Implementazione e valutazione di algoritmi FFT su piattaforma DSP

Canu Massimiliano – Bellini Jacopo
“Implementazione di algoritmi di FFT su piattaforma DSP”
1.1 - Rappresentazione Numerica di Segnali Geofisici
Il  campo  magnetico,  segnale  alla  base  del  sistema  di  rilevamento  di  anomalie  in 
progettazione presso il NURC, è una grandezza geofisica e può, quindi,  essere trattata 
come tale ai fini di una sua rappresentazione numerica.
Questo segnale rappresenta una funzione spazio-temporale, ovvero dipendente sia dalla 
posizione spaziale in cui viene misurato sia dall’istante di tempo in cui viene acquisita la 
misurazione. Tuttavia, nota la velocità ad ogni istante di tempo, potendo considerare lo 
spazio come funzione del tempo, tale segnale si riduce ad una funzione temporale. Detta 
F(s,t) la funzione campo magnetico terrestre in funzione si spazio e tempo, si ha che:
poiché la variabile spazio può essere considerata, nota la velocità, anch'essa funzione della 
variabile tempo, il campo magnetico può essere ridotto ad una sola funzione temporale:
Potendo  quindi  sempre  considerare  il  segnale  magnetico  rappresentabile  nel  dominio 
temporale,  esso  può  essere  analizzato  nel  dominio  della  frequenza,  utilizzando  gli 
strumenti di base dell’analisi numerica ed in particolare la Trasformata di Fourier e quindi 
l’algoritmo della  FFT,  in  modo  da  ottenere  informazioni  non deducibili  nel  dominio 
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temporale.  Tuttavia,  prima di poter eseguire tale trasformata,  è necessario limitare nel 
tempo il segnale in ingresso e campionarlo opportunamente:
-)  Prima Fase: la funzione viene limitata nel tempo grazie all’utilizzo di una funzione di 
“box car”, ovvero una tradizionale finestratura rettangolare del segnale. L’uso di tale 
funzione introduce una distorsione nello spettro del segnale causale, che diviene la 
convoluzione  tra  lo  spettro  della  box  car  (sinc  con  andamento  esponenziale 
decrescente)  e  lo  spettro  del  segnale  in  esame.  Inoltre  esistono altre  problematiche 
legate  alla  lunghezza  della  finestra  utilizzata;  tuttavia  tali  problematiche  possono 
essere risolte impiegando funzioni “cosinbells” con andamento smooth rispetto alla 
box car, che permettono di ottenere lo spettro del segnale quasi completamente privo 
da effetti di distorsione.
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Fig1. 1:  Differenza tra finestratura normale e "cosine bells"
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-)  Seconda Fase: la funzione causale viene campionata secondo un determinato passo di 
“sampling”. Tale intervallo verrà scelto in funzione della risolutività spettrale che si 
vuole ottenere (ovvero distanza tra un campione ed il successivo) rispettando però il 
fondamentale vincolo del limite imposto dal teorema del campionamento di Nyquist 
(fc >= 2W; dove W è la max freq del segnale ed fc la frequenza di campionamento).
1.2 - L'esperimento CAIMAN
Questo progetto è in realtà un esperimento congiunto tra diversi enti:  Marina Militare 
Italiana, centro di ricerca sottomarino NURC e INGV (Istituto Nazionale di Vulcanologia 
e  Geofisica).  Esso  consiste  nell'  applicazione  di  tecniche  di  alta  definizione  geofisiche  e  
magnetiche in uno scenario di protezione portuale dove,  solitamente,  le misure di fonti 
magnetiche  molto  basse  (come  natanti)  sono  fortemente  disturbate  dal  rumore 
elettromagnetico proveniente da fenomeni naturali ed artificiali dell' ambiente circostante.
