Model Updating in Condizioni di rilevanti incertezze di modello

2che meglio descrive la struttura, data una certa geometria e discretizzazione;
questi ultimi non possono essere facilmente integrati nel processo di updating
e devono quindi essere definiti inizialmente in modo adeguato.
Il problema dell’updating di modelli e` di tipo inverso: sulla base della
sola conoscenza della risposta di un sistema, si cerca di determinare la con-
figurazione di input che l’ha generata. La soluzione di questi problemi, come
noto, non e` unica. La situazione e` ulteriormente aggravata dalla presenza
di numerose fonti di errore: gli errori possono infatti comparire nell’effet-
tuare e nell’utilizzare le misure per ricavare le proprieta` della risposta del
sistema, nell’introduzione di semplificazioni necessarie per costruire un mo-
dello della struttura, nel calcolo numerico della risposta, ecc. Questi fattori
contribuiscono a rendere irraggiungibile l’obiettivo di determinare un uni-
co modello che possa essere considerato il piu` verosimile: non esiste alcuna
certezza che il modello la cui risposta e`lapi`u vicina a quella della struttura
sia effettivamente il piu` corretto.
Alla luce di queste considerazioni, l’attenzione e` stata recentemente pun-
tata verso metodologie in grado di tener conto del velo di incertezza che
ricopre il problema. Quella considerata in questo lavoro, proposta da alcuni
studiosi dell’Ecole Polytechnique Fe´de´rale di Losanna, prevede la generazione
e l’analisi di un certo numero di modelli: l’updating consiste nell’individuare
quali tra essi hanno le migliori capacita` di riproduzione della risposta del
sistema e nell’estrarne le caratteristiche principali, in modo da definire non
un solo modello ma un insieme di classi di modelli, con proprieta` simili tra
loro.
L’obiettivo di questo lavoro di tesi e` lo studio di questa metodologia,
definibile come Multi-Model, e la sua applicazione ad un caso reale. Il lavoro
e` organizzato nel modo seguente:
 Il Capitolo 1 propone una classificazione dei principali metodi di model
updating noti in letteratura secondo le loro caratteristiche: i due gruppi
principali sono quelli dei metodi deterministici e dei metodi statistici,
caratterizzati da tipi di approcci differenti. All’interno di questi macro-
gruppi, se ne possono individuare numerosi altri.
 Il Capitolo 2 esamina il problema del confronto e della correlazione
tra i dati sul modello e quelli sperimentali e descrive alcuni degli stru-
menti piu` comunemente utilizzati a questo scopo: tra essi vi sono sia
metodi che permettono di quantificare la differenza tra certe proprie-
3ta` della struttura e del modello, sia metodi che consentono di rendere
confrontabili queste quantita`.
 Il Capitolo 3 descrive il funzionamento del metodo Multi-Model, il quale
e` costituito da tre parti: ad una prima fase di generazione dei modelli
candidati, realizzata con l’ausilio di un algoritmo di minimizzazione di
funzioni obiettivo, seguono la selezione di quelli maggiormente adatti
a rappresentare la struttura e la loro analisi; per realizzare l’ultima
fase saranno utili alcuni strumenti tipici dell’area del Data Mining,per
semplificare la rappresentazione dei dati ed individuarne gli elementi
comuni.
 Il Capitolo 4, in vista dell’applicazione del metodo ad un problema
reale, che ha come oggetto la Cappella della SS. Sindone a Torino,
si occupa di descrivere la struttura considerata e il modello che la
riproduce; inoltre, questo capitolo presenta alcuni dettagli legati al-
l’implementazione su calcolatore della procedura, in particolare legati
al calcolo della risposta del modello.
 Il Capitolo 5 propone alcuni dei risultati ottenuti applicando il metodo
considerato al modello della Cappella.
