Misurazione e Controllo del Rischio di Credito

Gli accordi di Basilea sul capitale regolamentare: da Basilea I a Basilea II 24
del capitale capace di stabilire coperture patrimoniali piu` sensibili al complesso dei rischi
effettivamente assunti.
Figura 2.1: Basilea II, verso il nuovo accordo
gennaio 1999
Revisione dei requisiti patrimoniali
documento di consultazioneCommissione europea
giugno 1999
A New Capital Adequacy Framework
1  documento di consultazioneComitato di Basilea
gennaio 2001Overview of the New Basel Capital Accord
2  documento di consultazioneComitato di Basilea
aprile 2003
The New Basel Capital Accord
3  documento di consultazioneComitato di Basilea
giugno 2004
International Convergence of Capital Measurement and Capital StandardsComitato di Basilea
Fonte: ABI
2.3.1 I tre pilastri
Il Nuovo Accordo si articola in tre pilastri che si integrano tra loro e che riguardano,
oltre ai requisiti patrimoniali minimi e i nuovi metodi di calcolo del rischio di credito, i
nuovi principi guida per la supervisione da parte degli organi di vigilanza dell’adeguatezza
patrimoniale e il ricorso alla disciplina del mercato, attraverso la trasparenza informativa.
I requisiti patrimoniali minimi
Il primo pilastro e`, in sostanza, un affinamento della misura prevista dall’Accordo del 1988;
esso si basa su requisiti di capitale minimi per rischi di credito, rischi di mercato e rischi
operativi9. Riguardo al rischio di credito, le banche potranno utilizzare metodologie diver-
se di calcolo dei requisiti, ed adottare il nuovo approccio standard proposto dal Comitato
(Standard approach) ovvero scegliere di adottare un sistema di rating interno10 (Internal
Rating Based approach). In quest’ultimo caso e` previsto un approccio base (IRB Founda-
9
Il Nuovo Accordo prevede coperture patrimoniali specifiche a fronte del rischio operativo pur nella con-
sapevolezza delle difficolta` insite nella relativa misurazione. La misura e` stata in parte riveduta nel giugno
2002.
10Cfr. Convergenza internazionale della misurazione del capitale e dei coefficienti patrimoniali, Basilea, Banca
dei Regolamenti Internazionali, giugno 2004, p. 13.
Gli accordi di Basilea sul capitale regolamentare: da Basilea I a Basilea II 29
dei portafogli di una banca, classifica come rischio specifico all’interno dei rischi di merca-
to. Se infatti le variazioni dei prezzi dei titoli sono la conseguenza di fattori specifici degli
emittenti di tali strumenti di debito, ossia di una variazione del merito creditizio di tali
emittenti, e` evidente che il rischio di tali variazioni dei prezzi dovrebbe essere classificato
come rischio di credito.
2.3.3 Il metodo standard: il rating esterno
L’obiettivo delle nuove regole, come e` stato evidenziato, e` aumentare la stabilita` del si-
stema bancario internazionale attraverso una maggiore sensibilita` al controllo dei rischi di
credito, di mercato ed operativi. Infatti mentre Basilea I prevedeva, ad esempio, requisiti
di capitale a fronte del rischio di credito uguali per qualunque prestito alle imprese, Basilea
II prevede la possibilita` di valutare meglio il rischio di credito di ogni singolo prestito e
quindi di differenziare gli accantonamenti patrimoniali. Con l’adozione dei nuovi criteri
fissati da Basilea II, dunque, le banche dei Paesi aderenti dovranno accantonare quote di
capitale proporzionali al rischio derivante dai diversi rapporti di credito intrattenuti. Le
banche dovranno classificare i propri debitori in base alla loro rischiosita`, attraverso un
rating (giudizio di affidabilita`) che identifichera` il merito di credito (grado di solvibilita`)
dell’emittente. Conseguenza di cio` sara` una selezione della clientela sulla base del rating
attribuito e un differente costo del credito erogato, anch’esso determinato sulla base del
merito creditizio.
Nel metodo standard i coefficienti di ponderazione dei crediti appartenenti al porta-
foglio bancario in uso dal 1988 sono stati modificati. In particolare i nuovi coefficienti,
indicati dalla Vigilanza, sono differenziati sulla base di rating esterni, cioe` forniti da agen-
zie specializzate (agenzie di rating), che rappresentano un giudizio sintetico sulla situazione
patrimoniale e finanziaria dei diversi debitori.
Vi sono numerose societa` di rating: Moody’s Investors Service (M’s), Standard&Poor’s
(S&P’s), Fitch Ratings (F) sono tra le piu` note. La tabella seguente fornisce un confronto
tra le scale di rating utilizzate dalle agenzie citate.
Gli accordi di Basilea sul capitale regolamentare: da Basilea I a Basilea II 33
Tabella 2.3: Struttura di ponderazione per prestiti a imprese per classi di rating - metodo standard
(1) (2) (3)
AAA → AA- / Aaa → Aa3 20 20 10
A+ → A- / A1 → A3 100 50 30
BBB+ → BBB- / Baa1 → Baa3 100 100 30
BB+ → BB- / Ba1 → Ba3 100 100 100
B+ → B- / B1 → B3 100 150 100
> B- / > B3 150 150 150
Legenda:
(1): coefficienti di ponderazione proposti in Basilea 1999;
(2): coefficienti di ponderazione proposti in Basilea 2004;
(3): coefficienti di ponderazione proposti in Altman e Saunders 2001.
