Calcolo della resistenza indotta con un integrale di scia

vettore forza aerodinamica agente sull’aeromobile ad opera dell’induzione di velocita`
verso il basso da parte della scia vorticosa che si libera dalla superficie portante princi-
pale dell’aeromobile. La scia vorticosa e` conseguenza della generazione della portanza
su un’ala finita in associazione al flusso trasversale che si instaura per via del contatto
tra i due flussi di dorso e ventre, rispettivamente ad una pressione inferiore e superiore
di quella della corrente asintotica. L’intensita` della vorticita` generata e` piu` forte alle
estremita` alari, pertanto un’alterazione della geometria di questa parte dell’ala, median-
te tecniche di riallocazione o diffusione dei vortici, ha un grande effetto sulla resistenza
indotta (Kroo (2001)).
Strumenti adottati per la riduzione della resistenza indotta, che sfruttano il principio
della riallocazione, sono le appendici aerodinamiche denominate winglets, che consisto-
no essenzialmente in alette d’estremita` opportunamente modellate, la cui tecnologia e`
attualmente affermata nel campo dei velivoli da trasporto commerciale, ma che sono
tutt’oggi oggetto di studio e perfezionamento. Altri tipi di appendici di estremita`, da
considerarsi ancora sperimentali, consistono in strutture aerodinamicamente piu` com-
plesse quali dispositivi dotati di turbine che assorbendo l’energia associata alle strutture
vorticose ne determinano la diffusione, oppure di semplici pale che vanno a costituire
una struttura a griglia che emula l’anatomia delle ali degli uccelli.
Sebbene il meccanismo fisico della produzione della resistenza indotta sia noto dagli
albori dell’aerodinamica teorica, in realta` una conoscenza profonda del fenomeno in
presenza di flussi reali non e` ancora matura.
In questo lavoro di tesi e` dapprima affrontato il problema della definizione teorica della
resistenza indotta nel caso di flussi ideali (non viscosi ed incomprimibili), in seguito la
formulazione teorica piu` generale della resistenza in flussi viscosi, fino alla partizione
della resistenza in termini di componenti identificati sulla base della loro origine fisica.
L’obiettivo principale per questo tipo di studio e` ottenere un metodo computazionale ac-
xi
curato e veloce per la previsione della resistenza. Nel caso specifico ci interessiamo della
previsione numerica della resistenza indotta basata sul post-processing di simulazioni
numeriche di campi di moto ottenute con i metodi della fluidodinamica computaziona-
le (CFD). La tecnologia connessa alla previsione numerica della resistenza e` uno degli
strumenti che piu` di ogni altro influenza il processo di progettazione aerodinamica di
un aeromobile; la possibilita` di integrare questo tipo di analisi aerodinamica all’interno
di un ciclo di ottimizzazione e` l’obiettivo ultimo al quale si mira occupandosi della va-
lidazione di codici numerici per la previsione della resistenza.
Classicamente la tecnologia CFD calcola la resistenza su una configurazione di aeromo-
bile integrando la pressione e gli sforzi viscosi sulla superficie del corpo (impostazione
del campo vicino, near field). Tuttavia l’accuratezza dell’integrazione superficiale e` li-
mitata dalla massima risoluzione con cui e` possibile descrivere numericamente superfici
ad elevata curvatura, ad esempio la zona vicina al bordo d’attacco di un’ala. Anche
l’accuratezza del calcolo degli sforzi viscosi pone delle difficolta`, inoltre questo tipo di
impostazione limita la realizzazione di un’analisi delle componenti della resistenza in
base al meccanismo fisico che le ha generate.
