2
si approfondisce il problema della resistenza a taglio di un pannello in muratura fibrorinforzato in
cui il nastro in FRP viene disposto lungo le diagonali del pannello murario.
In particolare viene presentato, nel proseguo, il meccanismo resistente offerto dal sistema
muratura-FRP in cui si adotta una modellazione monodimensionale per entrambi gli elementi
costituenti il sistema.
In base a tale modello viene valutata la portanza a taglio di un pannello con e senza rinforzo. I
risultati saranno successivamente confrontati con quelli ottenuti mediante simulazioni numeriche.
Allo scopo di rendere il lavoro più completo si presentano anche dei capitoli introduttivi in cui
vengono riportate le caratteristiche principali del materiale muratura e quelle dei materiali compositi
fibrorinforzati.
3
CAP. 2
LE MURATURE
2.1 Premesse
Per costruzione muraria si intende il raggruppare, sovrapponendo gli uni agli altri con un certo
ordine, elementi lapidei e/o in laterizio, in modo da ottenere un complesso dotato di una certa
stabilità. Da questa semplicissima definizione, si comprende come le costruzioni murarie siano
esistite sin dai tempi più remoti. Non è facile stabilire una classificazione delle costruzioni murarie
che si possa basare, sia sulla disposizione e dimensione degli elementi, sia sulla presenza o meno di
materiale cementante.
Le costruzioni murarie senza materiale cementante (muri a secco) affidano la loro stabilità solo
all’equilibrio statico degli elementi che lo compongono. Nelle costruzioni murarie con materiale
cementante la stabilità è, invece, aumentata dalla forza di coesione, che questa esercita fra gli
elementi costituenti, consentendo così una maggiore libertà nel costruire.
Il primo muro fu costruito da blocchi lapidei informi ed irregolari, posti uno sull’altro con strati di
allettamento formati da fango e scaglie più piccole.
Progredita la tecnica nel tagliare e lavorare la pietra in blocchi, le costruzioni furono costituite da
massi regolari sovrapposti. La stabilità era affidata unicamente alla massa dei blocchi lapidei
adoperati: per ottenere muri dotati di maggiore stabilità, si richiedevano notevoli dimensioni in
pianta.
In Egitto ed in Mesopotamia, si diffuse largamente l’uso dei mattoni, quasi sempre crudi e seccati al
sole, rinforzati con paglia, per conferire al manufatto migliori prestazioni e diminuire gli sfridi di
materiale per fenomeni di eccessivo ritiro: questi mattoni di argilla e paglia sono da considerarsi il
primo materiale composito fibrorinforzato. Con il perfezionarsi degli arnesi di lavoro, si rese più
facile la lavorazione della pietra e quindi del marmo.
Alla fine del IV secolo a.C. fa la sua prima apparizione la calce. Non si conosce una data certa della
sua introduzione nell’arte del costruire ma è certo che la si trova in uso a Pompei attorno al 300
a.C., ricavata dai monti vicini. Si può dire che, con l’introduzione della calce, il tradizionale sistema
di costruire viene rivoluzionato: non più grandi blocchi, ma blocchi più piccoli, facili da
maneggiare, che potevano essere cementati, in modo da formare una massa muraria compatta e
solida e che consentiva una maggiore libertà nell’arte stessa del costruire.
4
2.2 Il materiale muratura
La muratura è un tipico materiale composito i cui elementi costituenti (malta – laterizio o pietrame)
hanno caratteristiche meccaniche molto diverse tra loro.
È ragionevole aspettarsi che le caratteristiche meccaniche della muratura siano intermedie a quelle
dei suoi due costituenti, cioè la malta e laterizio o pietrame.
Per ragioni di comodità rappresentativa, nel prosieguo si farà sempre riferimento a muratura di
laterizio
Fig. 2.1 Diagramma σ – ε della muratura
La muratura è un materiale fortemente anisotropo, in cui la resistenza dipende non dall’entità dei
carichi, ma anche dalla loro direzione. La diversa deformabilità della malta e del laterizio nella
muratura è causa dell’instaurarsi di auto tensioni, che, alle volte, risultano benefiche ai fini della
resistenza globale.