Nota: i dati sono espressi in percentuale.
Fonte: Sironi A., Resti A. (2005).
2.3.4 Il metodo dei rating interni
L’elemento centrale della revisione dell’Accordo sul Capitale, introdotto con il secondo do-
cumento di consultazione (gennaio 2001), e` costituito dalla possibilita` per le banche di
utilizzare i sistemi interni di rating, cioe` modelli interni di classificazione della clientela che
permettano di assegnare un giudizio sull’affidabilita` finanziaria della controparte, per la
determinazione dei requisiti patrimoniali regolamentari a fronte del rischio di credito, in
alternativa al metodo standard. Questo nuovo approccio (IRB approach) ha l’obiettivo di
condurre a stime piu` precise del rischio di credito, mediante l’applicazione di coefficienti di
ponderazione maggiormente sensibili al rischio (risk sensitive) poiche` tarati sulle effettive
caratteristiche di rischio dell’esposizione, e favorire in tal modo una migliore approssima-
zione del capitale economico a quello regolamentare; cio` presuppone, d’altra parte, una
maggiore complessita` organizzativa della banca, che deriva dall’esigenza di disporre di un
patrimonio informativo sulle controparti adeguato a tale scopo.
Le banche devono sottoporre i loro modelli basati sui rating interni all’approvazione
dell’autorita` nazionale di vigilanza, che dovra` verificare l’idoneita` dell’istituto di credito
nel soddisfare i requisiti minimi definiti dal Comitato: le metodologie dovranno rispondere
quindi ad una procedura oggettiva, documentata, perfezionata nel tempo sulla base della
sua efficacia, fondata su dati storici ampi e approfonditi.
Inizialmente la scarsa disponibilita` di stime attendibili di alcuni dei parametri neces-
sari per il funzionamento di tali metodi, congiuntamente al diverso stadio di avanzamento
delle metodologie di rating tra le varie banche, ha suggerito l’adozione di un approccio di
Gli accordi di Basilea sul capitale regolamentare: da Basilea I a Basilea II 38
dalla29:
K = [LGD ·N [(1−R)−0,5 ·G(PD)+
( R
1 −R
)0,5
·G(0, 999)]−PD ·LGD] · (1−1, 5 · b)−1 · (1+(M−2, 5) · b) , (2.6)
dove:
N(·) e` la cumulata della distribuzione normale standard;
G(·) e` l’inversa della cumulata della distribuzione normale standard;
b e` un fattore che esprime l’aggiustamento in funzione della scadenza dell’esposizione, dato
dalla seguente relazione:
b = (0, 11852− 0, 05478 · ln(PD))2 ;
R esprime la correlazione attribuibile alla controparte, cos`ı ottenuta:
R = 0, 12 · 1− e
−50 ·PD
1− e−50 + 0, 24 ·
[
1− 1− e
−50 ·PD
1− e−50
]
.
Tale fattore e` calibrato in modo da attribuire alla controparte una correlazione variabile
tra un minimo di 0,12 ed un massimo di 0,24.
Le attivita` ponderate per il rischio con riferimento a una data esposizione sono date
dalla:
RWA = K · 12, 5 · EAD . (2.7)
Il capitale assorbito, ovvero il requisito patrimoniale a copertura della UL su esposizioni
verso imprese, soggetti sovrani e banche, corrisponde quindi all’8% di RWA30.
I requisiti minimi
Affinche` sia consentita l’utilizzazione dei sistemi interni di rating delle singole banche da
parte delle autorita` di vigilanza, essi dovranno soddisfare alcune condizioni minime qualita-
tive e quantitative in via preliminare e continuativa, cio` al fine di garantire le caratteristiche
di completezza, affidabilita`, fondatezza e accuratezza della relativa determinazione dei re-
quisiti patrimoniali; la mancata osservanza di tali condizioni rendera` le banche non idonee
all’impiego del relativo sistema IRB.
29Comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria, Convergenza internazionale della misurazione del capitale e dei
coefficienti patrimoniali, Basilea, Banca dei Regolamenti Internazionali, giugno 2004, p. 52.
I parametri della funzione sono, evidentemente, quelli gia` visti nel paragrafo sul rischio di credito (1.2). Pd e Lgd
sono espresse sotto forma di numero decimale; Ead, considerata piu` avanti, e` misurata in termini di valuta.
30Cfr. formula 2.5.
I modelli per la misurazione del rischio di credito 44
3.1 I modelli di portafoglio: un’introduzione
Secondo quanto illustrato finora, il profilo di rischio di un’esposizione creditizia puo` essere
distinto in due componenti: la perdita attesa, funzione della probabilita` di insolvenza, del
tasso di recupero atteso e dell’esposizione in caso di insolvenza, e la perdita inattesa, che
a sua volta dipende essenzialmente dalla possibilita` che i tassi effettivi di insolvenza e di
perdita risultino a posteriori piu` elevati di quanto originariamente atteso dalla banca. La
perdita inattesa, oltre che come semplice variabilita` o deviazione standard della perdita
attesa, puo` essere stimata anche facendo riferimento a un determinato livello di confiden-
za, ottenendo in questo modo una misura del valore a rischio di un’esposizione o di un
portafoglio di esposizioni.
