Opzioni asiatiche: classificazione, pricing ed applicazioni alle polizze index-linked

2scadenza.  L’altra importante classificazione è quella opzioni ordinarie 
(normalmente chiamate vanilla) da quelle esotiche: le prime si 
caratterizzano per avere sempre dei payoff standard e sono quelle 
normalmente trattate nei mercati regolamentati, mentre le seconde si 
caratterizzano per payoff più particolari, non standard, e vengono 
solitamente trattate nei mercati OTC come risposta alle particolari 
esigenze finanziarie di alcune fasce di investitori. In riferimento a tale 
differenza, è sovente associato ad esse, la suddivisione tra opzioni di 
prima e di seconda generazione. Un’ ulteriore suddivisione, 
ortogonale alla precedente, è quella tra opzioni che non dipendono 
dalla storia del titolo sottostante e opzioni che dipendono dalla storia 
del titolo sottostante, chiamate più comunemente path-dependent. Per 
queste ultime, il valore dell’opzione (o equivalentemente, il payoff a 
scadenza) dipende non solo dal prezzo del sottostante alla scadenza, 
ma anche dalla sua storia passata. La presente tesi è suddivisa in tre 
parti fondamentali. Nella prima parte si cercherà di tracciare un breve 
quadro riassuntivo riguardante lo sviluppo dei derivati, la loro utilità 
nel mercato finanziario,  il concetto di opzione, di put-call parity, e di 
pricing descrivendo il modello di Black e Scholes, che risulta ancora 
oggi il metodo di valutazione più utilizzato ed analizzato dagli studiosi 
3del settore. Presenteremo inoltre, una breve panoramica delle più 
conosciute opzioni esotiche, che si allacciano all’argomentazione 
presentata nella seconda parte di questo lavoro: le opzioni asiatiche.
Sono un tipo di opzioni che appartengono alla famiglia path-
dependent, in quanto il loro profitto dipende da un valore medio 
calcolato sulla base di prezzi che si riferiscono ad un predeterminato 
insieme di osservazioni. 
Tali tipi di opzioni sono state proposte e studiate per la prima volta da 
Boyle ed Emanuel, negoziate per la prima volta a Tokyo alla fine 
degli anni ’80 (da qui l’appellativo asiatiche), e da allora si sono 
imposte nei mercati finanziari  sia come attività finanziaria a sé stante, 
sia come clausola inglobata nel regolamento di alcuni titoli 
obbligazionari. Risultano molto più convenienti rispetto alle classiche 
opzioni ordinarie, ma proprio per le loro caratteristiche strutturali, il 
pricing di questi prodotti, presenta ancora oggi dei quesiti irrisolti.
La prima problematica che vogliamo sottolineare, è che per questo 
tipo di opzioni,  non è possibile applicare direttamente la formula di 
Black e Scholes per la loro valutazione: in tale equazione il prezzo 
dell’opzione non dipende in nessun modo dalla variabile essenziale 
che caratterizza le opzioni asiatiche, cioè, la media dei prezzi del 
4sottostante. Introducendo nell’equazione un elemento che sia 
strettamente legato a questa media, abbiamo ricavato l’equazione 
differenziale per le opzioni asiatiche. 
La seconda problematica che vogliamo evidenziare è la valutazione 
delle opzioni asiatiche in forma chiusa. Nel caso in cui il parametro di 
riferimento sia la media aritmetica, non è stata ancora trovata una 
formula di valutazione. Qualora la media di riferimento sia di tipo 
geometrico, si può dimostrare che, sia nel caso discreto che continuo, 
la media geometrica segue una distribuzione lognormale con media e 
varianza che possono essere calcolate esplicitamente. Pur essendoci 
notevoli difficoltà nel ricavare una formula chiusa per opzioni 
asiatiche che prevedono medie aritmetiche, nella prassi operativa la 
maggior parte delle opzioni asiatiche negoziate, presentano come 
parametro di riferimento proprio medie di tale tipologia. La 
considerazione di tale situazione, costituisce il punto di partenza dello 
sviluppo del modello di Vorst, che utilizza la media geometrica come 
approssimazione della media aritmetica delle rilevazioni di prezzo 
dell’asset sottostante e tiene conto dell’effetto approssimazione 
attraverso una rettifica dello strike price. Nella conclusione della 
seconda parte, presenteremo il metodo MonteCarlo, e pur essendo 
5maggiormente utilizzate tecniche di riduzione della varianza per 
ridurre l’intervallo di confidenza, analizzeremo l’applicazione 
proposta da Sabato e Panetta, basata sull’aumento del numero di 
sequenze di numeri casuali, descrivendone poi i risultati ottenuti. 
