Schemi di Codifica per Sistemi di Trasmissione Multiple Input Multiple Output

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1.1 Scenario tipico di propagazione multipath 
 
valido quando le dimensioni degli oggetti nell’ambiente circostante sono sensibilmente 
maggiori della lunghezza d’onda della portante. In queste circostanze il segnale 
complessivamente ricevuto è la somma di più componenti, provenienti da vari percorsi, 
opportunamente attenuate e ritardate rispetto al segnale trasmesso (Fig. 1.1). Queste 
differenze tra le diverse componenti sono fisicamente originate dalle diverse 
caratteristiche dei cammini percorsi da ciascuno dei raggi in cui l’onda elettromagnetica 
è scomposta. 
Di conseguenza, la modellizzazione e il progetto punto-punto di sistemi soggetti a 
propagazione multipath presentano difficoltà sicuramente maggiori rispetto a quelle 
poste da sistemi in cui l’unica sorgente di disturbo è il rumore termico. 
 
1.2 Canale Tempo-Invariante 
 
Indichiamo con 
()
x t  l’inviluppo complesso del segnale trasmesso. Il segnale ricevuto 
 avrà allora inviluppo complesso pari a 
()
yt
 
 
() ()
1
r
N
ii
i
yt axt τ
=
= −
∑
 (1.1) 
 9
  
i
ii
j
ae
θ
ρ=  (1.2) 
 
dove  è il numero di raggi ricevuti,  è una variabile aleatoria complessa, mentre 
r
N
i
a
,
ii
ρ θ , e 
i
τ  sono rispettivamente l’ampiezza, il ritardo di fase e il ritardo di 
propagazione dell’i-esimo raggio. 
 Fin quando il canale è lineare, esso può anche essere descritto dalla risposta 
( )
,htτ  
all’istante  ad un impulso trasmesso all’istante t t τ+ . Allora in termini della risposta 
impulsiva la relazione ingresso-uscita risulta 
 
 
() ( )( )
,yt h txt dτ ττ
+∞
−∞
=−
∫
 (1.3) 
 
Paragonando la (1.1) e la (1.3), si può vedere che la risposta impulsiva per un canale 
multipath statico è 
 
 
( ) ( )
i
i
ha
i
τ δτ τ= −
∑
 (1.4) 
 
Una volta noto l’ambiente circostante e le posizioni relative di antenne trasmittente e 
ricevente, sarebbe in teoria possibile valutare tutti i parametri del modello (1.1). In tale 
condizione è possibile valutare l’impatto della propagazione per cammini multipli sulla 
ricezione del segnale. Consideriamo come esempio il cosiddetto canale a due raggi, 
ovvero 
 
 
( ) ( ) ( )
j
yt xt e xt
θ
ρ τ= +− (1.5) 
 
Come si può notare,  è la somma di un raggio diretto di ampiezza unitaria e con 
sfasamento e ritardo nulli, e di un raggio riflesso con ampiezza, sfasamento e ritardo 
fissati, riferiti al primo raggio. 
()
yt
Nel dominio della frequenza la relazione (1.5) diventa 
 10
  
 
Fig.1.2 Risposta in ampiezza del canale a due raggi; 1µs e 0,5MHz
N
fτ = =  
 
 
 
( ) ( )
( )
2
1
j jf
Yf Xf ee
θ πτ
ρ
−
=+  (1.6) 
 
E corrisponde ad una risposta in frequenza del canale pari a 
 
 
()
( )
2
1
N
jff
Hf e
π τ
ρ
−−
=+  (1.7) 
 
Dove 
1
22
f
N
θ
πττ
=− è chiamata frequenza di notch del canale e corrisponde al punto 
di massima attenuazione. 
La risposta in ampiezza del canale è 
 
 
() ()
( )
2
||12cos2
N
Hf f fρ ρπ+=+ − τ (1.8) 
 
ed è mostrata in Fig. 1.2 in funzione della frequenza per alcuni valori di ρ , per un 
ritardo τ  pari a 1  e per una frequenza di notch pari a 0.5 MHz. µs
 
