2caso di avvenimento successivo dell’errore di misurazione. Questo caso è
applicabile, per esempio, se uno strumento di misurazione preciso è sostituito da
uno strumento di misurazione impreciso durante la produzione controllata.
1.2 PERFORMANCE DELLA CARTA DI CONTROLLO NEL CASO DI
DATI DI QUALITA’ PRIVI DI ERRORE
Per controllare la produzione rispetto ad una variabile casuale di qualità X,
vengono stabiliti campioni di dimensione n lungo periodi di tempo costanti.
Le variabili del campione X
1
,……., X
n
sono assunte indipendenti ed
identicamente distribuite (i.i.d.) come una N(µ; ı
2
), con µ
0
e
V
2
0
che
rappresentano rispettivamente i valori da raggiungere per i parametri di
distribuzione µ e ı
2
. Sotto queste assunzioni, una data situazione di processo può
essere completamente caratterizzata da un insieme (G H) delle variabili:
G =
0
0
V
PP
ed H
0
V
V
L’utilizzo di una carta di controllo per valutare contemporaneamente
posizione e diffusione del processo, corrisponde allora a testare ripetutamente se
le condizioni di controllo G = 0 ed H ”1 vengono entrambe soddisfatte per
l’insieme (G H) considerato.
La carta di controllo SX di tipo Shewhart rappresenta una combinazione di
una carta X e di una carta S . I limiti di controllo inferiore e superiore (LCL ed
UCL) della carta X sono dedotti dall’approccio Pr[ X (LCL; UCL) G = 0] = D
1,
in modo che
¿
¾
½
LCL
UCL
= P
0
±z
1-D1/2
2/1
0
n
V
. (1)
3Nell’equazione (1), il parametro progettuale D
1
rappresenta il livello di
significatività della carta X , e z
Z
denota il quantile Z della distribuzione
standard definita da ĭ
-1
(z
Z
) = Z, con
ĭ(z) =
2/1
)2(
1
S
³
f
z
exp
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
2
u
du.
Analogamente, si può derivare da Pr[S > CL H = 1] = D
2
il limite di controllo
della carta S come:
CL =
2/1
2
1;1
1
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
n
n D
F
V
0
(2)
Nell’equazione (2), il parametro progettuale D
2
denota il livello di
significatività della carta S, e
2
;1Z
F
n
denota il quantile Z della distribuzione
centrale del F
con n-1 gradi di libertà definiti da
Ch
-1
(
2
;1Z
F
n
n-1) = Z.
Si ha che:
Ch(F
2
n-1) =
>@
³
*
2
0
2/)1(
2/)1(
2
F
n
n
u
(n-3/2)
exp
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
2
u
du
La funzione di potenza G(G; H) = Pr[ X (LCL; UCL) o S > CL (G; H)] della
carta di controllo
SX , specifica per un dato insieme di parametri di processo
(G; H) la probabilità che almeno una delle carte combinate, tracciate
singolarmente, indichi un bisogno di intervenire sul processo.
Poiché le assunzioni utilizzate spieghino che i test statistici X e S sono
stocasticamente indipendenti, la probabilità H(G; H) = 1 - G(G; H) di non
intervento risulta dalla moltiplicazione delle probabilità di non-allarme delle due
carte individuali. Nel caso dell’applicazione della carta X in combinazione con
la carta S, la probabilità di non-intervento riferita alla carta X è una funzione
X
H
(G; H) = 1-
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
H
G
H
G
DD
2/1
2/11
2/1
2/11
nznz
. (3)
4Poiché la probabilità di non intervento
S
H (H) = 1 – Pr(S > CL H) con
riferimento alla carta S è data da
S
H (H) = Ch
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
2
2
1;1
2
n
n
H
F
D
, (4)
allora segue che dalle equazioni (3) e (4), la funzione di potenza della carta di
controllo SX è definita da
G(G; H) = 1 -
X
H
(G; H)
S
H (H). (5)
Al punto di controllo (0; 1) questa funzione prende il valore:
D
0
= 1 – (1 - D
1
)(1 - D
2
). (6)
Questo livello rappresenta un limite superiore per la probabilità di falso
allarme, ad esempio nel per la probabilità di segnalazione erronea di uno stato di
fuori-controllo.