Un’impostazione alternativa e` l’applicazione di metodi di integrazione della scia nell’a-
nalisi dei campi di moto ottenuti con la CFD, in maniera del tutto analoga a quanto
viene realizzato nelle sperimentazioni in galleria aerodinamica. In questi metodi l’inte-
grazione superficiale e` rimpiazzata da integrali su superfici fittizie del campo di moto,
collocate lontano a valle della configurazione che si vuole studiare. Siffatte metodologie
si ottengono mediante l’applicazione dei semplici principi di conservazione della quan-
tita` di moto nella forma integrale. E’ possibile, seguendo questo tipo di impostazione,
distinguere la resistenza indotta da quella d’onda e da quella connessa allo sviluppo
dello strato limite.
Il lavoro svolto in questa tesi si inquadra nel contesto dell’attivita` del Dipartimento di
xii
Progettazione Aeronautica (DPA) nel campo della previsione numerica della resistenza.
Durante il periodo di partecipazione al progetto della Comunita` Europea denomina-
to AIRDATA (AIRcraft Drag And Thrust Analysis, 1998-2000, in collaborazione con:
NLR, DLR, CIRA, BAe, Rolls Royce, Hurel Dubois, ANALYSIS System Research Hi-
Tech), il DPA ha sviluppato in collaborazione col Centro Italiano Ricerche Aerospaziali
(CIRA) un codice (denominato AIRDRAG) per la decomposizione della resistenza en-
tropica nelle componenti: viscosa, d’onda e spuria, a partire da simulazioni numeriche
di campi di moto retti dalle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds (RANS).
Il problema del calcolo della resistenza indotta fu sviluppato, all’interno del progetto
AIRDATA, dal National Aerospace Laboratory (NLR) che realizzo` il codice di calcolo
CUTAIR per la previsione numerica della resistenza indotta mediante un integrale di
scia.
Nell’ultima parte di questo lavoro di tesi sono analizzate le capacita` ed i limiti del co-
dice CUTAIR, valutando i pregi ed i difetti dell’utilizzo dell’espressione della resistenza
indotta in termini di un integrale di scia. Il codice implementa anche un integrale di
scia per il calcolo della resistenza di tipo entropico, sono quindi illustrati i limiti di tale
formulazione, con la quale non e` possibile separare efficacemente la resistenza connessa
ad una produzione di entropia a seconda che questo si verifichi nel passaggio delle parti-
celle di fluido attraverso un’onda d’urto, per via della presenza della viscosita` (sviluppo
dello strato limite) oppure per fenomeni di tipo numerico.
La configurazione analizzata e` l’ala Onera M6; il solutore FLOWer e` utilizzato per risol-
vere le RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes) che modellano campi di moto viscosi
comprimibili.
xiii
Capitolo 1
Una formulazione non viscosa
incomprimibile
In questo capitolo, basato sui lavori di Luchini e Quadrio (2000), Ashley e Landahl
(1965), viene impostato il problema generale del campo di velocita` indotto dal mo-
to uniforme di un corpo aerodinamico immerso in un fluido in quiete, non viscoso ed
incomprimibile. Con l’ausilio del potente metodo della funzione di Green e` ricavato l’an-
damento asintotico del campo di velocita`, senza la necessita` di risolvere compiutamente il
problema. Tale risultato viene sfruttato per la definizione degli integrali che restituisco-
no il valore delle componenti della forza aerodinamica agente sul corpo nelle suddette
ipotesi. Il procedimento e` portato avanti parallelamente per il caso bidimensionale e
tridimensionale al fine di evidenziare i punti in comune e le differenze.
1.1 Moto irrotazionale ed equazione di Laplace
Poniamoci in un sistema di riferimento solidale con il corpo, cos`ı che per un problema
stazionario la velocita` e` funzione solo della posizione r, ed assume all’infinito il valore
1
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 2
costante V ∞. All’infinito, di conseguenza, il vettore vorticita`, definito come rotore del
campo di velocita` ζ = ∇× V , e` identicamente nullo.
