5
Proponiamo le equazioni di valutazione delle diverse opzioni
retrospettive call e put: la lookback standard, l’opzione sull’estremo e
l’opzione a rischio limitato.
Confrontiamo le proprietà delle opzioni lookback standard con le
corrispondenti opzioni ordinarie rispetto al sottostante e alla scadenza.
Per quanto riguarda l’hedging, proponiamo il caso particolare in cui
2σr
2
in cui l’opzione può essere replicata con uno straddle di
opzioni ordinarie.
Nel capitolo terzo, per ognuna delle opzioni proposte nel capitolo
secondo, proponiamo degli esempi numerici in cui i valori sono
confrontati con le opzioni ordinarie evidenziandone l’elevato prezzo.
Per ovviare a questo limite delle opzioni retrospettive, proponiamo
due tipi alternativi di opzioni lookback in cui il periodo di
monitoraggio è ridotto (partial option) e/o il payoff è limitato
(fractional option).
Nel capitolo secondo offriamo una soluzione parziale ma costosa al
problema di entrata e uscita dal mercato proposta nel primo capitolo
mentre nel capitolo terzo, attraverso le opzioni parziali, otteniamo una
soluzione ottimale e poco dispendiosa.
Nel capitolo quarto, ci occupiamo delle opzioni lookback di tipo
americano, per le quali forniremo due tecniche di valutazione con il
modello binomiale: la prima a scopo illustrativo e la seconda
efficiente.
Infine, proponiamo i limiti superiori e inferiori delle opzioni
americane utilizzando le equazioni di valutazione delle corrispondenti
opzioni di tipo europeo.
6
Utilizzando il metodo binomiale efficiente determiniamo il prezzo
dell’opzione lookback put americana per N=250 in congiunzione con
la Control variate tecnique e verifichiamo se il prezzo ottenuto è
nell’intervallo determinato con lo snell envelope.
Nella trattazione faremo riferimento in più punti al problema della
frequenza di rilevazione che ha una rilevanza fondamentale in opzioni
come quelle lookback in cui il payoff include funzioni di massimo e
minimo dei prezzi passati.
7
CAPITOLO 1
LE OPZIONI ESOTICHE
Nei primi anni ’70 si è diffuso negli Stati Uniti d’America l’utilizzo di
prodotti finanziari derivati come i contratti forward, future e opzioni,
caratterizzati da un valore che dipende da alcune variabili sottostanti.
Le opzioni si differenziano dagli altri prodotti derivati in quanto il
detentore, alla scadenza, ha la facoltà di scegliere se esercitare il
diritto o meno.
Un forte incremento del mercato delle opzioni si è verificato a partire
dalla creazione della prima borsa delle opzioni nel 1973, la Chicago
Board of Options Exchange (d’ora in poi la indicheremo con la sigla
CBOE).
Prima del CBOE il volume delle opzioni standard trattate era piuttosto
ristretto e solo in rari casi erano trattate opzioni non standard.
Verso la fine degli anni ’70 e i primi anni ’80, quando ormai le
opzioni standard e i loro mercati si erano affermati e il numero di
contratti trattato superava i cento milioni annui, le istituzioni
finanziarie iniziarono a creare prodotti derivati di forma alternativa
rispetto allo standard, per incontrare le particolari esigenze dei clienti
e per incrementare il giro d’affari.
Tutte queste tipologie di opzioni che differiscono dallo standard per
una qualche caratteristica, sono state definite opzioni esotiche
1
.
1
Zhang “Exotic Options: a Guide to Second Generation Options” 2
nd
edition World Scientific, 1998.
8
Tali contratti divengono popolari presso la comunità finanziaria a
partire dai primi anni ’90 ma a parte alcune eccezioni sono trattate
prevalentemente nell’Over-the-counter
2
da grandi società, istituzioni
finanziarie e gestori di fondi.