La distinzione tra la prima e la seconda componente del rischio di credito non e` una
semplice astrazione teorica ma riflette piuttosto una chiara esigenza operativa. Mentre
infatti la perdita attesa deve trovare copertura in riserve e viene caricata direttamente sul
tasso di interesse praticato alla controparte, la perdita inattesa - o, meglio, il valore a rischio
- rappresenta il capitale economico assorbito da tale esposizione o portafoglio di esposizioni
e deve dunque riflettersi in una corrispondente dotazione patrimoniale.
Nel corso della seconda meta` degli anni Novanta sono stati proposti diversi modelli
per la stima del rischio di credito di un portafoglio di esposizioni creditizie. In generale,
tutti i modelli, seguendo una logica simile a quella dei modelli VaR sviluppati per i rischi
di mercato, sono volti a determinare la massima perdita potenziale che un portafoglio di
esposizioni puo` subire nel corso di un predefinito orizzonte temporale con un certo livello
di confidenza1.
Nel seguito del capitolo verranno analizzate le caratteristiche, i pregi e i limiti del
1
In particolare, i principali modelli di portafoglio sono:
CreditMetricsTM : un modello fondato sui dati relativi ai tassi di migrazione, ai tassi di insolvenza e agli spread
rispetto ai rendimenti dei titoli di Stato dei soggetti appartenenti alle diverse categorie di rating, originariamente
proposto dalla banca statunitense J. P. Morgan;
CreditPortfolioViewTM : un modello fondato sull’analisi econometrica della relazione che lega i tassi di insolvenza
e di migrazione all’evoluzione del ciclo macroeconomico, sviluppato dalla societa` di consulenza McKinsey;
CreditRisk+TM : un modello fondato sulle logiche attuariali sviluppate nel settore assicurativo, proposto dalla
banca di investimento svizzera Credit Suisse Financial Products (CSFP);
PortfolioManagerTM : un modello fondato sulle modalita` di stima della probabilita` di insolvenza, sviluppato dalla
sociata` californiana KMV;
CreditPricing: un modello fondato sui tassi di perdita corrispondenti alle diverse classi di rating volto a tenere
in esplicita considerazione le caratteristiche tecniche e le informazioni tipicamente disponibili per il portafoglio di
esposizioni di una banca commerciale, le quali sono principalmente rappresentate da prestiti privi di un mercato
secondario liquido dal quale trarre informazioni relative a prezzi e rendimenti, nei confronti di imprese non quotate
di dimensioni medie o piccole che non hanno accesso al mercato dei capitali.
I modelli per la misurazione del rischio di credito 48
Un altro tipo di problema del modello consiste nel fatto che esso si concentra sul solo
rischio di insolvenza, senza considerare il rischio di migrazione, ossia il rischio di una varia-
zione del merito creditizio dell’emittente. Cio` equivale a dire che il modello di Merton non
fornisce alcuna indicazione circa la possibilita` che l’impresa in esame subisca un deteriora-
mento del proprio merito creditizio senza che questo sia tale da determinarne l’insolvenza.
Questo limite puo` essere superato considerando piu` soglie invece di un’unica soglia del
valore dell’attivo oltre la quale si verifica l’insolvenza. Occorre in altri termini fissare le
soglie in corrispondenza delle quali si verifica un upgrading o un downgrading dell’impresa.
Questo e` cio` che viene realizzato dal modello CreditMetrics.
3.3 CreditMetricsTM : l’approccio delle migrazioni
Uno dei modelli piu` noti per la stima del rischio di credito di un portafoglio di esposizioni,
in particolare di titoli obbligazionari, e` CreditMetrics (Gupton, Finger, Bathia, 1997),
introdotto dalla banca statunitense J.P. Morgan, che rappresenta l’equivalente del piu` noto
RiskMetricsTM per i rischi di mercato.
CreditMetrics e` basato sull’analisi del fenomeno della migrazione, ossia sulla probabilita`
che il merito creditizio delle controparti, identificato dal rating, subisca una variazione.
A differenza dei modelli per i rischi di mercato, per i quali sono disponibili osservazioni
giornaliere in base alle quali e` possibile un calcolo diretto del VaR, CreditMetrics tenta
di determinare cio` che non e` direttamente osservabile. Tale modello si propone come
metodologia per la stima della distribuzione a scadenza delle variazioni che il valore di un
portafoglio di esposizioni creditizie, quali prestiti o titoli obbligazionari, subisce entro un
determinato orizzonte temporale (generalmente un anno). Sulla base di tale distribuzione
e` possibile ottenere misure quali la perdita attesa, la deviazione standard della perdita e la
perdita corrispondente a un determinato livello di confidenza.
I modelli di tipo strutturale, come il modello di Merton, spiegano il processo che condu-
ce all’insolvenza di un’impresa sulla base delle caratteristiche strutturali di quest’ultima.