1.2.1 - Tecniche e problematiche precedenti
In passato sono già state sviluppate metodi di sorveglianza subacquea basati su tecniche 
magnetiche  che  dipendevano  dal  campo  geomagnetico,  rilevato  in  prossimità  di  una 
particolare barriera di sicurezza; ad esempio per rilevare gli intrusi in una riserva marina 
protetta. Queste tecniche standard si basano sull'  impiego di array di N magnetometri 
(chiamati  Nodal  Warning  Points)  per  misurare  il  campo geomagnetico,  allo  scopo  di 
rilevare  possibili fonti artificiali  di segnale che attraversano uno o più nodal warning 
point. Tuttavia queste metodologie presentavano diverse problematiche, in particolare:
1) Gli array di sorveglianza, grazie alla elevata sensibilità dei magnetometri odierni, 
potrebbero essere effettivamente in grado di rilevare oggetti in movimento anche 
di  piccole  dimensioni,  ma  solo  in  un  ambiente  magnetico  “pulito”.  In  una 
locazione come il porto, dove per diversi motivi il rumore di fondo può essere 
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elevatissimo,  l'accuratezza  della  misura  potrebbe  andare  persa.  Questo  accade 
quando un forte rumore ambientale (come ad esempio stazioni elettriche,  navi, 
ferrovie, eccetera) copre il debole segnale generato dall'intruso subacqueo il quale, 
di conseguenza, non può essere discriminato dall' array di sorveglianza.
2) Una ulteriore problematica viene introdotta dalla naturale variazione del campo 
geomagnetico che, talvolta, può avere la stessa ampiezza della anomalia magnetica 
generata dal passaggio dell' intruso subacqueo stesso.
3) Inoltre,  una  volta  elaborato  il  segnale  ed  avendone  a  disposizione  una  sua 
rappresentazione frequenziale,  il  filtraggio  veniva effettuato secondo procedure 
“tradizionali”  (passa-alto,  passa-basso  o  passa-banda);  introducendo  in  questo 
modo una forte componente soggettiva dovuta alle scelte operative dell' esperto 
che realizzava il sistema di filtraggio (ad esempio nella scelta della frequenza di 
taglio del filtro).
1.2.2 - Metrologia High Definition
Il  metodo  definito  per  l  'esperimento  CAIMAN si  basa  su  una  evoluzione  di  queste 
tecniche e si basa su un meccanismo di rilevamento detto “High Definition Underwater 
Geomagnetism“ (HDUM). Attraverso la misurazione del campo geomagnetico lontano 
dalla barriera  di  sicurezza si  ottiene un segnale che deve essere usato come filtro per 
“ripulire” dal rumore ambientale i segnali provenienti da una rete di  sensori guardia, 
ovvero un array di magnetometri posizionati in alcune locazioni di interesse. Se il segnale 
“target” è presente in uno o più sensori guardia, dopo l' operazione di filtraggio questo 
segnale  sarà  estratto  e  quindi  visibile,  altrimenti  non  verrà  visualizzata  alcuna 
informazione utile .
In  pratica  si  misura  la  differenza  del  segnale  geomagnetico  tra  ogni  coppia  di 
magnetometri usati come “array nodal point”. Ciò che viene rilevato è quindi l'anomalia 
magnetica  che  l'obbiettivo  provoca  avvicinandosi  ad  uno  dei  sensori,  facendo  la 
differenza del  segnale con il  target  con il  segnale di  tutti  gli  altri  nodi dell'  array.  La 
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misura differenziale tra i diversi nodi dell' array quindi permette di eliminare il rumore 
geomagnetico  senza  dover  effettuare  un  processo  di  filtraggio  soggettivo. 
Operativamente parlando il segnale di target può essere rilevato portando in frequenza i 
segnali dei due sensori e deconvoluendoli tra loro, ottenendo il segnale ripulito dal noise. 
Il rilevamento non è quindi più basato sui tradizionali  filtri (passa-basso, passa-banda, 
passa-alto), bensì sarà un sensore di riferimento a determinare le caratteristiche del filtro 
in  modo  dinamico.  Il  parametro  critico  di  questa  tecnica  è  la  posizione  spaziale  del 
magnetometro  di  riferimento,  il  quale  dovrà  essere  posto  in  prossimità  della  rete  di 
sensori guardia al fine di ottenere una misura coerente dell' ambiente elettromagnetico 
che  circonda  i  sensori:  se  infatti  mettessimo il  riferimento  troppo lontano dai  sensori 
guardia, rischieremmo di fare un filtraggio con un rumore che è diverso da quello che 
effettivamente  è presente sui magnetometri di guardia. 
Allo stesso tempo il magnetometro di riferimento non deve neanche essere posto troppo 
vicino ai sensori di guardia per evitare che la misura di rilevamento ambientale venga 
influenzata dal segnale che si vuole rilevare, cioè il “target”.  La distanza tra due sensori  
quindi è determinata da una funzione matematica in grado di determinare tale parametro una 
volta fissata l’intesità della sorgente da ricercare. Questo concetto viene definito coerenza 
spaziale dell' osservazione.