Adesso le opzioni esotiche solo in pochi casi isolati sono quotate in
borsa come nel caso della quanto option nell’American stock
Exchange o la spread option trattata nella borsa mercantile di New
York.
IL fatto che nella maggioranza dei casi le opzioni esotiche siano
trattate nell’OTC è spiegato da Zhang
3
con la scarsa conoscenza degli
investitori e dei professionisti delle caratteristiche di questi prodotti
derivati, ignoranza che si manifesta anche tra coloro che hanno
un’ottima conoscenza del mercato e delle caratteristiche delle opzioni
di tipo standard.
Definendo le opzioni standard, opzioni di prima generazione possiamo
definire le esotiche come opzioni di seconda generazione
4
.
2
Indica il complesso di operazioni di compravendita di titoli che non
figurano nel listino di borsa, effettuate tra mediatori e commissionari che a
partire dal ’71 si è evoluto notevolmente e oggi è diventato un mercato
altamente automatizzato e nel quale si trattano molti più titoli di quanti se
ne trattino nel mercato regolamentato.
Un prodotto derivato trattato nell’OTC sta a significare che l’istituto
finanziario tratta direttamente con ogni società cliente e ha il vantaggio di
creare il prodotto in modo da soddisfare le particolari esigenze del cliente.
3
Exotic options: a guide to second generation options 2
nd
edition 1998.
4
Le opzioni di seconda generazione spesso sono definite anche special-
purpose option e da tale denominazione risulta chiaro il fine che le
istituzioni finanziarie hanno voluto conseguire con la loro creazione, cioè
realizzare particolari obiettivi che con i prodotti derivati tradizionali non
possono essere raggiunti o comunque non alle stesse condizioni (Zhang).
9
1.1. LE OPZIONI DI PRIMA E SECONDA GENERAZIONE
Prima di introdurre le opzioni di seconda generazione e in particolare
le opzioni lookback è necessario definire le caratteristiche delle
opzioni standard, dalle quali le prime traggono origine.
L’opzione di prima generazione o plain vanilla option
5
è un contratto
che dà il diritto, e non il dovere, al detentore (holder) ad acquistare, o
vendere, un determinato bene in un certo instante (maturity date),
oppure entro un certo intervallo di tempo, ad un determinato prezzo
(exercise price).
Il bene sottostante può essere rappresentato da azioni, indici azionari,
titoli obbligazionari, merci, valute, ecc.
A seconda che il diritto è esercitato alla scadenza T o in un periodo
compreso tra l’istante di stipulazione
0
T , e la scadenza T, abbiamo
rispettivamente le opzioni europee o americane.
Un ulteriore elemento di differenziazione delle opzioni è rappresentato
dal diritto del detentore: se il diritto è all’acquisto del sottostante
allora l’opzione è call, se invece il diritto è di vendita allora avremo
una put.
Prendendo in considerazione un’opzione call europea standard il
detentore ha il diritto ad acquistare alla scadenza il sottostante ad un
prezzo prestabilito.
Definendo
T
S il sottostante a scadenza, T la maturity e K lo strike
price dell’opzione, possiamo rappresentare analiticamente il payoff di
una call nel seguente modo:
5
De Felice Moriconi “L’immunizzazione finanziaria, modelli e strategie” Il
Mulino, 1991.
10
0 K,Smax
T
Se il prezzo del sottostante
T
S è maggiore dello strike price K il
detentore non esercita l’opzione; se invece il prezzo del sottostante
T
S
è minore dello strike price K dell’opzione, il detentore la esercita
realizzando un profitto rappresentato dalla differenza positiva tra K e
T
S.
Nel caso invece della put il payoff a scadenza del detentore è
rappresentato da:
0 ,SKmax
T
Infatti, trattandosi di un diritto alla vendita del sottostante, il detentore
dell’opzione esercita il diritto se lo strike price è superiore al prezzo
del sottostante a scadenza.