Nelle ipotesi introdotte il bilancio della quantita` di moto prescrive (teorema di Kelvin)
che ζ deve restare identicamente nullo in tutti i punti del campo di moto che siano ri-
conducibili ad un punto all’infinito mediante linee di corrente (cioe` lungo linee che siano
traiettorie di una particella di fluido), ne restano esclusi i punti appartenenti alla scia.
Le condizioni di irrotazionalita` e incomprimibilita` determinano il campo di moto, me-
diante la risoluzione del seguente sistema:



∇× V = 0
∇ · V = 0
(1.1)
Consideriamo un cammino chiuso C all’interno del fluido, sia t il versore tangente in
ogni suo punto, calcoliamo la circolazione di V attorno a tale cammino. Sia S il dominio
interno al cammino C.
Per il teorema di Stokes vale:
∮
C
V · tdc =
∫
S
n · ∇ × V dS = 0 (1.2)
per qualsiasi cammino C che sia riducibile, cioe` che sia possibile trasformare con conti-
nuita` in un punto senza abbandonare la regione. Se P1 e P2 sono due punti che giacciono
in una regione connessa del fluido, e se C1 e C2 sono due cammini che uniscono i due
punti in modo tale che, insieme, formino un cammino chiuso riducibile, dalla relazione
precedente segue immediatamente:
∮
C1
V · tdc =
∮
C2
V · tdc (1.3)
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 3
E‘ allora possibile definire una funzione scalare ϕ, detta potenziale cinetico o potenziale
di velocita`, che dipende dalla posizione del punto P2, tale che:
ϕ (P2) = ϕ (P1) +
∫ P2
P1
V · tdc (1.4)
La posizione del punto P1 non ha importanza, in quanto della funzione ϕ ci interessa
solamente il gradiente, che e` funzione solo di P2.
Detta r la posizione di P2 si ha:
∇ϕ = V (r) (1.5)
La velocita` ottenuta come gradiente di ϕ soddisfa ovviamente la richiesta di irrotazio-
nalita` del campo di moto. Sostituendo l’espressione (1.5) per V nel sistema (1.1), esso
si riduce ad un’unica equazione scalare, l’equazione di Laplace:
∇2ϕ = 0 (1.6)
nell’unica incognita scalare costituita dalla funzione potenziale ϕ.
Questa e` una equazione lineare del secondo ordine a derivate parziali di tipo ellittico
che non dipende esplicitamente dal tempo e che va naturalmente dotata di opportune
condizioni al contorno. Le sue soluzioni (che si dicono anche funzioni armoniche) sono
ovunque funzioni continue insieme alle loro derivate, tranne che eventualmente su alcuni
punti del contorno.
Le caratteristiche delle soluzioni dell’equazione di Laplace dipendono dalla topologia
del dominio spaziale entro cui essa deve essere risolta. Prima di descrivere le condizioni
al contorno da imporre sul corpo, all’infinito e sulla scia che permettono di definire
compiutamente il problema, accenniamo alla questione dell’unicita` della soluzione.
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 4
1.1.1 Regioni semplicemente connesse
Nel definire il potenziale di velocita` si e` utilizzata l’ipotesi di dominio semplicemente
connesso ammettendo che il generico percorso di integrazione sia costituito da una curva
riducibile. Il caso in analisi di corpo aerodinamico e` compatibile con questa ipotesi, un
esempio di dominio biconnesso si avrebbe in presenza di una struttura di tipo toroidale.
Ne segue che ϕ e` una funzione ad un sol valore (monodroma) della posizione, definita a
meno di una ininfluente costante additiva.
