Instabilità dell'ergosfera. Un criterio per distinguere i buchi neri da altri oggetti rotanti.

6 Introduzione
nero a simmetria sferica, rotante e carico. Si introdurranno nuovi strumenti che permettono
uno studio piu` approfondito di tali soluzioni e si enunceranno alcuni teoremi generali (Capitolo
2). Le principali proprieta` fisiche di un buco nero verranno discusse nel Capitolo 3, dove si
discuteranno anche i metodi e le difficolta` sperimentali nella rivelazione di questi oggetti.
I concetti descritti nella prima parte verranno poi largamente utilizzati nella seconda
(Capitoli 4, 5 e 6), che rappresenta la parte originale di questa tesi, nella quale si svolgera` uno
studio sull’instabilita` dell’ergosfera scoperta da John Friedman [37]. L’instabilita` dell’ergosfera
interessa tutti i sistemi gravitazionali rotanti, caratterizzati dall’esistenza di una ergosfera
e dalla mancanza di un orizzonte degli eventi. L’origine fisica dell’instabilita` puo` essere
ricondotta al fenomeno della superradianza. Se si considera un’onda di frequenza ω che incide
sull’ergosfera, si puo` dimostrare che, se vale la relazione ω < mΩ (dove Ω e` la velocita` di
rotazione del sistema e m il numero azimutale dell’onda), allora l’onda viene amplificata a spese
del momento angolare dell’oggetto. Inoltre una delle proprieta` caratteristiche dell’ergosfera
e` che, al suo interno, sono ammessi stati di energia negativa. Il processo risultante puo`
essere quindi descritto come un’onda riflessa con energia maggiore dell’onda incidente e una
corrispettiva quantita` di energia negativa che si accumula all’interno dell’ergoregione. In un
buco nero l’energia negativa e` destinata a rimanere intrappolata dentro l’orizzonte degli eventi
e perde qualsiasi connessione causale con l’esterno. Per questo motivo un buco nero rotante
e` stabile, anche in presenza di deboli perturbazioni. Ma, in assenza di orizzonte degli eventi,
l’energia negativa si accumula all’interno dell’ergoregione fino a che la pressione di radiazione
non diventa cos`ı intensa da modificare drasticamente il sistema.
Tuttavia e` fondamentale capire se l’instabilita` dell’ergosfera e` effettiva, ossia calcolare i tempi
caratteristici dell’instabilita` e confrontarli con la scala evolutiva del sistema. Se i tempi
caratteristici risultano confrontabili, o minori, dei tempi di evoluzione allora il sistema e`
effettivamente instabile. Questo significa che una piccola perturbazione, ad esempio una massa
in caduta sul sistema, produrra` un campo gravitazionale che cresce esponenzialmente, fino a
distruggere il sistema. Quindi ci aspettiamo che questi oggetti, in una situazione reale (ossia
non isolati nell’universo), non possano esistere.
Nel 1978 Comins e Schutz [68] hanno svolto i primi calcoli dell’instabilita` dell’ergosfera per
stelle ordinarie. I loro risultati mostrano che una stella ordinaria possiede un’ergosfera solo nel
caso di rotazioni molto rapide e, soprattutto, per stelle ordinarie, l’instabilita` dell’ergosfera e`
completamente trascurabile. Infatti essi hanno calcolato che i tempi caratteristici dell’instabilita`
sono di diversi ordini di grandezza superiori al tempo di Hubble, che fornisce un limite superiore
all’eta` dell’universo.
7Tuttavia si mostrera` che, attualmente, le osservazioni sperimentali non permettono di escludere
a priori l’esistenza di oggetti rotanti ultra-compatti che condividono varie proprieta` di un buco
nero rotante. In particolare si studieranno sistemi gravitazionali rotanti come gravastars, stelle
di bosoni, wormholes e sistemi super-rotanti. Allo stato attuale questi oggetti sono sperimen-
talmente indistinguibili da un buco nero rotante. Questo perche` l’esistenza di un orizzonte
degli eventi, che e` la proprieta` caratteristica di un buco nero, e` difficilmente osservabile. Tutte
le altre proprieta` possono essere condivise da oggetti rotanti ultra-compatti o simulate con una
precisione che le rende sperimentalmente uguali alle proprieta` di un buco nero rotante. Esistono
diverse prove indirette che suggeriscono che i numerosi oggetti compatti osservati (di massa
compresa fra circa 5 e 109.5 masse solari) sono buchi neri, ma manca ancora una definitiva
prova osservativa.
