Analisi delle variazioni temporali del campo gravitazionale terrestre osservato dai nuovi satelliti artificiali.

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
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Geoide in m
Figura 1.1: Mappa del geoide riferita al mese di ottobre 2006.
ne affidabile rende problematico combinare informazioni relative a stazioni
diverse.
A tali misurazioni, si sono progressivamente affiancate quelle derivate da
satelliti artificiali.
I primi satelliti artificiali usati per studiare la gravita` terrestre sono stati
concepiti per studiare il campo di gravita` statico: uno dei piu` recenti e` il
satellite tedesco CHAMP lanciato nel 2000, la cui missione durata meno di
un anno e´ stata in grado di fornire il campo di gravita` statico, ma non le
sue variazioni, [25], [26].
Un passo in avanti viene compiuto con satelliti che utilizzano la tecnica SLR
(Satellite Laser Ranging) che permettono di ricavare le variazioni tempo-
rali secolari del campo, [9], e, di conseguenza, valutare indirettamente gli
spostamenti di massa all’interno e sulla superficie della Terra, [10]. La lo-
ro posizione e` determinata in modo continuo da un laser posto al suolo e
le deviazioni dall’orbita prefissata permettono di ricavare le variazioni del
campo.
Quindi, tutti i modelli del campo gravitazionale ora in uso sono derivati
dall’inseguimento di decine di satelliti artificiali; i dati di questi, a causa
dell’attenuazione delle perturbazioni gravitazionali con l’altezza, vengono di
norma integrati con misure gravimetriche effettuate a terra e di altimetria
da satellite.
I satelliti LAGEOS 1 e LAGEOS 2, operanti fin dal 1976, rappresentano
un esempio abbastanza recente di osservazione tramite tecnica SLR, i quali
offrono pero´ una risoluzione spaziale limitata. Essi orbitano attorno alla
Terra da 20 anni ad un altitudine di circa 6000 Km.
1.1. MISURA DEL CAMPO GRAVITAZIONALE 5
Dal 2002 disponiamo di un nuovo sistema di satelliti, GRACE (Gravity
Recovery and Climate Experiment), che migliora le osservazioni del campo
gravitazionale grazie ad una piu´ elevata risoluzione spaziale, [11]. La missio-
ne GRACE, costituita da una coppia di satelliti orbitanti in tandem, avviata
nel Marzo del 2002 dagli enti spaziali statunitensi National Aeronautics and
Space Administration (NASA) e Center for Space Research dell’Universita´
di Austin (CSR), misura il campo gravitazionale terrestre per ogni mese nel-
l’arco di cinque anni di vita del progetto e ci permette quindi di ’fotografare’
il campo di gravita` mese per mese. I 2 satelliti gemelli seguono approssimati-
Figura 1.2: Rappresentazione del sistema di satelliti GRACE.
vamente la forma del geoide e se ne discostano leggermente quando vengono
a trovarsi in zone caratterizzate da un aumento o ad una diminuzione del
campo e, trovandosi a quote diverse, la variazione dell’orbita e´ avvertita
in modo differente da essi. La loro traiettoria viene quindi osservata con
elevata precisione grazie al controllo incrociato effettuato sia da un sistema
GPS (Global Positioning System) a terra, sia da un sistema a bordo che ne
misura la distanza relativa. Inoltre, la presenza di un accelerometro a bor-
do, rimuove i disturbi originati dall’atmosfera eliminando ogni componente
dell’accelerazione di natura non gravitazionale.
Compiendo periodicamente un certo numero di orbite attorno al pianeta in
modo da coprirne tutta la superficie, possiamo disporre per ogni mese di
una completa mappatura del campo gravitazionale.
La disponibilita´ di misure globali accurate del campo statico e dinamico
ha completato e rafforzato le indicazioni venute dalle precedenti missioni
spaziali circa la forte variabilita´ del campo gravitazionale.
I contributi piu´ significativi di queste variazioni sono dovute a movimen-
ti di masse superficiali. Ad esempio tra i piu` evidenti fenomeni climatici
6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
caratterizzati da elevata frequenza vi e` il ciclo idrologico che interviene in
Amazzonia causando variazioni periodiche annuali nel campo gravitazionale,
il cui valore si abbassa nei periodi di siccita`, per alzarsi nuovamente durante
la stagione delle piogge, in accordo con un accumulo d’acqua in quelle zone.
1.2 Obiettivi del lavoro di tesi
L’obiettivo del presente lavoro consiste nell’analizzare le serie temporali del
campo gravitazionale forniti dal centro di elaborazione dati della missione
GRACE al fine di separare il piu´ accuratamente possibile le variazioni stagio-
nali, di interesse principalmente climatico, dalle variazioni di lungo periodo
piu´ strettamente legate alla dinamica della terra solida.
