Introduzione
2
piano operativo, o per i risultati non sempre brillanti in termini di performance o per
difficoltà di utilizzo.
Una classe importante, e più recente, è quella che considera l’ipotesi di una volatilità
stocastica. Essa ha attirato l’attenzione delle principali istituzioni finanziarie, in
quanto da una parte consente un notevole miglioramento delle stime dei prezzi reali
delle opzioni e dall’altra riproduce in modo naturale i famosi sorrisi di volatilità. E’
bene tuttavia chiarire che, ad oggi, i modelli a volatilità stocastica non hanno
sostituito Black & Scholes nella prassi operativa. Estensioni e miglioramenti avvenuti
nel corso degli ultimi anni rendono comunque questo filone di studi molto
interessante, e per questo ci si concentrerà su tali lavori.
Il presente lavoro si pone l’obiettivo di analizzare ed approfondire i modelli a
volatilità stocastica, ed in particolare il modello di Heston, come naturale evoluzione
del modello di Black & Scholes.
Nel primo capitolo viene introdotto il concetto di strumento derivato, con
conseguente analisi del mercato internazionale ed italiano, sia ufficiale sia OTC.
Nello stesso capitolo è approfondito il concetto di contratto di opzione, che sarà lo
strumento derivato oggetto esclusivo del lavoro. Dapprima verranno indicati i fattori
generici di analisi di un’opzione, poi verranno analizzate le strategie con cui
realizzare profitti con le opzioni, e le principali strategie di copertura.
Nel secondo capitolo vengono presentati due modelli di pricing molto diffusi: il
modello binomiale e il modello Black & Scholes. Il primo verrà sviluppato seguendo
il lavoro originale e sottolineando come all’aumentare dei nodi, e quindi al diminuire
del passo temporale, tale modello fornisca dei risultati che si avvicinano moltissimo
Introduzione
3
al modello di Black & Scholes. Quest’ultimo modello verrà analizzato seguendo
dapprima il lavoro originale, e poi estendendo l’analisi alle varie considerazioni fatte
nel tempo. Infine, sempre nel secondo capitolo, verranno presentate le greche ed
analizzati i loro utilizzi principali, soprattutto per quanto riguarda la strategia di
delta-gamma hedging.
Il terzo capitolo si apre con l’individuazione delle distorsioni del modello di Black &
Scholes, sottolineandone i limiti. In seguito si analizzerà il concetto di volatilità
stocastica partendo proprio dai volatility smiles e dal concetto di “superficie di
volatilità”. Verranno presi in rassegna tre modelli di pricing in ipotesi di volatilità
stocastica : il modello di Hull & White, il modello di Stein & Stein e il modello di
Heston. Quest’ultimo verrà analizzato per intero seguendo il lavoro originale.
Nel quarto capitolo grazie all’ausilio del software MATLAB si effettuerà un confronto
tra il modello di Heston e il modello di Black & Scholes, dapprima con semplici
esempi teorici, in cui si evidenzieranno le differenze di prezzo per opzioni call di
durata e strike diversi, poi si estenderà l’analisi introducendo parametri più realistici,
soprattutto riguardo la volatilità iniziale. Infine verrà effettuata una simulazione
Monte Carlo per valutare l’efficienza di entrambi i modelli.
Capitolo I – Il mercato dei derivati
4
Capitolo I
IL MERCATO DEI DERIVATI
1.1 Evoluzione del mercato
I derivati sono strumenti finanziari il cui valore dipende da una o più variabili
sottostanti (prezzo di azioni negoziate, o anche prezzo di una commodity o indici di
mercato). La relazione, determinabile attraverso funzioni matematiche, che lega il
valore del derivato al sottostante costituisce il risultato finanziario del derivato (pay-
off).
I prodotti derivati sono utilizzati principalmente per tre finalità:
1. ridurre il rischio finanziario di un portafoglio preesistente (hedging);
2. assumere esposizioni al rischio al fine di conseguire un profitto
(speculazione);
3. conseguire un profitto privo di rischio attraverso transazioni combinate sul
derivato e sul sottostante tali da cogliere eventuali differenze di
valorizzazione (arbitraggio).
Il problema più complesso dei derivati è, da sempre, quello della stima del loro
valore. È un aspetto critico in quanto richiede complesse attività di analisi. La stima
del valore dei prodotti derivati richiede la capacità di simulare i possibili scenari
futuri del sottostante al fine di determinare, per ciascuno scenario, il conseguente
Capitolo I – Il mercato dei derivati
5
valore del pay-off. Pertanto, il valore del derivato è la media dei valori assunti dal
pay-off, ponderati per le probabilità di accadimento di ciascuno scenario, e
opportunamente attualizzata.