In questa tesi verra` proposto un criterio che permette di distinguere fra un buco nero rotante e
altri sistemi ultra-compatti rotanti. Si dimostrera` infatti che tutti questi oggetti, a differenza
dei buchi neri rotanti, sono instabili per deboli perturbazioni esterne. Verranno principalmente
studiate perturbazioni descritte da deboli campi bosonici non massivi (ad esempio campo
scalare, elettromagnetico e gravitazionale). Si discuteranno i vari metodi e approssimazioni
utilizzate per calcolare i tempi caratteristici dell’instabilita` per gravastars, stelle di bosoni,
wormholes e sistemi super-rotanti. Le metriche che descrivono questi oggetti verranno utilizzate
come background per studiare la dinamica di un debole campo scalare. Essendo le metriche
stazionarie, l’evoluzione temporale del campo classico e` e−iωt, dove ω e` la frequenza, in generale
complessa, dell’onda. Lo studio dell’instabilita` si riduce quindi a calcolare la parte immaginaria
della frequenza. Se Im(ω) > 0 allora il campo crescera` esponenzialmente e il sistema sara`
instabile con un tempo caratteristico τ = 1/Im(ω).
Per studiare l’instabilita` di sistemi compatti come wormholes e oggetti super-rotanti (o
in generale quelli che verranno chiamati oggetti tipo-Kerr) si proporra` un modello, detto
star bomb. In questo modello si considera uno spaziotempo di Kerr, nel quale e` presente
una superficie sferica perfettamente riflettente. Un wormhole e` descritto da una metrica che
differisce da quella di un buco nero solo per una quantita` infinitesima [75]. Questa variazione e`
tale da eliminare l’orizzonte degli eventi, ma lascia invariate molte altre proprieta`. Ad esempio
un wormhole rotante possiede un’ergoregione, come un buco nero di Kerr. Anche i sistemi
super-rotanti (a > M , dove a e` il parametro di rotazione e M e la massa) non presentano un
orizzonte, ma possiedono un’ergoregione identica a quella di un buco nero di Kerr. Entrambi gli
oggetti possiedono inoltre una singolarita` nuda nell’origine, r = 0. In un modello realistico, che
rispetti l’ipotesi di censura cosmica di Penrose [76], la singolarita` nuda deve essere eliminata.
8 Introduzione
Nel caso di wormhole si considerera` la superficie riflettente posta infinitamente vicino alla
posizione del supposto orizzonte. La superficie riflettente descrive una qualche forma di barriera
ultra-compatta (ad esempio la superficie materiale dell’oggetto) che previene la formazione
di una singolarita` nuda. Si discuteranno inoltre i limiti entro cui il modello di star bomb
puo` descrivere stelle ultracompatte la cui materia interagisce debolmente con le perturbazioni
esterne. Non esistono metriche che descrivono un sistema super-rotante in quattro dimensioni.
Percio` questi sistemi verranno descritti dalla metrica di Kerr con a > M , ma introducendo una
superficie rigida riflettente, che circonda l’origine, posta a r0 ∼ 0.
Il meccanismo fisico alla base dell’instabilita` dei due sistemi e` lo stesso. In entrambi i casi
la superficie riflettente e` interna all’ergoregione. Le onde amplificate per superradianza sono
riflesse dallo specchio (che descrive una eventuale superficie materiale) posto vicino al supposto
orizzonte. Parte di queste onde emerge verso infinito trasportando un’energia maggiore di
quella incidente. Questo aumento di energia deve essere bilanciato da un uguale quantitativo
di energia negativa che si accumula all’interno dell’ergoregione. Questo processo si ripete
all’infinito fino a quando la pressione di radiazione interna all’ergoregione non distrugge le
pareti dello specchio. Il sistema risulta quindi instabile.
Le perturbazioni di un campo bosonico non massivo di spin s sono descritte dalle note equazioni
di Teukolsky [62]. I tempi caratteristici dell’instabilita` dell’ergosfera per sistemi tipo-Kerr
verranno calcolati risolvendo analiticamente e numericamente le equazioni di Teukolsky, con op-
portune condizioni al contorno. Si discutera` una risoluzione analitica approssimata, che consiste
nel risolvere le equazioni in regioni asintotiche (all’infinito e in prossimita` dello specchio) e nel
richiedere l’esistenza di una regione intermedia dove le soluzioni asintotiche devono coincidere.
