Generazione di fasci gemelli accordabili in frequenza e separati mediante un reticolo

Introduzione 2
di Litio [12]. Il sistema (OPO) funziona a soglia: per una potenza del fascio laser di
pompa incidente inferiore a detta soglia il sistema genera radiazione squeezed da vuoto,
ovvero squeezed nella quadratura di fase e con eccitazione coerente nulla; al di sopra
della soglia genera una coppia di fasci gemelli.
Il Niobato di Litio appartiene a una classe di cristalli che dà luogo a un’interazione
parametrica di tipo I che genera coppie di fasci degeneri in polarizzazione. Esiste
un’altra classe di cristalli non lineari, tra cui il più noto è il KTP, che genera, per in-
terazione parametrica, detta di tipo II, fasci gemelli mutuamente ortogonali in polariz-
zazione. Il vantaggio offerto dal primo tipo di interazione rispetto al secondo consiste
in un’accordabilità facile e veloce della frequenza dei gemelli generati in funzione della
temperatura del cristallo. Come rovescio della medaglia, la rivelazione dei fasci gemelli
nel primo caso è un passaggio particolarmente delicato, mentre nel secondo è sufficiente
un separatore di fascio polarizzatore. L’elemento separatore dei fasci gemelli degeneri
in polarizzazione assume un’importanza cruciale; nel nostro esperimento si è scelto di
operare con un reticolo di diffrazione ad alta efficienza in configurazione Littrow.
Una volta separati, i fasci vengono rivelati da una coppia di fotodiodi che con-
sentono di trasferire le proprietà di correlazione dei fotoni alle fotocorrenti. Il seg-
nale differenza delle uscite dei fotodiodi viene processato da un analizzatore di spettro
che fornisce lo spettro di rumore della differenza d’intensità dei gemelli e, quindi, una
misura della correlazione in intensità degli stessi. Per quantificare la riduzione del ru-
more si effettua una calibrazione dello shot noise acquisendo lo spettro di rumore in
intensità sul fascio laser infrarosso. Risultachelariduzionedirumoreètantomag-
giore quanto maggiore è l’efficienza di rivelazione, la larghezza di riga della cavità e
l’accoppiamento della cavità verso l’esterno.
Per l’elevato grado di correlazione fra le intensità i fasci gemelli risultano utili
in numerose applicazioni (si veda [28] e i riferimenti ivi citati), quale la verifica del
padadosso EPR con coppie di fotoni entangled,misurediquantum non demolition,
misure di assorbimento molto debole e quelle spettroscopiche ad elevata risoluzione.
La tesi è così strutturata: nel primo capitolo si accenna all’impianto base dell’ottica
quantistica e si descrivono le proprietà di correlazione del secondo ordine dei campi
quantistici. Si sottolinea che le proprietà quantistiche del campo consentono di ricavare
informazionisullequadratureapartiredamisurediintensità.
Nel secondo capitolo si illustrano i fenomeni ottici non lineari, in particolare
quelli parametrici. Segue la descrizione dell’OPO visto come sistema ottico di contro-
reazione che ottimizza il processo di conversione non lineare all’interno del cristallo
e consente nello stesso tempo di pulire otticamente la coppia di fasci generata. Lo
sviluppo di un modello quantistico del sistema fornisce l’espressione dello spettro delle
fluttuazioni in intensità.
Nel terzo capitolo si descrive l’apparato di generazione dei fasci gemelli indi-
cando i mezzi e i modi sperimentali secondo cui si è configurato il sistema OPO e si è
controllato il suo comportamento, mirando, da un lato, a minimizzare la soglia di os-
cillazione per ottimizzarne l’efficienza di conversione e, dall’altro, a soddisfare le con-
dizioni di conservazione dell’energia e dell’impulso (condizione di phase-matching) e
quella di triplice risonanza.
Nel quarto capitolo si procede alla descrizione dell’apparato di rivelazione dando
particolare risalto alle proprietà di dispersione spaziale, risoluzione ed efficienza del
Introduzione 3
reticolo. Si illustrano le misure di efficienza del reticolo e quelle di sensibilità dei
fotodiodi. Si descrive la calibrazione dello shot noise eseguita sul fascio laser infrarosso
che risulta ben approssimabile da uno stato coerente. Sono riportati gli spettri di rumore
di intensità della differenza dei gemelli per nove differenti separazioni spettrali degli
stessi che coprono un ampio intervallo spettrale. E’ valutata la riduzione di rumore
quantistico sotto il livello dello shot noise e sono confrontati i valori sperimentali di
parametri significativi con quelli teoricamente attesi. Si conclude con un breve cenno
alle innumerevoli applicazioni della luce squeezed.