Negli ultimi anni, i derivati sono divenuti sempre più importanti nel mondo della
finanza.
I futures e le opzioni vengono attivamente negoziati in moltissime borse, sparse per
tutto il mondo, e i contratti forward, gli swap, e le opzioni stesse vengono
regolarmente trattate dai dealers, dalle società di gestione e da istituzioni finanziarie
nei mercati OTC
1
. Il mercato dei derivati si è molto sviluppato, esistono infatti
derivati “creditizi”, “energetici”, “assicurativi”, su tassi di interesse, su valute e su
azioni. In passato, i derivati sono stati negoziati esclusivamente con il “sistema alle
grida”. Si tratta di far incontrare fisicamente gli operatori nel floor di borsa e di
adottare un insieme complesso di segnali con le mani per indicare le negoziazioni da
effettuare. Negli ultimi anni si è passati dalle contrattazioni “alle grida” alle
contrattazioni elettroniche. In questo caso i trader trasmettono i loro ordini in via
telematica e l’incontro tra domanda ed offerta viene gestito da una piattaforma
dedicata. L’alternativa al mercato ufficiale è il mercato OTC, dove si crea una rete di
dealer che non si incontrano fisicamente ma sono collegati tra loro tramite telefono o
computer.
Spesso per i prodotti più diffusi le istituzioni finanziarie agiscono da market maker e
quindi quotano sia un prezzo bid al quale si impegnano ad acquistare sia un prezzo
ask al quale si impegnano a vendere.
1
Mercati over the counter. Sono mercati la cui negoziazione si svolge al di fuori dei circuiti
borsistici ufficiali
Capitolo I – Il mercato dei derivati
6
1.2 La dimensione del mercato
Sia i mercati dei derivati di borsa sia i mercati dei derivati OTC sono enormi. Anche
se le statistiche che si riferiscono alle due tipologie di mercato non sono esattamente
confrontabili, è chiaro che i mercati dei derivati OTC sono molto più ampi dei
mercati dei derivati di borsa.
La Banca per i Regolamenti Internazionali pubblica dal 1998 le statistiche relative
alle due diverse tipologie di mercato. L'obiettivo delle statistiche semestrali dei
mercati derivati OTC quello di ottenere un’informazione globale sulla dimensione
internazionale e sulle dimensioni e la struttura dei derivati nei mercati dei paesi del
G10. Esse forniscono dati relativi agli importi nozionali e ai valori di mercato delle
transazioni, e permettono di conoscere l'evoluzione di particolari segmenti di
mercato e quindi di monitorarli.
Come è osservabile dalla tabella 1.1, il mercato dei derivati è in continua evoluzione.
Si è passati da un valore lordo di mercato nel 2005 di 10.605 miliardi di dollari a un
valore a fine Giugno 2007 di 11.140 miliardi di dollari, nonostante una flessione nel
2006. Significativo è l’aumento del valore lordo di mercato dei Credit default swap,
che sono contratti la cui funzione è quella di trasferire l'esposizione creditizia di
prodotti a reddito fisso tra le parti
2
. Altrettanto importante è la crescita nell’utilizzo
delle opzioni, sia su valute che su azioni e tassi di interesse, passate da un valore
lordo complessivo di 1.015 miliardi di dollari a 1.811 miliardi di dollari nel Giugno
2007. Questo a sottolineare l’importanza di questo strumento derivato per la sua
2
È un accordo tra un acquirente ed un venditore per mezzo del quale il compratore paga un premio
periodico a fronte di un pagamento da parte del venditore in occasione di un evento relativo ad un
credito (come ad esempio il fallimento del debitore) cui il contratto è riferito
Capitolo I – Il mercato dei derivati
7
flessibilità operativa e per l’importanza nell’utilizzo ai fini di hedging e
speculazione. È comunque evidente come la parte preponderante sia quella
rappresentata dai derivati sui tassi di interesse, che rappresentano il 72% dell’intero
mercato dei derivati OTC, e all’interno di essi gli swap rappresentano il contratto più
utilizzato.
