Il problema dell'estimation risk nella selezione di portafoglio

Introduzione 5
• delineare in modo esaustivo ogni approccio teorico, con particolare
attenzione al sistema di ipotesi che lo sorregge;
• verificare la confrontabilità dei dati tra i vari modelli;
• illustrare la differenza di fondo tra gli obiettivi e le dinamiche degli
approcci alla selezione di tipo ”euristico” e di quelli che usufruiscono di
tecniche bayesiane di supporto;
• definire le strategie di selezione più efficaci - rispetto alla premesse ed
agli obiettivi posti - in base ad una analisi empirica.
Le origini del dibattito in senso moderno circa la portfolio selection risal-
gono alla pubblicazione, sull’edizione del Journal of Finance del 1952, del
contributo di Markowitz intitolato ”Portfolio Selection”, nel quale fu delin-
eato per la prima volta il modello teorico detto Analisi Media-Varianza.
Fondato su un impianto matematico piuttosto semplice, esso si è progressi-
vamente affermato quale riferimento teorico-pratico per la soluzione di ogni
tipo di problema legato all’asset allocation.
Il lavoro parte da una ricostruzione sintetica ma dettagliata di tutti i pas-
saggi cruciali all’elaborazione del modello. Definito sotto ipotesi forti come
evoluzione di uno schema di tipo Rischio-Rendimento, l’impianto markoviano
consta di due grandi blocchi concettuali: una fase di ottimizzazione, relativa
unicamente all’individuazione dei portafogli efficienti fra quelli considerati,
ed una fase di massimizzazione della ”soddisfazione” del decisore, durante la
quale l’introduzione di caratteristiche di preferenza rispetto al rischio rende
possibile la confrontabilità dei portafogli efficienti tra loro, e la conseguente
scelta finale di uno di essi. Il tutto inquadrato in un’ottica di imprescindibile
coerenza con la Teoria dell’Utilità, elemento di raccordo tra le due fasi, che
quantifica in modo completo la posizione del decisore.
Introduzione 6
Oggi l’analisi media-varianza sopravvive nei modelli di portfolio selection
più comunemente utilizzati solo come quadro generale di riferimento e come
semplice strumento di calcolo: la cosiddetta plug-in rule, regola di calcolo
dei vettori di quote capitale che garantiscono l’ottimalità dell’allocazione,
costituisce il meccanismo risolutore di default (base di partenza o caso limite)
di ogni teoria alternativa.
Il grande successo del modello deriva dall’esistenza di una pluralità di
punti di forza ad esso riferibili. Tra di essi, l’aver stimolato un approc-
cio quantitativo e sequenziale all’impostazione del processo di investimento,
l’aver razionalizzato il valore ed il potenziale della diversificazione, e quindi
dell’interazione tra le caratteristiche individuali, l’aver preso in consider-
azione le preferenze degli investitori.
Notevoli perplessità circa il realismo del quadro di ipotesi imposto e la
scarsa funzionalità sul mercato hanno decretato la subottimalità del mod-
ello rispetto alle potenzialità espresse ed agli obiettivi posti. Studi empirici
hanno infatti più volte dimostrato come il processo di selezione conduca ad
un’allocazione finale delle risorse non ottimale, in quanto l’algoritmo di cui si
dispone per la costruzione di portafogli risulterebbe troppo potente consid-
erato il grado di bontà dell’informazione disponibile circa le proprietà future
degli asset. La selezione markoviana tende a preferire titoli con elevato rendi-
mento atteso, caratterizzati da un elevato errore di stima poichè altamente
volatili, massimizzando così l’impatto distorsivo sui portafogli ottenuti.
Affrontare l’Estimation Risk
L’Estimation Error, misurazione del fenomeno generico dell’Estimation
Risk, costituisce la fonte primaria di deviazione da soluzioni razionalmente
soddisfacenti e coerenti. La costruzione dei portafogli è esposta in vario mo-
do a questo tipo di problema, che si traduce in qualità non desiderabili dei
portafogli otttimizzati:
Introduzione 7
• la non intuitività (e quindi non effettiva proponibilità) dei portafogli
presso gli asset managers, causa scarsa diversificazione;
• l’instabilità dei portafogli efficienti ottenuti, cioè l’eccessiva sensibilità
a fronte di esigue variazioni negli input;
• l’ambiguità, ovvero non unicità dei portafogli ottimi selezionati, in
quanto, provenienti da variabili casuali - i parametri in input - carat-
terizzati da un certo grado di dispersione, non efficacemente rappre-
sentabili da stime puntuali;
• la sottoperformance out-of-sample, cioè la difficoltà di trovare un riscon-
tro ex-post all’efficienza di asset mix considerati ottimali a priori.