E’ possibile dimostrare in maniera abbastanza semplice che per un problema interno ad
un dominio D assegnare la componente normale della velocita` oppure il potenziale sul
contorno ∂D definisce univocamente il potenziale nelle nostre ipotesi. Infatti, integrando
in D la seguente relazione, ottenuta sfruttando l’ipotesi di incomprimibilita`,
∇ · (ϕV ) = V · ∇ϕ+ ϕ∇ · V = V · V (1.7)
otteniamo:
∫∫∫
D
V · V dD =
∫∫∫
D
∇ · (ϕV ) dD (1.8)
Per quanto precedentemente detto tutte le funzioni integrande risultano essere funzioni
monodrome della posizione, e` lecito quindi riscrivere l’integrale precedente, facendo uso
del teorema della divergenza, come un integrale esteso al solo contorno ∂D:
∫∫∫
D
V · V dD =
∮
∂D
ϕV · ndS (1.9)
in cui n e` la normale al contorno ∂D rivolta verso il fluido.
Da questa relazione si ricava immediatamente il risultato notevole che se V · n = 0 in
tutti i punti del contorno, allora in tutti i punti del volume D e` V = 0. L’unico moto
irrotazionale di un fluido non viscoso e incomprimibile in una regione semplicemente
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 5
connessa sul contorno della quale la componente normale della velocita` sia nulla e` il
moto con velocita` ovunque nulla.
Figura 1.1: Problema interno ad un dominio D semplicemente connesso
Questa osservazione suggerisce che siano i valori di V ·n prescritti al contorno a determi-
nare la soluzione. Per verificarlo, basta considerare due soluzioni ϕa e ϕb dell’equazione
di Laplace, con i rispettivi gradienti V a = ∇ϕa e V b = ∇ϕb. Per la linearita`, anche la
differenza V a − V b e` una soluzione, per la quale la relazione (1.9) diviene:
∫∫∫
D
(V a − V b) · (V a − V b) dD =
∮
∂D
(ϕa − ϕb) (V a − V b) · ndS (1.10)
Quindi l’unicita` della soluzione, cioe` Va = Vb in tutto il volume, e` garantita quando
V a · n = V b · n oppure ϕa = ϕb su ∂D. L’unicita` inoltre e` garantita quando le due
soluzioni hanno lo stesso valore del potenziale in alcune parti del contorno, e lo stesso
valore per la derivata normale del potenziale sulle parti rimanenti.
In realta` abbiamo appena ricavato una condizione di unicita` non per ϕ, ma per il suo
gradiente, tuttavia il potenziale resta definito a meno di una ininfluente costante addi-
tiva.
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 6
Una dimostrazione simile a quella appena sviluppata, relativa ad un problema interno,
va condotta per il caso esterno in cui un corpo e` immerso in un’estensione infinita di
fluido. Per questo motivo e` necessario conoscere il comportamento di ϕ all’infinito, cosa
che faremo nel seguito. Ci limitiamo qui ad esporre il risultato che, anche nel problema
esterno, la condizione di velocita` normale imposta sul solo contorno interno (il contorno
del corpo) e` sufficiente per determinare univocamente la soluzione.
A seguito delle condizioni di unicita` ora ricavate, l’intero campo di moto irrotazionale
di un fluido non viscoso ed incomprimibile e` completamente determinato dalla distribu-
zione sul contorno della componente normale della velocita`. Se il contorno rappresenta
la superficie di un corpo rigido che si muove all’interno di un fluido altrimenti in quie-
te, l’intero campo di moto dipende dal valore istantaneo della velocita` del corpo (e,
naturalmente, dalla sua geometria). Il valore istantaneo dell’accelerazione, e la storia
precedente del flusso, non hanno invece alcuna influenza. Cio` significa che il campo di
moto si adatta in maniera istantanea ad un cambiamento delle condizioni al contorno
(per esempio, un’accelerazione del corpo). In effetti l’equazione di Laplace non contiene
derivate rispetto al tempo. Cio` non significa che non si possono ricondurre allo schema
matematico dell’equazione di Laplace i problemi evolutivi, ma indica solo il fatto che la
soluzione si adatta istantaneamente alla modifica delle condizioni al contorno. Infatti,
l’ipotesi di incomprimibilita` determina una infinita velocita` di propagazione dell’infor-
mazione dell’avvenuto cambiamento delle condizioni al contorno in tutto il campo di
moto.