Per meglio comprendere il significato di tali opzioni è possibile
rappresentarne il payoff in funzione dei possibili valori assunti dal
prezzo del sottostante a scadenza.
Fig 1.1. Diagrammi del payoff delle opzioni europee in funzione del prezzo
del sottostante a scadenza.
11
L’analisi che abbiamo svolto fino ad ora in termini di payoff, riguarda
il detentore del contratto di opzione e viene definita long position.
Lo writer dell’opzione, cioè l’istituzione finanziaria che la crea o la
vende, ha una short position sull’opzione e a scadenza ha una certa
perdita attesa della quale deve prevederne la copertura.
Tale perdita attesa è rappresentata nella call dal payoff:
0 K,Smax
T
e per la put dal payoff:
0 ,SKmax
T
.
Il detentore dell’opzione deve compensare lo writer della perdita
attesa pagando una certa somma di denaro (premio dell’opzione), che
costituisce un ulteriore elemento di differenziazione tra opzioni e
contratti futures e forward nei quali non figura.
Il detentore, quindi, pagando un premio finito, può realizzare un
profitto che può essere illimitato se il prezzo del sottostante aumenta
illimitatamente.
CALL PUT
In-The-Money
t
S > K
t
S < K
Out-Of-The-Money
t
S < K
t
S > K
At-The-Money
t
S = K
t
S = K
12
Un ulteriore termine di differenziazione nelle opzioni, deriva dal
confronto fra lo strike price K e il prezzo corrente del sottostante
t
S.
Un’opzione call che ha un prezzo corrente del sottostante maggiore
dello strike price è in-the-money, è out-of-the-money se tale prezzo è
minore dello strike price.
Una call at-the-money, considerando costi di transazione nulli, se
fosse esercitata darebbe luogo a un flusso di cassa nullo. Se l’opzione
è in-the-money darebbe luogo ad un flusso di cassa positivo mentre se
è out-of the money il flusso di cassa sarebbe negativo.
Naturalmente l’opzione è esercitata solo nel caso in cui il profitto è
maggiore di zero cioè nel caso in cui a scadenza l’opzione è in-the-
money.
Come avremo modo di approfondire nel prossimo capitolo, il modello
di Black e Scholes è preso come punto di riferimento per la
definizione dell’equazione di valutazione delle varie tipologie di
opzioni di tipo europeo che tratteremo.
Questo modello, anche se si basa su ipotesi piuttosto stringenti, ha il
merito di essere definito da fattori osservabili che possono essere
misurati agevolmente nella pratica.
In generale il prezzo di un’opzione è influenzato da cinque fattori:
ƒ Il prezzo corrente del sottostante
ƒ Il prezzo di esercizio
ƒ La scadenza
ƒ La volatilità del sottostante
ƒ Il tasso di interesse
Può essere aggiunto un sesto fattore rappresentato dai dividendi attesi
del sottostante durante la vita dell’opzione che però nella nostra
trattazione non prenderemo in considerazione.
13
Utilizzando la formula di valutazione introdotta da Black e Scholes
6
,
sostituendo i valori dei parametri sopra elencati con i valori
determinati nel contratto (strike price, scadenza) o osservabili nel
mercato (prezzo corrente del sottostante, tasso di interesse), possiamo
determinare facilmente il prezzo dell’opzione.
L’unica variabile per la quale è necessario procedere ad una stima è la
volatilità del sottostante.
Questo però riguarda soltanto le opzioni nelle quali il diritto può
essere esercitato esclusivamente alla scadenza (opzioni di tipo
europeo).
Nel caso delle opzioni di tipo americano invece, nelle quali il diritto
può essere esercitato nel periodo che va dalla stipulazione alla
scadenza (intervallo > ≅T,T
0
), l’equazione di valutazione del prezzo
non può essere ricavata e per la determinazione del prezzo è
necessario ricorrere ad approssimazioni o a procedure numeriche di
valutazione.
