Comportamento al collasso di T-stubs bullonati: Analisi teorico-sperimentale

3. DUTTILITÀ DEI T-STUBS: IL MODELLO DI PILUSO, FAELLA E RIZZANO 
 
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Si presenta quindi di seguito il modello proposto da Piluso, Faella 
e Rizzano (Faella et al., 2000; Piluso et al., 2001 ) per la valutazione della 
duttilità di T-stubs a due bulloni. 
 
3.2 Generalità e ipotesi alla base del modello 
Il modello di Piluso et al. concettualmente si sviluppa osservando 
che, anche in condizioni ultime, i meccanismi di collasso tipici dei T-
stubs sono legati al rapporto tra la resistenza flessionale della flangia e la 
resistenza assiale dei bulloni, come si è già avuto modo di illustrare 
precedentemente relativamente alle condizioni di progetto. 
In particolare si ritiene che la distribuzione delle sollecitazioni 
interne agente in condizioni ultime sia analoga a quella agente in 
condizioni di progetto, descritta nelle sezioni precedenti.. 
Pertanto il modello si sviluppa sull’intuizione che, note le 
sollecitazioni agenti sul modello a trave del T-stub, ed in particolare noto 
il momento flettente, sia possibile calcolare le curvature corrispondenti e 
da queste, attraverso opportuna integrazione, ritrovare le rotazioni e 
quindi gli spostamenti del T-stub, noto il cinematismo agente 
(quest’ultimo caratteristico del meccanismo di collasso). 
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Figura 3. 1 – Flow chart relativo al modello di Piluso et al. per la previsione della 
duttilità 
 
Individuazione del 
meccanismo di collasso 
Diagramma del 
momento flettente in 
condizioni ultime 
Diagramma delle 
curvature in condizioni 
ultime 
Rotazioni 
In
te
g
ra
z
ion
e
 
Spostamenti ultimi 
Conoscenza 
del 
cinematismo 
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A questo punto è doveroso precisare le difficoltà connesse alla 
previsione del comportamento ultimo di T-stubs bullonati in ragione dei 
numerosi aspetti che governano il fenomeno. Si è dinanzi infatti ad un 
problema tridimensionale, che sarà invece ricondotto a 
monodimensionale; il problema è caratterizzato da non linearità 
geometriche e meccaniche; le condizioni di collasso sono governate da 
problematiche di meccanica delle fratture, complicate dagli effetti 
tridimensionali e dai fenomeni di contatto. 
Si comprende in sostanza che, come sempre accade nell’ambito 
ingegneristico, la caratterizzazione di un modello comodo da usare 
comporti necessariamente delle “rinunce” e delle semplificazioni più o 
meno drastiche, e che chiaramente l’optimum si collochi a metà strada tra 
semplificazioni e capacità del modello di cogliere comunque la sostanza 
del fenomeno indagato. 
Nello specifico, le ipotesi alla base del modello saranno le seguenti: 

 adozione di un modello 2D: si trascurano tutti gli effetti legati alla 
tridimensionalità del problema in esame; 

 si trascura la non linearità geometrica; 

 si trascura l’influenza del taglio sul comportamento del T-stub; 

 le forze di contatto vengono introdotte nel modello attraverso un 
approccio semplificato; 
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 il collasso del materiale è approssimativamente modellato 
assumendo che la condizione di rottura si realizzi al 
raggiungimento della deformazione di collasso in una sezione 
opportuna, ossia una fibra esterna della flangia del T-stub. 
 
Figura 3.2 – Cinematismi al collasso dei T-stubs in funzione del meccanismo atteso 
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 Sotto queste ipotesi, gran parte del problema si trasforma 
sostanzialmente nel prevedere la capacità di rotazione plastica di una 
sezione compatta (ossia la sezione rettangolare della flangia del T-stub, di 
dimensioni beff e tf). 
La previsione della capacità rotazionale di una sezione compatta è 
comunque un problema estremamente complicato se affrontato in 
maniera rigorosa, in quanto governato da fenomeni di strizione locale 
che inducono il collasso del materiale. 
Ci si riconduce pertanto ad un approccio semplificato del problema 
(Moen, 1996; Spangemacher 1992), riferendosi alla teoria della instabilità 
plastica ed assumendo che la rottura si realizzi, come si è già specificato, 
allorquando la deformazione di collasso si sviluppa presso una fibra 
esterna della sezione dove è attesa la formazione di una cerniera plastica. 
 