 Le  classiche  tecniche  di  rilevamento  geomagnetico  subacqueo  per  piccoli  obbiettivi 
subiscono un basso rapporto segnale rumore S/N, a causa delle caratteristiche del rumore 
magnetico di fondeo in HF, il quale è in grado di mascherare piuttosto bene le piccole 
fonti magnetiche artificiali. Con la tecnica HDUG sopra descritta invece si riesce ad avere 
un  rapporto  segnale-rumore  più  alto  (attraverso  l'azzeramento  del  campo  magnetico 
terrestre => H(s,t) --> H(s) ). 
Esistono due differenti metodi d' elaborazione a seconda della disposizione dei nodi dell' 
array:
1)  SIMAN (Self-referred Integrated Magnetometers Array Network)  =>  in questi sistemi 
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tutti i magnetometri dell' array sono usati per determinare la “condizione di zero”, 
ovvero la presenza geomagnetica di default per quella zona. Vi sarà poi una unità di 
controllo elettronica che dovrà controllare in sequenza la condizione di zero tra ogni 
coppia di magnetometri dell' array, segnalando ogni funzione differenziale diversa da 
zero: in pratica confronto il segnale rilevato da ogni magnetometro con quello rilevato 
dai  sensori  adiacenti,  per  vedere  se  sono  presenti  anomalie:  se  la  differenza  tra  i 
segnali  provenienti  da  sensori  adiacenti  non  rispetta  la  condizione  di  zero,  allora 
significa che è presente una sorgente magnetica tra i magnetometri considerati. 
I sistemi SIMAN hanno una buone precisione, anche se esiste tuttavia ambiguità nel 
caso in cui un oggetto passi esattamente alla stessa distanza tra un sensore e l'altro. In 
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Fig 1.2: Schema teorico di una rete SIMAN
MAG 1 MAG 2 MAG 3 MAG 4 MAG 5 MAG 6 MAG 7 MAG 8
C
P
U
ΔF12
ΔF23
ΔF34
ΔF45
ΔF56
ΔF67
ΔF78
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
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questo caso si rende necessaria una ulteriore valutazione differenziale con i sensori 
adiacenti.
Vantaggi:  possibilità  di  coprire  aree estese da proteggere e  buona precisione nella 
misura.
Svantaggi:  il  sistema richiede un continuo controllo di “secondo ordine” tra tutti i 
nodi.
2)  RIMAN (Referred Integrated Magnetometers Array Network)  =>  sono dei sistemi 
anch' essi basati su un array di magnetometri (di guardia), ma con l'aggiunta di un 
magnetometro  distaccato,  detto  di  riferimento,  all'  interno  dell'  area  protetta.  La 
“condizione di zero” è ottenuta attraverso il  confronto il  segnale misurato da ogni 
magnetometro facente parte dell' array, con il segnale misurato dal magnetometro di 
riferimento MAG0. La condizione di zero può venire alterata solo in presenza di un 
intruso  in  prossimità  dei  sensori.  Vi  sarà  un'  apposita  unità  di  controllo  che  si 
preoccuperà di effettuare il confronto tra ogni sentinella ed il riferimento, costruendo 
così delle  funzioni differenziali ΔF(1,0) , ΔF(2,0) ... ΔF(N,0). Solo nei punti dove una 
ΔF sarà diversa dalla condizione di zero, allora vorrà dire che sarà passato un intruso. 
Se ad esempio ΔF(6,0) e ΔF(7,0) sono ad un livello non-zero, allora il sub è passato in 
mezzo ai due magnetometri 6 e 7.
Si assume, in questo caso, che in tutta l'area protetta il rumore magnetico dovuto a 
variazioni naturali (HF) o a cause artificiali (HN) sia costante, e quindi identico per 
tutti  i  sensori.  Questa  tecnica  ha  anch'  essa  il  vantaggio  di  esser  precisa,  ma  al 
contrario  non  è  adatta  a  proteggere  aree  troppo  estese  (si  devono  utilizzare  dei 
riferimenti intermedi), in quanto viene a mancare l'ipotesi che il rumore geomagnetico 
rimanga costante.
Lo schema teorico di una rete di tipo RIMAN è schematizzato di seguito:
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Come si è già accennato in precedenza nella trattazione, è importante che la distanza tra i 
magnetometri  sia  calcolata  opportunamente,  anche  tenendo  conto  delle  ridottissime 
intensità  di  variazione magnetica  prodotte  dagli  obbiettivi  che  si  vogliono  prender  in 
considerazione. 