Le opzioni di prima generazione hanno delle caratteristiche comuni
7
:
ƒ Una sola attività sottostante;
ƒ L’istante effettivo di partenza è quello presente;
ƒ Solo il prezzo del sottostante a scadenza influenza il payoff
dell’opzione;
ƒ Il fatto che l’opzione sia call o put è determinato fin dalla
stipulazione;
ƒ Il payoff è sempre determinato dalla differenza tra il prezzo del
sottostante e lo strike price.
6
Black F. e Scholes “The Pricing of Option and Corporate Liabilities”
Journal of Political Economy 81: 637-654, 1973.
7
Vedi nota (3).
14
Queste caratteristiche comuni dell’opzione ordinaria, costituiscono un
limite di flessibilità che si è voluto superare attraverso le opzioni
esotiche che di solito differiscono dalle prime per una o più delle
caratteristiche sopra elencate.
Per esempio le opzioni asiatiche differiscono dalle standard per il
prezzo di esercizio che non è fisso ma è il prezzo medio del
sottostante, o le compound option in cui il sottostante è costituito da
un’altra opzione o ancora nelle as you like it option in cui il detentore
sceglie se il suo diritto è all’acquisto o alla vendita in un istante
successivo alla stipula; per il resto ognuna di queste opzioni ha le
stesse caratteristiche dell’opzione standard.
1.2. LE OPZIONI PATH-DEPENDENT
Il payoff di un’opzione ordinaria come risulta dal paragrafo
precedente dipende solo dal prezzo del sottostante a scadenza
T
S e
non ha alcuna rilevanza il suo comportameto in istanti precedenti.
Nelle opzioni standard cioè, non ha alcuna rilevanza il sentiero seguito
da S per raggiungere il valore
T
S.
C’è una categoria di opzioni esotiche in cui invece il sentiero seguito
dal prezzo del sottostante influenza il prezzo dell’opzione: le opzioni
path-dependent.
Queste opzioni sono caratterizzate da un payoff che include sempre
una funzione del prezzo del sottostante verificatosi non solo a
scadenza T ma anche in istanti precedenti.
Le opzioni path-dependent sono di quattro tipi principali:
ƒ Opzioni asiatiche
15
ƒ Opzioni barriera
ƒ Forward start option
ƒ Lookback option
Le opzioni asiatiche sono basate sulla media del prezzo del sottostante
in un dato intervallo di tempo.
La funzione media dei prezzi del sottostante è sostituita al prezzo di
esercizio che nelle ordinarie viene fissato al momento della stipula (il
prezzo medio può essere sostituito anche al prezzo del sottostante a
scadenza).
Con il trascorrere del tempo, quindi, l’opzione asiatica ha uno strike
price in continua evoluzione (a meno che il sottostante mantenga un
prezzo fisso pari alla media già realizzata).
Questo tipo di opzioni sono molto popolari nei mercati delle merci e
delle valute.
Sono possibili diverse varianti rispetto a questa definizione base che
riguardano il tipo di media (geometrica o aritmetica) e il fatto che essa
sia una media ponderata o semplice.
L’opzione con barriera o trigger option, le prime opzioni non standard
trattate, hanno un payoff che dipende dal raggiungimento del prezzo
del sottostante S di una soglia (barriera) in un certo intervallo di
tempo.
Al raggiungimento della soglia che a seconda dei casi può essere
superiore o inferiore, corrispondono degli effetti diversi in base al tipo
di opzione barriera presa in considerazione (può essere l’esercizio
automatico dell’opzione nelle CBOT o l’opzione cessa di esistere
come nel caso della knockout option).
16
La forward start option è un’opzione che inizia in un tempo futuro
specificato rispetto all’istante di stipula e il prezzo di esercizio è
costituito dallo spot price del sottostante in questo istante futuro.
L’utilizzazione di questo prodotto derivato è molto diffuso
nell’interest rate market.