Infatti, come sappiamo la Terra puo´ essere schematicamente rappresen-
tata attraverso una grossolana stratificazione in:
• la litosfera, che ha uno spessore variabile dai 20 ai 120 Km,
• il mantello, con uno spessore ben piu` ampio (oltre i 3000 Km): dato
il suo spessore, le proprieta´ del mantello non possono essere conside-
rate omogenee e quindi anche nei modelli meno raffinati si riconosce
una stratificazione interna individuando almeno un mantello superio-
re ed uno inferiore con differenti proprieta´ fisiche (densita´, viscosita´ e
rigidita´),
• il nucleo, che e` composto da una parte interna solida ed un guscio
esterno completamente fluido.
Figura 1.3: Uno spaccato del nostro pianeta
In particolare, il mantello e` sede di alcuni fenomeni molto interessanti che
producono variazioni temporali del campo.
1.2. OBIETTIVI DEL LAVORO DI TESI 7
Le variazioni temporali del campo gravitazionale sono manifestazioni di
grandi redistribuzioni di massa che possono avvenire nella terra solida ma
che possono coinvolgere anche gli strati piu´ esterni come gli oceani e l’atmo-
sfera, [5], [12], [13], [14], [11]. Le variazioni secolari di principale interesse
sono: lo spostamento della massa interna terrestre, a seguito dell’ultima
deglaciazione e la variazione di massa superficiale dovuta allo scioglimento
attuale delle grandi masse ghiacciate, ad esempio l’ Antartide e la Groenlan-
dia. Il primo fenomeno e´ determinato dal grande accumulo di ghiaccio dello
spessore di alcuni chilometri avvenuta nel Pleistocene in Antartide, America
settentrionale ed Europa settentrionale che ha provocato con l’enorme peso
una deformazione della crosta terrestre. La repentina fusione delle masse
di ghiaccio nel corso dell’ultima deglaciazione ha comportato una scompar-
sa del carico sovrastante e la Terra risponde a questa perdita con un vero
e proprio flusso di massa interno che parte dall’equatore e si sposta verso
le zone interessate dal deficit massivo. A causa della elevata viscosita´ del
mantello, l’assestamento non si e´ ancora esaurito ed e´ tutt’ora misurabile,
[8], [20], [22], [23]. Indichiamo questo fenomeno con l’acronimo PGR che
sta per Post Glacial Rebound.
Lo scioglimento parziale della calotta Antartica e della Groenlandia, inve-
ce coinvolge variazioni di massa solo superficiali, ma l’entita´ delle masse in
gioco fa si che gli effetti sul campo gravitazionale, osservabili con le recenti
missioni spaziali, mascherino gli effetti del PGR.
Tutti i fenomeni legati alla variazione temporale del campo gravitazionale
e quindi legati a redistribuzioni di massa nel pianeta, mostrano comporta-
menti diversi a seconda delle scale di tempi in cui li si osserva. Possiamo
elencarne qualcuno in funzione della scala temporale:
• molto breve, dai pochi secondi a qualche anno per le deformazioni
sismiche e post-sismiche
• qualche migliaio di anni, come ad esempio per il fenomeno legato al
PGR.
• fino a centinaia di milioni di anni per fenomeni all’interno del mantello
legati alla convezione.
Le variazioni temporali del campo sono causate da una combinazione di
fenomeni appena elencati, da fluttuazioni di massa atmosferica e da redi-
stribuzioni di acqua, neve e ghiacci sia su terra che in oceani, [3], [5].
Negli ultimi anni in letteratura, [14], [7], [28] sono apparsi parecchi lavori
che si sono occupati di estrarre informazioni dai dati di GRACE e, cruciale
si e´ rivelata la necessita´ di una corretta separazione della componente pe-
riodica da quella secolare. Come abbiamo spiegato, alle variazioni secolari
si sovrappongono variazioni del campo su scale temporali molto piu` brevi
dovute a cicli stagionali climatici, che in alcune regioni geografiche si mani-
festano con ampiezza tipica molto piu` grande delle variazioni secolari stesse,
8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
e che rendono difficile una accurata identificazione di queste ultime.
Inoltre, l’accuratezza con cui GRACE puo´ mappare il campo gravitazionale
terrestre e´ determinata da diverse fonti di errore, come vedremo nel Cap.3.
Le tecniche geodetiche spaziali consentono di determinare con precisione
sub-centimetrica la forma di un geoide che oscilla di circa un centinaio di
metri da un punto all’altro del globo (Fig.1.1), purtroppo pero´ le variazioni
temporali del campo comportano variazioni di quota del geoide dell’ordine
dei millimetri annui. Quindi il segnale delle variazioni temporali del campo
gravitazionale ha generalmente lo stesso ordine degli errori in gioco, quindi
la processazione dei dati necessita di un filtro in grado di smussare questi
errori di cui parleremo nel Cap.5.
