Visual Control of Robotic Manipulators

2 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
aumento da capacidade de ca´lculo dos computadores pessoais, e´ poss´ıvel fechar o controlo
com o sensor de visa˜o e torna´-lo cada vez mais ”tempo-real”, i.e. o tempo de amostragem
de visa˜o tem vindo a diminuir, sendo poss´ıvel encontrar aplicac¸a˜o com 1[ms]. Este tipo
de controlo, em que se fecha o anel com o sensor de visa˜o, e´ designado por controlo visual
e tem como objectivo anular o erro entre as caracter´ısticas do objecto na posic¸a˜o desejada
e as calculadas durante o controlo.
A utilizac¸a˜o de controlo visual em roboˆs colocados em ambientes industriais, desconheci-
dos ou dificilmente modela´veis requer uma elevada precisa˜o, portabilidade, fiabilidade e
facilidade de colocac¸a˜o em funcionamento. Para que os aspectos pra´ticos referidos pos-
sam ser atingidos, e´ necessa´rio que va´rios objectivos teo´ricos do controlo visual sejam
atingidos:
• a obtenc¸a˜o de uma elevada precisa˜o no controlo visual esta´ associada a` qualidade
da extracc¸a˜o das informac¸o˜es visuais do objecto no meio em que se encontra. As-
sim, pode ser necessa´rio utilizar, em vez da visa˜o monocular, visa˜o stereo ou ainda
aumentar o nu´mero de caˆmaras a observar o objecto. A utilizac¸a˜o em conjunto com
visa˜o de outros tipos de sensores, como os ja´ referidos ultrasons, lasers ou sensores
de forc¸a, permite aumentar o conhecimento do meio em que o roboˆ se movimenta e
tambe´m aumentar a precisa˜o nas medidas necessa´rias ao controlo.
• a portabilidade de um sistema de controlo visual de roboˆs esta´ associada ao conhe-
cimento que a lei de controlo tem de ter do meio que rodeia o roboˆ e dos objectos
observados, pass´ıveis de serem manipulados. Assim para que o sistema de controlo
seja o mais porta´til poss´ıvel, devera´ requerer um conhecimento mı´nimo do modelo
do objecto e do meio.
• a fiabilidade de um sistema de controlo visual, a` parte da fiabilidade dos equipa-
mentos mecaˆnicos e ele´ctricos que constituem o sistema, esta´ associada a` robustez
na variac¸a˜o dos paraˆmetros de calibrac¸a˜o e a` convergeˆncia a partir de uma qualquer
posic¸a˜o inicial.
1.1. CONTRIBUIC¸O˜ES 3
• a facilidade de colocac¸a˜o em funcionamento de um sistema de controlo visual esta´
dependente da sua fase de calibrac¸a˜o, i.e. esta fase devera´ ser simplificada o mais
poss´ıvel e no caso ideal elimina´-la.
As leis de controlo visual existentes na literatura ainda na˜o sa˜o capazes de abarcar os
quatro aspectos enumerados anteriormente, apenas o controlo visual h´ıbrido (no que se
refere a` portabilidade e a` fiabilidade) e o controlo baseado na estimac¸a˜o do modelo de
interacc¸a˜o roboˆ-caˆmara (no que se refere a` portabilidade, fiabilidade e facilidade de co-
locac¸a˜o em funcionamento) se aproximam do requerido. A precisa˜o do controlo visual
pode ser aumentada como visto anteriormente, independentemente da abordagem ao con-
trolo utilizada.
Na secc¸a˜o seguinte sa˜o apresentadas de forma sucinta as contribuic¸o˜es propostas nesta
tese para aumentar a fiabilidade, a portabilidade e a facilidade de colocac¸a˜o em funcio-
namento de um sistema de controlo visual.
1.1 Contribuic¸o˜es
Ao controlo visual dinaˆmico sa˜o propostas duas abordagens diferentes, a primeira baseada
em caracter´ısticas do objecto na imagem e a segunda baseada na extracc¸a˜o da pose do
objecto atrave´s da imagem. Para ambos os controladores foi demonstrada a estabilidade
assimpto´tica na convergeˆncia para a posic¸a˜o desejada. Estas contribuic¸o˜es asseguram a
fiabilidade do sistema de controlo.