Capitolo 1
Il Model Updating
La simulazione di un sistema fisico attraverso strumenti matematici prevede
diverse fasi, le quali possono essere schematizzate come segue:
• Osservazione fenomenologica
• Schematizzazione ed identificazione delle variabili
• Deduzione del modello matematico
• Analisi delle proprieta` qualitative
• Simulazione numerica
• Validazione sperimentale: Revisione e Taratura del modello
L’ultima tra le fasi elencate consiste nella verifica dell’aderenza del modello
creato alla realta`, attraverso il confronto tra il suo comportamento e quello
del sistema reale. I risultati della verifica conducono, se positivi, alla convali-
da del modello e al suo utilizzo, se negativi, alla sua revisione al fine di ridurre
l’errore compiuto. Nel caso in cui la validazione abbia esito negativo, occorre
determinare le ragioni che hanno portato a tale conclusione per saper inter-
venire: se l’errore, ad esempio, e` dovuto alla formulazione di ipotesi di base
scorrette, occorre rivedere tutto il percorso che ha portato alla costruzione del
modello; se, invece, si osserva che il modello e` in grado di riprodurre il com-
portamento del sistema reale, puo` essere semplicemente necessario rivedere
alcune caratteristiche, come i valori assegnati a certi parametri. In questa
situazione, si deve allora effettuare la taratura del modello, o Model Updating
4
5(MU). In questo lavoro, l’attenzione e` rivolta proprio a questo processo e,
in particolare, alle modalita` con cui puo` essere svolto nel caso di modelli di
strutture civili, realizzati attraverso gli elementi finiti.
L’importanza di avere a disposizione buone tecniche di taratura non si
limita alla possibilita` di testare la correttezza di un modello matematico: so-
prattutto in ambito civile/strutturale, esse possono diventare uno strumento
fondamentale per l’analisi dello stato di salute di una struttura, attraverso
l’individuazione di possibili danneggiamenti. Realizzare un modello “corret-
to” di una struttura, in un stato in cui questa non presenti danni, significa
poter disporre di una configurazione di riferimento grazie alla quale indivi-
duare, idealmente anche in modo continuo nel tempo, eventuali variazioni
delle sue caratteristiche principali e, quindi, possibili danni.
Prima di passare alla descrizione delle principali metodologie per l’updat-
ing, e` opportuno chiarire il significato di alcuni termini che si useranno in
seguito:
Sistema reale: e` la struttura che si intende modellizzare.
Modello analitico: e` il modello EF della struttura oggetto di studio, costi-
tuito da n gradi di liberta` e pertanto descritto da matrici di dimensione
n×n di massa, rigidezza e smorzamento. Attraverso strumenti matema-
tici opportuni, e` possibile ricavarne le proprieta` modali cos`ıcomela
risposta ad una eccitazione data. La risposta del modello verra` indi-
cata nel seguito come analitica, anche se nelle applicazioni pratiche e`
determinata attraverso algoritmi di calcolo numerico.
Dati: quantita` che descrivono particolari caratteristiche della struttura o del
modello, la loro risposta o il loro comportamento dinamico.
Localizzazione: e` il processo che permette di individuare i punti in cui
modello e sistema differiscono.
Ottimizzazione: e` il processo che permette di determinare un insieme di
valori per i parametri, in modo da minimizzare una certa funzione pe-
nalizzazione (funzione obiettivo che quantifica le differenze tra modello
e sistema).
Updating: e` la correzione dei valori dei parametri del modello, utilizzando
i dati a disposizione, al fine di meglio descrivere le proprieta` dinamiche
del sistema.
6Verifica: e` il processo attraverso il quale si stabilisce se il modello, in seguito
all’updating, e` in grado di descrivere il comportamento della struttura.
La “correttezza” del modello, cioe` la sua capacita` di riprodurre il com-
portamento del sistema, puo` essere espressa in funzione di 5 livelli (Ewins,
2000 bis):
Livello 1. Predizione accurata, secondo una precisione specificata, di al-
cune proprieta` modali, come frequenze naturali e forme modali, in
corrispondenza dei gradi di liberta` misurati.
Livello 2. Predizione accurata delle funzioni di risposta nell’intervallo di
frequenze coperto dai test sperimentali.
Livello 3. Predizione accurata delle proprieta` modali (anche nei gradi di
liberta` non misurati), nell’intervallo di frequenze coperte dai test speri-
mentali.
Livello 4. Predizione accurata delle proprieta` della risposta sull’intervallo
di frequenze coperto dalle misurazioni, comprendendo i gradi di liberta`
non misurati.
Livello 5. Predizione accurata delle proprieta` della risposta sull’intera gam-
ma di frequenze e per tutti i gradi di liberta`.