Le ragioni dell’esistenza dell’estimation risk sono da ascrivere a due fattori
specifici, l’errore campionario in senso stretto, in sede di stima degli input, e
la non stazionarietà delle serie storiche; si tenterà sia di approfondire ques-
tioni prettamente modellistiche e tecniche, che di tentare di migliorare la
qualità dell’informazione a disposizione.
Rivolgiamo in primo luogo l’attenzione al sistema di ipotesi relativo alla
mean variance optimization. L’ipotesi di normalità attribuita ai rendimenti
di mercato dei titoli ha un peso fondamentale nella costruzione del modello,
ma non sempre gode dell’adeguato riscontro empirico. Sono necessari oppor-
tuni test statistici di verifica, cui sarà sottoposto il campione di serie storiche
preso a riferimento, per rendersi conto se la deviazione dalla distribuzione
teorizzata possa considerarsi significativa o meno; nel caso in cui l’assunto di
partenza non possa essere accettato nel caso specifico, proponiamo un mod-
ello alternativo capace di incorporare la non-normalità nello schema generale
della portfolio selection: il modello dei momenti parziali inferiori. Sempre
relativamente al campione, si procede ad una verifica della non-stazionarietà
mediante un opportuno test basato sulle rolling volatilities osservate.
Introduzione 8
Le tecniche alternative di scelta di portafogli da noi proposte partono
dalla duplice esigenza di rivedere la qualità degli input da inserire nell’algo-
ritmo di ottimizzazione e di aumentare l’efficacia della performance rispet-
to al modello markoviano. L’inserimento di semplici weights constraints
risponde soltanto alla seconda esigenza: si tratta di imporre dei limiti alle
quote capitale spendibili su ciascun asset, implementando il consueto sistema
di programmazione quadratica. Il sistema rimane, seppur migliorativo, molto
rudimentale, e rischia di vincolare eccessivamente la prassi orientandola ad
idee preconcette del valutatore.
La metodologia più importante di tipo euristico fu elaborata da Michaud
nel suo noto lavoro Efficient Asset Management del 1998. Ampiamente dis-
cusso nel terzo capitolo di questa tesi, il portfolio resampling, su cui è
stato posto il brevetto nel ’99, trae impulso da una interpretazione stocasti-
ca del concetto markoviano di efficienza. L’idea di base è quella di dedurre
i parametri di input per l’ottimizzazione da rendimenti storici rappresenta-
tivi di una sola realizzazione, tra le molteplici possibili. Seguendo la logica
apertamente statistico-frequentista del campionamento ripetuto, si procede
all’estrazione casuale di serie storiche su cui calcolare in modo tradizionale
la frontiera efficiente, iterando la procedura un numero elevato di volte per
giungere ad una frontiera efficiente costituita da portafogli medi, la resam-
pled frontier. La procedura ha il duplice pregio di rendere esplicita la natura
casuale dei dati di partenza e di migliorare la performance out-of-sample dei
portafogli efficienti, ma non può evitare che questi ultimi ereditino lo stesso
estimation error di partenza proveniente dalle stime campionarie µ e Cˆ.
Con i metodi di selezione che si servono di tecniche bayesiane per la
stima degli input, si comincia ad affrontare esplicitamente il problema del-
l’estimation risk. Affinchè il quadro informativo di partenza per l’ottimiz-
zazione possa essere considerato realistico, le stime da dati storici devono
essere corrette dalle opinioni personali del valutatore e degli altri soggetti
Introduzione 9
operanti sul mercato. Per razionalizzare il processo di definizione di rendi-
menti attesi e varianze e covarianze previste, abbiamo elaborato un dettaglia-
to impianto teorico, a partire dal quale sono stati presentati i due modelli
principali in letteratura. Il metodo degli shrinkage estimators definisce un
approccio alla stima dei rendimenti attesi come media ponderata del valore
campionario e di un target value scelto, evoluzione in chiave bayesiana del-
lo stimatore di Stein. Il secondo, più strutturato ma meno immediato, è il
modello elaborato per Goldman Sachs nel 1992 da Fisher Black e Robert
Litterman, nominato appunto (Black-Litterman Model).
La costruzione di portafogli ottimi su un campione scelto di 10 titoli
azionari offre, nell’ultimo capitolo, un riscontro empirico a quanto teorizzato
nel corso dell’elaborato.
Capitolo 2
Analisi Media-Varianza
La costruzione del modello media-varianza si avvale di supporti teorici molto
importanti, provenienti dalla teoria delle decisioni statistiche e dalla Teoria
dell’Utilità.