A estimac¸a˜o do modelo inverso da interacc¸a˜o roboˆ-caˆmara foi abordada na presente tese
atrave´s de modelac¸a˜o fuzzy. Com este tipo de modelo obvia-se a calibrac¸a˜o do sistema e
assim aumenta-se a facilidade de colocac¸a˜o em funcionamento. O modelo inverso obtido
e´ utilizado como controlador do sistema roboˆ–caˆmara, com o objectivo de fornecer as
velocidades de junta capazes de mover o roboˆ para a posic¸a˜o desejada. Foi ainda utilizado
4 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
um compensador fuzzy para compensar eventuais discrepaˆncias entre o modelo obtido e
o sistema real.
Com o objectivo de suavizar as velocidades geradas no controlo visual cinema´tico, fo-
ram aplicados filtros fuzzy ao erro das caracter´ısticas do objecto na imagem. Assim,
e´ diminu´ıda a amplitude das velocidades nos instantes iniciais e ainda atenuado o seu
cara´cter oscilato´rio, no caso do tempo de amostragem de visa˜o ser elevado. Esta abor-
dagem tem a vantagem de ter apenas um paraˆmetro para ajustar, em contraste com
as abordagens existentes na literatura. Consegue-se assim aumentar a fiabilidade e a
facilidade de colocac¸a˜o em funcionamento do sistema de controlo.
As leis de controlo visual propostas na presente tese, assim como os filtros fuzzy, foram ve-
rificados experimentalmente no aparato experimental desenvolvido especificamente para
esta tese.
1.2 Organizac¸a˜o da Tese
O cap´ıtulo dois introduz os conceitos e te´cnicas de visa˜o por computador utilizadas em
controlo visual de roboˆs de manipuladores, em especial as utilizadas na presente tese:
geometria projectiva, modelac¸a˜o de caˆmaras, geometria epipolar, estimac¸a˜o da pose e
correspondeˆncias entre imagens sucessivas.
O cap´ıtulo treˆs apresenta o estado da arte do controlo visual de roboˆs manipuladores.
Sa˜o apresentados os controladores visuais cinema´ticos baseados na imagem, em posic¸a˜o
e h´ıbridos. Sa˜o ainda abordados o controlo visual dinaˆmico, a estimac¸a˜o do modelo de
interacc¸a˜o roboˆ-caˆmara e o planeamento de trajecto´rias na imagem.
No cap´ıtulo quatro sa˜o propostas as contribuic¸o˜es ao controlo visual dinaˆmico, a extensa˜o
do controlador Kelly e o controlo visual dinaˆmico baseado em posic¸a˜o, com estimac¸a˜o da
pose. A estabilidade assimpto´tica dos controladores e´ tambe´m demonstrada.
1.2. ORGANIZAC¸A˜O DA TESE 5
No cap´ıtulo cinco sa˜o propostas soluc¸o˜es para o controlo visual de roboˆs manipuladores,
com base em lo´gica fuzzy. Sa˜o aplicados filtros fuzzy para melhorar o desempenho da
lei de controlo visual cinema´tica. O modelo inverso da interacc¸a˜o entre roboˆ e caˆmara
e´ estimado atrave´s de modelac¸a˜o fuzzy, sendo posteriormente utilizado como controlador
do sistema, em conjunto com um compensador fuzzzy.
No cap´ıtulo seis sa˜o apresentadas as condic¸o˜es experimentais e os resultados obtidos no
aparato experimental, descrito no anexo B, para a implementac¸a˜o dos filtros e controla-
dores apresentados nos cap´ıtulos anteriores.
Finalmente, o cap´ıtulo sete resume as contribuic¸o˜es propostas na tese e apresenta reflexo˜es
e poss´ıveis linhas de trabalho futuro.
Cap´ıtulo 2
Visa˜o por Computador
Nas actuais aplicac¸o˜es de roboˆs na indu´stria, estes movimentam-se em ambientes estru-
turados, i.e. em ambientes de trabalho especialmente projectados para a realizac¸a˜o das
va´rias tarefas para que sa˜o programados. Pore´m, o mundo em que vivemos e em que
o roboˆ se encontra inserido tem caracter´ısticas dinaˆmicas, quer atrave´s do seu pro´prio
movimento, quer atrave´s do movimento de objectos no ambiente de trabalho do roboˆ, ou
ainda de outros agentes a´ı existentes a realizar as suas tarefas [39], i.e. ambientes na˜o-
estruturados. E´ considerando este novo facto que e´ imperioso, por forma a que o roboˆ
possa interagir de uma forma harmoniosa com o meio que o rodeia, muni-lo com sensores
capazes de adquirir mais informac¸a˜o que os cla´ssicos encoders e taco´metros, colocados
nas juntas do roboˆ. O sensor que melhor reu´ne as caracter´ısticas necessa´rias ao adequado
desempenho em ambientes na˜o-estruturados e´ o de visa˜o. Tal escolha e´ justificada pelos
muitos sistemas biolo´gicos que o utilizam para reunir informac¸a˜o sobre o ambiente que os
rodeia, pelo incremento das suas caracter´ısticas e crescente disponibilidade no mercado a
cada vez mais baixo custo [39], podendo ainda ser facilmente acoplados a computadores.