Questa richiesta, assieme alle condizioni al contorno e alla condizione di riflessione perfetta
sullo specchio, permettera` di ottenere un’equazione che lega la frequenza dell’onda risonante e
la posizione dello specchio. Gli zeri di tale equazione rappresentano le autofrequenze risonanti
cercate. Gli zeri saranno calcolati numericamente nel caso generale e analiticamente nel caso
di perturbazione scalare. I risultati analitici verranno inoltre confrontati con quelli ottenuti
mediante un’integrazione numerica delle equazioni di Teukolsky. La trattazione numerica
permettera` inoltre di studiare il modello di star bomb anche per valori dei parametri che non
soddisfano le approssimazioni necessarie alla risoluzione analitica. L’integrazione si effettuera`
partendo da una soluzione asintotica all’infinito e integrando verso la superficie riflettente
usando il metodo di Runge-Kutta. Si ricavera` cos`ı il valore del campo sullo specchio, in funzione
della frequenza. La frequenza verra` fatta variare nel piano complesso fino a quando il valore
del campo sullo specchio e` approssimabile a zero. La relativa frequenza e` l’autofrequenza del
problema e la sua parte immaginaria permette di calcolare il tempo caratteristico dell’instabilita`.
9Per lo studio delle gravastars verranno utilizzati due modelli, introdotti da Mazur e Mottola
[56] e da Chirenti e Rezzolla [48], che descrivono una gravastar non rotante. Si sviluppera`
poi un procedimento analogo a quello introdotto da Thorne e Hartle [59] per ottenere, a
partire dalla soluzione non rotante, la metrica approssimata del sistema lentamente rotante.
Si mostrera` che lo stesso procedimento non puo` essere applicato al tipico modello di stella di
bosoni di Colpi, Shapiro e Wasserman [49], essenzialmente perche` il momento angolare di una
stella di bosoni e` quantizzato. Per descrivere una stella di bosoni rotante si utilizzera` quindi
il modello di Kleihaus, Kunz e List [52]. Il calcolo dell’instabilita` verra` svolto utilizzando
l’approssimazione WKB nel limite di grande momento angolare trasportato dall’onda incidente.
Si dimostrera` che, in questo limite, le equazioni che descrivono la perturbazione scalare di
una gravastar sono uguali a quelle che descrivono una perturbazione gravitazionale assiale di
una stella ordinaria. Dalla conoscenza dei coefficienti di amplificazione calcolati da Teukolsky
e Press [62] per perturbazioni gravitazionali, elettromagnetiche e scalari, ci si aspetta che il
caso scalare rappresenti un limite inferiore all’instabilita` del sistema. Ci si aspetta inoltre
che le perturbazioni gravitazionali, piu` importanti da un punto di vista fisico, siano 4-5 ordini
di grandezza piu` intense delle perturbazioni scalari. I risultati del metodo WKB verranno
confrontati, dove possibile, con i risultati numerici ottenuti mediante un’integrazione delle
equazioni di Klein-Gordon in uno spaziotempo curvo descritto dalla metrica del modello
considerato. Dal confronto risultera` che i risultati del metodo WKB forniscono almeno l’ordine
di grandezza corretto per i tempi caratteristici dell’instabilita`.
Per tutti i sistemi presi in esame, sara` possibile dimostrare che l’ergoregione si forma
per valori molto piu` piccoli del momento angolare (nel caso di oggetti tipo-Kerr, per qualsiasi
valore), rispetto al caso di una stella ordinaria discusso da Comins e Schutz [60]. Questo e`
essenzialmente dovuto alla maggiore compattezza di questi oggetti. E` quindi molto probabile
che un eventuale oggetto rotante di questo tipo sia instabile, in quanto possiede un’ergoregione
ma non possiede un orizzonte degli eventi. Si calcoleranno le frequenze dei modi instabili e
il relativo tempo caratteristico. Si dimostrera` che questi sistemi ultra-compatti rotanti sono
altamente instabili. I tempi caratteristici dell’instabilita` dell’ergosuperficie sono addirittura
minori dei tempi di evoluzione di tali sistemi e variano dai decimi di secondo alla settimana
(per stelle di bosoni e gravastars) a seconda della massa e del momento angolare considerato.