Questo capitolo introduce le principali tecniche di updating sviluppate in
ambito civile-strutturale, proponendone una classificazione secondo carat-
teristiche comuni. L’organizzazione ricalca quella dei vari raggruppamenti
che e` possibile individuare, partendo dai due basilari: quello dei metodi
deterministici, basati su modelli dedotti da leggi fisiche e su misure prove-
nienti da un’unica esperienza, e quello dei metodi statistici, basati invece
sull’assegnazione di una distribuzione di probabilita` alle quantita` conside-
rate. Analoghe introduzioni ai metodi si trovano in Friswell e Mottershead
(1995), Mottershead e Friswell (1993). Dopo questa panoramica sui metodi
piu` conosciuti e utilizzati in letteratura, il capitolo termina ponendo l’at-
tenzione sulle problematiche e sui limiti che necessariamente si incontrano
quando si affronta un problema di updating.
1.1 Model Updating: Approccio Deterministico 7
1.1 Model Updating: Approccio Determini-
stico
Una delle possibilita` per effettuare la taratura di un modello e` quella di
basarsi sulle leggi che definiscono il comportamento del sistema per cercare di
minimizzare una funzione che quantifichi l’errore commesso nel rappresentare
la realta`: i metodi che agiscono in questo modo sono detti deterministici. Tra
essi, e` possibile distinguere due principali tipologie: i metodi diretti eimetodi
parametrici. I primi sono metodi generalmente non iterativi, che operano
direttamente sui singoli elementi delle matrici caratteristiche del modello;
gli altri, invece, modificano, in modo iterativo, i valori dei parametri del
modello che influiscono sulle matrici (come il modulo di Young associato ad
un elemento), fino al raggiungimento di una soluzione accettabile.
1.1.1 Metodi Diretti
Il primo insieme considerato e` quello dei metodi diretti, i quali si distin-
guono per semplicita` ed immediatezza: la semplicita`e` dovuta al fatto che
la ricerca della soluzione non richiede lo svolgimento di iterazioni (riducendo
cos`ı i tempi di calcolo) ma unicamente l’applicazione di un’espressione no-
ta, solitamente priva di operazioni matematiche complesse; l’immediatezza
proviene invece dal voler riprodurre direttamente e in modo esatto la realta`
sperimentale. Queste caratteristiche positive sono, pero`, accompagnate da
un notevole inconveniente: la mancanza di significato fisico nella soluzione
determinata.
Come accennato, i metodi diretti perseguono l’obiettivo di riprodurre
fedelmente i dati sperimentali: se, da un lato, cio`e` certamente positivo
(riprodurre al meglio il comportamento reale del sistema e` proprio lo scopo
dell’updating!), dall’altro, e` facile rendersi conto della scarsa utilita`delrag-
giungere questo obiettivo. I dati sperimentali, infatti, poiche´ inevitabilmente
affetti da errori, non rappresentano fedelmente la realta`, ne´ possono aspirare
a farlo quelli analitici perche´ ottenuti attraverso un modello che, per quanto
preciso, non puo` che essere una semplificazione del sistema reale. L’upda-
ting ha come scopo apportare modifiche ai valori di certi parametri fisici
per migliorare il comportamento del modello ma, di certo, non la pretesa di
renderlo una copia esatta del sistema considerato!
Per raggiungere buoni risultati, l’applicazione di un metodo diretto richiede
1.1 Model Updating: Approccio Deterministico 8
allora un modello di partenza sufficientemente accurato e tecniche di acqui-
sizione e manipolazione dei dati precise. Lo svantaggio principale legato
all’uso di metodi diretti e`per`o quello della mancanza di significato fisico per
i risultati. Le modifiche, infatti, sono apportate direttamente alle matrici di
massa e rigidezza e sono difficilmente riconducibili ai parametri del modello;
inoltre, in questo modo si possono accettare brusche variazioni alle proprie-
ta` del modello anche tra elementi contigui e causare la perdita di alcuni dei
tratti fondamentali delle matrici, come il loro carattere sparso, o del modello,
come la connettivita` tra i nodi.
In ambito strutturale, i metodi diretti per la taratura di modelli si basano
spesso su tre quantita`: i dati modali (frequenze e forme modali) e le matrici
di massa e rigidezza analitiche. La funzione obiettivo e` costituita dalla dif-
ferenza tra le quantita` modali calcolate e quelle misurate; i vincoli possono
essere la M- e K- ortogonalita` dei vettori modali, la vicinanza con le matrici
di partenza.. In alcuni casi, una delle matrici e` considerata esatta e non viene
mai modificata (generalmente si tratta della matrice di massa, perche` puo`
essere modellata con maggiore accuratezza): in questi casi si parla di metodi
Reference-Basis (RB).