Infine, sono esposte in appendice le proprietà di anisotropia della classe di cristalli
cui appartiene il Niobato di Litio, quale punto di partenza per la comprensione del
fenomeno del walk-off, (Appendice A) e le caratteristiche ottiche del cristallo a dispo-
sizione (Appendice B).
Capitolo1
Radiazione non-classica esuepropriet di
correlazione
In questo capitolo illustreremo le proprietà di correlazione della radiazione, con
particolare riferimento alla radiazione non-classica. Partiremo, a tal fine, dall’espressione
del campo elettromagnetico quantizzato, dei cui stati introdurremo tre rappresentazioni:
stati numero, stati coerenti, stati squeezed. Analizzeremo l’andamento della varianza
del campo elettrico e la distribuzione nel numero di fotoni per gli stati a minima in-
determinazione, deducendone un criterio di non-classicità della radiazione. Accen-
neremo alle proprietà di fase del campo, perchè da queste discende la possibilità di
indagare sperimentalmente su proprietà delle quadrature del campo a partire da mis-
ure di intensità. Definita poi la funzione di correlazione del generico ordine n-esimo,
focalizzeremo la nostra attenzione su quella del secondo ordine, che interviene negli
esperimenti che misurano la correlazione in intensità dei campi. Riferiremo delle pro-
prietà di correlazione di diversi campi e classici e quantistici. Si evidenzierà il filo che
lega la funzione di correlazione del secondo ordine con la distribuzione nel numero
di fotoni, a sua volta strettamente legata alle caratteristiche in quadratura del campo.
L’esperimento in esame, infatti, mira a dedurre il grado di squeezing in ampiezza del
campo attraverso una misura dello spettro in frequenza delle fluttuazioni d’intensità
ottenuto come trasformata di Fourier della funzione di correlazione del secondo ordine.
1.1 C am po diradiazione non-classica
Lo studio dei comportamenti quantistici della luce richiede, in primo luogo, la quantiz-
zazione del campo elettromagnetico [1].
A partire dalle equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti, espandendo il poten-
ziale vettore del campo elettromagnetico in termini dei modi di una cavità, si perviene
alla seguente espressione del campo elettrico
~
E(~r, t)=i
X
k
µ
}ω
k
2²
0
¶
1
2
h
a
k
~u
k
(~r)e
−iω
k
t
− a
†
k
~u
∗
k
(~r)e
iω
k
t
i
(1)
dove a
k
e a
†
k
sono i coefficienti adimensionali dello sviluppo del campo sull’insieme
completo delle funzioni modo ~u
k
(~r), ω
k
è la frequenza del campo nel modo k-esimo,
²
0
è la permeabilità elettrica nel vuoto. Scegliendo a
k
e a
†
k
quale coppia di operatori
che siano l’uno l’aggiunto dell’altro e che obbediscano alle regole di commutazione
bosoniche, si ottiene per la hamiltoniana del campo elettromagnetico la forma :
H =
X
k
}ω
k
µ
a
†
k
a
k
+
1
2
¶
(2)
4
1.1 Campo di radiazione non-classica 5
coincidente, appunto, con quella di un sistema di oscillatori armonici quantistici in-
dipendenti, dove a
†
k
a
k
= N
k
è l’operatore numero, che conta il numero di fotoni nel k-
esimo modo spaziotemporale e costituisce la controparte quantistica del modulo quadro
dell’ampiezza classica del campo.