1.2.3 - Rilevamento delle intrusioni
Vediamo ora più in dettaglio come è possibile accorgersi del passaggio di un target. Se 
denominiamo S(t)  il  segnale  già  campionato  proveniente  dal  magnetometro  sentinella 
(ovvero contenente il  target),  ed R(t)  invece il  segnale già campionato proveniente dal 
sensore  di  riferimento;  la  tecnica  di  rilevamento  principale  consiste  nel  trasformare 
entrambi i segnali nel dominio della frequenza tramite la FFT e, dopodiché, sottrarre le 
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Fig 1.3: Schema teorico di una rete RIMAN
MAG 1 MAG 2 MAG 3 MAG 4 MAG 5 MAG 6 MAG 7 MAG 8
MAG 0
C
P
U
ΔF10
ΔF20
ΔF30
ΔF40
ΔF50
ΔF60
ΔF70
ΔF80
1 2 3 4 5 6 7 8
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trasformate così ottenute. In questo modo si riesce ad isolare in modo piuttosto preciso il 
segnale  di  target  T  prodotto  dal  passaggio  del  nostro  obbiettivo.  Per  avere  poi  una 
descrizione temporale del segnale T(t) si effettua la FFT inversa. Tutto il procedimento 
logico è descritto nel seguente schema:
Tramite l'operazione in frequenza S(ω) - R(ω) si riescono quindi ad isolare le intrusioni di 
uno o più elementi, e soprattutto si riesce a discriminare se la variazione osservata è una 
sorgente magnetica di interesse o meno semplicemente guardando l'intensità dello spettro 
del target in quel determinato punto. 
Importante  è  osservare  che  affinché  il  processo  sia  possibile,  entrambi  i  segnali 
provenienti  dai  sensori  devono  contenere  esattamente  lo  stesso  numero  di  campioni, 
altrimenti  la  FFT  non  è  calcolabile.  Teoricamente,  se  I  campioni  temporali  fossero 
“catturati”  esattamente  negli  stessi  istanti  temporali,  l'operazione  di  passaggio  in 
frequenza  risulterebbe  inutile  in  quanto  la  sottrazione  potrebbe  essere  effettuata 
direttamente sui segnali temporali. Tuttavia a causa dell' imprecisione sperimentale degli 
strumenti, le frequenze di campionamento non risultano mai identiche, per questo motivo 
la trasformazione è indispensabile.
1.3 - Strumenti di misura: i magnetometri
Come è facile intuire dal nome dello strumento stesso, il magnetometro è lo strumento di 
misura  del  campo  magnetico.  Esiste  una  grandissima  varietà  di  magnetometri.  Essi 
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Fig 1.4: Elaborazione dei segnali dei sensori
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possono essere suddivisi in due categorie:
• Magnetometri scalari: misurano il modulo del campo magnetico, e lo strumento non 
è in grado di indicare un valore di campo magnetico per ogni dimensione,  ma 
solamente un unico valore del campo magnetico.
• Magnetometri vettoriali: misurano la componente del campo magnetico lungo una 
particolare direzione dello spazio. 
La  misura  delle  componenti  del  campo  lungo  tre  direzioni  indipendenti  permette  di 
definire unicamente il vettore campo magnetico nel punto in cui si effettua la misura.
In generale i magnetometri possono essere suddivisi in 3 grandi famiglie a seconda del 
principio di funzionamento utilizzato per acquisire il valore del campo magnetico in un 
determinato istante di tempo.
1.3.1 - Magnetometro Flux-Gate
Il  principio  di  funzionamento  di  questo  strumento  è  semplice  ed  il  sensore  è  così 
strutturato: 
Due nuclei di super-metallo, affiancati tra loro, vengono avvolti ciascuno da una bobina, 
chiamata bobina secondaria. Su entrambe le bobine secondarie viene quindi indotta una 
corrente, che, in assenza di campo magnetico, risulta essere la stessa a meno del verso. In 
tale situazione la corrente indotta sulla bobina primaria, che è la spira che avvolge entrabe 
le bobine secondarie,  è nulla. In presenza di campo magnetico, una delle due correnti 
delle spire secondarie aumenterà in  modulo mentre l’altra diminuirà, creando cosi sulla 
bobina primaria una corrente non nulla dovuta alla differenza delle due correnti, opposte 
in verso. Grazie a tale misura differenziale sarà possibile ricostruire il valore del campo 
magnetico all’interno del quale i due nuclei di super-metallo sono stati inseriti.
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