La parte che segue presenta alcuni metodi diretti proposti in letteratura;
per una piu` completa introduzione si rimanda a Friswell et al. (1995) e Datta
(2001).
Moltiplicatori di Lagrange
Il problema della taratura di un modello si presta facilmente ad essere
tradotto, in termini matematici, nella minimizzazione di una funzione obiet-
tivo che rappresenti la distanza tra i risultati analitici e i dati sperimentali,
soggetta ad un certo insieme di vincoli; puo` dunque essere affrontato uti-
lizzando il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange (ML). Esso consiste nel-
l’“eliminare” dei vincoli (ampliando cos`ı lo spazio delle soluzioni possibili),
facendoli comparire nella funzione obiettivo con il ruolo di “costi” aggiuntivi:
il vincolo eliminato esercita un peso piu` o meno grande (in termini di costi),
a seconda che questo sia meno o piu`rispettato.
Ad esempio, supponendo che la matrice di massa sia esatta, e` possibile
1.1 Model Updating: Approccio Deterministico 9
definire il seguente problema di ottimizzazione:
min J = min
[Φ
a
]∈R
n×m
∥
∥
∥
[N]
(
[Φ
a
]− [Φ
x
]
)∥
∥
∥
2
(1.1)
= min
{Φ
a,j
}
k
∈R
n
∑
i=1
m
∑
k=1
[
n
∑
j=1
[N ]
ij
(
{Φ
a,j
}
k
−{Φ
x,j
}
k
)
]
2
soggetto alla condizione di ortogonalita`:
[Φ]
T
[M][Φ]=[I (1.2)
dove
-[Φ
x
]=
[
{Φ
x,1
},...,{Φ
x,m
}
]
∈ R
n×m
e` la matrice dei vettori modali
misurati (e supposti noti in tutti i punti corrispondenti ai nodi del
modello) e [Φ
a
]=
[
{Φ
a,1
},...,{Φ
a,m
}
]
∈ R
n×m
quella dei vettori
analitici
-[N] ∈ R
n×n
e` una matrice di pesi, i cui elementi possono essere definiti
come la radice quadrata degli elementi di [M
a
]=[M] ∈ R
n×n
;
- m e` il numero di forme modali misurate e n e`ilnumerodigradidi
liberta` del modello.
Il problema corrispondente che si ottiene applicando il metodo ML e`:
min J = min
[Φ
a
]∈R
n×m
∥
∥
∥
[N]([Φ
a
]− [Φ
x
])
∥
∥
∥
2
+[Γ]
(
[Φ
a
]
T
[M][Φ
a
]− [I]
)
(1.3)
= min
{Φ
a,j
}
k
∈R
n
∑
i=1
m
∑
k=1
[
n
∑
j=1
N
ij
(
{Φ
a,j
}
k
−{Φ
x,j
}
k
)
]
2
+
m
∑
i,h=1
Γ
ih
[
n
∑
j,k=1
(
{Φ
a,j
}
i
M
jk
{Φ
a,k
}
h
− δ
ih
)
]
dove [Γ] ∈ R
m×m
e` la matrice dei moltiplicatori di Lagrange, che rappre-
sentano i costi aggiuntivi da pagare in funzione obiettivo a causa del non
soddisfacimento dei vincoli associati (il loro contributo si annulla nel caso in
cui la condizione di ortogonalita` tra due vettori sia rispettata). Grazie alle
proprieta` di simmetria della 1.2, e` possibile imporre
[Γ]=[Γ]
T
.
1.1 Model Updating: Approccio Deterministico 10
`
E possibile dimostrare (Friswell et al., 1995) che la matrice dei vettori
modali ottima soddisfa la seguente relazione:
[Φ
x
]=[Φ
a
]
(
[Φ
a
]
T
[M][Φ
a
]
)
−1/2
. (1.4)
Una volta calcolata [Φ
a
], utilizzando l’equazione dell’autoproblema genera-
lizzato, si puo` ricavare la nuova matrice di rigidezza impostando un altro
problema di minimizzazione, la cui formulazione ML e`:
min J = min
[K]∈R
n×n
1
2
∥
∥
∥
[N]
−1
(
[K]− [K
a
]
)
[N]
−1
∥
∥
∥
(1.5)
+[Γ
K
]
(
[K]− [K]
T
)
+2[Γ
Λ
]
(
[K][Φ]− [Ω
x
][M][Φ]
)
dove [Γ
Λ
]e[Γ
K
] sono le matrici dei moltiplicatori di Lagrange associate ai
vincoli di simmetria e di soddisfacimento dell’autoproblema.
