Modellistica e analisi delle prove sperimentali su un giunto robotico per applicazioni spaziali

Stefano Ronchi Indice
fase e l’inizio della terza, per cui è stato realizzato un prototipo del giunto e ci si accinge a
costruire il robot completo con il relativo sistema di controllo. Per il progetto del giunto, ed in
futuro del robot completo, ci si è avvalsi di un modello di simulazione realizzato dal 
Politecnico di Milano nel linguaggio Dymola-Modelica.
Obiettivo di questo lavoro è quello di analizzare i risultati delle prove sperimentali 
effettuate sul prototipo del giunto al fine di definirne le prestazioni ed identificarne i parametri 
fondamentali (attrito, ecc…) per poi poterli impiegare nel modello di simulazione che in 
futuro verrà utilizzato per la progettazione del sistema di controllo complessivo. 
La struttura di questo lavoro è la seguente: nel primo capitolo è riportata una breve 
trattazione teorica riguardante modellistica e controllo di un servomeccanismo e la 
caratterizzazione delle sue prestazioni. Nel secondo e terzo capitolo è effettuata una
descrizione del prototipo del giunto oggetto di analisi in questa tesina e dell’impianto
sperimentale costruito ed utilizzato per la realizzazione delle prove su di esso. Nel quarto 
capitolo, parte centrale di questo lavoro, si sono analizzate le prove sperimentali effettuate al
fine di identificare i parametri necessari alla validazione del modello e valutare le prestazioni
del sistema. Nel quinto e ultimo capitolo si descrive brevemente il simulatore, si riportano e 
descrivono i controllori utilizzati per le prove sperimentali poi implementati sul modello 
Dymla-Modelica e si valida il modello con la replica di alcune delle prove sperimentali. 
 5 
Capitolo 1
Teoria sui servomeccanismi 
1.1 Stato dell’arte nel controllo dei servomeccanismi 
In letteratura, per il controllo di un giunto elastico, in condizioni di non contatto, si fa 
riferimento a schemi di controllo classico del tipo rappresentato in Figura 1
Figura 1 - Schema classico di controllo di un servomeccanismo con retroazione
della velocità e posizione del motore 
in cui 