Per oggetti tipo-Kerr i tempi caratteristici sono addirittura circa due ordini di grandezza piu`
brevi. Questo significa che l’evoluzione di gravastars, stelle di bosoni, wormholes e sistemi
super-rotanti e` drasticamente modificata dall’instabilita`, in maniera tale che non ci si aspetta
10 Introduzione
di osservarli in una situazione realistica. Il metodo proposto indica decisamente che un oggetto
ultra-compatto rotante sia effettivamente un buco nero.
Capitolo 2
Buchi neri
In questo capitolo verra` discussa una delle predizioni piu` importanti della RG: l’esistenza dei
buchi neri, oggetti che descrivono deformazioni estreme dello spaziotempo. Tali oggetti hanno
proprieta` molto particolari, essenzialmente dovute alla natura non lineare della RG. In tutto
questo lavoro di tesi si utilizzera` un sistema di unita` di misura per il quale c = G = ~ = 1. In
alcune formule tali costanti verranno rese esplicite per una maggiore chiarezza.
2.1 Relativita` Generale
In letteratura esistono almeno due approcci opposti alla RG: il primo si basa su una serie di
postulati di natura fisica, che permettono di dedurre logicamente la teoria e la sua relazione con
il calcolo differenziale sulle varieta`. Il secondo approccio e` piu` diretto e si basa sulla definizione
di un’azione che permette di ottenere le equazioni della RG. Di fatto nel secondo metodo le
equazioni sono postulate, tuttavia anche il primo metodo non e` esente da difetti, dal momento
che il numero di postulati necessari varia da autore ad autore e non tutti sono stati considerati da
Einstein nel derivare la RG. Esistono diverse monografie (ad esempio [10, 11, 12]) che discutono
in dettaglio sia i postulati su cui si basa la RG, sia le innumerevoli applicazioni delle equazioni
di campo di Einstein. Per quanto riguarda questo lavoro di tesi, verra` brevemente introdotta la
teoria a partire dall’azione di Einstein-Hilbert, ma si discutera` in dettaglio solo la parte relativa
ai buchi neri.
Le equazioni della RG
In questa sezione si ricaveranno le equazioni della RG da un principio variazionale e se ne discu-
teranno le principali proprieta`. Il punto fondamentale consiste nel considerare come variabile
dinamica il tensore metrico gµν . Questo tensore determina tutte le proprieta` geometriche dello
spaziotempo che stiamo considerando e, da un punto di vista fisico, e` la quantita` che permette
11
12 Buchi neri
di definire lunghezze e angoli. L’idea alla base della RG e` che esista una relazione fra il tensore
metrico e lo stato fisico di un sistema. Tale relazione e` estremamente profonda a causa della
natura stessa del tensore metrico. Supponiamo infatti di avere un sistema in un determinato
stato fisico. In una teoria geometrodinamica relativistica, questo stato influenzera` la geometria
dello spaziotempo stesso che, a sua volta, influenzera` la dinamica del sistema. Si noti quindi che,
prima ancora di ricavare le equazioni della RG, la natura non lineare di una teoria geometrica
della gravitazione e` inevitabile. Tutto questo puo` essere riassunto in una fortunata frase di
John Wheeler [12]: lo spazio dice alla materia come muoversi e la materia dice allo spazio come
incurvarsi.
Le equazioni della RG possono essere ricavate considerando l’azione di Einstein-Hilbert [4]
SH =
∫
d4x
√
g(R− 2Λ) , (2.1)
dove R e` lo scalare di curvatura, g = det gµν e` il determinante della metrica (Appendice A) e la
quantita` Λ e` detta costante cosmologica. Tale costante svolge un ruolo importante per quanto
riguarda lo studio dell’evoluzione dell’universo ed e` all’origine del cosiddetto problema della
costante cosmologica [7] che, a tutt’oggi, non e` completamente risolto. Tuttavia essa puo` essere
trascurata su scala non cosmologica e quindi, in tutto questo lavoro, si considerera` sempre Λ = 0.
Pertanto non si discuteranno diversi aspetti che sono legati all’introduzione di tale costante.