 11
  
 
 
Fig 1.3 Risposta in ampiezza del canale a 20 raggi 
 
 1R τ<< (1.9) 
 
Come si può osservare, se il segnale trasmesso 
( )
x t  ha larghezza di banda 
confrontabile con 1 τ , esso subisce notevoli distorsioni da parte del canale per effetto 
dei cammini multipli. In particolare le componenti del segnale sono attenuate in modo 
diverso a seconda della frequenza: in questo caso si dice che il canale ha un 
comportamento selettivo in frequenza. 
Viceversa, se 
( )
x t  ha banda molto più piccola di 1 τ , il canale risulta piatto e lo spettro 
del segnale subisce la stessa attenuazione su tutte le sue componenti frequenziali. 
Ammettendo quindi che il segnale trasmesso abbia velocità di segnalazione 1R T=  
(T è il tempo di simbolo), la condizione di non selettività del canale si traduce nella 
relazione 
Si torni adesso al caso più generale, in cui sono presenti  cammini di propagazione, e 
si indichi con 
r
N
12
, ,....,
r
ρ ρρ le relative attenuazioni e con 
12
, ,....,
r
τ ττ i corrispondenti 
ritardi. 
La risposta in frequenza del canale diventa 
 
 12
 ()
2
1
r
l
N
j f
l
l
Hf e
π τ
ρ
−
=
=
∑
 (1.10) 
 
In Fig. 1.3 è mostrata la risposta in ampiezza di un canale a 20 raggi. Si noti l’estrema 
selettività del canale rispetto al modello a due raggi di Fig. 1.2. 
La risposta in ampiezza visualizzata nella precedente figura risulta infatti molto più 
frastagliata rispetto al caso di canale a due raggi, mettendo ancora più in evidenza la 
difficoltà di propagazione che si può incontrare su un canale radio. 
Le distorsioni introdotte dipendono dal tipo di segnale trasmesso. Se il segnale è 
caratterizzato da una banda relativamente stretta ‘vede’ una piccolissima porzione della 
risposta in ampiezza del canale ovvero si trova di fronte ad un canale piatto: tutte le sue 
componenti subiscono un’uguale attenuazione o amplificazione a seconda che i segnali 
incidenti sull’antenna ricevente si sommino distruttivamente o costruttivamente. Se 
invece il segnale trasmesso è a larga banda, esso subisce notevoli distorsioni da parte 
del canale per effetto dei cammini multipli: in questo caso ci troviamo di fronte a fading 
selettivo in frequenza. 
Un’idea quantitativa della rapidità di variazione di 
( )
Hf si ottiene nel seguente modo. 
Definiamo con 
 
 
2
1
r
l
l N
m
m
ρ
µ
ρ
=
=
∑
 (1.11) 
 
il peso del cammino l-esimo. Si chiami poi ritardo medio la media pesata dei ritardi 
 
 
1
r
N
ll
l
τ µτ
=
=
∑
 (1.12) 
 
La deviazione standard dei ritardi è definita come 
 
 
 13
( )
Cf
Spettro del segnale 
()
a
()
b
ff
 
Fig. 1.4 Canale non selettivo a) selettivo b) 
 
 
 
()
2
1
r
N
r
ll
l
σ µτ τ
=
=−
∑
 (1.13) 
 
e si può dimostrare che  varia più rapidamente quanto maggiore è 
()
Hf
r
σ . 
Si definisce banda di coerenza 
c
B  del canale il massimo intervallo di frequenza in cui 
 non varia ‘apprezzabilmente’ e per quanto detto si può esprimerla con 
()
|Hf|
 
 1
cr
B σ∝  (1.14) 
 
Perciò per una data velocità di segnalazione 1 T , possiamo dividere i canali multipath 
in 2 classi: 
 