CreditMetrics non puo` essere definito un modello strutturale vero e proprio: esso infatti
non tiene conto dei bilanci delle singole societa` come andrebbe fatto in un modello strut-
turale (come fa ad esempio il modello di KMV) ma assume che tutte le societa` che hanno
lo stesso rating abbiano la stessa probabilita` di default, cioe` che all’interno della stessa
classe di rating le aziende siano omogenee. Dire che le aziende con stesso rating hanno
Basilea II e CreditMetricsTM : una visione d’insieme 66
assumendo una correlazione media degli asset del portafoglio crediti pari a √0, 2. In
particolare questa funzione e` tale da attribuire un coefficiente di ponderazione del 100% ad
un prestito con maturity tre anni, per valori di Lgd e Pd pari a 50 e 0,7% rispettivamente. Il
termine intermedio di tale formula - N(1, 118 ·G(PD) + 1, 288) - stabilisce il collegamento
chiave tra la probabilita` di default e la ponderazione per il rischio ed e` derivata dalla
caratterizzazione ad un fattore di rischio del modello CreditMetrics.
Nella versione definitiva dell’Accordo (giugno 2004) la regola di calcolo dei requisiti
patrimoniali ha subito dei cambiamenti: in particolare il livello di confidenza p e` stato
innalzato dal 99,5 per cento al 99,9 per cento e il coefficiente di correlazione R nel modello
stocastico sottostante e` diventato funzione della probabilita` di default. Tuttavia la struttura
del modello, e quindi la logica della distribuzione trasformata normale, e` rimasta inalterata.
La scelta dei parametri e` in questo caso:
s =
( R
1−R
)0,5
, m = (1−R)−0,5 ×N−1(q),
ottenendo quindi:
yp = N
[
(1−R)−0,5 N−1(q) +
∣
∣
∣
∣
∣
( R
1−R
)0,5∣∣
∣
∣
∣
N−1(0, 999)
]
. (4.6)
Il percentile cos`ı determinato, sottratta la componente di perdita attesa (PD − LGD)
servira` a determinare il requisito patrimoniale a fronte del rischio di credito4.
4.3 Un confronto tra le formule di Basilea II
L’Accordo del 1988 fissava, come requisito di capitale a fronte del rischio di credito per
una data esposizione, l’obiettivo dell’8% delle attivita` ponderate per il rischio. Mentre la
definizione del capitale richiesto era necessariamente specifica, non vi era una formulazione
chiara da un punto di vista quantitativo riguardo a quali perdite tale capitale fosse desti-
nato a coprire; in altre parole, il Total Capital Ratio dell’8% era stabilito come punto di
riferimento di miglior prassi, ma non come una particolare garanzia della solvibilita` di una
banca.
Con il Nuovo Accordo del 2001 c’e` una formulazione chiara del significato quantitativo
del capitale nella descrizione dell’approccio IRB: le ponderazioni per il rischio nell’approccio
4La relativa formula di ponderazione e` riportata nel capitolo 2.
Capitolo 5
Una applicazione ad un portafoglio di
titoli obbligazionari
Premessa
Nel presente capitolo verra` affrontato il rischio di credito nell’ambito di un portafoglio di
titoli obbligazionari. Tale portafoglio verra` analizzato mediante una procedura di calco-
lo che ripercorre le fasi del modello di portafoglio CreditMetrics, realizzata mediante un
progetto in linguaggio C 1, nell’ambito di una simulazione Monte Carlo2.
L’obiettivo di tale analisi e` quello di cercare di analizzare il comportamento e la gestione
di un portafoglio rischioso considerando un orizzonte temporale di un anno.
5.1 Dati di input
I dati utilizzati nell’analisi fanno riferimento ad un portafoglio di venti titoli, selezionati
tra obbligazioni dell’area euro quotati il 30 giugno 2006, scelti in modo da comprendere
tutte le classi di rating (da AAA a CCC nella classificazione di Standard&Poor’s) e che
fanno riferimento a quattro grandi settori: finanza, utilities, industria, comunicazioni. I
titoli obbligazionari sono di tipo zero coupon bond e fixed coupon bond.
Osservazione. I titoli zero coupon bond 3 sono titoli a cedola nulla, cioe` garantiscono al portatore
il pagamento, da parte dell’emittente, di una somma di importo fissato C a una stabilita data
futura s (data di scadenza del titolo).
1
Il codice del programma e` riportato in appendice.
2
Il termine simulazione Monte Carlo fu coniato all’inizio della seconda guerra mondiale da J. Von Neumann e
da S. Ulam mentre lavoravano al progetto Manhattan presso il centro di ricerche nucleari di Los Alamos. Questi
due ricercatori utilizzarono l’espediente di sostituire i parametri delle equazioni che descrivono la dinamica delle
esplosioni nucleari con un insieme di numeri casuali e indicarono il lavoro che stavano svolgendo con un nome
in codice, prendendo ispirazione dal celebre principato monegasco e dalla aleatorieta` dei risultati che si possono
riscontrare presso la sua casa da gioco.
3Cfr. Castellani, G., De Felice, M., Moriconi, F., Manuale di finanza Volume I, p. 71 e p. 73.