Assim, atrave´s do sensor de visa˜o, a caˆmara, e´ poss´ıvel extrair do ambiente de trabalho
a informac¸a˜o visual necessa´ria a` realizac¸a˜o de tarefas por parte dos roboˆs. Para tal, sa˜o
apresentadas no presente cap´ıtulo os fundamentos teo´ricos de visa˜o por computador que
sera˜o utilizados no controlo visual de roboˆs, no presente caso, manipuladores.
7
8 CAPI´TULO 2. VISA˜O POR COMPUTADOR
Figura 2.1: Resumo dos procedimentos de Visa˜o por Computador utilizados na Tese.
Como introduc¸a˜o ao cap´ıtulo, na figura 2.1 encontram-se esquematizadas todas as
operac¸o˜es conducentes a` extracc¸a˜o de informac¸a˜o de uma imagem ou sequeˆncia de ima-
gens, e que serve de base para o que se apresentara´ nas secc¸o˜es seguintes. Considerando
todo o espac¸o cartesiano, i.e. o mundo, e uma ou mais caˆmaras a olhar para uma deter-
minada cena no mundo, o primeiro passo para um sistema de visa˜o por computador e´ a
aquisic¸a˜o [131] da imagem ou imagens. Como segundo passo e´ necessa´rio pre´-processar
[131] a(s) imagem(ns) e assim realizar a preparac¸a˜o para os procedimentos seguintes.
Note-se que e´ nesta fase que se retira ou atenua o ru´ıdo da imagem adquirida, sendo esta
fase importante pois todos os sistemas de visa˜o por computador se baseiam no processa-
mento dos pixels da imagem. As operac¸o˜es de aquisic¸a˜o e pre´-processamento da imagem
referidas na˜o sera˜o abordadas no presente cap´ıtulo, mas sim no anexo B que diz respeito
ao aparato experimental.
9A construc¸a˜o de um sistema de visa˜o por computador tem como objectivo principal ex-
trair informac¸a˜o de uma ou va´rias imagens sobre a mesma cena. Esta informac¸a˜o visual
a extrair de uma imagem depende dos pixels nela existentes e ainda do ru´ıdo associado,
que devera´ ser atenuado. Numa imagem podem co-existir va´rios objectos sendo que so´
um deles e´, geralmente, de interesse para a tarefa a realizar pelo roboˆ, logo e´ necessa´rio
localizar este u´ltimo na imagem. Existem na literatura va´rios algoritmos para localizar
um determinado objecto na imagem [131], sendo que essa informac¸a˜o pode ser conhecida
a priori como e´ o caso das experieˆncias apresentadas no cap´ıtulo 6, em que so´ existe um
objecto na cena observada. Apo´s o objecto estar localizado na imagem e´ necessa´rio ex-
trair as suas caracter´ısticas, i.e. as caracter´ısticas do objecto na imagem, sobre as quais
se procedera´ a` fase de interpretac¸a˜o da imagem. Estas caracter´ısticas podem ser pon-
tos, curvas ou estruturas particulares de n´ıveis de cinzento, entre outras explicitadas em
[39, 68, 115, 119, 131]. De referir que as caracter´ısticas do objecto na imagem, evidencia-
das numa elipse a tracejado na figura 2.1 sa˜o a base do controlo visual baseado na imagem,
definido na secc¸a˜o 3.3.1. Como referenciado na literatura, por exemplo [131], a captura
de uma imagem envolve o mapeamento de coordenadas tri-dimensionais do mundo em
coordenadas bi-dimensionais da imagem, com a consequente perda de informac¸a˜o. O
controlo visual de roboˆs manipuladores baseado em posic¸a˜o assim como o controlo visual
h´ıbrido, definido nas secc¸o˜es 3.3.2 e 3.3.3 respectivamente, tem por base a extracc¸a˜o de
caracter´ısticas tri-dimensionais do objecto ou do movimento da caˆmara. Estas carac-
ter´ısticas sa˜o definidas como a localizac¸a˜o tri-dimensional do objecto no mundo, i.e. a sua
pose relativamente a` caˆmara (cuja estimac¸a˜o necessita do conhecimento pre´vio do modelo
do objecto), e a rotac¸a˜o e translac¸a˜o da caˆmara durante o seu movimento (movimento
tri-dimensional da caˆmara no mundo).