Richiedendo che l’azione (2.1) sia stazionaria, δS = 0, per variazioni rispetto alle componenti
del tensore metrico e considerando nulle le variazioni sulla frontiera del dominio di integrazione,
si ottengono le equazioni di Einstein nel vuoto
Rµν −
1
2
Rgµν = 0 , (2.2)
Per ottenere le equazioni gravitazionali anche in presenza di materia si consideri
S = 1
8pi
SH + SM ,
dove SM e` l’azione relativa alla materia presente. Si puo` mostrare che una definizione del tensore
energia-impulso, equivalente a quella usuale ottenuta dal teorema di Noether, e`
Tµν = −
1√−g
δSM
δgµν
. (2.3)
Si puo` mostrare [8] che l’invarianza per diffeomorfismi della teoria1 garantisce che il tensore (2.3)
ha quadri-divergenza nulla. Variando l’azione S rispetto al tensore metrico si ottiene
Rµν −
1
2
Rgµν = 8piTµν , (2.4)
1Un diffeomorfismo puo` essere interpretato fisicamente come una trasformazione attiva del sistema di coor-
dinate. L’invarianza per diffeomorfismi della RG e` la rappresentazione matematica del principio di Relativita`
Generale.
2.1 Relativita` Generale 13
che sono le famose equazioni di Einstein. In realta` la (2.4) rappresenta un sistema di dieci
equazioni differenziali accoppiate e non lineari. Il fascino e l’estrema difficolta` dello studio della
RG sono in gran parte dovuti alla non-linearita` di queste equazioni. Oltre alle equazioni di
campo (2.4) si richiede spesso che il tensore energia-impulso soddisfi la condizione energetica
debole
TµνV µV ν ≥ 0 , (2.5)
dove V µ rappresenta un generico vettore di tipo tempo. Questa condizione generalizza la con-
dizione di massa non negativa che, in uno spaziotempo piatto, e` formulabile come ρ = T00 ≥ 0,
dove ρ rappresenta la densita` di energia. Purtroppo la (2.5) non e` una condizione necessaria
per formulare una teoria di campo relativistica classica, ed e` addirittura quasi sempre violata in
una teoria di campo quantistica (vedere, per esempio, la discussione nel paragrafo 4.3 in [13]).
Ciononostante e` un’ipotesi ragionevole che viene spesso utilizzata per dimostrare i teoremi sui
buchi neri nella fisica classica. Tali teoremi verranno discussi nel seguito di questo capitolo.
Nella discussione precedente si e` supposto che i coefficienti di connessione definiti sulla varieta`,
Γµνρ, siano associati alla metrica, ossia siano definiti univocamente dalla relazione (A.2). In
realta` la relazione (A.2) puo` essere dedotta da un principio variazionale considerando, nella
(2.1), come variabile dinamica oltre che il tensore metrico, anche i coefficienti di connessio-
ne. Variando l’azione rispetto a Γµνρ si ottiene la relazione (A.2). Dunque, nota la metrica, e`
immediato ricavare i coefficienti di connessione dalla (A.2), mentre il problema inverso e` estrema-
mente complesso. Un’applicazione notevole dei coefficienti di connessione riguarda l’equazione
delle geodetiche. Una geodetica e` definita in geometria differenziale sia come la curva di minima
lunghezza che unisce due punti, sia (in maniera equivalente) come la curva che trasporta paral-
lelamente il proprio vettore tangente. Queste definizioni generalizzano il concetto di retta (che
e` infatti una geodetica dello spazio piatto) a varieta` curve. Da queste definizioni equivalenti si
ottiene l’equazione delle geodetiche
d2xµ
dλ2
+ Γµρν
dxρ
dλ
dxν
dλ
= 0 , (2.6)
dove λ e` un parametro affine della curva. La (2.6) descrive il moto di una particella liberamente
gravitante in una varieta` dotata di coefficienti di connessione definiti dalla (A.2). Dalla relazione
(A.2) si nota che in uno spazio piatto i coefficienti di connessione sono nulli, per cui l’equazione
(2.6) si riduce a d2xµ/dλ2 = 0, che e` appunto l’equazione di una retta.