3.3 Legame costitutivo del materiale 
La valutazione di un corretto legame costitutivo dei materiali 
costituenti il T-stub è un requisito fondamentale per la modellazione del 
3. DUTTILITÀ DEI T-STUBS: IL MODELLO DI PILUSO, FAELLA E RIZZANO 
 
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comportamento dello stesso, come si avrà ampiamente modo di 
dimostrare. 
Il tipico legame tensione-deformazione relativo ad una prova a 
trazione uniassiale condotta su una provetta in acciaio è rappresentato in 
figura 3.3, dove sono ben evidenti le quattro zone caratteristiche del 
legame costitutivo: ramo elastico lineare, snervamento (yield plateau), 
hardening (incrudimento) con raggiungimento della tensione di picco e 
softening connesso alla strizione del provino, fino a rottura dello stesso. 
0
100
200
300
400
500
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
deformazione [mm/mm]
t
en
s
io
n
e
 
[M
Pa
]
 
Figura 3.3 - Legame costitutivo sperimentale di un acciaio sottoposto a trazione 
uniassiale monotona 
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Banalmente, la costruzione di un simile diagramma viene 
realizzata acquisendo con appropriata strumentazione  le forze agenti sul 
provino e le deformazioni corrispondenti ad un determinato livello di 
forza. 
 
  
Figura 3.4 – Provetta soggetta a trazione 
monotona uniassiale, dotata di 
estensimetro per la misura delle 
deformazioni 
Figura 3.5 – Avanzamento della prova. 
Inizio della strizione nella zona 
superiore della provetta 
 
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Il passaggio dalle forze alle tensioni è chiaramente condotto 
riferendo le prime all’area della sezione resistente della provetta, misurata 
prima che la prova abbia inizio. 
 
A questo punto è necessario osservare che un diagramma così 
realizzato mette in risalto delle proprietà cosiddette ingegneristiche, 
proprio in ragione del fatto che il calcolo delle tensioni è riferito all’area 
nominale, sezione del provino misurata all’inizio della prova. 
In realtà per il manifestarsi della strizione, l’area resistente offerta 
dal provino si riduce, e pertanto per quanto apparentemente la forza 
applicata diminuisca, in realtà le tensioni effettivamente sollecitanti il 
provino aumentano. 
 
Quando si intenda tener conto degli effetti della strizione, si è 
soliti riferirsi ad un legame costitutivo sforzo “reale” - deformazione 
“reale” (true stress - true strain, o comunemente indicato come legame 
“naturale”), per il quale valgono le indicazioni di seguito fornite. 
3. DUTTILITÀ DEI T-STUBS: IL MODELLO DI PILUSO, FAELLA E RIZZANO 
 
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Si assume che in regime di grandi spostamenti il modulo di 
Poisson ν=0.5, ossia il volume del provino resti costante. Tale 
assunzione porta alla scrittura delle seguenti relazioni (Davis, 1982; 
Malvern, 1969; Pozzati 1980; RILEM, 1990): 
 
( )nr εε += 1ln  [3.1] 
( )nnr εσσ += 1 . [3.2] 
 
dove: 

 εn è la deformazione nominale della provetta, ossia quella 
comunemente misurata attraverso opportuna strumentazione o 
comunque fornita dal rapporto allungamento/lunghezza iniziale; 

 εr è la deformazione reale della provetta; 

 σn è la tensione nominalmente agente sulla provetta, ossia data dal 
rapporto tra la forza sollecitante e la sezione retta iniziale della 
provetta; 
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 σr è la tensione reale agente sulla provetta, riferita all’area effettiva 
sui cui agisce la forza ad un fissato livello di carico. 
 