L’analisi si articola in 6 grandi momenti:
1. il problema di scelta del criterio di preferenza tra opportunità rischiose;
2. la definizione assiomatica della Teoria dell’Utilità;
3. la disposizione della funzione di utilità nel sistema rischio-rendimento;
4. la struttura del mercato di riferimento e la rappresentazione del portafoglio;
5. l’approccio media-varianza come punto di raccordo concettuale;
6. l’individuazione finale del portafoglio a utilità massima.
Andiamo ad analizzarli nel dettaglio
2.1 Scegliere tra le opportunità
Sia t l’istante corrente (di decisione o valutazione),e sia s ≥ t una data futura
fissata: si consideri un individuo Λ (decisore, valutatore, agente di merca-
to), chiamato in t a decidere se effettuare una transazione che avrà effetto
Analisi Media-Varianza 11
unicamente sulla sua situazione patrimoniale in s ; nessuna transazione è
possibile al di fuori di questi istanti, e nessuna conseguenza della transazione
efettuata in t potrà ripercuotersi in date diverse da s. Si tratta di mercato
uniperiodale, che, a meno di possibili cambiamenti, costituirà la ripro-
duzione schematica del mercato dei titoli per tutto il corso della tesi. Ovvi-
amente si tratta di un’ipotesi molto forte, una dichiarazione di implicita
rinuncia ad uno scenario borsistico realistico, considerata strumento neces-
sario per una schematizzazione agevole.
Il principio guida della teoria delle decisioni in condizioni d’incertezza è quel-
lo di perseguire una linea di condotta improntata alla RAZIONALITA’,
posta in senso normativo come individuazione di classi di criteri decisionali
coerenti con i criteri individuali, non in senso costrittivo delle preferenze.
Definiamo con Ω l’insieme delle opportunità, cioè l’insieme delle posizioni
patrimoniali X raggiungibili da Λ in t, considerando inclusa in Ω la posizione
corrente X1. Quindi:
∀ Xi ∈ Ω, problema di scelta per Λ ⇔ decidere in t se passare da X1 a Xi
La soluzione di questo problema necessita la definizione di un criterio di pref-
erenza all’interno dell’insieme delle opportunità, in base al quale, comunque
scelta una possibile posizione finale, è sempre possibile stabilire se questa sia
preferita, non preferita, o indifferente, rispetto a quella iniziale.
La rappresentazione del criterio di preferenza avviene qui tramite la relazione
di preferenza debole (): Xi  Xj sta a significare che la posizione Xi
è gradita a Λ almeno quanto la posizione Xj
In generale una relazione binaria < sull’insieme Ω si dice ORDINAMENTO
quando presenta le seguenti caratteristiche:
• Proprietà riflessiva
Analisi Media-Varianza 12
Xi < Xi ∀ Xi (2.1)
• Proprietà transitiva
Xi < Xj , Xj < Xk ⇒ Xi < Xk ∀ Xi, Xj , Xk ∈ Ω (2.2)
• Proprietà antisimmetrica
Xi < Xj , Xj < Xi ⇒ Xi = Xj ∀ Xi, Xj ∈ Ω (2.3)
La proprietà antisimmetrica garantisce la non esistenza di elementi dell’in-
sieme Ω distinti ma equivalenti dal punto di vista della relazione <; la nostra
relazione si qualifica, non essendo quest’ultima verificata, come PREORDI-
NAMENTO. Il preordinamento è TOTALE poichè tutte le coppie risultano
confrontabili, cioè
∀ Xi, Xj ∈ Ω Xi < Xj e/o Xj < Xi (2.4)
Essendo le opportunità contenute in Ω delle variabili aleatorie, esse risultano
completamente descritte dalla distribuzione di probabilità che il decisore
Λ attribuisce ad ognuna di esse. Il problema decisionale si configura per-
ciò come problema di ordinamento tra tutte le distribuzioni di probabilità
disponibili al momento della scelta (stabilire la dominanza stocastica del pri-
mo ordine tra le distribuzioni).
Per semplificare la rappresentazione delle preferenze del decisore, si sceglie
di introdurre un operatore di ordinamento, un funzionale H(X) definito sul-
l’insieme delle opportunità Ω, che assegna un punteggio in t, secondo l’opin-
ione di Λ, circa la posizione X. Il valore numerico attribuito dall’operatore
alla posizione considerata non ha alcun significato reale: il funzionale H è
infatti chiamato funzione di utilità ordinale, poichè, definito su scala arbi-
traria, non è suscettibile di variazione rispetto a trasformazioni monotone.