Una applicazione ad un portafoglio di titoli obbligazionari 75
Tabella 5.5: Strutture per scadenza dei tassi di interesse a pronti - settore “industria”
tassi (%)
scadenza scadenza
(anni) AAA1 AA3 A BBB3 BB4 B1 CCC2
1w 0, 0192 2, 8997 3, 0569 3, 2977 3, 4021 3, 5284 3, 6856 3, 9999
1m 0, 0833 2, 8997 3, 0569 3, 2977 3, 4021 3, 5284 3, 6856 3, 9999
2m 0, 1667 2, 8997 3, 0569 3, 2977 3, 4021 3, 5284 3, 6856 3, 9999
3m 0, 2500 2, 8997 3, 0569 3, 2977 3, 4021 3, 5284 3, 6856 3, 9999
4m 0, 3333 2, 9658 3, 1121 3, 3258 3, 4157 3, 5509 3, 6972 3, 9897
5m 0, 4167 3, 0278 3, 1639 3, 3521 3, 4285 3, 5721 3, 7082 3, 9803
6m 0, 5000 3, 0878 3, 2140 3, 3775 3, 4408 3, 5925 3, 7187 3, 9710
9m 0, 7500 3, 2232 3, 3430 3, 4850 3, 5422 3, 7024 3, 8222 4, 0618
1y 1, 0000 3, 3586 3, 4720 3, 5926 3, 6437 3, 8122 3, 9256 4, 1524
2y 2, 0000 3, 5385 3, 7290 3, 9355 4, 0475 4, 3004 4, 4909 4, 8718
3y 3, 0000 3, 6028 3, 8552 4, 1129 4, 2711 4, 6123 4, 8647 5, 3694
4y 4, 0000 3, 6607 3, 9883 4, 1963 4, 4695 4, 9711 5, 2987 5, 9539
5y 5, 0000 3, 6642 4, 0642 4, 3213 4, 6730 5, 2643 5, 6643 6, 4644
7y 7, 0000 3, 7554 4, 1871 4, 5100 4, 8681 5, 4822 5, 9139 6, 7773
10y 10, 0000 3, 7617 4, 3356 4, 7862 5, 2512 6, 0574 6, 6313 7, 7792
15y 15, 0000 4, 1725 4, 6768 5, 2540 5, 9157 6, 1897 6, 6940 7, 7026
20y 20, 0000 4, 2987 4, 8030 5, 7309 6, 0419 6, 3159 6, 8202 7, 8288
30y 30, 0000 4, 6680 5, 1723 5, 8594 6, 4112 6, 6852 7, 1895 8, 1981
 
3,0000
3,5000
4,0000
4,5000
5,0000
5,5000
6,0000
6,5000
7,0000
7,5000
8,0000
0 5 10 15 20 25 30
scadenza (anni)
t
a
s
s
i
 
(
%
)
AAA AA A BBB BB B CCC
Nota: dati al 30 giugno 2006; i tassi sono espressi su base annua; i rating sono espressi in scala Standard&Poor’s.
Fonte: Bloomberg LP, pagina FWCV, curve 462 (AA), 465 (A), 468 (BBB), 470 (BB).
1 struttura non disponibile su Bloomberg LP, costruita applicando lo spread medio calcolato sui rating disponibili, scadenza per scadenza.
2 struttura non disponibile su Bloomberg LP, costruita applicando due volte lo spread medio calcolato sui rating disponibili, scadenza per
scadenza.
3 scadenze 20y e 30y non disponibili su Bloomberg LP, sono state calcolate applicando i differenziali di tasso corrispondenti calcolati sulla
struttura “EUR ZC AAA” (curva 417).
4 scadenze 15y, 20y e 30y non disponibili su Bloomberg LP, sono state calcolate applicando i differenziali di tasso corrispondenti calcolati sulla
struttura “EUR ZC AAA” (curva 417).
dove ST e` il prezzo dell’azione nell’istante futuro T , S e` il prezzo dell’azione al tempo corrente t e
N(m, s) indica una distribuzione normale con media m e deviazione standard s. Per le proprieta`
delle distribuzioni normali, dall’equazione precedente si ha che
ln(ST ) ∼ N
[
ln(S) +
(
µ− σ
2
2
)
(T − t), σ
√
(T − t)
]
.