No presente cap´ıtulo ira˜o ser apresentadas as ferramentas de visa˜o por computador, ne-
cessa´rias ao desenvolvimento e aplicac¸a˜o das te´cnicas de controlo visual de roboˆs manipula-
dores apresentadas na presente tese. Assim na secc¸a˜o 2.1 sa˜o apresentados os fundamentos
10 CAPI´TULO 2. VISA˜O POR COMPUTADOR
teo´ricos de geometria projectiva. Em seguida, na secc¸a˜o 2.2 e´ dado eˆnfase a` modelac¸a˜o de
caˆmaras, utilizando a transformac¸a˜o perspectiva total, a transformac¸a˜o perspectiva fraca
e a transformac¸a˜o para-perspectiva. A geometria epipolar e´ apresentada na secc¸a˜o 2.3,
relativamente a transformac¸o˜es que se referem a objectos no plano (homografias) e a trans-
formac¸o˜es gene´ricas (matriz essencial e fundamental). Na secc¸a˜o 2.4 sa˜o apresentados os
algoritmos utilizados para extrair as primitivas do objecto na imagem e para o ca´lculo
da pose, ambas utilizadas na presente tese. E´ ainda apresentado, na secc¸a˜o 2.5, o algo-
ritmo utilizado para o seguimento das caracter´ısticas do objecto durante o controlo visual.
2.1 Geometria Projectiva
A presente secc¸a˜o apresenta os fundamentos teo´ricos de geometria projectiva que sera˜o
usados nos cap´ıtulos e secc¸o˜es seguintes. A teoria subjacente a` geometria projectiva esta´
perfeitamente consolidada na comunidade cient´ıfica, como descrito em [39, 59, 131].
A presente secc¸a˜o tem in´ıcio com a descric¸a˜o das propriedades ba´sicas da geometria pro-
jectiva, tais como as noc¸o˜es de espac¸o projectivo e transformac¸a˜o projectiva, ou colineac¸a˜o.
A geometria projectiva sera´ tambe´m utilizada para obter o modelo perspectivo da caˆmara.
Definic¸a˜o 1 (Espac¸o Afim e Espac¸o Projectivo) O conjunto de pontos parametri-
zado por um conjunto de vectores, de dimensa˜o n (x1, ..., xn)T ∈ R n e´ denominado Espac¸o
Afim (Euclideano). O conjunto de pontos representados por um vector de dimensa˜o n+1
(x1, ..., xn, xn+1)T e´ denominado Espac¸o Projectivo P n se a seguinte condic¸a˜o e proprie-
dade forem consideradas:
1. Pelo menos uma das n+ 1 coordenadas do vector deve ser diferente de zero.
2. Os dois vectores (x1, ..., xn, xn+1)T e (λx1, ..., λxn, λxn+1)T , representam o mesmo ponto
para qualquer λ 6= 0.
Os elementos xi, (i = 1, ... , n+1) de um espac¸o projectivo sa˜o usualmente denominados
2.2. MODELAC¸A˜O DA CAˆMARA 11
de coordenadas homoge´neas ou coordenadas projectivas. O espac¸o afim R n pode ser consi-
derado como estando contido no espac¸o projectivo P n utilizando o seguinte mapeamento
injectivo cano´nico (x1, ..., xn)T −→ (x1, ..., xn, 1)T . Inversamente, e´ poss´ıvel recuperar as
coordenadas afins de um ponto a partir das suas coordenadas homoge´neas utilizando o
seguinte mapeamento:
(
x1 , ... , xn+1
)T .=
(
x1
xn+1 , ... ,
xn
xn+1 , 1
)T
−→
(
x1
xn+1 , ... ,
xn
xn+1
)T
(2.1)
em que .= denota uma igualdade a menos de um escalar, propriedade das coordenadas
homoge´neas. Se a u´ltima coordenada de um ponto x˜ ∈ P n e´ nula, i.e. xn+1 = 0 enta˜o x˜
e´ denominado um ponto no infinito.
