ ∈ V ∗ |ϕ(w) = 0 ∀w ∈ W}.
Osservazione 1.1.2. W⊥ e` un sottospazio vettoriale di V ∗ e W⊥⊥ = W .
Definizione 1.1.3. Siano V e W due spazi vettoriali e ϕ : V → W un
omomorfismo. Si dice applicazione trasposta di ϕ l’applicazione
tϕ : W ∗ → V ∗
f 7→ tϕ(f) = f ◦ ϕ.
Proposizione 1.1.4. Siano V e W due spazi vettoriali e ϕ : V → W ∈
Hom(V,W ) un omomorfismo da V in W ; allora valgono le seguenti pro-
prieta` per la trasposta di ϕ:
i) t
t
(ϕ) = ϕ
ii) Ker(tϕ) = (Im(ϕ))⊥.
Dimostrazione
i) Sia ϕ : V → W ∈ Hom(V,W ); per definizione
t
t
ϕ : V → W
e t(tϕ)(v) = v ◦t ϕ = ϕ(v), dunque t
t
ϕ = ϕ.
ii) Prendiamo w∗ ∈ Ker(tϕ), allora 0 =t (ϕ)(w∗) = w∗ ◦ ϕ, quindi
w∗(ϕ(v)) = 0 ∀ v ∈ V , e Ker(tϕ) ⊆ (Im(ϕ))⊥.
Viceversa, prendiamo w∗ ∈ (Im(ϕ))⊥; vale w∗ ◦ ϕ = 0, quindi w∗ ∈
Ker(tϕ) e (Im(ϕ))⊥ ⊆ Ker(tϕ). 
2
1.2 Richiami di algebra multilineare
Definizione 1.2.1. Siano V , W e Z tre spazi vettoriali su K.
Un’applicazione
F : V ×W → Z
e` una applicazione bilineare se e` lineare in ciascuno dei suoi elementi.
Se Z = K si parla di forma bilineare.
Teorema-definizione 1.2.2. Siano V eW due spazi vettoriali suK, allora
esiste un unico spazio vettoriale T su K ed una forma bilineare
τ : V ×W → T
tale che per ogni applicazione bilineare f : V ×W → K esiste un’unica
forma bilineare f∗ : T → K tale che f = f∗ ◦τ , ovvero commuta il seguente
diagramma
τ : V ×W −→ T
f ↘ ↓ f∗
K.
Lo spazio T cos`ı ottenuto si chiama prodotto tensoriale di V e W e
si indica con V ⊗ W . Gli elementi di V ⊗ W si chiamano tensori e si
indicano con v ⊗ w.
Osservazione 1.2.3. Se (v1, . . . , vn) e` una base di V e (w1, . . . , wm) e`
una base di W , allora {τ(vi, wj)} e` una base per T e quindi dim(T ) =
dim(V ) · dim(W ).
E` possibile considerare il prodotto tensoriale come una versione intrin-
seca del concetto di multilinearita`: vale infatti l’isomorfismo
(V ⊗W )∗ ' { spazio delle forme bilineari su V ×W}.
3
In modo del tutto analogo, considerando il prodotto di uno spazio vettoriale
V per se stesso,
Definizione 1.2.4. Un’applicazione
F : V k = V × . . .× V
︸ ︷︷ ︸
k volte
−→ K
e` una forma k- lineare se e` lineare in ciascuno dei suoi elementi.
Possiamo anche studiare le potenze tensoriali di V , ⊗k V = V ⊗ . . .⊗V ,
(k volte), ed identificare le forme k- lineari con le forme lineari sui tensori
di V ∗:
⊗k V ∗ ' { spazio delle forme k- lineari su V k}.
E` definita in modo naturale un’operazione
⊗
k V
∗ ×⊗h V ∗ −→ ⊗k+h V ∗
Definizione 1.2.5. Lo spazio vettoriale T (V ) = ⊕∞k=1 ⊗k V si chiama
algebra tensoriale su V .
Gli elementi di T (V ) hanno la forma
∑
l
∑
i1,...,il∈{1,...,n}
ai1,...,il vi1 ⊗ . . .⊗ vil ,
dove (v1, . . . , vn) e` una base di V , la somma su l e` finita ed i coefficienti
ai1,...,il stanno in K.
Osservazione 1.2.6. L’algebra tensoriale e` di dimensione finita ed e` gra-
duata.
