Stima della volatilità per processi di diffusione

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Nel caso delle opzioni si verifica che il coefficiente più importante, quello da cui 
dipende la forza del modello, è la diffusione mentre la deriva risulta del tutto ininfluente 
(in virtù di alcune condizioni di non arbitraggio). 
La stima della deriva può basarsi su una letteratura cospicua, sia per le specificazioni 
parametriche sia per quelle non parametriche: per la diffusione lo studio della stima non 
parametrica è nato solamene agli inizi degli anni '90 con una serie di articoli della 
ricercatrice francese Danielle Florens-Zmirou. 
È importante sottolineare l'importanza di un algoritmo di stima non parametrica: la 
costruzione di un modello si basa su studi teorici che mirano ad individuare 
caratteristiche invarianti di un fenomeno, per poi utilizzare le stesse per la previsione del 
comportamento futuro. Nel caso del coefficiente di diffusione, si cerca di individuare 
una famiglia di funzioni dipendenti da uno o più parametri, tra le quali si trovi quella 
vera (quella che la natura ha selezionato per guidare l'evoluzione del modello). Spesso 
la vera funzione (ammesso che esista), non ha una specificazione funzionale così 
semplice da poter essere ingabbiata in una manciata di parametri. La stima non-
parametrica non pone (quasi) nessuna limitazione alla forma del coefficiente incognito, 
in modo da adeguarsi completamente alla scelta operata dalla natura. 
Il guadagno in termini di adeguamento alla realtà non è privo di conseguenze e 
controindicazioni: nel caso delle opzioni è possibile utilizzare un modello parametrico 
sull'andamento del valore dell'azione sottostante per la determinazione di un prezzo 
equo. Se il modello prevede invece una diffusione non-parametrica si può anche 
verificare la situazione di non determinabilità di un prezzo equo, sia per l'estrema 
difficoltà del calcolo, sia per un'effettiva inesistenza. 
Campionamento continuo 
Per la costruzione di un modello matematico che utilizzi i processi di diffusione è 
necessario fare l'ipotesi che esso sia continuo, ovvero che la traiettoria che lo 
rappresenta sia il grafico di una funzione continua. Molto spesso questa è una forzatura, 
ma permette una notevole semplificazione dell'apparato teorico necessario; l'alternativa 
è utilizzare processi che avanzino a salti, come le catene di Markov. 
La decisione di considerare un particolare fenomeno come continuo, si riflette 
pesantemente sul campionamento necessario per la costruzione della serie storica dei 
valori: ad un processo continuo dovrebbe corrispondere un campionamento altrettanto 
continuo. Tale tipo di campionamento non è realizzabile con gli strumenti a nostra 
disposizione, che possono raggiungere un grado di precisione molto elevato, ma pur 
sempre nell'ambito del discreto. 
Le osservazioni sul prezzo di mercato di un'azione possono avvenire a distanza di 
minuti o secondi l'una dall'altra, ma non potranno mai essere considerate come 
costituenti un campionamento continuo del fenomeno. 
Proprio per questo motivo è necessario sviluppare un impianto teorico che tenga conto 
delle limitazioni imprescindibili cui si va incontro formulando l'ipotesi dell'evoluzione 
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continua. Nel caso della stima della volatilità, un ipotetico campionamento continuo 
conterrebbe in sé tutte le informazioni necessarie per una stima esatta dello stesso 
coefficiente: esiste infatti una relazione deterministica che lega le osservazioni 
(continue) di un processo di diffusione al suo coefficiente omonimo. Sostanzialmente 
non sarebbe più necessaria alcuna procedura di stima: il coefficiente sarebbe conosciuto 
in misura certa, e per di più con un campione di ampiezza piccola a piacere (per una 
stima in un solo punto). 
È stato quindi analizzato il problema della stima e della specificazione della forma 
funzionale del coefficiente di diffusione nel caso sia disponibile una serie continua di 
osservazioni, con particolare attenzione all'implementazione degli stessi per un 
campionamento discreto. 
La stima con osservazioni continue richiede l'operazione matematica di limite e di 
derivata, per trovare la variazione quadratica prima e il coefficiente di diffusione poi. 
Entrambe le operazioni suddette possono essere approssimate per adeguarsi al limitato 
numero di osservazioni disponibili, ma se per la variazione quadratica si ottengono 
risultati soddisfacenti, l'errore di stima del coefficiente di diffusione è troppo elevato per 
poter accettare questo sistema. 