Introduciamo, poi, una coppia di operatori di grande utilità nel prosieguo, detti
operatori di quadratura.Definiamo dapprima l’operatore quadratura generalizzata
X(ϑ)=a
†
e
iϑ
+ ae
−iϑ
(3)
Risulta che due quadrature sfasate di π/2 costituiscono una coppia di variabili
coniugate
£
X
ϑ
,X
ϑ+π/2
¤
=2i (4)
per le quali vale dunque la relazione di indeterminazione di Heisenberg
∆X
ϑ
∆X
ϑ+π/2
≥ 1
Si definiscono stati a minima indeterminazione (MUS) quegli stati per i quali la
relazione di Heisenberg vale col segno di uguaglianza
∆X
ϑ
∆X
ϑ+π/2
=1
In particolare, per ϑ=0e ϑ = π/2, la (3) restituisce i seguenti operatori
X(0) = X
1
= a
†
+ a (5)
X(π/2) = X
2
= i(a
†
− a) (6)
che si chiamano rispettivamente qradratura di ampiezza e quadratura di fase. Le loro
espressioni operatoriali coincidono con quelle degli operatori posizione e momento a
meno di una serie di costanti. Diversamente, possono riguardarsi come un campo e lo
stesso sfasato di π/2, come, ad es, il campo elettrico e il campo magnetico. Le (5) e (6)
consentono di esprimere gli operatori di creazione e di distruzione come la somma di
una parte reale e di una immaginaria
a =
X
1
+ iX
2
2
a
†
=
X
1
− iX
2
2
1.1.1Statinum ero o F ock
Gli autostati della hamiltoniana (2), che ammette per autovalori }ω
k
(n
k
+
1
2
), dove n
k
èunintero(n
k
= 0,1,2, ... ,∞), sono indicati con |n
k
i e sono noti come stati numero o
stati Fock. Costituiscono gli autostati dell’operatore numero N
k
= a
†
k
a
k
1.1 Campo di radiazione non-classica 6
a
†
k
a
k
|n
k
i = n
k
|n
k
i
Lo stato fondamentale dell’oscillatore, lo stato vuoto del modo del campo, è
definito dalla relazione:
a
k
|0i =0 (7)
Dalle (2) e (7) segue che l’energia dello stato fondamentale è dato da:
h0|H |0i =
1
2
X
k
}ω
k
Poichè non c’è un limite superiore alle frequenze nella somma sui modi del campo
elettromagnetico, l’energia dello stato fondamentale è infinita. Il che costituisce una
difficoltà concettuale della teoria del campo quantizzato. Comunque, poichè, come
vedremo, gli esperimenti misurano una variazione nell’energia totale del campo elet-
tromagnetico, l’energia infinita di punto zero non comporta alcuna divergenza nella
pratica. E’ interessante osservare che, anche se questo modo del campo non contiene
fotoni, rappresenta, tuttavia, uno stato molto significativo dal punto di vista fisico che
può dar luogo a effetti importanti in virtù delle fluttuazioni non nulle degli operatori di
quadratura. Il vuoto, infatti, non è autostato dell’operatore quadratura, sicchè, mentre
il valor medio è nullo h0|X
ϑ
|0i =0,lefluttuazioni sono non nulle: h0|∆X
2
ϑ
|0i =1.
Gli operatori a
†
k
e a
k
sono gli operatori di creazione e di distruzione di un fotone
di vettore d’onda
~
k e polarizzazione eˆ
k
. La loro applicazione, infatti, sugli stati numero
fornisce
a
k
|n
k
i = n
1/2
k
|n
k
− 1i
a
†
k
|n
k
i =(n
k
+1)
1/2
|n
k
+1i
Per successive applicazioni dell’operatore di creazione sullo stato vuoto si otten-
gono gli stati numero eccitati
|n
k
i =
³
a
†
k
´
n
k
(n
k
!)
1/2
|0i
Gli stati numero sono ortogonali: hm
k
|n
k
i = δ
mn
e costituiscono un insieme
completo:
P
∞
n
k
=0
|n
k
ihn
k
| =1. Poichè la norma di questi autovettori è finita, costitu-
iscono una base ortogonale di vettori di uno spazio di Hilbert.
Gli stati numero, in quanto autostati dell’operatore numero, sono stati del campo
aundefinito numero di fotoni.
1.1 Campo di radiazione non-classica 7
1.1.2Staticoerenti
Questi stati [5] sono generati molto semplicemente usando l’operatore unitario sposta-
mento
D(α)=exp
¡
αa
†
− α
∗
a
¢
dove α è un arbitrario numero complesso.
L’operatore spostamento gode delle seguenti proprietà
D
†
(α)=D
−1
(α)=D(−α)
D
†
(α)aD(α)=a + α
D
†
(α)a
†
D(α)=a
†
+ α
∗
dalle quali discende il suo nome, dato che ”sposta” gli operatori a e a
†
di α e α
∗
rispet-
tivamente.
Lo stato coerente |αi è generato applicando D(α) allo stato vuoto
|αi = D(α) |0i
sicchè gli stati coerenti sono ”vuoto dislocato” nel senso che condividono con lo stato
vuoto le stesse fluttuazioni quantistiche. Nella pratica, in effetti, uno stato coerente è
generato a partire dallo stato vuoto a mezzo di una qualche interazione [2].
Gli stati coerenti possono generarsi pure come autostati dell’operatore di dis-
truzione a
a |αi = α |αi (8)
Poichè a è un operatore non hermitiano i suoi autovalori α sono numeri complessi
corrispondenti alle ampiezze complesse dell’ottica classica. Dunque ogni stato coerente
presenta un’ampiezza e una fase ben definite. Si noti che lo stato vuoto soddisfacendo
la (8) per α=0, è uno stato coerente ovvero lo stato coerente di ampiezza nulla.
Gli stati coerenti contengono un numero indefinito di fotoni; ciò può essere evi-
denziato considerando l’espansione degli stati coerenti nella base degli stati numero
|αi = e
|α|
2
/2
X
n
α
n
(n!)