Tabella 1.1 Mercato globale dei derivati over the counter
3
Posizioni in essere, in miliardi di dollari USA
Osservando la tabella 1.1, che mostra l’ammontare complessivo delle transazioni di
borsa sui derivati, è possibile individuare subito una enorme differenza a livello
dimensionale tra i due mercati. Il valore lordo di mercato ufficiale rappresenta infatti
3
Bank for International Settlements – semiannual research - June 2007
Ammontare nozionale Valore lordo di mercato
giu-05 dic-05 giu-06 dic-06 giu-07 giu-05
dic-
05
giu-
06
dic-
06 giu-07
Totale generale 281.493 297.670 369.507 414.290 516.407 10.605 9.749 9.936 9.682 11.140
Contratti su valute 31.081 31.364 38.091 40.239 48.620 1.141 997 1.134 1.264 1.343
A termine 15.081 15.873 19.395 19.870 24.526 464 406 435 468 492
Swap 8.236 8.504 9.669 10.767 12.291 549 453 533 599 617
Opzioni 7.045 6.987 9.027 9.602 11.804 129 138 166 196 235
Contratti su tassi 204.795 211.970 261.960 291.115 346.937 6.699 5.397 5.435 4.820 6.057
FRA 13.973 14.269 18.117 18.668 22.809 31 22 25 32 43
Swap 163.749 169.106 207.042 229.241 271.853 6.077 4.778 4.831 4.157 5.315
Opzioni 27.072 28.596 36.800 43.206 52.275 592 597 579 631 700
Contratti su azioni 4.551 5.793 6.782 7.488 9.202 382 582 671 853 1.116
A termine e swap 1.086 1.177 1.430 1.767 2.599 88 112 147 166 240
Opzioni 3.464 4.617 5.351 5.720 6.603 294 470 523 686 876
Contratti su merci 2.940 5.434 6.394 7.115 7.567 376 871 718 667 670
Oro 288 334 456 640 426 24 51 77 56 47
Altre merci 2.652 5.100 5.938 6.475 7.141 351 820 641 611 623
A termine e swap 1.748 1.909 2.188 2.813 3.447
Opzioni 904 3.191 3.750 3.663 3.694
CDS 10.211 13.908 20.352 28.650 42.580 188 243 294 470 721
Altri contratti 27.915 29.199 35.928 39.682 61.501 1.818 1.659 1.683 1.608 1.233
Capitolo I – Il mercato dei derivati
8
solo il 10% del totale delle transazioni. Pur non essendo direttamente confrontabili,
le due statistiche della Bank of International Settlements forniscono una chiara
visione dell’importanza dei mercati OTC nelle transazioni sui derivati.
Tabella 1.2 Ammontare complessivo delle transazioni in borsa sui derivati
4
Posizioni in essere, in miliardi di dollari USA
Ammontare nozionale Valore lordo di mercato
Future e swaps 24.666 491
Con dealers 8.796 190
Con altre istituzioni finanziarie 10.010 184
Con istituzioni non finanziarie 5.719 117
Currency swaps 12.290 616
Con dealers 4.897 154
Con altre istituzioni finanziarie 5.259 290
Con istituzioni non finanziarie 2.133 172
Opzioni vendute 8.607 175
Con dealers 5.365 108
Con altre istituzioni finanziarie 1.988 43
Con istituzioni non finanziarie 1.253 24
Opzioni acquistate 8.660 167
Con dealers 5.562 110
Con altre istituzioni finanziarie 1.883 37
Con istituzioni non finanziarie 1.213 20
Totale opzioni 11.803 342
Tutti gli strumenti 48.620 1.449
1.2.1 La dimensione del mercato italiano
Nel mese di aprile 2007, l’Ufficio Italiano Cambi ha condotto la consueta indagine
triennale sul volume delle transazioni effettuate sui mercati dei cambi e derivati delle
principali banche residenti.
4
Bank for International Settlements – semiannual research - June 2007
Capitolo I – Il mercato dei derivati
9
L’indagine è stata condotta contemporaneamente da 54 banche centrali e autorità
monetarie sotto l’egida della Bank of International Settlements che provvede a
diffondere i risultati globali preliminari.
L’indagine sul mercato italiano ha riguardato un campione di 27 banche. Si stima che
l’attività di questi intermediari nel settore dei derivati rappresenti il 92% del totale,
mentre nel 2004 era l’84%.
Il volume complessivo dei derivati negoziati ha raggiunto 7.200 miliardi di Euro di
fine 2006, contro i 1.400 di fine 2001.
I risultati del 2007 mostrano un cambiamento nella struttura del mercato rispetto al
2004. Gli strumenti su valute superano in volume gli strumenti sui tassi di interesse e
tornano a rappresentare la componente più importante del mercato.
La tipologia degli strumenti più diffusa rimane quella degli swap i quali hanno un
peso preponderante nel mercato delle valute e dei tassi pari rispettivamente all’83% e
all’82%.