Non vale che, sotto le assunzioni mostrate, la funzione della lunghezza di
media delle sequenze ARL(G; H) con ARL che rappresenta il numero medio di
campioni che deve essere osservato prima che venga individuato lo scostamento,
sia legata all’equazione (5) tramite ARL(G; H) = 1/G(G; H). Il rapporto 1/D
0
rappresenta un limite inferiore per questa funzione nella carta in presenza di uno
stato di processo scelto arbitrariamente (0; H) con H” 1 (condizione di controllo).
1.3 PERFORMANCE DELLA CARTA DI CONTROLLO NEL CASO DI
DATI DI QUALITA’ NON PRECISI
Nel caso di imprecisione nella calibratura, la carta
SX opera con l’utilizzo
di statistiche campionarie affette da errori. Bisogna distinguere tra le variabili
reali X (o latenti) e le variabili empiriche X
e
(osservabili).
Le variabili X e V sono assunte come legate in maniera additiva a X
e
, in
accordo con la relazione X
e
= X + V.
5L’errore di misurazione V è assunto come i.i.d. N(;
V
2
v
) ed indipendente
da X. Questa assunzione implica che le variabili empiriche del campione
XXX
e
n
ee
,.......,,
21
siano di tipo i.d.d. e distribuite come una N(P; V
2
+
V
2
v
).
Se si introduce lo scarto quadratico medio relativo degli errori di misura
(W = V
v
/ V
0
) per valutare il grado di contaminazione degli errori, allora si può
riscrivere la varianza V
2
+
V
2
v
delle variabili empiriche del campione come
(1 + W
2
/ H
2
)V
2
. Quindi l’errore di misurazione induce all’aumento della varianza
V
2
del processo di produzione, e questo incremento è dovuto ad un fattore di
1 + (W/ H)
2
. Ciò implica che la funzione di densità delle statistiche campionarie
empiriche
e
X ed S
e
abbia un corso piuttosto appiattito. In pratica si potrebbe
assumere la stretta disuguaglianza V
v
” V
0
, in extremis W ” 1.
1.4 CASO IMMEDIATO DI ERRORE
Si assume che l’errore stocastico di misurazione sia già presente mentre si
sta utilizzando la carta di controllo
SX . In questo caso, il limite superiore
specificato (vedi equazione (6)) rimarrà invariato, ma saranno alterati i limiti di
controllo delle carte individuali.
I limiti di controllo empirici UCL
e
ed LCL
e
derivano dalla relazione
Pr[
e
X (LCL; UCL) G = 0] = D
1
:
°
¿
°
¾
½
e
e
LCL
UCL
= P
0
± (1 + W
2
)
1/2
2/1
1
D
z
2/1
0
n
V
. (7)
Se la si confronta con l’equazione (1) si mostra che la distanza tra i limiti di
controllo nell’equazione (7) ed il valore target P = P
0
aumenta, come
conseguenza dell’imprecisione nella calibratura dovuta ad un fattore di
(1 + W
2
)
1/2
.
6Analogamente, il limite di controllo empirico CL
e
è dedotto dalla relazione
Pr[S
e
> CL
e
H = 1] = D
2
, ed è:
CL
e
= (1 + W
2
)
1/2
CL, (8)
dove CL è definito dall’equazione (2).
La funzione di potenza della carta
SX nel caso dell’immediata presenza
dell’errore stocastico è data da:
G
e
(G; H) = Pr[
e
X (LCL
e
; UCL
e
) o S
e
> CL
e
(G; H)].