La prova sperimentale monoassiale di trazione – compressione, eseguita sul materiale muratura
(figura precedente), consente di fare le seguenti considerazioni:
a) entrambi i materiali costituenti la muratura presentano una resistenza a trazione molto
ridotta rispetto a quella a compressione;
b) il laterizio presenta valori di tensione di rottura (σ
r
) e modulo di elasticità normale (E) più
elevati di quelli della malta;
c) la malta presenta un campo di deformazione più ampio, rispetto a quello del laterizio; per
cui si può affermare che il laterizio presenta una rottura di tipo “fragile” mentre la malta di
tipo “duttile”.
5
Nella tabella seguente sono riportate le caratteristiche meccaniche dei due materiali costituenti
la muratura di laterizio.
Ovviamente, le caratteristiche meccaniche della malta e del laterizio dipendono fortemente sia
dai materiali naturali sia dalle procedure di confezionamento. In particolare, la resistenza della
malta è influenzata, in modo rilevante, dal tipo di legante e di dosaggio.
Caratteristiche meccaniche di malta e laterizio
Materiale Resistenza a
compressione
σ
rc
(MPa)
Resistenza a
trazione
σ
rt
(MPa)
Modulo di
elasticità
E (MPa)
Coefficiente di
Poisson ν
Malta 3 – 30 0.2 – 0.8 (8 – 20)x 10
3
0.10 – 0.35
Laterizio 6 –80 1.5 – 9 (15 – 25)x 10
3
0.10 -0.25
Il D. M. 20 – 11 – 1987, “Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli
edifici in muratura e per il loro consolidamento”, insieme ai decreti ed alle circolari sia
precedenti che successivi individua quattro classi di malta con le composizioni riportate nella
seguente tabella.
Classificazione della malta secondo le vigenti normative
Composizione in volume Classe
Cemento 325 Calce idraulica Sabbia
Resistenza a
compressione
σ
rc
(MPa)
M1 1 0 3 20
M2 1 0.5 4 10
M3 1 1 5 5
M4 1 2 9 -
Per stati si sollecitazione pluriassiali, il comportamento a rottura di malta e laterizio è descritto
dal criterio di Mohr – Coulomb espresso dalla relazione:
(2.1)
dove:
- σ è la componente normale del vettore tensione
φστ tgc −≤
6
- τ è la componente tangenziale del vettore tensione
- c è la costante di coesione del materiale
- Φ è l’angolo di attrito interno del materiale.
I punti che soddisfano il criterio di rottura di Mohr – Coulomb occupano la regione del piano σ – τ
delimitata dalle due rette inclinate di Φ e che incontrano l’asse delle tensioni tangenziali ad una
distanza c dall’origine; i due cerchi riportati nella sottostante figura sono corrispondenti alla rottura
per compressione e per trazione monoassiale.
Fig. 2.2 Criterio di rottura di Mohr – Coulomb nel piano (σ-τ)
Indicate con σ
rc
e σ
rt
rispettivamente la tensione di rottura a compressione e la tensione di rottura a
trazione, se si fa sistema tra le equazioni dei due cerchi e la relazione di Mohr – Coulomb, ri
ricavano le seguenti relazioni tra i parametri c, Φ e le tensioni di rottura σ
rc
e σ
rt
:
(2.2a)
(2.2b)
Si consideri, ora, l’equazione del generico cerchio di Mohr:
(2.3)
)sin1(
cos2
φ
φ
σ
−
=
c
rc
)sin1(
cos2
φ
φ
σ
+
=
c
rt
2
21
2
2
21
2
)(
2
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
σσ
τ
σσ
σ
7
dove σ
1
e σ
2
sono rispettivamente la massima e la minima tensione principale; le quantità σ e τ si
eliminano utilizzando la relazione di Mohr – Coulomb e le espressioni σ
rc
e σ
rt
, cosicché si ricava
l’espressione del criterio di Mohr – Coulomb, espresso in funzione delle tensioni principali:
(2.4)
Questa relazione è rappresentata nel piano (σ
1
, σ
2
) da un esagono irregolare(Fig. 2.3), i cui sei lati
corrispondono alle sei possibili situazioni che si verificano quando ciascuna delle tre tensioni
principali coincide con la massima o la minima tensione principale; si è definito in tal modo il
dominio di rottura per la muratura. Il criterio di rottura di Galileo pone, invece, un limite alle
tensioni principali massime e minime.