Nella terza ed ultima parte, tratteremo l’applicazione delle opzioni 
asiatiche alle polizze Index-Linked. Quest’ultime, sono polizze 
assicurative indicizzate e strutturate: "indicizzate" perché il loro 
rendimento è strettamente legato all'andamento dell'indice preso a 
riferimento, "strutturate" in quanto vengono costituite attraverso 
l'utilizzo di diversi titoli, ed in particolare, attraverso l'utilizzo di 
obbligazioni (zero coupon bond) e di strumenti derivati (opzioni). 
L’offerta di questi due titoli così diversi tra loro permette all’impresa 
di assicurazione di ottenere un rendimento certo che si vuole offrire al 
contraente (lo zero coupon bond) senza doversi privare a priori dei 
rendimenti connessi all’andamento dei mercati valutari ed azionari. In 
questa parte quindi, attraverso un esempio Ras, cercheremo di 
comprendere la divisione tra zero coupon bond e derivati, 
descriveremo tale tipologia di polizze dal punto civilistico e fiscale, e 
verrà sintetizzato il modello di Brennan e Schwartz per il calcolo del 
premio unico puro e premio periodico. Nell’ultimo capitolo di questo 
6lavoro, presenteremo il modello di Vannucci per la valutazione del 
costo di opzioni asiatiche a media aritmetica di tipo americano, 
inserite in prodotti Index-Linked ed utilizzante l’approccio con alberi 
binomiali ricombinanti, con due obiettivi fondamentali:  
1. proporre un metodo di valutazione di opzioni asiatiche con media 
aritmetica e di tipo americano, che come tali, presentano ancora oggi 
notevoli problematiche di pricing; 
2. attraverso la valorizzazione sia di parametri finanziari che 
assicurativi, dare un contributo alle scelte delle emittenti finanziarie, 
che possono in questo modo aumentare il costo dell’opzione rispetto a 
quanto prevederebbe uno scenario economico-finanziario ammissibile 
al momento della valutazione.   
7PRIMO CAPITOLO 
NUOVE TIPOLOGIE DI DERIVATI FINANZIARI: LE 
OPZIONI
A partire dagli anni 60, numerose sono state le innovazioni in campo 
finanziario. Accanto ai prodotti definiti classici come azioni ed 
obbligazioni, sono nati nei mercati mondiali, nuovi prodotti finanziari 
e nuove strategìe dinamiche di compravendita che li utilizzano. Le 
cause di queste innovazioni sono molteplici, tra i quali: l’aumentata 
incertezza sull’andamento dei tassi d’interesse, dell’inflazione, dei 
prezzi dei titoli azionari e dei tassi di cambio; la maggiore 
specializzazione professionale tra gli operatori del mercato; la 
maggiore competizione tra le diverse attività finanziarie, etc.. Proprio 
per tali cause, con l’aumento della variabilità, è nata da parte degli 
investitori un’esigenza di nuovi e più efficienti prodotti che 
garantissero la ripartizione del rischio. In risposta a tale esigenza, è 
stata introdotta nel mercato una nuova categoria di prodotti, che 
mantengono fino ai giorni nostri un ruolo di assoluto primato: 
parliamo dei cosiddetti prodotti finanziari derivati. Si tratta di 
8particolari strumenti finanziari il cui valore dipende o deriva da quello 
di altre attività, finanziarie o reali. Tra tutti i prodotti finanziari 
derivati, le opzioni sono sicuramente gli strumenti più utilizzati dagli 
investitori e quelli maggiormente studiati e analizzati dagli esperti. 
Esse hanno una funzione finanziaria molto importante per le 
operazioni svolte da banche e imprese:  rappresentano lo strumento 
per eccellenza su cui basare le strategie di gestione del rischio. In 
questo capitolo, cercheremo di tracciare un breve quadro riassuntivo 
riguardante lo sviluppo dei derivati, la loro utilità nel mercato 
finanziario, la definizione di opzione, le classificazioni ed il pricing di 
questi interessanti strumenti finanziari, soffermando la nostra 
attenzione sul metodo di valutazione più utilizzato ed analizzato dagli 
studiosi del settore: il modello di Black & Scholes.
91.1 I DERIVATI 
Quello che vogliamo esporre in questo paragrafo è l’evoluzione dei 
derivati, i loro campi di applicazione e i loro vantaggi e svantaggi dal 
punto di vista commerciale. Per fare ciò, prendiamo in esame i 
cosiddetti equity derivatives, che meglio si prestano ad una 
generalizzazione del settore che c’interessa, e che spianano la strada 
ad una più specifica definizione di opzione, argomento che 
analizzeremo in modo dettagliato nei prossimi paragrafi. 