Consideriamo nell’algebra tensoriale T (V ) l’ideale I(V ) generato dagli
elementi della forma v ⊗ w − w ⊗ v, con v, w ∈ V , ed il quoziente
Sym(V ) := T (V )
I(V )
.
4
Denotiamo l’immagine di un tensore vi1 ⊗ . . . ⊗ vik ∈ T (V ) nel quoziente
con la scrittura vi1 · . . . · vik .
Poiche´ I(V ) = ⊕k (I(V ) ∩ ⊗k V ), anche l’algebra Sym(V ) e` graduata:
Sym(V ) := ⊕k Sk(V ),
dove Sk(V ) = ⊗k V
Ik(V )
.
Questa nuova algebra e` stata costruita in modo che i suoi elementi, oltre
a soddisfare le relazioni multilineari dei tensori qualsiasi, soddisfino anche
la commutativita`.
Definizione 1.2.7. Sym(V ) si dice algebra simmetrica su V ed i suoi
elementi si dicono tensori simmetrici.
L’addendo Sk(V ) dell’algebra simmetrica si dice algebra simmetrica di
grado k su V .
Gli elementi di Sk(V ) hanno la forma ∑{i1,...,ik}∈{1,...,n} ai1...ik vi1 · . . . · vik .
Osservazione 1.2.8. L’algebra simmetrica e` un’algebra associativa e com-
mutativa.
Definizione 1.2.9. Una forma k- lineare F : V k → K si dice
simmetrica se
F (vσ(1) . . . vσ(k)) = F (v1 . . . vk)
∀v1, . . . , vk ∈ V e ∀σ ∈ Σk.
Proposizione 1.2.10. I tensori di Sk(V ) sono esattamente i polinomi
omogenei di grado k negli elementi di V .
Dimostrazione
Basta osservare che un elemento di Sk(V ) e` della forma
s =
∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1...ik vi1 . . . vik .
5
Se {e1, . . . , en} e` una base di V , allora
s =
∑
j1,...,jn∈{0,...,n}
bj1...jk e
j1
1 . . . e
jn
n .

Dunque l’algebra simmetrica Sym(V ) si puo` vedere come l’algebra dei
polinomi K[e1, . . . , en].
Teorema 1.2.11. Esiste un unico spazio vettoriale Σ di dimensione finita
su K ed un’applicazione k- lineare simmetrica ϕ : V k → Σ tale che
per ogni spazio vettoriale W ed ogni applicazione k- lineare simmetrica
f : V k → W esiste un’unica applicazione k- lineare f∗ : Σ → W tale
che f = f∗ ◦ ϕ, ovvero commuta il seguente diagramma
ϕ : V k −→ Σ
f ↘ ↓ f∗
W.
Osservazione 1.2.12. La potenza simmetrica Sk(V ) soddisfa questa pro-
prieta`, dunque c’e` una naturale identificazione Σ ' Sk(V ).
Osservazione 1.2.13. Se (v1, . . . , vn) e` una base di V , allora
{ϕ(vi1 , . . . , vik)}1≤i1≤...≤ik≤n e` una base per Σ.
Osservazione 1.2.14. Esiste un isomorfismo
Sym(V k,K) ' (Sk(V ))∗.
Il risultato precedente puo` essere riformulato dicendo che lo spazio delle
forme multilineari simmetriche e` isomorfo allo spazio duale dei tensori sim-
metrici.
6
Osservazione 1.2.15. L’algebra simmetrica completa⊕k Sk(V ) corrisponde
all’algebra dei polinomi su V .
Costruiamo ora un’altra algebra tensoriale.
Consideriamo in T (V ) l’ideale I ′(V ) generato dagli elementi della forma
v ⊗ v con v ∈ V , ed il quoziente
∧
(V ) := T (V )
I ′(V )
.
Denotiamo l’immagine di un tensore vi1 ⊗ . . . ⊗ vik ∈ T (V ) nel quoziente
con la scrittura vi1 ∧ . . . ∧ vik .