La motivazione principale di questa differenza di comportamento sta nel fatto che il 
coefficiente di diffusione è la derivata della variazione quadratica e dipende quindi da 
variazioni infinitesimali di quest'ultima. Come è stato annunciato, l'approssimazione 
della variazione quadratica è buona per un'analisi dell'evoluzione, ma non per la 
determinazione esatta della sua struttura infinitesimale. 
È stata analizzata anche una semplice verifica della specificazione funzionale del 
coefficiente di diffusione; le due principali possibilità sono rappresentate 
dall'eteroschedasticità condizionata e incondizionata: 
• l'eteroschedasticità condizionata indica che il coefficiente di diffusione dipende 
dallo stato del processo. Vi è un legame tra la posizione e l'intensità della 
componente stocastica: tipicamente si può immaginare un legame diretto, ovvero 
maggiore è il valore di un titolo, più forti saranno le oscillazioni cui va incontro; 
• l'eteroschedasticità incondizionata si presenta quando la relazione lega il tempo e la 
diffusione: si possono individuare periodi di più forte oscillazione, seguiti da 
evoluzione più regolare o viceversa. 
La situazione più interessante riguarda la contemporanea dipendenza dal tempo e dallo 
stato, ma è quella che presenta anche il maggior numero di problemi a livello teorico. In 
queste situazioni è necessaria una più accurata analisi del fenomeno sottostante, per 
specificare la relazione tra il legame dal tempo e il legame dallo stato, lasciando la più 
ampia libertà a questi ultimi due. 
La stessa situazione si presenta quando si vuole stimare il coefficiente di diffusione di 
un processo bidimensionale (o a più dimensioni) con eteroschedasticità condizionata; è 
possibile stimare il valore della diffusione solo in corrispondenza degli stati visitati: è 
come se della superficie di una montagna potessimo conoscere solamente l'altimetria di 
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un particolare sentiero (quello la cui proiezione coincide con la proiezione della 
traiettoria osservata). 
Campionamento discreto 
Successivamente è stata presa in considerazione la stima utilizzando solo un numero 
finito di osservazioni. Anche qui è stato necessario studiare separatamente le due 
principali situazioni di dipendenza dal tempo e dallo stato del coefficiente di diffusione. 
Per la determinazione delle proprietà statistiche degli stimatori è necessario ipotizzare 
una qualche sorta di asintoticità, ovvero una successione di stime, ognuna delle quali 
dispone di un maggior numero di osservazioni rispetto alle precedenti. Non si tratta di 
richiedere un campionamento continuo, quanto di disporre (al limite) di un'infinità 
numerabile di osservazioni. Anche questa è una situazione irrealizzabile, ma, se 
applicata su un numero finito di dati, offre risultati notevolmente migliori rispetto al 
procedimento basato su limite, derivata e variazione quadratica. 
Sebbene non sia disponibile un risultato che riguardi congiuntamente le situazioni di 
eteroschedasticità condizionata e incondizionata, la struttura dei due stimatori è simile: 
si tratta di una media ponderata del quadrato degli incrementi del processo tra due 
successivi istanti di osservazione. 
Attraverso il confronto della stima effettuata con entrambi i sistemi, oppure con il valore 
della diffusione corrispondente ad una specificazione da testare, è possibile costruire 
procedure per verificare una particolare formulazione funzionale, sia parametrica che 
non parametrica, che permettono di individuare gli strumenti di stima più adeguati ad 
ogni situazione. 
Eteroschedasticità incondizionata 
Nel caso della stima della diffusione in un determinato istante temporale, i pesi della 
media sono dati da una funzione della distanza, da tale istante, delle osservazioni 
considerate. Tipicamente la funzione, chiamata nucleo, dipende inversamente dal valore 
della distanza: più l'osservazione è lontana dall'istante base, minore sarà il suo 
contributo alla media. 
La scelta del nucleo influenza il comportamento asintotico dello stimatore, 
modificandone la sua varianza, ma, in ambito finito, permette di ottenere stime del 
coefficiente di diffusione più o meno regolari (nel senso della continuità). Alcune 
tecniche di stima della deriva, che si basano su un legame esatto tra i due coefficienti e 
la densità di transizione, richiedono un coefficiente di diffusione stimato derivabile. 
Con un numero finito di osservazioni assume una rilevanza fondamentale un altro 
parametro legato al nucleo: la finestra, una sorta di scala, che non modifica la forma del 
nucleo, ma il peso relativo della varie distanze. La finestra agisce come una sorta di 
filtro, la stima non è influenzata da oscillazioni di periodo inferiore al valore della 
finestra. 
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Processi multidimensionali 
È stato analizzato anche il problema della stima della matrice di diffusione per un 
processo multidimensionale. È questo il caso di più quantità economiche, le cui 
componenti aleatorie potrebbero avere un certo legame. Si tratta di verificare se la 
suddetta matrice è diagonale, oppure presenta valori non nulli per alcune covarianze. 