1.1.1   DEFINIZIONE E SVILUPPO STORICO 
Gli strumenti derivati sono attività finanziarie il cui valore deriva da 
un fattore sottostante, sia esso tasso di interesse, di cambio, indice 
azionario, prezzo di un bene, ecc. Le principali forme tecniche dei 
derivati finanziari sono rappresentate da financial futures, swaps e
opzioni. Il loro sviluppo è stato uno degli elementi di maggiore 
condizionamento del sistema finanziario negli ultimi 40 anni, e nel 
giro di poco tempo ha raggiunto dimensioni considerevoli, anche 
rispetto ai mercati già presenti e consolidati. La Banca dei 
Regolamenti Internazionali (BRI) pubblica periodicamente 
10
informazioni statistiche sull’attività in derivati che svolta sui principali 
mercati mondiali
1
. L’indagine della stessa, mette in evidenza che 
banche, imprese di assicurazione e società di investimento mobiliare 
costituiscono i principali partecipanti a tale tipo di mercato. 
Il volume delle negoziazioni è espresso attraverso il riferimento al 
cosiddetto valore nozionale, che rappresenta il valore delle attività a 
cui si riferiscono le operazioni; queste, senza essere scambiate, 
fungono da base per il calcolo dei flussi di pagamento.
E’ difficile dare un’esatta datazione sulla nascita del fenomeno 
derivati, poiché le testimonianze e le teorie in merito sono 
numerossissime, ma quello che c’interessa è l’analisi degli elementi 
che hanno condotto allo sviluppo di questi strumenti. La crescita della 
volatilità dei prezzi e dei tassi rappresenta la prima grande fonte di 
sviluppo dei derivati: negli anni ’50 e gran parte degli anni ’60 infatti, 
i sistemi economici dei paesi industrializzati, presentavano condizioni 
di relativa stabilità, sia per quanto riguarda il prezzo delle merci, sia 
per i tassi d’interesse. Tale stabilità si esprimeva positivamente sui 
flussi finanziari delle imprese e sulle condizioni di raccolta del 
capitale di debito. Verso la fine degli anni ’60 però, tali equilibri 
1
 Si consulti a tal proposito: “I mercati degli strumenti derivati”, Rassegna trimestrale BRI, marzo 
2007 e precedenti. 
11
economici e finanziari tra i paesi industrializzati iniziarono a venire 
meno: i tassi d’inflazione di Stati Uniti e Gran Bretagna iniziarono a 
salire, mentre fra le varie nazioni iniziarono a registrarsi divergenze 
sempre maggiori, sia in termini di politica fiscale e monetaria, sia per 
le dinamiche inflazionistiche. Questi elementi hanno inevitabilmente 
condotto all’abbandono, nel 1973, del sistema dei cambi fissi sancito 
dagli accordi di Bretton Woods. Dai primi anni ’70, quindi, ciò che ha 
inciso sullo scenario economico internazionale, sono stati i livelli 
eccezionalmente alti di volatilità raggiunti dai prezzi e dai tassi 
d’interesse e di cambio, introducendo un clima d’incertezza destinato 
a permanere. Ciò ha fatto nascere il bisogno di strumenti e strategie 
per la gestione dei rischi finanziari a cui i principali soggetti 
economici si trovavano esposti: la nascita dei mercati organizzati di 
futures, opzioni e swap su tassi d’interesse, su tassi di cambio e sui 
prezzi delle materie prime, rappresenta quindi la risposta del sistema 
finanziario al risk management.
1.1.2  MERCATI UFFICIALI ED OVER THE COUNTER 
Negli ultimi anni tutte le principali borse, inclusa quella italiana, 
hanno promosso gli scambi di uno o più tipi di equity derivatives, 
12
dalle opzioni sulle singole azioni ai futures e opzioni su indici di 
borsa, alle opzioni su futures: la caratteristica principale di questi 
strumenti è quella di offrire opportunità di speculazione e di hedging 
sul mercato azionario senza alcuna compravendita di azioni. Da ciò 
deriva l’abbattimento dei costi di transazione e il superamento di varie 
problematiche connesse.
Generalizzando, gli equity derivatives quotati presso i mercati ufficiali 
presentano indubbi vantaggi per l'investitore: 
x In quanto strumenti quotati, le opzioni e i futures su indici di 
borsa sono titoli altamente standardizzati, quindi possiedono un 
buon livello di liquidità. Quest’aspetto, consente di effettuare 
speculazioni e coperture con maggiore rapidità e con un 
impiego di capitale relativamente limitato; 
x Il processo di formazione del prezzo è trasparente,  poiché tutta 
la domanda e l’offerta sul mercato si concentra in un unico 
luogo, che sia fisico o virtuale; 
x ll rischio di credito, come per gli altri mercati regolamentati, è 
praticamente eliminato dalla presenza di una Clearing 
Corporation che si pone come controparte diretta di ogni 
13
operatore,  procedendo alla compensazione centralizzata degli 
scambi, garantendone il buon fine. 