Analisi Media-Varianza 13
Matematicamente:
H(Xi) > H(Xj) ⇔ Xi  Xj ∀ Xi, Xj ∈ Ω (2.5)
H(Xi) < H(Xj) ⇔ Xi ≺ Xj ∀ Xi, Xj ∈ Ω (2.6)
H(Xi) = H(Xj) ⇔ Xi ∼ Xj ∀ Xi, Xj ∈ Ω (2.7)
Proprietà fondamentali degli operatori di ordinamento sono:
• Omogeneità di grado n
H(a ·X) = an H(X) (2.8)
∀ a ∈ R | aX ∈ Ω
• Additività
H(X1 +X2) = H(X1) +H(X2) (2.9)
∀ X1, X2 ∈ Ω | X1 +X2 ∈ Ω
• Linearità
H(a1X1 + a2X2) = a1H(X1) + a2H(X2) (2.10)
∀ X1, X2 ∈ Ω, a1, a2 ∈ R | a1X1 + a2X2 ∈ Ω
Per esprimere una variabile aleatoria rappresentante una situazione patrimo-
niale, spesso si ricorre alla notazione
X = E(X) + [X −E(X)] (2.11)
La scomposizione suggerisce la compresenza, nell’evoluzione della variabile,
di due tipi di effetti: un effetto medio, coincidente con l’ipotetica realiz-
zazione della variabile in condizioni di certezza, definito come componente
Analisi Media-Varianza 14
anticipata di X (E(X)); un effetto inatteso, dato dallo scarto tra la realiz-
zazione della variabile ed il suo valor medio, definita come componente non
anticipata, e quindi espressione del contenuto di rischiosità della posizione
patrimoniale incerta X.
Risulta quindi evidente che un criterio di preferenza tra le opportunità
X ∈ Ω come quello del valore atteso, ovvero H(X) = E(X), pur essendo
lineare (e quindi omogeneo e additivo) come auspicabile in un operatore
di questo tipo, non può considerarsi esaustivo dell’incertezza insita nella
variabile aleatoria ”situazione patrimoniale”, poichè inespressivo di ogni altro
aspetto al di fuori della profittabilità (a parità di valor medio, risulterebbe
indifferente per Λ scegliere tra posizioni patrimoniali diverse!).
Se si considera h(x) la corrispondente funzione reale di H(X) nel caso
di variabili aleatorie degeneri, strettamente crescente - per la preferenza del
”di più al di meno” tra due importi certi - e continua, possiamo formalizzare
in modo più generale l’operatore di ordinamento adatto a questo tipo di
analisi, poichè comprensivo delle due componenti sopra enucleate. Si ipotizzi
che l’individuo chiamato alla scelta sia AVVERSO AL RISCHIO, ovvero
che, data la funzione di ordinamento H(X) per Λ, risulti
H(X) < h[E(X)] ∀ v.a. non degenere X ∈ Ω (2.12)
Con semplici passaggi algebrici, possiamo scomporre H(X) come
H(X) = h[E(X)− λ(X)] (2.13)
dove λ(X) = E(X) − ¯¯X è l’importo certo da detrarre alla posizione certa
E(X) in modo tale da farla risultare indifferente, per Λ, alla posizione ris-
chiosa X (premio al rischio d’indifferenza), e ¯¯X = h−1H(X) è l’equivalente
certo di X per Λ, ovvero la posizione patrimoniale certa in t che Λ riter-
rebbe indifferente alla posizione rischiosa X. In termini ancora più generali
Analisi Media-Varianza 15
possiamo porre il nostro operatore come differenza:
H(X) = h[E(X)]− Φ(X) (2.14)
Questa rappresentazione costituisce la base formale dello schema utilitaris-
tico, il quale, per catturare l’avversione al rischio degli agenti economici, si
avvale di un’opportuna trasformazione della scala degli importi per definire
l’operatore di ordinamento come aspettativa di valori trasformati. Illustri-
amo nel dettaglio quello che è il Principio dell’utilità attesa.
2.2 L’utilità attesa come sintesi degli elementi di
giudizio
La trasformazione degli importi avviene attraverso una funzione di utilità
u(x), detta FUNZIONE DI UTILITA’ CARDINALE o DI VON
NEUMANN E MORGENSTERN, caratteristica del decisore. La car-
dinalità è espressiva del fatto che operazioni finanziarie diverse risultano
quantificabili e confrontabili tra loro in termini di aumento/diminuzione di
gradimento.