Si puo` verificare (Friswell et al., 1995) che, imponendo [Γ
K
]=−[Γ
K
]
T
(coerentemente con le proprieta` di simmetria del vincolo corrispondente), la
soluzione ottima e`:
[K
a,opt
]=[K
a
]− [K
a
][Φ
a
][Φ
a
]
T
[K
a
]+[M][Φ
a
][Φ
a
]
T
[K
a
][Φ
a
][Φ
a
]
T
[M]
+[M][Φ
a
][Λ][Φ
a
]
T
[M (1.6)
In modo del tutto analogo, e` possibile assumere come riferimento i dati
misurati e modificare prima la matrice di massa e poi,ad esempio applicando
la 1.6, quella di rigidezza.
Kenigsbuch e Halevi (1998) hanno proposto un metodo RB generalizzato
che utilizza matrici di pesi generiche ed e` in grado di sfruttare le conoscenze o
il grado di fiducia dell’utente nelle varie parti del modello: in questo modo, si
riescono a integrare i risultati forniti da metodi di localizzazione di errori nel
processo di updating (utilizzando, ad esempio, le informazioni ricavabili da
funzioni come il COMAC, Sezione 2.1). Inoltre, rispetto all’esempio riportato
precedentemente, decomponendo le matrici caratteristiche come:
[K]=[L
K
][L
K
]
T
[M]=[L
M
][L
M
]
T
, (1.7)
si riesce ad imporvi automaticamente le proprieta` di simmetria e di essere
(semi) definite positive.
1.1 Model Updating: Approccio Deterministico 11
Il metodo presentato da Cha e Gu (2001) combina alcuni risultati ot-
tenuti con i ML ad altri ottenuti invece con l’aggiunta di masse (aumentando
cos`ı il numero di equazioni a disposizione), riuscendo inoltre ad imporre il
mantenimento della connettivita`.
Altri Metodi
La parte che segue presenta in breve i tratti principali di altri metodi
diretti:
Metodi Matrix Mixing (MM): sono basati sull’osservazione che, se tutte
le forme modali (M-normalizzate) del sistema fossero misurate in cor-
rispondenza di tutti i gradi di liberta` del modello, si potrebbero calco-
lare [M]e[K]come:
[M]
−1
=[Φ
x
][Φ
x
]
T
=
n
∑
i=1
{φ
xi
}{φ
xi
}
T
(1.8)
[K]
−1
=[Φ
x
][Λ]
−1
[Φ
x
]
T
=
n
∑
i=1
1
ω
2
xi
{φ
xi
}{φ
xi
}
T
. (1.9)
Nel caso, piu` realistico, in cui le forme modali misurate siano state
estese a tutti i gradi di liberta` non misurati, e` possibile continuare ad
applicare le 1.8 e 1.9, integrando le misure mancanti con dati analitici:
[M]
−1
=
m
∑
i=1
{φ
xi
}{φ
xi
}
T
+
n
∑
j=m+1
{φ
aj
}{φ
aj
}
T
(1.10)
[K]
−1
=
m
∑
i=1
1
ω
2
xi
{φ
xi
}{φ
xi
}
T
+
n
∑
j=m+1
1
ω
2
aj
{φ
aj
}{φ
aj
}
T
(1.11)
Metodi dalla Teoria dei Controlli (CT): riformulano l’equazione del mo-
to della struttura nello spazio degli stati e, utilizzando una legge che
lega le quantita` misurate agli input del sistema, risolvono il problema
dell’updating con strumenti tipici della teoria dei controlli.
Seppur di semplice applicazione, gli aspetti negativi legati ai metodi diret-
ti fanno s`ı che il loro impiego sia limitato, a favore di metodi che permettano
una piu` diretta comprensione dei fenomeni fisici alla base delle modifiche
apportate; tra questi metodi, vi sono quelli indicati come parametrici, cui e`
dedicata la parte seguente.