1. quelli non selettivi, in cui 1
c
B T>  e nei quali tutte le componenti del segnale 
subiscono pressoché la medesima attenuazione (Fig. 1.4a) 
2. quelli selettivi, in cui 1
c
B T<  e nei quali le componenti sono attenuate in modo 
diverso a seconda della frequenza (Fig. 1.4b) 
 14
 La selettività in frequenza del canale trasmissivo si traduce in una distorsione lineare del 
segnale trasmesso, che a sua volta genera interferenza intersimbolica (ISI) al ricevitore. 
Questa deve essere opportunamente compensata per evitare una severa degradazione 
delle prestazioni del sistema. 
Le tecniche usate per la compensazione dell’ISI sono genericamente note come 
‘tecniche di equalizzazione. Nei sistemi convenzionali a singola portante (PSK, QAM) 
si utilizzano di solito equalizzatori lineari o a reazione che operano nel dominio del 
tempo (filtri numerici a risposta impulsiva finita). Quando il canale è fortemente 
selettivo, essi presentano tempi di acquisizione molto lunghi. La soluzione migliore in 
questi casi è il ricorso ad una modulazione resistente alle distorsioni causate da fading 
selettivo. 
 
1.3 Canale Tempo-Variante 
 
Il modello finora considerato è relativo ad un canale tempo-invariante, in cui i parametri 
che lo caratterizzano sono indipendenti dal tempo. Questa ipotesi è molto riduttiva; 
infatti nei sistemi radio-mobili il canale non è tempo-invariante, ma tempo-variante, 
perché il moto relativo tra trasmettitore e ricevitore si traduce in cambiamenti  delle 
caratteristiche del mezzo di propagazione. Il risultato è che il ricevitore osserva 
variazioni nell’ampiezza e nella fase del segnale ricevuto dovute al contributo dato dalla 
variazione temporale delle trasferenze del canale. L’inviluppo complesso del segnale 
ricevuto  sarà espresso in questa forma 
()
yt
 
  (1.15) 
() () ()
( )
1
i
r
N
i
i
ayt txt tτ
=
−
∑
() ()
( )
i
i
j t
i
at te
ϑ
ρ=  
 
dove i parametri 
{ } { } { }
,,
iii
ρ ϑτ sono variabili aleatorie. 
 15
Se si assume che il canale sia non selettivo in frequenza (piatto), la distorsione subita 
dal segnale  si può esprimere in funzione di due soli parametri: il modulo 
()
yt ρ  e 
l’argomento ϑ  di  alla frequenza della portante. Più precisamente 
()
Hf
 
 
( ) ( )
Y f aX f=  (1.16) 
 
Dove 
 
 
0
2
1
i
r
j f
j
i
i
ae e
π τ
ϑ
ρρ
−
=
==
∑
 (1.17) 
 
e con 
0
f  frequenza della portante. Come prima accennato, nelle trasmissioni radio-
mobili il parametro a è una funzione del tempo che varia al variare delle caratteristiche 
del canale. 
Per avere un’idea di ciò che succede, si suppone di avere un gran numero di raggi, tutti 
caratterizzati dalla stessa potenza 
2
σ  e con angoli uniformemente distribuiti 
nell’intervallo 
[ ]
0, 2π  (modello di Clarke). In queste ipotesi si può mostrare che [1] 
 è approssimabile con un processo gaussiano stazionario e media nulla, con 
funzione di autocorrelazione data da 
()
at
 
 
 16
  
 
 
Fig. 1.5 Densità spettrale di a(t) nel modello di Clarke 
 
 
 
( )
( )
2
0
2
a D
R Jfτ σπτ=  (1.18) 
 
dove 
()
{ }
2
2
atσ =Ε ,  è la funzione di Bessel di ordine zero e infine 
0
J
D
f  è la 
frequenza di Doppler, legata alla velocità del mobile dalla relazione 
 
 
0D
v
f f
c
= (1.19) 
 
in cui è indicata con c la velocità della luce. Trasformando 
( )
a
R τ  si ottiene la densità 
spettrale (DS) di  
()
at
 