Definic¸a˜o 2 (Colienac¸a˜o) Uma transformac¸a˜o linear ou colineac¸a˜o num espac¸o projec-
tivo P n e´ definida por uma matriz A, na˜o-singular e de dimensa˜o (n+ 1)× (n+ 1).
A matriz A caracteriza-se por mapeamento invert´ıvel de P n nele pro´prio e e´ definida a
menos de um escalar diferente de zero. Usualmente e´ representada por λy˜ = Ax˜.
2.2 Modelac¸a˜o da Caˆmara
O modelo mais usado em visa˜o por computador para modelar uma caˆmara e´ o modelo de
caˆmara pontual, pinhole camera model, como representado na figura 2.2. E´ um modelo
simples e eficaz para modelar a grande maioria de caˆmaras existentes no mercado. Con-
sidera que os raios de luz emitidos ou reflectidos por um dado objecto passam todos por
um ”furo”, pinhole, sendo projectados numa superf´ıcie plana, i.e. plano da imagem.
O modelo de caˆmara pontual consiste num plano pi, o plano da imagem, e um ponto no
espac¸o euclideano c, o centro da projecc¸a˜o. A distaˆncia entre o plano da imagem e o
centro de projecc¸a˜o e´ denominada como distaˆncia focal, f . A linha que passa pelo centro
de projecc¸a˜o e e´ perpendicular ao plano da imagem e´ denominada como eixo o´ptico. A
12 CAPI´TULO 2. VISA˜O POR COMPUTADOR
Figura 2.2: Formac¸a˜o da imagem com o modelo da caˆmara pontual.
intersecc¸a˜o entre o eixo o´ptico e o plano da imagem e´ um ponto denominado o centro
da imagem. O referencial ortonormado da caˆmara e´ ainda definido atrave´s do centro de
projecc¸a˜o e pelo eixo o´ptico que coincide com o eixo Z do referido referencial. A utilizac¸a˜o
da geometria projectiva permite que o modelo de projecc¸a˜o perspectiva seja descrito por
uma relac¸a˜o linear, tornando-o mais simples de trabalhar. Assim, uma caˆmara pode ser
descrita atrave´s do mapeamento projectivo linear entre o espac¸o projectivo P 3 e P 2.
2.2.1 Projecc¸a˜o Perspectiva
O modelo da caˆmara pontual associado a uma projecc¸a˜o perspectiva, mapeia um ponto
gene´rico no espac¸o euclideano, aqui expresso em coordenadas homoge´neas no referencial
do mundo ”0”, 0x˜ = ( X Y Z 1 )T , num ponto na imagem em coordenadas me´tricas
m˜ = ( x , y , 1 )T e em coordenadas da imagem [pixel ] p˜ = ( u , v , 1 )T :
λm˜ = [ cR0 ct0
]
·
0x˜ (2.2)
p˜ = K · λm˜ (2.3)
2.2. MODELAC¸A˜O DA CAˆMARA 13
Note-se que a equac¸a˜o (2.2) e a definic¸a˜o de coordenadas me´tricas na imagem se refere a
uma caˆmara normalizada, i.e. com distaˆncia focal unita´ria.
A matriz cR0 de dimensa˜o (3× 3) e o vector ct0 de dimensa˜o (3× 1) descrevem respecti-
vamente, a rotac¸a˜o e a translac¸a˜o entre os referenciais do mundo e da caˆmara. Generica-
mente:
R =


i
T
j
T
kT

 t =


tx
ty
tz

 (2.4)
A matriz K de dimensa˜o (3 × 3) depende dos paraˆmetros internos da caˆmara, i.e. os
paraˆmetros intr´ınsecos :
K =


f · ku f · kθ u0
0 f · kv v0
0 0 1

 (2.5)
Os paraˆmetros ku e kv definem factores de escala ao longo das direcc¸o˜es horizontal e
vertical na imagem. Adicionalmente o paraˆmetro kθ define a distorc¸a˜o entre as mesmas
direcc¸o˜es. Usualmente a origem das coordenadas da imagem na˜o se encontra no centro da
imagem, mas sim no canto superior esquerdo. Assim, e´ necessa´rio efectuar a respectiva
translac¸a˜o, atrave´s das coordenadas do centro da imagem, u0 e v0. A distaˆncia focal f foi
ja´ definida anteriormente. Define-se ainda a matriz de projecc¸a˜o perspectiva total P:
P = K · [ cR0 ct0
]
(2.6)
2.2.2 Projecc¸a˜o Perspectiva Fraca e Para-perspectiva
Nesta sub-secc¸a˜o e´ apresentado um modelo simplificado da projecc¸a˜o perspectiva to-
tal. Este modelo e´ uma boa aproximac¸a˜o da projecc¸a˜o perspectiva total quando o
14 CAPI´TULO 2. VISA˜O POR COMPUTADOR
Figura 2.3: Representac¸a˜o gene´rica da projecc¸a˜o perspectiva de pontos no referencial do
objecto, directamente no plano da imagem.