Tale informazione è senza dubbio preziosa nei modelli in cui è importante l'evoluzione 
relativa di due o più prezzi, ad esempio le opzioni basate su più titoli. 
Per questa situazione abbiamo dimostrato come le stime siano sempre coerenti, nel 
senso che la matrice di diffusione stimata si comporta come una vera e propria matrice 
di varianza e covarianza: è sempre semidefinita positiva (anche al finito, non solo 
asintoticamente). 
La struttura dello stimatore rispecchia quella dei processi monodimensionali: per la 
stima della covarianza, i valori che compaiono nella media ponderata sono il prodotto 
degli incrementi delle due componenti coinvolte. 
Etersochedasticità condizionata 
Per quanto riguarda la stima della diffusione quando il coefficiente relativo dipende 
dallo stato del processo piuttosto che dal tempo, i pesi per il calcolo della media non 
tengono più conto della distanza temporale tra gli istanti di osservazione e la base dalla 
stima, bensì prendono in considerazione la distanza spaziale tra lo stato del processo in 
corrispondenza delle varie osservazioni e lo stato in cui si effettua la stima. 
Questa differenza risulta sostanziale nella implementazione concreta di una procedura di 
stima. Ipotizziamo una situazione in cui, con il passare del tempo, siano disponibili 
sempre più osservazioni: per il caso di eteroschedasticità condizionata, ogni successivo 
dato entrerà nel calcolo di tutti i valori stimati, con pesi diversi. Se il coefficiente di 
diffusione dipende dal tempo, il contributo dato dalle nuove osservazioni sarà via via 
minore per le stime più antiche, mentre sarà massimo per quelle attuali: è comunque 
individuabile un limite oltre il quale il peso assegnato è nullo (tenendo conto anche dei 
limiti di calcolo) o del tutto trascurabile. 
Utilizzando un teorema sulla convergenza verso il tempo locale di alcuni funzionali 
degli incrementi di un processo di diffusione, è stato proposto un nuovo stimatore, non 
già del coefficiente di diffusione del processo, ma di quello che appare nell'equazione 
differenziale stocastica. 
Nella sua formulazione più generale, tiene conto anche dell'ampiezza dei singoli 
intervalli di osservazione, ma per confrontarlo con la struttura di quelli classici, è 
opportuno considerare un campionamento regolare: si tratta ancora di una media 
ponderata ma, in questo caso, gli incrementi sono in valore assoluto; è necessaria infine 
l'utilizzo di un fattore moltiplicativo per assicurarne la consistenza. 
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Modello dinamico 
L'ultima situazione di stima riguarda la possibilità che il coefficiente di diffusione sia a 
sua volta regolato da un'equazione differenziale stocastica: un processo bidimensionale, 
la cui seconda componente non è però direttamente osservabile, si tratta di un tipico 
problema di filtro. 
Lo studio di questo modello è avvenuto secondo due diverse direzioni complementari: 
• innanzitutto è importante ricavare la traiettoria della diffusione, a partire 
dall'influsso che essa ha sulla componente principale del sistema. Si verifica che lo 
stimatore basato sul nucleo, e valido nel caso di eteroschedasticità incondizionata, 
continua a fornire stime consistenti; 
•
 altre volte si effettuano ipotesi sull'equazione che regola la diffusione, specificando 
una struttura parametrica dei coefficienti. Partendo da un articolo che trattava un 
caso particolare (sulla dipendenza della volatilità dalla seconda componente), è stato 
raggiunto un risultato valido per una più generale dipendenza, senza peraltro 
imporre condizioni proibitive sui coefficienti incogniti. Questo sistema permette di 
stimare i momenti della distribuzione invariante della volatilità, con i quali è poi 
possibile ricavare i parametri incogniti, invertendo il sistema che lega i primi ai 
secondi.  
È stato applicato quest'ultimo procedimento, per la stima dei parametri della volatilità, 
ad un modello proposto da Heston nel 1993. 
La stima dei primi due momenti permette di stimare anche la varianza della 
distribuzione invariante, ma questa volta è possibile, data la particolare struttura dello 
stimatore, ottenere risultati negativi al finito, sebbene asintoticamente essi scompaiano. 
Simulazioni numeriche 
Parallelamente ad ogni risultato teorico raggiunto, è stata presenta una simulazione 
numerica del comportamento del processo di stima in questione: sono state generate 
traiettorie di processi di diffusioni, con coefficienti scelti a piacere, da cui sono state 
estratte un migliaio di osservazioni che hanno composto il campione. A partire da questi 
dati è stata realizzata la stima del coefficiente di diffusione, che è stata confrontata con 
il valore vero (noto) dello stesso. 