Nella letteratura recente le linee di tendenza secolari vengono solitamen-
te ricavate dai dati di GRACE con un adattamento trigonometrico nel quale
vengono prese in considerazione solamente funzioni di periodo semestrale o
annuale, [6], [7], [14], [28]. In questa tesi, svilupperemo un metodo basato
sull’analisi di Fourier che permette di ricavare in modo piu` raffinato sia la
linea di tendenza delle serie temporali del campo. sia le ampiezze e fasi delle
componenti periodiche piu` significative.
Compatibilmente con la ristretta finestra di dati a disposizione, ci dediche-
remo a rilevare variazioni temporali del campo che spaziano da periodicita´
di qualche mese a qualche anno.
Come vedremo, sara´ possibile riconoscere nell’andamento delle variazioni
secolari del campo gravitazionale la struttura caratteristica delle variazioni
attese dalle simulazioni del PGR che si trovano in letteratura, [8], [27].
Capitolo 2
La teoria viscoelastica e il
pianeta Terra
Come stato accennato nell’introduzione, le analisi dei dati vengono effet-
tuate su di un campo gravitazionale misurato che si rifa´ ad un modello fisico
le cui relazioni costitutive verranno qui spiegate. Se consideriamo un ele-
mentino di materiale terrestre possono verificarsi due tipi di processi: uno di
tipo veloce che ha a che fare con la sismicita´ e quindi con le onde sismiche,
ed uno di tipo lento che comprende fenomeni legati alla convezione e alle
lente deformazioni in cui viene trascurata l’accelerazione e percio´ si studia
solo la diffusione della quantita´ di moto. Sara´ proprio quest’ultimo tipo di
processi che studieremo per arrivare al modello di terra viscoelastica.
2.1 Meccanica dei continui e relazioni costitutive
Vedremo ora le equazioni che mostrano come il materiale terrestre si deforma
reagendo agli sforzi applicati. Troveremo le relazioni tra sforzi e deformazioni
applicando le leggi compendiate dalla meccanica dei continui.
2.1.1 Il concetto di sforzo
Sia un elementino di materiale terrestre di volume infinitesimo dV . Nel-
lo spazio della meccanica dei continui tutte le superfici vanno considerate
orientate e la normale si prende per convenzione esterna rispetto al volu-
metto dV. Quindi indicando con n la normale esterna alla superficie sulla
quale agisce una forza di volume dFi con i = 1, 2, 3, possiamo vedere l’azione
del mezzo sul volumetto, tramite le superfici dS, come la pressione dFidS(n) .
Andando al limite otteniamo
lim
dS→0
dFi
dS(n)
= T (n) (2.1)
9
10CAPITOLO 2. LA TEORIA VISCOELASTICA E IL PIANETA TERRA
che esiste finito ed e` detto vettore trazione ed ha le dimensioni di una pressio-
ne [T ] =
[ N
m2
]
= [Pa]. Esso quantifica l’effetto di tutte le forze che agiscono
sul volume dV .
L’assioma che esista finito il limite ovviamente vero se no avremmo che il
materiale si disintegrerebbe.
Applicando ora il ragionamento appena visto ad ogni superficie elementare
del cubo posto nell’origine del sistema di riferimento, chiamando ei i versori
normali alle superfici, ogni componente del vettore trazione T (ei) puo` essere
scomposto nelle sue componenti cos´ı:
Te1 = σ11e1 + σ12e2 + σ13e3
Te2 = σ21e1 + σ22e2 + σ23e3
Te3 = σ31e1 + σ32e2 + σ33e3
dove il primo indice si riferisce alla superficie sulla quale agisce la forza e il
secondo alla direzione. In questo modo si ottiene il tensore degli sforzi :
σij =


σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33

 (2.2)
Tale tensore e´ simmetrico e reale quindi diagonalizzabile e la sua diagonale
σ11, σ22, σ33 rappresenta quelle componenti che agiscono perpendicolarmente
alle superfici. Inoltre operando un bilancio delle forze, che si ottiene molti-
plicando gli sforzi per le superfici su cui agiscono, l’analogo nella meccanica
dei continui della seconda legge di Newton F = ma, si scrive:
∂σij
∂xj
= ρai (2.3)
2.1.2 La deformazione
Ora vogliamo arrivare a definire il tensore delle deformazioni. A tale pro-
posito consideriamo 2 particelle vicine P e Q di materiale terrestre: sotto
l’azione di uno sforzo esse subiranno uno spostamento differente. Se P si spo-
sta di un tratto ui(xi), Q che dista dxi subisce uno spostamento di ui + dui
e la deformazione che ci interessa, stara` ovviamente nella regione relativa a
dui. E` ragionevole pensare infatti, che le due particelle, trovandosi molto vi-
cine inizialmente, anche dopo lo spostamento non potranno mai trovarsi piu`
distanti di un termine dui. Sviluppando dui per le tre diverse componenti
ed adottando la convezione di Einstein per gli indici ripetuti si ha:
dui =
∂ui
∂xj
dxj