L’operatore di ordinamento è qui definito come utilità attesa di X:
H(X) = E[u(X)] (2.15)
Un’operazione finanziaria Xi → Xj è così ritenuta vantaggiosa se E[u(Xi)] <
E[u(Xj)], svantaggiosa se E[u(Xi)] > E[u(Xj)] e indifferente se E[u(Xi)] =
E[u(Xj)].
Considero D, opportuno intervallo di R+O, l’insieme di definizione di u(x).
Affinchè la massimizzazione della soddisfazione del decisore possa essere resa
in modo completo tramite la massimizzazione dell’utilità attesa, cioè affinchè
Analisi Media-Varianza 16
quest’ultima possa considerarsi il principio primo di ogni scelta di Λ, occorre
che la funzione di utilità u(x) sia:
• strettamente crescente: u(xj) > u(xi) ⇔ xj > xi ∀xi, xj ∈ D
• concava: E[u(X)] < u[E(X)]
La prima ipotesi è necessaria per rispettare l’obiettivo di massimizzazione
del profitto, la seconda per esprimere l’avversione al rischio dell’individuo.
Infatti, risultando E[u(X)] < u[E(X)], la ”disuguaglianza di Jenses” com-
porterebbe, nel caso di concavità della funzione u, la presenza di un premio al
rischio d’indifferenza positivo, poichè l’equivalente certo della variabile risul-
terebbe minore del suo valore atteso; la stessa disuguaglianza porterebbe alla
situazione contraria in caso di funzione di utilità convessa, e all’annullamento
del premio al rischio d’indifferenza nel caso di funzione di utilità lineare (in
cui si avrebbe coincidenza del criterio dell’utilità attesa con quello del valore
atteso). Ricapitolando:
Λ AR ⇔ H(X) < h[E(X)] ⇔ E[u(X)] < u[E(X)] ⇔ u(x) concava su D
La struttura assiomatica della teoria dell’utilità attesa è definita dal Teorema
di rappresentazione di von Neumann e Morgenstern, che descrive la funzione
di utilità partendo da alcune proprietà della relazione di preferenza stabilita
nell’insieme Ω. Prima di enunciare il teorema, accenno al concetto di mistura
di posizioni finanziarie. Si dice mistura quella posizione finanziaria incerta
in cui viene a trovarsi Λ, chiamato a scegliere tra due posizioni incerte Xi e
Xj , a seconda dell’esito di un particolare evento A, cui Λ attribuisce proba-
bilità α. La variabile mistura si indica con XiαXj , indicando che assumerà
le determinazioni di Xi con probabilità α e le determinazioni di Xj con prob-
abilità 1− α.
Analisi Media-Varianza 17
Teorema di rappresentazione 1 (di J. Von Neumann e O. Morgenstern)
1 Hp) la relazione di preferenza () definita sull’insieme delle opportunità
Ω è un preordinamento totale (vedi proprietà di una relazione binaria <,
(1.1),(1.2),(1.4)), e soddisfa le seguenti proprietà:
1. proprietà archimedea:
∀ Xi, Xj , Xk ∈ Ω | Xi  Xj  Xk ⇒ ∃ α, β ∈ (0,1) | XiαXk  Xj  XiβXk
2. proprietà di sostituzione:
Xi  Xj ⇒ XiαXk  XjαXk ∀ Xi, Xj , Xk ∈ Ω, α ∈ (0,1)
Th)
1. ∃ funzione u(x) | Xj  Xi ⇔ E [u(Xj)] ≥ E [u(Xi)] ∀ Xi, Xj ∈ Ω;
2. la funzione u(x) è unica a meno di una trasformazione lineare positiva
crescente, ovvero qualsiasi funzione v(x)=au(x)+b tale che a ∈ R, b
∈ R, induce in Ω lo stesso ordinamento, rispetto a u(x), delle pref-
erenze per Λ.
Un’ analisi globale della funzione di utilità applicata alla posizione patri-
moniale del decisore Λ, deve, per considerare i due aspetti salienti del prob-
lema, passare attraverso la scomposizione (1.11). L’obiettivo globale viene
così dapprima disaggregato nei due obietivi parziali di massimizzazione del
profitto e minimizzazione del rischio, e poi armonizzato nella ricerca del
miglior trade-off, procedura visualizzabile genericamente nell’analisi rischio-
rendimento, e da questa, con obiettivi di maggior realismo, nell’ottimiz-
zazione media-varianza vera e propria.
1
in forma semplificata per insiemi Ω composti da v.a. con un numero finito di deter-
minazioni; per l’estensione a v.a. con infinite determinazioni possibili, si deve aggiungere
il ”principio della cosa certa”.