E` interessante notare che la relazione (A.2) si riduce alla seconda legge della dinamica per
campi deboli e statici e per velocita` non relativistiche, ossia considerando una metrica, gµν(r) =
ηµν +  hµν(r), che differisce da quella minkowskiana (A.1) di una quantita` infinitesima  e
considerando velocita` dxν/dτ  1. Nello stesso limite, detto newtoniano, le equazioni per
14 Buchi neri
il campo gravitazionale (2.4) si riducono all’equazione di Poisson ∇2Φ = 4piρ, dove Φ e` il
potenziale gravitazionale newtoniano e ρ = T00 e` la densita` di materia nel caso non relativistico.
In Appendice A sono sintetizzate le principali formule che verranno richiamate nei capitoli
successivi.
Applicazioni e limiti
Le equazioni (2.4) determinano la dinamica del campo gavitazionale e, pertanto, hanno un cam-
po di applicazioni immenso. Esistono numerose monografie [10, 11, 12, 13] che trattano in
maniera esauriente tali applicazioni. Nel seguito ci si limitera` ad elencarne le principali e si
sviluppera` piu` in dettaglio la parte relativa ai buchi neri. Per qualsiasi dettaglio si rimanda alle
monografie citate.
Storicamente furono pensati tre test classici, ossia tre esperimenti, che avrebbero permesso di
verificare, o confutare, la RG. Il primo e` lo spostamento verso il rosso (redshift) gravitaziona-
le, ossia la variazione della frequenza di un’onda che si propaga in un campo gravitazionale.
In realta` questo effetto e` comune a tutte le teorie gravitazionali che si basano sul principio di
equivalenza e non e` quindi una caratteristica della RG. Il secondo fenomeno e` la precessione del
perielio, verificata per la prima volta per il pianeta Mercurio ed in perfetto accordo con la RG.
Il terzo test classico riguarda la deflessione dei raggi luminosi che si propagano in prossimita`
di un oggetto massivo. Bisogna sottolineare che tutti questi effetti sono abbastanza piccoli e
difficilmente misurabili. Questo e` uno dei motivi per cui la RG non ha ricevuto subito un grande
consenso all’interno della comunita` scientifica. Attualmente esistono prove molto piu` stringenti
a riguardo. Una delle principali e` stata la scoperta di oggetti celesti estremamente compatti
come le nane bianche, le stelle di neutroni e le pulsar. Questi oggetti sono perfettamente inqua-
drati nel contesto della RG e, da misurazioni astrofisiche, e` stato possibile verificare la RG con
elevatissima precisione.
Esistono inoltre due predizioni della RG la cui verifica sperimentale sarebbe di primaria impor-
tanza. La prima riguarda l’esistenza dei buchi neri, di cui si discutera` ampiamente in tutta la
tesi. Attualmente esistono numerosi candidati, ossia oggetti celesti che, con ottime probabilita`
sono buchi neri, e la comunita` scientifica e` quasi unanimamente d’accordo nel considerare certa
la loro esistenza. Tuttavia manca ancora una verifica sperimentale diretta a causa di problemi
che verranno discussi in dettaglio nel Capitolo 3. La seconda verifica riguarda la rilevazione
delle onde gravitazionali. Queste sono delle perturbazioni della metrica che si propagano nello
spaziotempo e sono generate dai modi di vibrazione di sistemi gravitazionali [12]. Nella sezione
2.2 si discutera` come una massa oscillante a simmetria sferica produca un campo esterno statico,
per cui le onde gravitazionali sono il prodotto di perturbazioni piu` complesse che deviano dalla
2.1 Relativita` Generale 15
simmetria sferica. Esistono attualmente diversi esperimenti (LIGO, VIRGO, GEO [9]) il cui
obiettivo e` rilevare le onde gravitazionali e verificare se le predizioni della RG a riguardo sono
consistenti. Per completezza va menzionata un’ulteriore area di ricerca, nata con la RG, che
e` la cosmologia. Nel seguito della tesi questo argomento non verra` discusso, ma e` importante
ricordare che le equazioni (2.4) hanno permesso di prendere seriamente in considerazione (da un
punto di vista fisico) lo studio dell’evoluzione dell’intero universo. Esistono numerosi modelli
cosmologici e diverse misure sperimentali che confermano la teoria einsteiniana.