ponto/objecto se encontra na vizinhanc¸a do eixo o´ptico da caˆmara. Este modelo sera´
utilizado na sub-secc¸a˜o 2.4.2.
Considerando um objecto no espac¸o euclideano ao qual esta´ associado um referencial
ortonormado ”o” com origem em xo, e seja xi um ponto desse objecto, ver figura 2.3, o
correspondente ponto na imagem em coordenadas me´tricas pode ser determinado pelas
equac¸o˜es:
xi =
i ·
opi + tx
k · opi + tz
(2.7)
yi =
j ·
opi + ty
k · opi + tz
(2.8)
em que os vectores i, j,k definem a rotac¸a˜o entre o referencial da caˆmara (c) e o do objecto
(o), e os escalares tx, ty, tz definem o respectivo vector de translac¸a˜o.
Dividindo o numerador e o denominador das duas equac¸o˜es anteriores por tz e introdu-
2.2. MODELAC¸A˜O DA CAˆMARA 15
zindo as seguintes notac¸o˜es:
• is = i/tz e´ a primeira linha da matriz de rotac¸a˜o escalada com a terceira componente
do vector de translac¸a˜o;
• js = i/tz e´ a segunda linha da matriz de rotac¸a˜o escalada com a terceira componente
do vector de translac¸a˜o;
• xo = tx/tz e yo = ty/tz sa˜o as coordenadas me´tricas do ponto po na imagem;
• εi = k·
opi
tz
.
as equac¸o˜es (2.7) (2.8) podem ser reescritas da seguinte forma:
xi =
is ·
opi + xo
1 + εi
(2.9)
yi =
js ·
opi + yo
1 + εi
(2.10)
ou ainda:
xi(1 + εi)− xo = is · opi (2.11)
yi(1 + εi)− yo = js · opi (2.12)
A partir das equac¸o˜es anteriores e´ poss´ıvel proceder a aproximac¸o˜es no modelo perspectivo
global, i.e. obter um modelo perspectivo fraco (utilizado no algoritmo de Dementhon [33])
e um modelo paraperspectivo (utilizado em [67]).
Perspectiva Fraca
O modelo perspectivo fraco assume que os pontos que caracterizam o objecto se encontram
num plano paralelo ao plano da imagem e que passa pelo eixo o´ptico da caˆmara. Esta
aproximac¸a˜o e´ equivalente a:
1
1 + εi
≈ 1 (2.13)
16 CAPI´TULO 2. VISA˜O POR COMPUTADOR
Com esta aproximac¸a˜o, as equac¸o˜es 2.9 e 2.10 podem ser reescritas:
(xi)f − xo = is · opi (2.14)
(yi)f − yo = js · opi (2.15)
em que (xi)f e (yi)f significam os valores aproximados pela transformac¸a˜o perspectiva
fraca das coordenadas me´tricas do ponto xi, na imagem. Atrave´s das equac¸o˜es (2.11) e
(2.15), obte´m-se a relac¸a˜o entre as transformac¸o˜es perspectivas fraca e total:
(xi)f = xi(1 + εi) (2.16)
(yi)f = yi(1 + εi) (2.17)
Uma caracter´ıstica importante desta aproximac¸a˜o e´ o ser va´lida, sempre que o objecto
esteja na vizinhanc¸a do eixo o´ptico [67].
Para-perspectiva
A transformac¸a˜o para-perspectiva e´ vista como uma aproximac¸a˜o de primeira ordem da
transformac¸a˜o perspectiva total, [67]. Esta aproximac¸a˜o e´ equivalente a:
1
1 + εi
≈ 1− εi (2.18)
Com esta aproximac¸a˜o, as equac¸o˜es (2.9) e (2.10) podem ser reescritas:
(xi)p − xo =
is − xok
tz
·
opi (2.19)
(yi)p − yo =
js − yok
tz
·
opi (2.20)
em que (xi)p e (yi)p significam os valores aproximados pela transformac¸a˜o para-perspectiva