1.1.2 Regioni biconnesse
Una regione dello spazio si dice connessa con molteplicita` due quando non tutti i
cammini che uniscono due punti del dominio rimanendo sempre all’interno del fluido
sono riducibili. Questo implica immediatamente che la condizione di irrotazionalita`
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 7
non e` piu` sufficiente per garantire l’esistenza di una funzione potenziale monodroma: il
potenziale come definito dalla (1.4) esiste, ma e` in generale una funzione polidroma (a
piu` valori). Il caso di regione biconnessa riveste grande importanza perche´ vi ricade il
moto bidimensionale di un fluido attorno ad un corpo solido in esso immerso.
La circolazione di V attorno a quei cammini che siano riducibili e` ancora nulla, ma quella
calcolata lungo cammini non riducibili in generale non e` nulla, anche se non cambia per
tutti i circuiti dello stesso tipo. Se chiamiamo Γ questo valore costante della circolazione,
per quei cammini C che non sono riducibili e circondano una volta la lacuna possiamo
scrivere:
∮
C
V · tdc = Γ (1.11)
La costante Γ si chiama costante ciclica. Per i cammini che non sono riducibili e cir-
condano la lacuna n volte, la circolazione della velocita` e` pari a nΓ, dove l’intero n si
intende dotato di segno, dipendendo dal verso di percorrenza di C. Se definiamo come
valore principale del potenziale il valore:
ϕ∗ (P ) =
∫ P2
P1
V · tdc (1.12)
quando l’integrale viene calcolato lungo un cammino che non circonda la lacuna, il valore
del potenziale in un punto e` uguale al suo valore principale a meno di multipli interi
della costante ciclica:
ϕ (P ) = ϕ∗ (P )± nΓ (1.13)
Notiamo che la polidromia di ϕ non costituisce un problema, dal momento che siamo
interessati al suo gradiente: la derivata della costante ±nΓ e` nulla.
Per ricavare le condizioni sotto cui ∇ϕ e` univocamente determinato in un dominio sem-
plicemente connesso, abbiamo fatto uso del teorema della divergenza, che richiede fra
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 8
l’altro la monodromia delle funzioni integrande. Il ragionamento puo` essere immedia-
tamente utilizzato per un dominio biconnesso solo nel caso particolare in cui sia Γ = 0,
per il quale il potenziale e` effettivamente ad un sol valore. Per trovare le condizioni di
unicita` nel caso generale in cui Γ = 0, un ragionamento molto veloce e` il seguente.
Supponiamo che ϕa e ϕb siano due soluzioni dell’equazione di Laplace dotate della stes-
sa costante ciclica Γ. Allora per la linearita` ϕa − ϕb e` un’ulteriore soluzione, dotata
di costante ciclica nulla. Ad essa dunque si applicano immediatamente i risultati della
sezione precedente. Ne segue che in un dominio biconnesso la soluzione e` univocamente
determinata dalla componente normale della velocita` sul contorno, se si conosce il valore
della costante ciclica. Per poter applicare il teorema della divergenza e ricavare quindi
le condizioni di unicita`, un dominio biconnesso deve essere reso monoconnesso mediante
l’introduzione di un taglio t, mostrato schematicamente in figura 1.2. La barriera, che
Figura 1.2: Dominio biconnesso reso monoconnesso mediante l’introduzione di un taglio t
ha unicamente significato topologico, non permette di considerare cammini sempre con-
tenuti nel fluido che la attraversino, ed in questo modo il potenziale torna ad essere una
funzione monodroma. Il prezzo da pagare per questa operazione consiste nell’accettare
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 9
che il potenziale possa presentare una discontinuita` attraverso la linea del taglio: infatti
due punti A ed A′ che siano separati dalla barriera sono dal punto di vista topologico
agli estremi opposti della regione, ed assumono valori non legati fra loro. La relazione
(1.9) per un dominio biconnesso mediante l’introduzione di una barriera si riscrive:
∫∫
S
V · V dS =
∮
S∞
ϕV · ndc−
∮
Sc
ϕV · ndc+
∫
t
ϕ−V · ndc−
∫
t
ϕ+V · ndc (1.14)
in cui si e` decomposto il contorno del dominio S = S∞ ∪ Sc ∪ t mentre ϕ+ e ϕ− sono i
valori del potenziale dai due lati della barriera.