Si è a questo punto in grado di risalire dal legame tensione-
deformazione ingegneristico a quello reale, osservando peraltro che lo 
sforzo reale varia pressoché linearmente con la deformazione reale dal 
punto di massimo carico (convenzionale) alla deformazione di collasso. 
Proprio con riferimento a quest’ultima quantità, per la sua 
valutazione ci si riferisce generalmente alle indicazioni del RILEM 
(RILEM, 1990), attraverso la relazione: 
 








=
f
u A
A0
lnε
 
[3.3] 
 
dove A0 è l’area iniziale del provino ed Af l’area al collasso, misurata al 
termine della prova. 
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Figura 3.6 – Provetta prossima alla rottura 
 
 
Figura 3.7 – Provetta dopo la rottura 
 
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In figura 3.8 è riportato un confronto tra il legame costitutivo 
ingegneristico e il legame costitutivo reale per un provino in acciaio. Si 
noti che il legame costitutivo reale è sempre crescente, ed inoltre il ramo 
che va dall’inizio della strizione alla rottura del provino è sensibilmente 
lineare, così come si è già avuto modo di illustrare. 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
deformazione [mm/mm]
t
en
si
o
n
e[
MP
a]
Legame ingegneristico
Legame reale
 
Figura 3.8 – Confronto tra legame costitutivo reale e legame costitutivo ingegneristico 
 
3. DUTTILITÀ DEI T-STUBS: IL MODELLO DI PILUSO, FAELLA E RIZZANO 
 
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Altro aspetto estremamente interessante è la cospicua entità della 
deformazione alla frattura εu, in grado di spaziare in un range molto 
esteso, addirittura fino al 139%, come dimostrato in alcuni lavori da Kato 
et al. (1990) per acciai SS41. 
 
3.4 Modello quadrilineare per il legame costitutivo del materiale 
Il legame costitutivo true stress – natural strain precedentemente 
discusso può essere opportunamente modellizzato in un legame 
quadrilineare come quello indicato in figura 3.9. 
 
atn E
atn E
atn E
h
u
εy εh εuεm
fy
fu
σ
ε
NATURAL   STRAIN
TR
UE
   
ST
RE
SS
maximum load point fracture
 
Figura 3.9 - Legame costitutivo quadrilineare 
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Il legame proposto coglie chiaramente le quattro zone tipiche del 
legame costitutivo di un acciaio attraverso le seguenti grandezze 
caratteristiche: 

 εy, deformazione reale allo snervamento: 

 εh, deformazione reale di inizio incrudimento; 

 εm, deformazione “massima”, relativa al punto di massimo carico 
del legame convenzionale; 

 εu, deformazione al collasso; 

 fy, tensione reale di snervamento; 

 fu, tensione ultima; 

 ff, tensione alla frattura del provino; 

 E, modulo di elasticità lineare; 

 Eh, modulo di elasticità incrudente; 

 Eu, modulo di elasticità post-strizione. 
 
Nella trattazione sui T-stubs di Piluso et al. sarà adottato un legame 
costitutivo per i materiali di tipo quadrilineare. Si riepilogano quindi i 
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passaggi necessari per modellare il legame costitutivo del materiale a 
partire dai risultati di una prova monotona a trazione. 
 
Step 1 Si trasforma il legame costitutivo ingegneristico in legame 
costitutivo reale per mezzo delle relazioni precedentemente 
introdotte, avendo cura di riportare la deformazione alla frattura 
εu, valutata per mezzo della [3.3], e di introdurre il ramo lineare 
che va dall’inizio della strizione alla frattura della provetta. In 
questa fase risulteranno note le quantità εy, εh, εu, fy, ff ed E, 
ottenute per lettura diretta dal legame costitutivo reale. 
Step 2 Si modella il legame quadrilineare facendo variare il punto (εm, 
fu) in modo che l’area sottesa dal legame quadrilineare sia pari 
all’area sottesa dal legame reale (ossia stabilendo una equivalenza 
energetica tra i due legami). 
Stabilita tale equivalenza il legame risulta completamente 
determinato, ed in particolare risulteranno noti i parametri εm, fu, 
Eh ed Eu.