1/2
|ni
Si osservi pure che la distribuzione di probabilità nel numero di fotoni, che in uno
statonumeroèunadelta,inunostatocoerenteèunadistribuzione di Poisson
P (n)=|hn |αi|
2
=
|α|
2n
n!
e
−|α|
2
la cui ampiezza finita
1.1 Campo di radiazione non-classica 8
∆n¯
2
= |α|
2
coincide col numero medio di fotoni
n¯ = hα| a
†
a |αi = |α|
2
Si osservi che il valor medio del numero di fotoni cresce come |α|
2
,mentrelo
scarto ∆n¯ cresce come |α|, sicchè, per |α|À1,lefluttuazioni relative nel numero
di fotoni ∆n¯/n¯ =1/ |α|¿1, ovvero sono del tutto trascurabili in analogia a un
campo classico stabile nel quale sono totalmente assenti. In altri termini, l’evoluzione
temporale di un campo coerente fortemente eccitato è quasi-classica.
Gli stati coerenti non sono ortogonali, valendo che
|hβ |αi|
2
= e
−|α−β|
2
anche se due stati |αi e |βi divengono approssimativamente ortogonali nel limite |α− β|À
1.
Gli stati coerenti formano un continuo bidimensionale di stati e sono overcom-
pleti, nel senso che ogni sottoinsieme unidimensionale infinito costituisce una base,
come espresso dalla relazione di completezza:
1
π
R
|αihα| d
2
α=1
Nell’ambito della classe più generale dei MUS gli stati coerenti formano un par-
ticolare sottoinsieme possedendo eguale rumore in entrambe le quadrature. Risulta,
difatti, che
(∆X
2
)
2
coh
=1
(∆X
1
)
2
coh
=1
il cui prodotto è il minimo
(∆X
2
∆X
1
)
coh
=1
Quindi resta specificato rigorosamente il senso in cui la descrizione dello stato
di un oscillatore armonico per mezzo di uno stato coerente rappresenta l’approccio più
vicino possibile alla localizzazione classica: lo stato coerente |αi ha ampiezza media
complessa α e costituisce uno stato a minima indeterminazione perX
1
eX
2
con eguale
incertezza nelle due quadrature di fase. Uno stato coerente può essere rappresentato,
come è in figura 1, da un ”cerchio d’errore” nel piano complesso i cui assi sono X
1
e
X
2
. Il centro del cerchio d’errore giace nel punto
¿
X
1
+ iX
2
2
À
= α ed il suo raggio
∆X
1
= ∆X
2
=1èparialleincertezzeinX
1
e X
2
.
Gli stati coerenti hanno un significato fisico in quanto il campo generato da un
laser altamente stabilizzato che operi ben al di sopra della soglia è uno stato coerente,
come pure sono coerenti gli stati della radiazione generati da una corrente classica.
1.1 Campo di radiazione non-classica 9
1.Descrizione nello spazio delle fasi dei valori medi e delle incertezze degli operatori di
quadratura X
1
e X
2
per uno stato coerente
Le proprietà di coerenza del campo di luce e la loro relazione con gli stati coerenti
sarà in seguito illustrata.
1.1.3Statisqueezed
Una generica classe di MUS sono noti come stati squeezed. Esiste ovviamente un’intera
famiglia di stati a minima indeterminazione definiti dalla relazione ∆X
1
∆X
2
=1;
se grafichiamo ∆X
1
in funzione di ∆X
2
, come mostrato in figura 2, gli stati a min-
ima indeterminazione giacciono su un’iperbola, mentre solo i punti che giacciono a
destra di questa iperbola corrispondono a stati fisici. Lo stato coerente, per il quale
∆X
1
= ∆X
2
, è un caso speciale di una più generale classe di stati che possono avere
un’indeterminazione ridotta in una quadratura a spese di un incremento dell’incertezza
sull’altra quadratura (∆X
1
< 1 < ∆X
2
). Questi stati corrispondono alla regione
ombreggiata in figura 2 e saranno qui chiamati stati squeezed (ovvero ”compressi”).
Possono essere generati usando l’operatore di squeeze unitario
S(ε)=exp
µ
1
2
ε
∗
a
2
−
1
2
εa
†2
¶
dove ε = re
2iφ
.
Si osservi che l’operatore squeeze gode delle seguenti utili proprietà di trasfor-
mazione
S
†
(ε)aS(ε)=a cosh r − a
†
e
−2iφ
sinh r
S
†
(ε)a
†
S(ε)=a
†
cosh r − ae
2iφ
sinh r
S
†
(ε)(Y
1
+ iY
2
)S(ε)=Y
1
e
−r
+ iY
2
e
r
(9)