Quantizzazione della gravita` e buchi neri
Un grosso problema teorico di fondo della RG, non ancora risolto, riguarda la sua quantizza-
zione. E` noto il grande successo che, a partire dagli anni ’60 del secolo scorso, hanno avuto le
teorie quantistiche di campo (QFT): inizialmente con l’elettrodinamica quantistica e, piu` recen-
temente, con la quantizzazione e unificazione della teoria elettrodebole e con la cromodinamica
quantistica [5]. Queste teorie sono sviluppate su uno spaziotempo minkowskiano. D’altro canto,
le quantita` osservabili della RG sono classiche. Per questo motivo le QFT in uno spaziotempo
piatto e la RG sono fra loro incompatibili. Ci si aspetta quindi che la RG rappresenti una
teoria quantomeno approssimata, che possa essere ottenuta, nel limite di basse energie, da una
teoria quantistica. Il tentativo di includere la gravitazione in un contesto quantistico e` una delle
principali sfide della fisica teorica e, attualmente, non esiste una definitiva teoria quantistica
della gravitazione. Una tale teoria avrebbe il pregio di fornire una descrizione piu` unitaria delle
teorie fisiche fondamentali e, inoltre, in RG esistono alcuni problemi (ad esempio quelli legati
alle singolarita` che si discuteranno in seguito) che si spera vengano inquadrati e risolti da una
teoria quantistica della gravitazione. Nonostante cio` la RG e` attualmente una delle teorie meglio
verificate e studiate. Inoltre, almeno nel contesto delle teorie gravitazionali in quattro dimensio-
ni, si pensa che eventuali modifiche alla RG sarebbero effettive solo a scale di energia che sono
molto lontane dalle attuali possibilita` sperimentali. Infatti, data la natura di un’eventuale teoria
quantistica della gravitazione, ci si aspetta che la scala di energia rilevante possa essere stimata
utilizzando le costanti fondamentali ~, c e G. Queste possono essere combinate in maniera uni-
voca per ottenere la lunghezza di Planck, lp = (G~/c3)1/2 ≈ 10−33cm. La lunghezza di Planck
e` enormemente piu` piccola della scala nucleare (∼ 1fm = 10−13cm) e ci si aspetta quindi che
eventuali modifiche quantistiche alla gravita` entrino in gioco a energie molto maggiori di quelle
attualmente sondabili2.
2Solitamente ci si riferisce alla massa di Planck, MP = G−1/2 = 1.22 × 1016TeV , come scala alla quale
una teoria quantistica della gravita` (in quattro dimensioni) diventa efficacie. I moderni acceleratori di particelle
lavorano ad energie enormemente piu` piccole (circa 1 TeV).
16 Buchi neri
Negli ultimi decenni sono state proposte diverse teorie quantistiche della gravitazione. Alcune
di queste, tra le quali la teoria delle stringhe [22], prevedono uno spaziotempo di dimensione
maggiore di quattro. Alcune di queste teorie diventano efficaci ad una scala molto piu` bassa (di
poco superiore ad 1 TeV, vedi per esempio, il modello ADD [24]) della massa di Planck [25] e,
quindi, potrebbero essere verificate dai nuovi acceleratori di particelle come, ad esempio, LHC
al CERN [6]. In questo ambito la fisica dei buchi neri riveste un ruolo importante. Infatti, se
queste teorie fossero corrette, sarebbe possibile produrre buchi neri negli acceleratori di particelle
di nuova generazione (con energie nel centro di massa maggiori di 1 TeV). I buchi neri prodotti
sarebbero estremamente leggeri e decadrebbero (tramite il fenomeno dell’evaporazione di Haw-
king [21] che verra` in seguito discusso) in tempi dell’ordine di 10−25 secondi. Dalla rivelazione
dei prodotti di decadimento si potrebbero confermare o confutare le diverse teorie quantistiche
della gravitazione efficaci ad 1 TeV.