Il criterio di Mohr – Coulomb può essere considerato derivato dal criterio di Tresca applicato ai
materiali fragili (muratura), che presentano valori diversi per la resistenza a trazione e a
compressione. Il criterio di Mohr – Coulomb, invece di considerare una tensione tangenziale di crisi
costante ed indipendente dallo stato pensionale, pone un limite alla tensione tangenziale (τ)
funzione della corrispondente tensione normale (σ). La resistenza aumenta all’aumentare della
compressione normale, così che il dominio di resistenza, nel piano di Mohr, è rappresentato da una
striscia che si allarga nel senso delle tensioni negative (Fig. 2.2). Se si taglia tale dominio con due
rette verticali che rappresentano gli stati di crisi uniassiali di trazione e compressione si ottiene un
trapezio che riproduce in modo soddisfacente gli stati di crisi nei materiali fragili.
Il criterio di Galileo, o della massima tensione normale per la muratura nello stesso piano, è
rappresentato da un dominio di resistenza quadrato (Fig. 2.3) .
Controllo tra i criteri di rottura di Mohr – Coulomb e di Galileo nel piano (σ
1
,σ
2
) con risultati sperimentali
1
21
≤−
rcrt
σ
σ
σ
σ
8
2.3 Comportamento a rottura per compressione assiale
Si consideri un macro elemento di una muratura in mattoni pieni, costituito da almeno quattro file di
laterizi e tre letti di malta, soggetto ad un carico di compressione σ perpendicolare ai letti di malta
(Fig. 2.4).
Fig. 2.4 Macro elemento murario soggetto a compressione assiale
Si suppone che lo spessore dell’elemento murario sia piccolo rispetto alle altre due dimensioni, in
modo da supporre uno stato di tensione piano con componenti nulle sulle giaciture ortogonali
all’asse z; l’asse z è, quindi, una direzione principale di tensione e le corrispondenti tensioni
principali nei materiali costituenti la muratura sono nulle:
(2.5)
dove gli apici L ed M sono riferiti rispettivamente al laterizio ed alla malta.
Inoltre, se supponiamo che la distribuzione delle tensioni lungo l’asse y sia costante, si può ritenere
che le tensioni verticali nella malta e nel laterizio abbiano uguale valore:
(2.6)
Nella direzione x, per l’equilibrio alla traslazione orizzontale si ha:
(2.7)
0==
M
z
L
z
σσ
σσσ ==
M
y
L
y
0=+
M
x
L
x
σγσ
9
dove con γ=H/h si è indicato il rapporto tra l’altezza H del laterizio e lo spessore h dei letti di malta.
Se si suppone che i materiali costituenti la muratura obbediscano al legame elastico, lineare,
omogeneo ed isotropo, i valori della tensione σ
x
M
nella malya possono essere ricavati uguagliando
per congruenza gli allungamenti lungo l’asse x:
(2.8)
Ponendo le seguenti quantità dimensionali
(2.9a)
(2.9b)
si ottiene:
(2.10a)
(2.10b)
Nel primo esempio di seguito riportato è illustrato un caso numerico per esaminare il diverso
comportamento del laterizio e della malta nella direzione x.
Esempio 1.
Si consideri una muratura di mattoni pieni sottoposta ad un carico di compressione σ perpendicolare
ai letti di malta. Siano noti i seguenti valori:
γ=H/h=5
α=2.40
β=1.80
ne deriva che i valori della tensione σ
x
L
nel laterizio e σ
x
M
nella malta valgono rispettivamente:
σ
x
L
=[(1- α)/(1+ βγ)] σ = -0,14σ
σ
x
M
=[- γ(1- α)/(1+ βγ)] σ= 0,70 σ
)(
1
)(
1
M
y
MM
x
M
L
y
LL
x
L
EE
συσσυσ −=−
L
M
M
L
E
E
ν
ν
α =
M
L
E
E
=β
σ
βγ
α
σ
+
−
=
1
1
L
x
σ
βγ
αγ
σ
)(
)(
+
−
−=
1
1
M
x
10
Da ciò si desume che il laterizio assorbe una trazione all’incirca pari al 14% del carico applicato e
nella ,alta una compressione dell’ordine del 70%.