Poiche´ I ′(V ) = ⊕k I ′(V ) ∩ ⊗k, anche l’algebra
∧
(V ) e`
∧
(V ) := ⊕k
k∧
(V ),
dove
k∧
(V ) = ⊗k V
I ′k(V )
. Questa nuova algebra e` stata costruita in modo
che i suoi elementi, oltre a soddisfare le relazioni multilineari dei tensori
qualsiasi, soddisfano anche quelle antisimmetriche, cioe`
v ∧ w = −w ∧ v ∀v, w ∈ V,
e quindi v ∧ v = 0.
Da qui, per induzione,
x ∧ y = (−1)kh y ∧ x
∀x ∈
∧k
(V ),∀w ∈
∧h
(V ).
Definizione 1.2.16. ∧(V ) si dice algebra esterna su V ed i suoi ele-
menti si dicono tensori antisimmetrici.
L’addendo
∧k
(V ) dell’algebra esterna si dice algebra esterna di grado
k su V .
Gli elementi di ∧k(V ) hanno la forma ∑{i1,...,ik}∈{1,...,n} ai1...ik vi1∧ . . .∧vik .
7
Osservazione 1.2.17. L’algebra esterna e` un’algebra associativa ed anti-
commutativa in senso graduato.
Definizione 1.2.18. Una forma k- lineare F : V k → K si dice
antisimmetrica se
F (vσ(1) . . . vσ(k)) = (σ)F (v1 . . . vk)
∀v1, . . . , vk ∈ V e ∀σ ∈ Σn, (σ) indica il segno di σ.
Teorema 1.2.19. Siano V e W due spazi vettoriali su K,
f : V k −→ W
una funzione multilineare antisimmetrica, B = {v1, . . . , vk} e C = {w1, . . . , wk}
due sistemi di vettori linearmente indipendenti di V ; sia A = (ai,j) la ma-
trice che esprime gli elementi di C come combinazioni lineari degli elementi
di B, allora
f(w1, . . . , wk) = det(A) f(v1, . . . , vk).
Teorema 1.2.20. Esiste un unico spazio vettoriale Λ di dimensione finita
su K ed un’applicazione k- lineare antisimmetrica λ : V k → Λ tale che
per ogni spazio vettoriale W ed ogni applicazione k- lineare antisimmetrica
f : V k → W esiste un’unica applicazione k- lineare f∗ : Λ → W tale
che f = f∗ ◦ ϕ, ovvero commuta il seguente diagramma
ϕ : V k −→ Σ
f ↘ ↓ f∗
W.
Osservazione 1.2.21. Si puo` dedurre l’unicita` dello spazio Λ del teore-
ma precedente; la potenza simmetrica ∧k(V ) soddisfa questa proprieta`,
dunque c’e` una naturale identificazione Λ ' ∧k(V ).
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Osservazione 1.2.22. Se (v1, . . . , vn) e` una base di V , allora
{λ(vi1 , . . . , vik)}1≤i1≤...≤ik≤n e` una base per Λ.
Osservazione 1.2.23. Esiste un isomorfismo
(
k∧
(V ))∗ ' { forme k- lineari antisimmetriche : V k → K}.
Il risultato precedente puo` essere riformulato dicendo che lo spazio delle
forme multilieari antisimmetriche e` isomorfo allo spazio duale dei tensori
antisimmetrici:
Alt(V k,K) ' (
k∧
(V ))∗.
Ecco riassunte alcune importanti proprieta` dei tensori antisimmetrici:
1) vσ(1) ∧ . . . ∧ vσ(k) = (σ) (v1 ∧ . . . ∧ vk)
2) v1 ∧ . . . ∧ vk 6= 0⇔ v1, . . . , vk sono linearmente indipendenti
3) Se {e1, . . . , en} e` una base per V , allora
{ei1 ∧ . . . ∧ eik |1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n}
e` una base per
∧k
(V ), quindi dim(∧k(V )) = (nk
)
.
Inoltre dim(∧(V )) = ∑nk=0
(n
k
)
= (1 + 1)n = 2n.
Proposizione 1.2.24. Sia V una spazio vettoriale di dimensione n e sia
V ∗ il suo duale. Allora
k∧
(V ) '
n−k∧
(V ∗)⊗
n∧
(V ).
Dimostrazione
Scegliamo una base {e1, . . . , en} per V . Ogni λ ∈
∧n−k
(V ) ed ogni
µ ∈
∧k
(V ) si possono scrivere:
λ =
∑
1≤i1<...<in−k≤n
ai1...in−k ei1 ∧ . . . ∧ ein−k
9