Questa equazione mostra che ln(ST ) si distribuisce in modo normale (cosicche` ST si distribuisce
Una applicazione ad un portafoglio di titoli obbligazionari 83
Tabella 5.10: Matrice dei valori di modello a un anno dei titoli (per rating)
AAA AA A BBB BB B CCC
1 40, 2781 39, 4409 36, 6896 35, 1199 33, 5563 32, 0717 29, 2949
2 52, 3544 51, 5470 48, 8474 47, 2917 45, 7199 44, 2106 41, 3367
3 138, 2218 137, 5114 136, 3166 133, 9728 132, 6026 131, 2532 128, 6171
4 97, 2868 97, 2805 97, 1727 97, 0847 97, 0172 96, 9503 96, 8164
5 106, 8180 106, 6735 106, 3852 106, 0853 105, 8422 105, 6009 105, 1199
6 104, 1010 103, 6798 103, 2588 102, 8473 102, 4308 102, 0162 101, 1962
7 107, 9018 107, 6506 107, 4046 107, 1550 106, 9106 106, 6657 106, 1760
8 109, 1162 109, 0776 109, 0390 109, 0004 108, 9619 108, 9234 108, 8451
9 108, 4012 108, 3204 108, 2397 108, 1592 108, 0787 107, 9983 107, 8370
10 113, 8002 113, 5816 113, 3655 113, 1482 112, 9332 112, 7156 112, 2865
11 114, 3080 107, 7648 99, 3625 94, 6968 91, 0614 86, 3359 77, 9284
12 132, 8807 130, 1248 128, 1643 125, 9528 122, 3497 119, 9095 115, 2464
13 105, 8294 105, 8294 105, 8294 105, 8294 105, 8294 105, 8294 105, 8294
14 109, 9539 106, 6005 104, 1647 101, 5632 97, 3376 94, 4921 89, 1363
15 111, 4772 111, 0334 110, 5728 110, 2870 109, 7183 109, 2848 108, 4282
16 106, 7546 106, 4331 106, 1157 105, 7999 105, 4830 105, 1702 104, 5456
17 113, 7870 113, 1010 112, 4217 111, 7481 111, 0790 110, 4124 109, 1024
18 103, 1097 102, 3744 101, 6455 100, 9250 100, 2089 99, 4987 98, 1018
19 116, 7810 116, 1033 115, 4321 114, 7667 114, 1057 113, 4472 112, 1531
20 116, 4059 115, 6271 114, 8552 114, 0919 113, 3332 112, 5806 111, 0998
Nota: i rating sono espressi in scala Standard&Poor’s; i valori sono espressi in EUR.
5.2.2 Fase 2: simulazione
Nella fase 2 viene eseguito il ciclo Monte Carlo e una variabile ne stabilisce il numero di
iterazioni (NI ). Ad ogni iterazione verranno eseguiti all’interno del ciclo diversi passi; il
primo, fondamentale, prevede la costruzione della v.a. normale multivariata che simulera`
il comportamento del nostro portafoglio su un orizzonte temporale di un anno.
La funzione boxmuller e la funzione estrazione
La struttura e` la seguente: la funzione estrazione chiama la funzione boxmuller, la quale a
sua volta chiama la funzione genrand per generare numeri casuali.
Osservazione. L’algoritmo per generare numeri casuali utilizzato, noto come Mersenne Twister 7
(di M. Matsumoto e T. Nishimura), e` uno dei migliori correntemente disponibili: il generatore ha
un periodo di 219937− 1 (circa 106000), in modo da garantire la non ripetitivita` dello stesso, e cioe`
tale da garantire che le sequenze generate non siano formate da sottoinsiemi uguali.
Il generatore genrand genera, ad ogni chiamata, un numero reale pseudocasuale uni-
formemente distribuito nell’intervallo [0,1); a chiamate successive corrisponderanno numeri
casuali distribuiti in modo uniforme tra loro indipendenti. La distribuzione uniforme in
7Tale algoritmo e` stato scaricato gratuitamente in rete all’indirizzo random.mat.sbg.ac.at. Il relativo codice e`
riportato in appendice.
Una applicazione ad un portafoglio di titoli obbligazionari 91
Figura 5.7: Andamento dell’intervallo di confidenza al 95% per lo 0, 1%-percentile della
distribuzione del valore all’aumentare del numero di iterazioni
 
1.755,00
1.755,50
1.756,00
1.756,50
1.757,00
1.757,50
1.758,00
1.758,50
1.759,00
1.759,50
1.760,00
1
0
0
.
0
0
0
2
0
0
.
0
0
0
3
0
0
.
0
0
0
4
0
0
.
0
0
0
5
0
0
.
0
0
0
6
0
0
.
0
0
0
7
0
0
.
0
0
0
8
0
0
.
0
0
0
9
0
0
.
0
0
0
1
.
0
0
0
.
0
0
0
Sulla base della distribuzione ottenuta possono essere ricavate misure quali la perdita
attesa e il valore a rischio corrispondente a diversi livelli di confidenza. Nella figura 5.8
viene riportato il grafico a istogrammi della distribuzione ottenuta. E` interessante verificare
come la forma della distribuzione sia conforme a quella attesa.
Figura 5.8: Istogramma di frequenza per classi dei valori di modello del ptf
 
Nota: istogramma per 1.000.000 di valori suddivisi in 100 classi di ampiezza 1100 (max−min)
La perdita attesa (Expected Loss, EL) puo` essere calcolata come differenza tra il valore
di modello a un anno del portafoglio nell’ipotesi di invarianza dei rating (FV , deducibile
dalle tabelle 5.1 e 5.10) e l’Expected Value:
EL = FV − EV.