Per questa funzione di potenza empirica, in maniera simile all’equazione (5),
viene posta la relazione
G
e
(G; H) = 1 -
e
X
H (G; H)
e
S
H (H), (9)
e la funzione della lunghezza media delle sequenze ARL
e
(G; H) per un insieme
specificato (G; H) è calcolata come: ARL
e
(G; H) = 1/G
e
(G; H). Nell’equazione (9)
e
X
H (G; H) e
e
S
H (H) rappresentano le probabilità di non intervento connesse con le
carte individuali. Queste sono:
e
X
H (G; H) = 1 -
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
2/1
22
2/12
2/1
2/1
22
2/12
2/1
)1()1(
11
WH
GW
WH
GW
DD
nznz
(10)
e
S
H (H) = Ch
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
1
2
1;1
22
2
2
n
n D
F
WH
W
. (1)
Si ha facile verifica che, nel caso di immediatezza dell’errore, le funzioni di
potenza reale ed empirica sono legate dalla relazione
G
e
(G; H) = G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2/1
2
22
2/1
2
1
;
1
W
WH
W
G
. (12)
71.5 CASO DI ERRORE SUCCESSIVO
Si considera ora il caso in cui l’errore di misurazione stocastico non avviene
immediatamente, ma si assume avvenga dopo, durante la produzione. In questo
caso la carta di controllo opera con i limiti di controllo “reali” delle equazioni
(1) e (2). Poiché questi vengono confrontati con le statistiche campionarie affette
da errore, i livelli di significatività D
1,
D
2
ed D
0
risulteranno variati.
La funzione di potenza empirica nell’equazione (9) è ora dedotta da:
G
e
(G; H) = Pr[
e
X (LCL; UCL)] o S
e
> CL(G; H).
Secondo questo approccio, invece delle equazioni (10) ed (11), si ottengono
per le probabilità di non intervento
e
X
H (G; H) e
e
S
H (H) nell’equazione (9), le
seguenti formulazioni:
e
X
H (G; H) = 1 -
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
2/1
22
2/1
2/1
2/1
22
2/1
2/1
11
WH
G
WH
G
DD
nznz
(13)
e
S
H (H) = Ch
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
22
2
1;1
2
n
n
WH
F
D
(14)
Le funzioni di potenza reale ed empirica sono legate da una relazione
facilmente verificabile, che si trova qui con forma:
G
e
(G; H) = G(G; (H
2
+ W
2
)
1/2
(15)
Al punto di controllo (0; 1) la funzione di potenza G
e
(G; H) = 1/ARL
e
(G; H) ha
valore:
e
0
D
e
1
D
e
2
D
In questa equazione, i livelli di significatività delle carte individuali sono dati da:
e
1
D 2)
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2/1
2
2/1
1
1
W
D
z
e
2
D Ch
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
1
2
2
1;1
2
n
n
W
F
D
(18)
8Si nota che i valori delle equazioni (16), (17) e (18) sono maggiori, se
confrontati rispettivamente con D
1
,D
2
ed D
0.
Il grado di ampliamento dipende
dalla misura W di contaminazione dell’errore e, nel caso di
e
2
D e
e
0
D dipende
anche dalla dimensione campionaria n.
La Figura 1 mostra che l’imprecisione nella calibratura può
considerevolmente incrementare il limite superiore specificato (D
) di una carta
di controllo
SX . Si vede anche che la differenza tra D
e l’equivalente
empirico
e
0
D cresce al crescere della dimensione campionaria n.
Figura 1. Effetto dell’imprecisione di calibratura sul limite superiore della probabilità di falso allarme di una
carta di controllo
SX
.
91.6 UN ESEMPIO
Per illustrare i risultati presentati, si considera una carta di controllo
SX
che opera con una dimensione campionaria n = 5 e livelli di significatività D
1
ed
D
2
entrambi pari a 0.01. Il grado di contaminazione dell’errore prende i valori
W = 0 (caso di non-errore) e W = 1. Il valore relativamente grande di W = 1 è scelto
per mostrare in maniera più chiara l’effetto di imprecisione della calibratura.
La Figura 2 mostra la funzione di potenza G
e
(G; H) della carta di controllo
SX definita attraverso l’equazione (5) in connessione con le equazioni (3) e
(4), ed i valori di D
1
ed D
2
appena specificati. Al punto (0; 1) la funzione prende
il valore D
0
= 1 – 0.99
2
|0.0199.
La Figura 3 indica l’effetto dell’imprecisione di calibratura sulla
performance di una carta di controllo
SX . La Figura 3(a) fa riferimento al
caso di errore immediato. Se la si confronta con la funzione reale, G
e
(G; H)
mostra un percorso più appiattito per tutti gli stati di fuori-controllo
(G; H Questo corrisponde ad una ridotta capacità della carta
SX a segnalare
disturbi di processo. Al punto (0; 1), la funzione prende in maniera consistente il
valore fissato D
0.
Il grafico tridimensionale nella Figura 3(b) fa riferimento al
caso di errore successivo.
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