La scoperta dell’evaporazione di Hawking di un buco nero ha aperto la strada a nuovi studi
teorici che riguardano il legame fra buchi neri, teoria quantistica e informazione. Ad esempio
esiste un serio problema concettuale noto come paradosso dell’informazione, proposto dallo stes-
so Hawking [26] e non ancora del tutto risolto. A tal proposito si ipotizzi un buco nero isolato
che evapora completamente. La radiazione termica prodotta sara` descritta in generale da uno
stato quantistico non puro. Tuttavia si puo` ipotizzare che il buco nero sia originato da un sin-
golo stato quantistico. Per cui l’intero fenomeno viola il principio di unitarieta` dell’evoluzione
di un sistema quantistico. Questo paradosso e` stato di primaria importanza nella nascita di un
ulteriore sviluppo recente noto come principio olografico [27]. Il principio afferma che processi
fisici descritti da una data teoria un uno spaziotempo di dimensione D, hanno un analogo in
processi che avvengono nel bordo dello spaziotempo e che sono descritti da una differente teoria
in dimensione (D − 1). Un esempio di questo principio e` la famosa congettura di Maldacena
[28], o corrispondenza AdS/CFT, fra la teoria delle stringhe in uno spaziotempo di Anti de
Sitter (AdS) in 5 dimensioni e una teoria di campo conforme (CFT) sviluppata sul bordo dello
spaziotempo di AdS che e` uno spazio quadridimensionale piatto.
Dai precedenti esempi si capisce l’importanza che la fisica dei buchi neri ha assunto negli ultimi
decenni e, di conseguenza, la necessita` di dimostrarne inconfutabilmente l’esistenza.
2.2 Lo spaziotempo di Schwarzschild
Cominciamo ora a discutere cosa e` un buco nero in RG. Per definizione un buco nero e` una
regione dello spaziotempo dalla quale nessun segnale fisico (inteso come particella materiale
o radiazione) puo` uscire. I buchi neri rappresentano una delle predizioni piu` stringenti della
2.2 Lo spaziotempo di Schwarzschild 17
RG e osservare sperimentalmente questi oggetti, e dimostrarne inequivocabilmente l’esistenza,
e` uno degli obiettivi principali della fisica attuale. Nelle sezioni seguenti si discuteranno le
principali soluzioni esatte della RG che descrivono rispettivamente: buchi neri a simmetria
sferica, rotanti e carichi. Nonostante l’enorme difficolta` nel risolvere le equazioni della RG, un
risultato fondamentale, noto come no-hair theorem, assicura che, subito dopo la sua formazione,
un buco nero diventa stazionario ed e` caratterizzato da soli tre parametri: la massa M , il
momento angolare J , e la carica Q. Questo capitolo trattera` questo e altri importanti teoremi
e proprieta` generali della teoria. L’approccio sara` prettamente teorico e si rimanda alla sezione
3.5 per una discussione piu` approfondita delle evidenze sperimentali che si hanno attualmente
su questi oggetti. Inoltre le proprieta` fisiche e l’interazione fra buchi neri e campi (massivi e
non) saranno oggetto dei capitoli successivi.
La proprieta` che caratterizza un generico buco nero e` l’esistenza di un orizzonte degli eventi.
In questo capitolo se ne dara` una definizione e una spiegazione accurata. Intuitivamente esso
delimita il buco nero, ossia rappresenta la superficie all’interno della quale nessun segnale fisico
puo` uscire.
Si consideri l’azione di Einstein-Hilbert (2.1) nel vuoto, Tµν = 0, e in assenza di costante
cosmologica, Λ = 0. Come visto in precedenza le variabili dinamiche sono le componenti del
tensore metrico, gµν . Dal principio di azione stazionaria, facendo variare le componenti gµν , si
ottiene
Rµν = 0 . (2.7)
La (2.7) rappresenta, in forma compatta, un sistema di dieci equazioni differenziali alle derivate
parziali non lineari. Pertanto e` estremamente difficile da risolvere, anche in casi in cui la
particolare simmetria del sistema semplifica le equazioni. Alcune delle principali soluzioni
analitiche del sistema (2.7) verranno descritte in dettaglio nel resto del capitolo.
La prima e piu` famosa soluzione analitica dell’equazione (2.7) e` la soluzione di Schwarzschild.
Essa descrive uno spaziotempo a simmetria sferica, ossia uno spaziotempo dotato di tre vettori
di Killing, i cui commutatori generano l’algebra di Lie del gruppo SO(3). Nonostante questa
soluzione sia la piu` semplice (e per certi versi la meno realistica) presenta molte delle caratteri-
stiche fondamentali che si vogliono discutere e, pertanto, verra` descritta in dettaglio.
Esistono numerosi testi nei quali e` svolta una derivazione dettagliata della soluzione di Schwarz-
schild [10, 11, 12, 13]. Qui, come nel resto della tesi, si postulera` l’elemento di linea a favore di
una discussione fisica delle proprieta` che dalla metrica derivano.