 
m
vm
m
ll
vl lm
mm
q
Gs
q
Gs G s
q
W
W
 
 Ÿ  


q
     [1.]
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 
dove q
m
 e q
l
 rappresentano rispettivamente, la posizione del motore e del carico, W
m
la coppia 
motrice ed n il rapporto di trasmissione. 
L’idea alla base di questo tipo di controllo trova origine nell’implementazione di due
anelli di controllo annidati di cui il più interno regola la velocità del motore attraverso un 
controllore PI mentre quello più esterno si occupa della regolazione della posizione attraverso 
l’utilizzo di un controllore proporzionale ed un anticipo di velocità ottenuto derivando il set-
point di posizione. 
Le limitazioni di questa logica risiedono nel fatto che il controllore, riceve in ingresso 
solo la posizione e la velocità del motore, non riuscendo, in questo modo, a controllare la 
risonanza del sistema elastico, costituito dalla trasmissione e dal carico, che provoca
oscillazioni e irregolarità di funzionamento. 
Una prima alternativa è quella modificare il precedente schema di controllo,
retroazionando invece che la posizione del motore, la posizione del carico nq
l
, come mostrato
in Figura 2. 
Figura 2 - Schema di controllo di un servomeccanismo con retroazione
della velocità del motore e posizione del carico
In questo modo il carico risulta meglio controllato; tuttavia, essendo il sistema non co-
locato, cioè la misura e l’attuazione convengono effettuate nello stesso punto (attuazione sul
lato del motore e misura sul lato del carico), quando la banda passante di posizione è troppo 
elevata, si raggiunge l’instabilità.
Ulteriori possibilità sono offerte dalle logiche di controllo moderno: con l’utilizzo di
uno stimatore o ricostruttore dello stato del sistema dinamico è possibile controllare il sistema
retroazionando l’intero set di variabili indipendenti, che regolano la dinamica del sistema. In 
questo caso q
m
, q
l
 e le rispettive derivate. 
Lo schema a blocchi riportato in Figura 3 mostra l’architettura dello schema di controllo
da impiegare nel caso dell’utilizzo di un ricostruttore dello stato del sistema in cui, a partire
dalla misura di alcune grandezze, viene stimato, attraverso opportuni algoritmi, l’intero stato 
del sistema. Queste nuove informazioni vengono poi riutilizzate per retroazionare il sistema e 
generare le nove variabili di ingresso. 
 7 
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 
Figura 3 - Schema di controllo per l'utilizzo di un ricostruttore per la stima dello stato
e il controllo di un servomeccanismo
Nello schema di Figura 3 si nota come allo stimatore siano date in ingresso le misure di 
posizione del carico e velocità del motore mentre in uscita si abbia un vettore con i parametri
stimati che vengono poi moltiplicati per una matrice di guadagni K generando in questo modo
la legge di controllo per il sistema. La logica per il calcolo di K può prevedere il 
posizionamento dei poli oppure il metodo del filtro di Kalman. Viene aggiunta inoltre
un’azione integrale per avere l’azzeramento dell’errore a regime e azioni di anticipo per una 
maggiore prontezza del sistema di controllo.
Il buon funzionamento dello schema di controllo in cui si impiega il ricostruttore è 
subordinato ad una stima molto accurata dei parametri del sistema. Ottenere tale risultato è in
buona  parte dei casi tutt’altro che semplice ed a volte addirittura infattibile soprattutto
quando si ha a che fare con la stima dei parametri di attrito che nel caso dell’oggetto in esame 
sono molto rilevanti. 
1.2 Descrizione del modello matematico 
Il sistema che si sta studiando è modellizzabile matematicamente come un giunto
flessibile controllato in coppia. 
Lo schema di riferimento è quello riportato nella Figura 4 che rappresenta un modello di 
giunto a due masse collegate da una trasmissione elastica dotata di rigidezza K
el
e
smorzamento D
el
.
La massa (volano) dotata di inerzia J
m
, rappresenta la parte rotante del motore elettrico a 
cui viene applicata la coppia motrice W
m
, mentre l’inerzia J
l
 rappresenta il carico applicato al
giunto a cui viene applicata la coppia esterna W
e
.
Sia il termine relativo al motore che quello relativo al carico sono soggetti ad attrito 
viscoso D
m
e D
l
(rispettivamente l’attrito nel motore e sul carico).
 8 
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 
Figura 4 - Schema semplificato di un servomeccanismo
Dalla meccanica razionale si determinano le equazioni lineari che esprimono la dinamica 
del sistema: 

°
°
¯
°
°
®
­
 
 
 
lmellmel
t
etllll
t
mmmmm
qnqDnqqK
n
qDqJ
n
qDqJ



W
WW
W
W
     [1.2]
in cui la prima equazione descrive la dinamica del motore, la seconda quella del carico e la 
terza si riferisce alla trasmissione.
Riducendo tutti i termini al lato motore si ha: 

°
°
°
¯
°
°
°
®
­
 

 
 
lmellmel
t
et
l
l
l
l
t
mmmmm
qnqDnqqK
n
n
qn
n
D
qn
n
J
n
qDqJ



W
WW
W
W
22
     [1.3]
da cui, ponendo: 
 9 
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 
n
n
nqq
n
D
D
n
J
J
e
e
t
t
ll
l
lr
l
lr
W
W
W
W
 
 
 
 
 
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
         [1.4]
si ottiene il sistema: 

°
¯
°
®
­
 
 
 
lmellmelt
etllrllr
tmmmmm
qqDqqK
qDqJ
qDqJ




ˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆ
W
WW
WW
     [1.5]
che rappresenta un sistema dinamico MIMO con due uscite (q
m
e q
l
) e due ingressi (W
m
e W
e
).
Volendo rappresentare il sistema in forma di stato, è possibile rielaborare le equazioni
come segue. Esplicitando, nelle equazioni di equilibrio dinamico di motore e carico, il termine 
della derivata seconda, si ha: 