 
()
2
2
1
2
1
a
D
D
Sf
f
f
f
σ
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
−
 (1.20) 
 17
 Il cui andamento in funzione di f è riportato in Fig. 1.5 come rapporto 
() ( )
0
aa
SfS  
con 
()
0
2
a
D
S
f
σ
π
= . 
La frequenza Doppler è importante in quanto fornisce una misura della rapidità con cui 
si evolve il canale. Possiamo infatti affermare che per effetto dei cammini multipli e del 
movimento del mobile, il segnale ricevuto subisce un’attenuazione  che varia 
apprezzabilmente solo su intervalli temporali maggiori o uguali a 
()
at
1
D
f . 
Definiamo con 
0
1
D
Tf=  il tempo di coerenza del canale, ovvero l’intervallo temporale 
in cui la risposta in frequenza del canale rimane sostanzialmente invariata. Poiché il 
numero di segnalazioni presenti nell’intervallo 1
D
f  è pari ad 1
D
f T , con 1 T  la 
velocità di segnalazione impiegata, è possibile classificare il fading in 
 
¾ Fading lento se 11
D
fT>>  
 
¾ Fading veloce se 11
D
fT<<  
 
La Fig. 1.6 visualizza la differenza tra fading lento e fading veloce.  
In presenza di fading lento, la risposta impulsiva del canale varia molto più lentamente 
del segnale trasmesso e si può ritenere che 
( )
at  sia costante su un intervallo di tempo 
comprendente molte segnalazioni. Il segnale ricevuto 
( )
yt si può allora modellare 
come nella (1.16), valida per canali statici.  
Nel caso di  fading veloce il tempo di coerenza è breve rispetto alla durata dell’impulso 
associato ad ogni simbolo e questo significa che la risposta impulsiva del canale cambia 
molto rapidamente. 
Nelle attuali applicazioni le velocità di segnalazione sono così elevate da ritenere valida 
l’ipotesi di fading lento. Per avere un’idea delle grandezze in gioco possiamo valutare 
D
f  in corrispondenza di una frequenza della portante pari a 900MHz ed una velocità 
del mobile pari a 100Km/h. il valore di  
 
 18
  
 
Fig. 1.6 Fading veloce contro fading lento 
 
D
f  è all’incirca pari a 80Hz, notevolmente inferiore ad esempio rispetto alla velocità di 
segnalazione dello standard GSM pari a 270Kbit/s. 
Si è detto precedentemente che l’attenuazione introdotta dal canale può essere ritenuta 
costante per molti intervalli di segnalazione e si può trascurare la sua dipendenza dal 
tempo. Si deve però considerare il fatto che la quantità a è una variabile aleatoria. A 
questo punto si possono vedere quali sono i modelli più utilizzati che descrivono al 
meglio le variazioni statistiche dell’ambiente di propagazione nei diversi collegamenti 
tra trasmettitore e ricevitore. 
 
1.3.1 Fading di Rayleigh e di Rice 
 
Nella pratica si usano due modelli statistici per la variabile aleatoria a. Il più comune, 
adatto per ambienti urbani, è quello in cui a è a media nulla ed ha una densità di 
probabilità (ddp) di Rayleigh (Fig. 1.7) pari a  
 
 
 19
  
Fig. 1.7 Densità di probabilità di Rayleigh 
 
 
 
2
() 2 0
a
pa ae a
−
= ≥  (1.21) 
                                  
Esso è valido quando nessuna delle componenti di segnale associate a vari cammini di 
propagazione è prevalente sulle altre (assenza di cammino diretto). 
L’altro modello si utilizza invece quando al ricevitore giunge una replica del segnale 
prevalente sulle altre. In queste circostanze il segnale ricevuto può essere scomposto in 
due parti: quella che arriva attraverso il percorso prevalente (componente diretta) in 
LOS (Line of Sight) e la somma di tutte le altre (componente diffusa). In questo caso si 
trova che a ha media non nulla ed una ddP di Rice: 
 
() ()
( )
()
( )
2
1
0
21 2
KaK
pa aK e J a KK
−+ −
=+ +1        (1.22) 0a ≥
 20