La lookback option o opzione retrospettiva, di cui ci occuperemo
estesamente, include nel payoff la funzione di massimo o minimo del
sottostante in un determinato intervallo di tempo.
È necessario sottolineare che una classificazione a qualsiasi livello
delle opzioni esotiche è piuttosto difficoltosa poiché esse non sono
trattate in mercati regolamentati e le istituzioni finanziarie ne creano
sempre di nuove e con caratteristiche sempre più “esotiche”.
Fig 1.2. Prezzo dell’attività sottostante rilevato in modo continuo e discreto.
Nelle opzioni path-dependent assume una rilevanza particolare
soprattutto dal punto di vista pratico la frequenza di osservazione del
sottostante nel senso che variazioni della frequenza di osservazione
17
determina variazioni, anche rilevanti, del comportamento
dell’opzione.
Prendendo in considerazione una funzione continua del sottostante
S(t) che rappresenta una frequenza di osservazione infinita, possiamo
mettere in evidenza gli effetti che si avranno sul massimo e minimo
del sottostante rilevandolo ad intervalli uguali, rendendo quindi la
funzione discreta (vedi fig.1.2).
Considerando il sottostante S(t) nel periodo > ≅T,T
0
e le due funzioni
(t)S e (t)S
21
:
)t(S)t(S
1
φ
1
Φ
)τ n(S)t(S
2
Nn τ/1Φ
2
dove
1
Φ e
2
Φ sono le frequenze di osservazione.
tS
1
ha un massimo pari a H e un minimo pari a L, mentre nel caso di
frequenza di rilevazione Ω, tS
2
ha un codominio molto inferiore.
In generale il massimo e il minimo con una frequenza di rilevazione
finita si trovano sempre all’interno dell’insieme LtSH
1
δ δ del
sottostante rilevato continuamente.
Gli effetti maggiori riguardano le opzioni barriera e le opzioni
lookback mentre per quanto riguarda le opzioni asiatiche l’effetto
frequenza di osservazione è attenuato in quanto si basa sulla media
delle osservazioni.
Questo problema riguarda l’aspetto pratico e i modelli discreti poiché
nel modello di base della nostra analisi si ipotizza una frequenza di
rilevazione del sottostante infinita.
18
1.3 FONDAMENTO TEORICO E CLASSIFICAZIONE
DELLE OPZIONI RETROSPETTIVE
Le opzioni lookback o opzioni retrospettive sono opzioni in cui il
payoff non è determinato solo dal prezzo a scadenza ma anche dal
massimo o minimo prezzo del sottostante verificatosi durante la vita
dell’opzione, cioè nell’intervallo > ≅T ,T
0
.
Un’opzione lookback può assicurare il payoff migliore possibile e in
un certo senso può essere definita una minimizzatrice dei dispiaceri
dell’investitore
8
.
L’opzione retrospettiva è “attraente” in quanto prende il meglio dagli
eventi passati e il loro possessore può avvantaggiarsi dei movimenti di
mercato anticipati di cui non si conosce il momento preciso in cui si
verificheranno.
Attraverso un esempio proposto da Heynen e Kat
9
nel loro lavoro sulle
opzioni lookback parziali possiamo mettere in evidenza la
convenienza, in alcune situazioni, ad utilizzare le opzioni lookback al
posto delle opzioni di prima generazione.
Esempio 1: Poniamo che l’investitore si aspetti una crescita nel
mercato nei tre mesi successivi e acquisti in
0
T un’opzione call con
maturity T = 0.25 anni e prezzo di esercizio pari all’indice corrente
100SS
T0
.
8
Goldman M., H. Sosin e Gatto A. “Path-Dependent Option: Buy at the
Low, Sell at the High” Journal of Finance 34: 1111-1127 1979.
9
Heynen e Kat H. “Selective Memory” Risk 7(11): 73-76 1994.
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