°
°
°
¯
°
°
°
®
­
 

 

 
lmellmelt
lr
et
l
lr
lr
l
m
tm
m
m
m
m
qqDqqK
J
q
J
D
q
J
q
J
D
q




ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
W
WW
WW
      [1.6]
sostituendo poi nelle due l’espressione della coppia trasmessa si ottiene: 
°
°
¯
°
°
®
­
 
 
l
lr
el
m
lr
el
l
lr
el
m
lr
el
lr
e
l
lr
lr
l
l
m
el
m
m
el
l
m
el
m
m
el
m
m
m
m
m
m
q
J
D
q
J
D
q
J
K
q
J
K
J
q
J
D
q
q
J
D
q
J
D
q
J
K
q
J
K
J
q
J
D
q





ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
W
W
  [1.7] 
A questo punto è possibile passare alla scrittura del sistema in forma di stato la cui 
struttura è quella di [1.8]: 
10 
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 
>@ >@
>@ >@
¯
®
­
 
 
uDxCy
uBxAx

       [1.8]
si ha 
>@
1
2
0100 00
1
0
0001 00
1
0
0010
m m
el el m el el
mmmm m mm m
l l e
l lel el el lr el
lrlr lr lr lr
l
el e
qq
KDDK D
JJJJ J
KD KDD
JJJ JJ
yxq
yKD
W
W
ªºªº
«»«»
­½ ­½

°° °°
«»­½
°° °°

®¾ ®¾ ®
¯¿
°° °°
«»
°° °°

¯¿ ¯¿

«»«»
¬¼¬¼
  
 

 

 
@
>@
3
1000
lelel t
m
KDx
xq
W
­
°
°
°
°
°
°
®
°
°
°
°
 
°
°
 
°
¯
¾
 [1.9] 
in cui, per semplicità di scrittura, si sono trascurati i cappucci sopra le variabili ridotte che 
mantengono però lo stesso significato dato in [1.4]. 
Le uscite del sistema che interessa analizzare sono tre: la posizione lato carico (y
1
), la
coppia trasmessa (y
2
) e la posizione del motore (y
3
).
1.3 Approccio al progetto del sistema di controllo per DEXARM 
L’innovazione principale che si introduce nella progettazione del giunto in oggetto
riguarda il sistema di controllo implementato che viene effettuato con l’utilizzo di un sensore 
di coppia. Si prevede dunque una modificazione del tradizionale schema con due anelli
annidati di velocità lato motore e posizione lato carico, il quale infatti presenta limitazioni
legate al fatto che il sistema è non co-locato (cioè l’attuazione è in una posizione diversa dalla 
misura).
Il sensore di coppia è posizionato subito a valle della trasmissione ed è in grado di 
misurare la coppia trasmessa da quest’ultima al carico, la quale sarà composta da un termine 
dovuto all’attrito sull’albero di uscita e dalla coppia necessaria per l’accelerazione del carico. 
Condizione necessaria affinché sia possibile attuare il controllo con la misura e la 
retroazione del segnale di coppia è necessario che il sistema sottostia alle caratteristiche di
controllabilità e osservabilità. Si ricorda qui di seguito quali sono le condizioni per cui valgano 
le suddette condizioni. 
Si devono avere la matrice di controllabilità: 
> @BABABAABBQ
n 132
...

      [1.0]
e quella di osservabilità: 
11 
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 
> @CACACACACO
n 132
'...'''