La standardizzazione dei prodotti, se da un lato costituisce un pregio, 
dall’altro può rivelarsi un fattore limitante, infatti: 
x Nella maggior parte dei casi, gli scambi di option e futures si 
concentrano su titoli a breve termine; di conseguenza, gli 
strumenti con scadenze più prolungate potrebbero essere 
scarsamente liquidi o addirittura non disponibili sul mercato. 
Per utilizzare ugualmente strategie speculative o di copertura a 
lungo termine sarebbe necessario rinnovare periodicamente la 
propria posizione ogni qual volta i titoli giungono a scadenza, 
ma ciò comporterebbe l’esposizione al cosiddetto rollover risk
2
;
x Per quanto riguarda le opzioni, la varietà di strike price è 
piuttosto limitata e concentrata attorno ai valori spot e forward, 
pertanto è difficile reperire sul mercato opzioni deep in o deep
out of the money;
x Molto spesso, i portafogli azionari degli investitori interessati 
agli equity derivatives presentano una composizione molto 
2
 Il rollover risk, è il rischio di subire una perdita o un costo opportunità derivante dal mispricing 
di un contratto option o futures nel momento in cui una vecchia posizione viene chiusa per aprirne 
una nuova. 
14
diversa da quella degli indici di borsa e tendono a comportarsi 
in modo difforme da questi ultimi. 
In sintesi, l’offerta di derivati su indici presso i mercati organizzati è 
incompleta, quindi incapace di soddisfare interamente le esigenze 
degli investitori. Questa condizione assicura lo sviluppo dei mercati 
non regolamentati o over the counter
3
(OTC). Al contrario di quelli 
ufficiali, i mercati OTC non dispongono di una struttura per la 
compensazione e la gestione multilaterale degli scambi: le operazioni 
sono svolte bilateralmente, e non esiste alcuna garanzia “di sistema” 
contro il rischio di credito. Ciò compromette la trasparenza dei prezzi
e il grado di liquidità degli strumenti. In altre parole, venendo a 
mancare le norme e le strutture generalmente presenti sui mercati, 
aumenta il rischio che le condizioni contrattuali offerte agli investitori 
si allontanino dai livelli di equità, come pure il rischio che la 
controparte si riveli inadempiente o che lo smobilizzo anticipato dei 
titoli acquistati sia impossibile o troppo oneroso. Alla luce di queste 
considerazioni, risulta evidente che, per operare proficuamente sui
mercati OTC, gli investitori devono investire risorse in strumenti e 
3
Over The Counter, mercato senza intermediari in cui gli operatori concludono le negoziazioni 
tramite contatto diretto, rendendo in questo modo possibile anche la contrattazione di prodotti 
estremamente personalizzati. 
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modelli di valutazione avanzati, in modo da stimare autonomamente la 
bontà delle varie proposte contrattuali insieme al grado di solvibilità 
delle controparti. 
Se ciò da un lato esclude i piccoli risparmiatori dal mercato, dall’altro 
consente agli investitori istituzionali di concludere contratti 
vantaggiosi perché modellati sulle loro specifiche esigenze; l’elevato
grado di personalizzazione dei prodotti rappresenta infatti il principale 
punto di forza dei mercati OTC e consente di riempire gli spazi 
lasciati scoperti dai mercati quotati. Questa flessibilità fa sì che spesso 
i prodotti maggiormente innovativi e sofisticati nascano proprio “fuori 
borsa”; del resto, l’industria finanziaria (costituita da banche 
d’investimento, aziende d’assicurazione, etc..) è fortemente motivata 
nell’offerta di strumenti complessi e personalizzati perché ottiene da 
essi margini molto elevati e perché spesso trae vantaggio dall’opacità 
dei prezzi. Naturalmente, anche i costi per la realizzazione di strutture 
finanziarie “su misura” sono assai elevati, e ciò spiega come mai 
l’offerta di prodotti OTC si concentra su contratti di notevoli 
dimensioni. Il taglio minimo molto elevato degli strumenti in esame 
rappresenta, insieme alla scarsa competenza, il principale ostacolo 
all’ingresso degli investitori minori. Nei paragrafi seguenti, 
16
concentreremo la nostra attenzione verso un tipo di strumento derivato 
ormai abbondantemente utilizzato nei mercati OTC: le opzioni.