Una applicazione ad un portafoglio di titoli obbligazionari 92
Tabella 5.12: Matrice di frequenza dei rating finali dei titoli (1.000.000 di iterazioni)
rating
iniziale AAA AA A BBB BB B CCC Default
1 A 596 26632 914696 50995 5538 1063 237 243
2 AA 10790 913986 71604 2774 572 205 0 69
3 CCC 0 383 405 2118 8377 80598 688131 219988
4 BBB 441 2184 51100 886735 46673 8498 2582 1787
5 AAA 923528 68806 5555 1971 122 18 0 0
6 A 580 26846 914729 50929 5433 1057 222 204
7 AA 10677 914196 71527 2787 566 163 0 84
8 BBB 511 2188 50578 887358 46184 8617 2597 1967
9 AAA 923430 68970 5476 1993 117 14 0 0
10 BB 98 626 5240 61004 830952 82316 6738 13026
11 BBB 445 2176 51270 886854 46214 8542 2610 1889
12 CCC 0 412 434 2123 8288 80899 687566 220278
13 AAA 923547 68821 5466 2017 125 24 0 0
14 AA 10969 914063 71314 2841 570 183 0 60
15 B 101 530 1892 4498 61361 812650 60942 58026
16 BB 121 641 5222 61167 830862 82136 6874 12977
17 A 611 27164 914354 50877 5512 1006 263 213
18 BBB 507 2148 51311 886767 46275 8527 2635 1830
19 AA 10601 914695 71196 2740 529 171 0 68
20 BBB 499 2125 51475 886399 46700 8416 2485 1901
controllo dei tassi di default
rating tasso di default tasso di default
iniziale stimato input scostamento? scostamento%
1 A 0, 0243 0, 0220 0, 0023 10, 69%
2 AA 0, 0069 0, 0079 −0, 0010 −12, 92%
3 CCC 21, 9988 22, 0990 −0, 1002 −0, 45%
4 BBB 0, 1787 0, 1852 −0, 0065 −3, 51%
5 AAA 0, 0000 0, 0000 0, 0000 −
6 A 0, 0204 0, 0220 −0, 0016 −7, 07%
7 AA 0, 0084 0, 0079 0, 0005 6, 01%
8 BBB 0, 1967 0, 1852 0, 0115 6, 21%
9 AAA 0, 0000 0, 0000 0, 0000 −
10 BB 1, 3026 1, 2769 0, 0257 2, 01%
11 BBB 0, 1889 0, 1852 0, 0037 2, 00%
12 CCC 22, 0278 22, 0990 −0, 0712 −0, 32%
13 AAA 0, 0000 0, 0000 0, 0000 −
14 AA 0, 0060 0, 0079 −0, 0019 −24, 28%
15 B 5, 8026 5, 8635 −0, 0609 −1, 04%
16 BB 1, 2977 1, 2769 0, 0208 1, 63%
17 A 0, 0213 0, 0220 −0, 0007 −2, 97%
18 BBB 0, 1830 0, 1852 −0, 0022 −1, 19%
19 AA 0, 0068 0, 0079 −0, 0011 −14, 18%
20 BBB 0, 1901 0, 1852 0, 0049 2, 65%
?differenza tra tasso di default stimato e tasso di default input.
Nota: i rating sono espressi in scala Standard&Poor’s; i tassi di default sono espressi in formato percentuale.
Per il portafoglio si ha:
EL = 2042, 683302− 2003, 097986 = 39, 585316 e,
Una applicazione ad un portafoglio di titoli obbligazionari 95
Tabella 5.14: Grandezze base per il calcolo del rischio di credito per titoli
portafoglio RI titolo Peso titolo V EV FV P5% P1% P0,5% P0,1%
escluso escluso
ptf originale - - 1970, 3886 2003, 0980 2042, 6833 1888, 6198 1824, 2350 1819, 9578 1757, 6169
ptf\{1} A 1, 80% 1934, 9654 1966, 4350 2005, 9937 1851, 9303 1787, 5455 1783, 5992 1721, 4876
ptf\{2} AA 2, 53% 1920, 6102 1951, 7527 1991, 1363 1837, 0728 1772, 6880 1769, 5760 1707, 8285
ptf\{3} CCC 6, 29% 1846, 5492 1892, 6340 1914, 0662 1787, 9406 1772, 6690 1722, 6633 1687, 7324
ptf\{4} BBB 4, 75% 1876, 7317 1906, 1065 1945, 5986 1791, 5351 1727, 1503 1723, 0243 1661, 2111
ptf\{5} AAA 5, 24% 1867, 1938 1896, 2939 1935, 8653 1781, 8019 1717, 4171 1713, 1617 1650, 8098
ptf\{6} A 5, 06% 1870, 7631 1899, 8665 1939, 4245 1785, 3610 1720, 9762 1716, 8466 1654, 9016
ptf\{7} AA 5, 27% 1866, 4758 1895, 4696 1935, 0327 1780, 9693 1716, 5845 1712, 3735 1650, 1925
ptf\{8} BBB 5, 33% 1865, 2742 1894, 2243 1933, 6829 1779, 6194 1715, 2346 1711, 1903 1649, 6697
ptf\{9} AAA 5, 31% 1865, 7006 1894, 7037 1934, 2821 1780, 2186 1715, 8338 1711, 5724 1649, 2265
ptf\{10} BB 5, 52% 1861, 5341 1890, 8945 1929, 7501 1775, 6866 1711, 3018 1707, 7827 1647, 3118
ptf\{11} BBB 4, 64% 1879, 0212 1908, 5021 1947, 9865 1793, 9231 1729, 5383 1726, 8051 1665, 9463
ptf\{12} CCC 5, 62% 1859, 7365 1902, 8768 1927, 4369 1840, 0845 1777, 6141 1771, 4062 1709, 0154
ptf\{13} AAA 5, 20% 1867, 9985 1897, 2686 1936, 8539 1782, 7905 1718, 4057 1714, 1284 1651, 7875
ptf\{14} AA 5, 23% 1867, 3651 1896, 6599 1936, 0828 1782, 0194 1717, 6346 1713, 7329 1651, 7236
ptf\{15} B 5, 34% 1865, 2322 1897, 5667 1933, 3985 1779, 9325 1773, 5860 1739, 9586 1702, 0117
ptf\{16} BB 5, 16% 1868, 7084 1898, 4099 1937, 2003 1783, 1754 1718, 8996 1715, 8662 1663, 8635
ptf\{17} A 5, 51% 1861, 8829 1890, 7160 1930, 2616 1776, 1982 1711, 8134 1707, 6838 1645, 5401
ptf\{18} BBB 4, 94% 1873, 0411 1902, 2870 1941, 7583 1787, 6948 1723, 3100 1719, 6071 1658, 5976
ptf\{19} AA 5, 69% 1858, 2581 1887, 0445 1926, 5800 1772, 5166 1708, 1318 1704, 1355 1642, 0981
ptf\{20} BBB 5, 59% 1860, 3409 1889, 1495 1928, 5914 1774, 5279 1710, 1431 1706, 7557 1648, 1179
Nota: i rating sono espressi in scala Standard&Poor’s; i valori sono espressi in e;
V e` il valore di modello a pronti.