Esempio 2.
In questo nuovo esempio numerico si esegue un calcolo a rittura per la muratura secondo lo schema
proposto da Hilsdorf, che si basa sulle due seguenti ipotesi:
a) i materiali costituenti la muratura (laterizio e malta) seguono il criterio di Mohr – Coulomb;
b) la malta è soggetta ad una compressione, anche lungo l’asse z, pari a quella lungo l’asse x,
cioè sia verificata la condizione σ
z
M
= σ
x
M
il criterio di Mohr – Coulomb, per i due materiali costituenti la muratura, può essere riscritto
come segue, relativamente alle direzioni x e z:
(2.1a)
(2.11b)
da qui introducendo la relazione
(2.12)
si ottengono due relazioni che nel piano (σ
x
L
, σ) sono rappresentate d due rette r
L
e r
M
che
intersecano gli assi coordinati rispettivamente nei punti
P
1
=(σ
rt
L
,0) e P
2
= 0,- σ
rc
L
)
e nei punti
P
3
=(-σ
rt
M
/γ,0) e P
2
= 0,- σ
rc
M
)
1=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
L
rc
L
rt
L
x
σ
σ
σ
σ
1=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
M
rc
M
rt
M
x
σ
σ
σ
σ
M
x
M
z
σσ =
11
Fig. 2.5 Rappresentazione del criterio di rottura nel piano (σ
x
L
,σ)
La retta r
c
rappresenta la retta di carico di equazione:
(2.13)
E l’intersezione (R) della retta r
c
con una delle due rette relative alla malta e al laterizione
determina la tensione di rottura σ
r
.
Esempio 3
Siano dati i seguenti valori di tensione di rottura a compressione e a trazione per il laterizio e per
la malta:
σ
rc
L
= 50 Mpa
σ
rt
L
= 3 Mpa
σ
rc
M
= 10 Mpa
σ
rt
M
= 1 Mpa
σ
βγ
α
σ
+
−
=
1
1
L
x
12
Come già ricordato in precedenza:
e andando a sostituire
dove il significato dei simboli α, β, è lo stesso ricordato precedentemente, pertanto si ottiene:
σ=-15.0 Mpa
Partendo invece, dalla seconda espressione
e tenuto conto che
L
x
M
x
γσσ −= dove σβγασ )1/()1( +−=
L
x
si ottiene
σ=1.67 Mpa
La rottura avviene per la crisi del laterizio e per una tensione σ superiore alla resistenza a
compressione della malta. Affinché la rottura avvenga per schiacciamento della malta, occorre
che la retta di carico r
c
abbia una pendenza molto forte e, cioè, che le tensioni σ
x
siano molto
ridotte.
Un fattore che porta a sovrastimare il carico di rottura è l’avere considerato la tensione σ
z
M
della
malta nella direzione z pari alla tensione σ
x
M
nella direzione x. La realtà sperimentale è diversa
dall’ipotesi considerata, poiché un effetto di compressione trasversale della malta è presente,
anche nella direzione z; e pertanto sono sufficienti minimi valori di questa compressione per
evitare che la rottura della malta preceda quella del laterizio.
Il modello di rottura descritto, anche se poco raffinato, consente di legittimare, dal punto di vista
teorico, i seguenti aspetti qualitativi del comportamento a rottura della muratura:
a) il collasso avviene per rottura a trazione del complesso malta – laterizio , e non per
schiacciamento dei giunti di malta;
1)//( =−
L
rc
L
rt
L
x
σσσσ
σβγασ )1/()1( +−=
L
x
1)//( =−
M
rc
M
rt
M
z
σσσσ
13
b) il miglioramento della malta non consente di apportare variazioni importanti del carico di
collasso (il carico di collasso è indipendente dalle caratteristiche della malta);
c) uno spessore eccessivo dei giunti di malta riduce notevolmente la resistenza della muratura,
in quanto si ha la riduzione del rapporto γ=H/h e, quindi, della pendenza della retta di carico
r
c
.(fig. 2.4)
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