Il volume delle opzioni su valuta è quasi dimezzato, mentre quello delle opzioni su
tassi ha registrato un lieve aumento.
L’utilizzo delle opzioni in Italia rappresenta il 4% del totale mondiale, e il circuito
ufficiale in cui si scambiano maggiormente tali strumenti è l’IDEM
5
gestito da Borsa
S.P.A. Sebbene non siano lo strumento derivato più utilizzato, le opzioni
mantengono la loro importanza per la possibilità di realizzare diverse strategie
operative tramite il loro utilizzo, ed è per questo che saranno oggetto esclusivo del
presente lavoro.
5
Italian Derivatives Market - è nato nel Novembre 1994 con l'inizio della negoziazione per via
telematica del contratto future sull'indice Mib30 (Fib30). Oggi sono quotati futures e mini-futures e
opzioni sull’S&P/MIB e opzioni sui singoli titoli
Capitolo I – Il mercato dei derivati
10
La tabella 1.3 sintetizza quanto descritto finora e permette un confronto sui dati del
2004 con quelli del 2007 con la separazione delle transazioni in valuta da quelle sui
tassi.
Tabella 1.3 Turnover dei prodotti derivati in Italia
6
Posizioni in essere, in milioni di dollari USA
apr-07 apr-04
Generale Euro Generale Euro
Valute 713.520 589.171 492.894 367.984
Spot 213.837 189.821 182.319 142.200
Outright forwards 48.461 40.520 29.111 25.886
Foreign exchange swaps 413.403 328.662 207.861 150.239
Currency swaps 2.393 2.193 4.882 4.719
Opzioni 35.426 27.976 68.722 44.941
Tassi d'interesse 566.889 510.819 795.108 635.211
FRA 48.451 29.883 168.518 122.582
IRS 467.087 431.589 580.870 472.098
Opzioni 51.351 49.347 45.720 40.531
Totale Mercati 1.280.409 1.099.990 1.288.001 1.003.195
1.3 I contratti di opzione
Le opzioni vengono negoziate sia nei mercati ufficiai sia nei mercati OTC. Le
opzioni sono molto diverse dai contratti forward e future. Un’opzione fornisce al
detentore il diritto di “fare qualcosa” ma il possessore non deve necessariamente
esercitare questo diritto; pertanto che l’acquisto di un’opzione richiede il pagamento
di un premio.
Esistono due tipi fondamentali di opzioni:call e put. Le opzioni call danno al
portatore il diritto di acquistare un’attività entro una certa data, ad un prezzo
6
Ufficio Italiano Cambi – indagine triennale sulle transazioni in derivati
Capitolo I – Il mercato dei derivati
11
prefissato. Le opzioni put danno al portatore il diritto di vendere un’attività entro una
certa data a un prezzo prefissato. Il prezzo indicato nel contratto è detto strike price.
Le opzioni “europee” possono essere esercitate solo alla scadenza, le opzioni
“americane” possono essere esercitate in qualsiasi momento durante la loro vita. In
genere, le opzioni negoziate in borsa sono americane e ogni contratto riguarda il
diritto di comprare o vendere 100 azioni.
La principale borsa per la negoziazione di opzioni su azioni è la Chicago Board
Options Exchange
7
.In Europa invece è l’Europe’s Global Financial Marketplace
8
.
La maggior parte delle negoziazioni su valute avviene nei mercati OTC, ma esiste
anche un mercato di borsa che è la Philadelphia Stock Exchange
9
.
Al fine di agevolare gli scambi, la maggior parte delle borse utilizza un sistema di
market maker. Il market maker è colui il quale quota un prezzo denaro e un prezzo
lettera per l’opzione ogni volta che gli sia richiesto. Nel momento in cui fornisce le
quotazioni denaro e lettera, il market maker non sa se il trader che gli ha chiesto le
quotazioni voglia comprare o vendere l’opzione. Naturalmente la lettera è più alta del
denaro e la differenza tra la quotazione lettera e la quotazione denaro è chiamata bid-
ask spread.
Le opzioni dei mercati OTC sono scritte su diverse attività e sono particolarmente
diffuse.
Il principale svantaggio del mercato OTC è che gli acquirenti delle opzioni sono
soggetti al rischio d’insolvenza dei venditori. Gli strumenti trattati sul mercato OTC
sono spesso strutturati dalle istituzioni finanziarie in modo da soddisfare le esigenze
7
CBOE – www.cboe.com
8
EUREX - www.eurexchange.com
9
PHLX – www.phlx.com
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