Dato che
∫ A′
A
V · n = Γ (1.15)
si ottiene l’espressione finale:
∫∫
S
V · V dS =
∮
S∞
ϕV · ndc−
∮
Sc
ϕV · ndc+ Γ
∫
t
ϕ+V · ndc (1.16)
che conferma il risultato ricavato in precedenza: la soluzione e` determinata univoca-
mente quando si conosce il valore della componente normale sul contorno unitamente al
valore della costante ciclica. Cio` equivale a dire che la soluzione non e` determinata in
modo univoco se non si conosce Γ, legata alla circolazione attorno al corpo, la cui genesi
e` legata a fenomeni di tipo viscoso, ma il cui effetto e` modellabile nelle nostre ipotesi
assumendo, come vedremo, che il corpo sia di tipo aerodinamico.
1.1.3 Corpi tozzi e corpi aerodinamici
Se il corpo ha forma generica e senza spigoli, ovvero e` un corpo tozzo, dietro di esso
si forma una scia, la cui dimensione nel senso normale alla direzione del moto non e`
trascurabile, essendo confrontabile con la lunghezza del corpo stesso. All’interno della
CAPITOLO 1. UNA FORMULAZIONE NON VISCOSA INCOMPRIMIBILE 10
scia, sono presenti zone di ricircolo del flusso, in cui la vorticita` non e` nulla.
In effetti le conseguenze del teorema di Kelvin non si applicano ai punti contenuti all’in-
terno della scia, dai quali non e` possibile ricondursi all’infinito seguendo la traiettoria
di una particella di fluido. Le geometrie di tipo aerodinamico, a cui in particolare
appartengono i profili alari, sono invece caratterizzate da una dimensione longitudinale
prevalente rispetto allo spessore, e soprattutto da un bordo di uscita aguzzo. Quando un
corpo aerodinamico viene investito dalla corrente secondo angoli di incidenza non troppo
elevati, la scia resta relativamente sottile e si stacca dal corpo proprio in corrispondenza
del bordo di uscita. Per il flusso intorno ad un corpo di forma aerodinamica, l’ipotesi di
moto irrotazionale in gran parte del campo di moto e` ragionevole. Grazie ad essa si e`
visto come sia possibile semplificare significativamente la formulazione matematica del
problema, ritenendo che sia ζ = 0 ovunque, tranne che all’interno della scia. Tuttavia
Figura 1.3: Corpo tozzo con scia vorticosa di dimensioni non trascurabili, e corpo
aerodinamico con scia sottile che si stacca dal bordo di uscita aguzzo
abbiamo visto come dal punto di vista matematico nel caso di moto bidimensionale di
un fluido attorno ad un corpo solido in esso immerso il problema presenti un’indeter-
minazione legata all’incognita costante ciclica. Con la limitazione di considerare solo
corpi aerodinamici, l’informazione mancante per rendere unica la soluzione e` fornita,
senza bisogno di considerare la viscosita`, dal fatto che la scia si deve necessariamente
staccare dal bordo di uscita aguzzo del profilo (ipotesi di Kutta), e questo determina
completamente il problema.
In pratica la singolarita` geometrica introdotta dalla presenza di un bordo di uscita
aguzzo suggerisce che proprio da quel punto si debba staccare la scia, sfruttiamo un’in-