Implementazione degli stimatori 
Un momento molto importante di tutto il lavoro è stata senza dubbio la realizzazione di 
un software specifico, per l'implementazione degli algoritmi e delle procedure di stima 
studiate a livello teorico. 
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Tutte le simulazioni sono state realizzate con uno dei più diffusi fogli elettronici, dotato 
tra l'altro di una buona capacità di calcolo e di generazione di grafici, mediante una serie 
di funzioni appositamente scritte, ognuna per una diversa situazione di stima. 
L'aggiunta realizzata ha permesso di calcolare molto agevolmente le stime della 
diffusione per i più disparati modelli. È inoltre stata progettata in modo da poter essere 
utilizzata anche al di fuori di questa tesi. 
In uno degli ultimi paragrafi della tesi è possibile trovare una dettagliata descrizione 
delle funzioni disponibili e del loro utilizzo, insieme ad una tabella che indicativamente 
riporta i tempi necessari per il calcolo delle stime più complesse (mai più di due secondi 
per un migliaio di stime su altrettante osservazioni). 
Generazione di traiettorie simulate 
Anche per la generazione delle traiettorie sulle quali provare a tavolino il 
comportamento degli stimatori, è stato realizzato un software specifico, questa volta un 
programma a se stante, ma in grado di esportare molto rapidamente i dati generati, verso 
i più diffusi formati. 
Il programma permette di risolvere numericamente un sistema di equazioni differenziali 
stocastiche: gli schemi di simulazione disponibili variano a seconda della complessità 
del sistema. Si tratta in ogni caso di schemi espliciti (onde evitare l'onerosissimo calcolo 
delle derivate) con ordine di convergenza da 0.5 a 1.5. 
Il programma permette infine, attraverso alcuni schemi deboli, di risolvere 
(puntualmente) equazioni alle derivate parziali paraboliche, delle quali si conoscano i 
coefficienti. 
Analisi del comportamento degli stimatori 
Con l'utilizzo dei due programmi appena descritti è stato verificato il comportamento di 
tutti gli stimatori proposti di fronte a osservazioni provenienti da processi di diffusione 
con coefficienti noti. 
È stata prestata particolare attenzione alla scelta del nucleo e all'ampiezza della finestra. 
In presenza di un coefficiente di diffusione molto variabile nel tempo (ad esempio in un 
modello a volatilità stocastica) è necessario scegliere un piccolo valore per la finestra; 
tale scelta non è però ottimale in occasione di coefficienti poco variabili, per i quali è 
opportuno scegliere valori più elevati. 
Dal momento che non è possibile conoscere in anticipo la struttura del coefficiente di 
diffusione, occorre confrontare le stime effettuate con finestre diverse, per individuare 
le vere oscillazioni ed eliminare quelle dovute esclusivamente alla limitata disponibilità 
di osservazioni e a imperfezioni del modello. 
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Il calcolo del valore equo di un'opzione europea 
Come detto sopra, un modello economico in cui maggiormente si possono essere 
utilizzati i processi di diffusione è sicuramente quello relativo alla determinazione del 
prezzo equo di un'opzione basata su un'azione. 
Per la costruzione del modello è stato utilizzata una generalizzazione del modello di 
Black & Scholes, un moto browniano geometrico in cui la volatilità è una funzione 
deterministica del tempo. 
Dopo aver reperito le quotazioni dell'azione della Banque Nationale de Paris degli 
ultimi anni, e l'andamento del prezzo di mercato di una opzione call, con scadenza a 
dicembre 1998, è stato calcolato il prezzo equo teorico nell'ipotesi di volatilità costante 
oppure variabile nel tempo. 
Il confronto tra le due situazioni è stato condotto sia sull'approssimazione del prezzo di 
mercato, sia sulla gestione di un portafoglio autofinanziante, per la replica del valore 
stesso dell'opzione. 
Nel primo caso è stata migliore l'approssimazione effettuata mediante la classica 
formula di Black & Scholes, mentre sulla costruzione di un portafoglio autofinanziante 
si è rivelato di gran lunga più accurato il modello a volatilità mobile, quasi ad indicare 
che il vero prezzo equo fosse proprio quello calcolato in seguito alla stima non 
parametrica della volatilità. 
Occorre sottolineare che, per non complicare troppo il modello, non si è tenuto 
volontariamente conto di quelli che potrebbero essere i costi di transizione nella 
compravendita di azioni.