     [1.1]
di rango massimo. 
Ponendo l’ingresso esogeno, dato dalla coppia esterna W
e,
 pari a 0 in modo da manipolare
un sistema dinamico SITO (single input two output) si possono calcolare le matrici sopra descritte 
nell’ipotesi di osservare le tre variabili: q
m
, q
l
, W
t
.
Calcolando dunque il rango delle suddette matrici (che per un sistema con un solo
ingresso si riduce al calcolo del determinante) si ha che: 
     0...detdetdetdet
1
3
2
!   

m
n
mmmmtlm
BABABAABBQQQ  [1.12] 
uguale sia che si osservi la coordinata del motore (m), del carico (l) o la coppia trasmessa (t). Il 
determinante maggiore di zero sta a significare che il rango delle tre matrici di raggiungibilità
prese in considerazione è sempre massimo e cioè pari a 4.
L’osservabilità mostra invece che:
 4  
lm
OrangoOrango       [1.3]
mentre
3 
t
Orango         [1.4]
da cui si deduce che, non avendo rango massimo, il sistema controllato in coppia non è 
completamente osservabile, al contrario degli altri due. 
Passando al dominio di Laplace e manipolando simbolicamente il sistema per estrarre la 
funzione di trasferimento tra la coppia fornita dal motore e quella trasmessa, si ha: 




2
21
lr lr el el lr el lr el el lr lr el
t
m
Js D Ds K JDs JK DD s DK
G
W
W
 
   
''
 [1.15] 
con:
  

 
32
lr m m lr el lr m m lr
m lr el el m el lr lr m lr m
sJJs JJDJDJDs
J JKDDDDDDsDD
'     
    
  [1.16] 
Si nota subito che la funzione di trasferimento, in linea con quanto affermato prima,
presenta solo tre poli. Ciò significa che, applicando un’azione di controllo, non è possibile 
agire su tutto lo stato del sistema che ha dimensione 4. 
È da notare anche che, per attrito al lato del carico (D
l
) nullo, la funzione presenta uno
zero in s=0 e cioè un derivatore, ciò comporta problemi nel controllo di un set-point costante, 
in quanto, dal teorema del valore iniziale per la risposta al gradino si ha che:
12
Stefano Ronchi Capitolo 1 – Teoria sui servomeccanismi 




2
21
3
0
1
lim 0
lr el lr el
s
lr m m lr el lr m m lr el el m m
JDs JKs
Gs
sJJs J JD JDs J JK DDsD
o

 ˜ ˜ 
    
cioè il guadagno a transitorio esaurito è nullo o meglio, per qualunque ingresso, a meno di un 
transitorio iniziale, l’uscita del sistema sarà identicamente nulla.
Questo comportamento è anche interpretabile fisicamente osservando che a fronte di 
un set-point di coppia costante, se il sistema a valle del carico non è soggetto ad attrito (D
l
=0)
esso, dopo un transitorio iniziale, risponde con una coppia nulla non dovendo vincere alcuna 
forza di attrito ed essendo l’accelerazione nulla.
Osservando il diagramma di Bode della funzione di trasferimento (Figura 5Figura 7) 
appena descritta (con D
l
= 0), si vede quanto affermato: l’amplificazione dinamica in dB, alle 
basse frequenze tende a -f.
-60
-40
-20
0
20
M
a
g
n
i
t
u
d
e
 
(
d
B
)
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
4
-180
-135
-90
-45
0
45
90
P
h
a
s
e
 
(
d
e
g
)
Bode Diagram
Gm = Inf ,  Pm = 45 deg (at 194 rad/sec)
Frequency  (rad/sec)
Figura 5 - Diagramma di Bode della funzione di trasferimento
tra coppia motrice e coppia trasmessa al carico nella condizione D
l
=0
Andando ora a riprendere le equazioni di equilibrio dinamico [1.5] si verifica quanto
detto:

°
¯
°
®
­
 
 
 
lmellmelt
etllrllr
tmmmmm
qqDqqK
qDqJ
qDqJ




ˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆ
W
WW
WW
     [1.5]
si vede subito dalla seconda equazione che, per D
l
 = 0 e accelerazione del carico nulla, la
coppia trasmessa è pari alla coppia esterna e, laddove anche questa fosse nulla, pari a 0. 
13