Tabella 5.15: Analisi delle Expected Loss per titoli
portafoglio EL EL% variazione EL%
ptf originale 39, 5853 2, 01% -
ptf\{1} 39, 5587 2, 04% 1, 76%
ptf\{2} 39, 3836 2, 05% 2, 07%
ptf\{3} 21, 4323 1, 16% −42, 23%
ptf\{4} 39, 4921 2, 10% 4, 74%
ptf\{5} 39, 5714 2, 12% 5, 49%
ptf\{6} 39, 5580 2, 11% 5, 25%
ptf\{7} 39, 5632 2, 12% 5, 51%
ptf\{8} 39, 4586 2, 12% 5, 30%
ptf\{9} 39, 5783 2, 12% 5, 59%
ptf\{10} 38, 8555 2, 09% 3, 90%
ptf\{11} 39, 4844 2, 10% 4, 60%
ptf\{12} 24, 5601 1, 32% −34, 26%
ptf\{13} 39, 5853 2, 12% 5, 48%
ptf\{14} 39, 4229 2, 11% 5, 08%
ptf\{15} 35, 8318 1, 92% −4, 38%
ptf\{16} 38, 7904 2, 08% 3, 32%
ptf\{17} 39, 5457 2, 12% 5, 72%
ptf\{18} 39, 4712 2, 11% 4, 89%
ptf\{19} 39, 5355 2, 13% 5, 90%
ptf\{20} 39, 4419 2, 12% 5, 53%
Nota: EL% e` calcolata come rapporto tra EL e V .
Dall’analisi verticale sono stati osservati i mutamenti delle misure di rischio, rispetto al
portafoglio, dovuti ai diversi sotto-portafogli. Per esempio, fissato il livello di confidenza
al 95%, si puo` verificare che la UL cambia solo per i ptf\{3}, ptf\{12}, ptf\{15}, corri-
spondenti all’esclusione dei titoli con rating peggiore (B, CCC). In realta` anche gli altri
sotto-portafogli influenzano la UL, ma tale effetto e` visibile solo per livelli di confidenza
piu` alti; infatti fissando il livello di confidenza al 99,9%, la UL cambia per tutti i sotto-
Appendice
#include<stddef.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 20
#define NI 1000000
#define NCLASSIIST 100
#define FILEOUTPUT "G:/ale_tesi/programma/progetto_cm/output.txt"
double distvmptf[NI]; /* vettore della distr. simulata dei vmptf: */
/* variabile globale */
double distvmptf_sub[NI]; /* vettore della sotto-distr. simulata dei vmptf: */
/* variabile globale */
int cholesky (double *, double *, int);
double interpolazione (double *, double *, int, double);
double valutazionetitolo (int, double *, double *, double *, double *,
int, int, int, int, int, int, int, int, int);
double boxmuller (int *, double *);
void estrazione (double *, double *, double *, int);
int ratingfinali (double, int, double *, int);
double insolvenza(double, double, double);
void quick (int, int);
void quick_sub (int, int);
void scambia (double *, double *);
void media_devstd(int, double*, double*);
/* INIZIO PROGRAMMA MAIN */
int main (int argc, char *argv[])
{
FILE *fp;
int numtitoli, i, j, errore, s[N], ri[N], rf[N], tip[N],
freqrf[N][8], pospct, cont, classe, elabora[N];
int clc_m_dvs_valptf, clc_m_int_percentili, lbp5, mp5, ubp5,
lbp05, mp05, ubp05, lbp01, mp01, ubp01;
double mc[N][N], mcc[N][N], eps[N], epsc[N], m1[7][18][4], m1s[18],
m2[N][19], m3[N][19], vn[N], rr[2][2], soglie[7][7],
vmptf, vmaunanno, mvr[N][7], media, devstd,