Metodologie di Analisi e Progetto per Filtri a Schiere di Linee TEM Accoppiate con Zeri di Trasmissione

Introduzione 2
impiegata in situazioni dove la selettivita del ltro e richiesta solo su un lato o anche
per rimuovere particolari frequenze nella curva di attenuazione. La risposta in fre-
quenza specicata non viene ottenuta dimensionando delle cavita, ma semplicemente
disponendo in maniera opportuna la schiera di linee all'interno della scatola metallica.
Nel caso di un ltro senza zeri di trasmissione, basta variare la distanza tra le astine,
poste in linea, per eettuare il progetto. Per ottenere uno zero di trasmissione, invece,
occorre disporre tre astine ai vertici di un triangolo e introdurre dei setti di lunghezza
ssa (mentre l'altezza puo essere variabile) per regolare il valore degli accoppiamenti.
Il numero di setti, la loro disposizione e la scelta delle variabili di progetto permet-
tono di realizzare diverse varianti della struttura ltrante `di base', costituita da una
tripletta di risonatori e da due setti. In questo lavoro vengono mostrate quelle piu
signicative, che riducono le dimensioni totali della struttura o che sfruttano possibili
simmetrie per ridurre le variabili di progetto.
Il metodo degli elementi al contorno viene impiegato per lo studio del comportamen-
to elettromagnetico della struttura; questo metodo, tramite il calcolo della matrice
capacita per unita di lunghezza, permette di valutare contemporaneamente tutti gli
accoppiamenti della struttura e quindi fornisce dei risultati di progetto piu accurati
della tecnica tradizionale, che considera solo due accoppiamenti alla volta.
Il Capitolo 1 tratta il progetto dei ltri a microonde con zeri di trasmissione; vengono
descritte la sintesi di una struttura ripiegata (folded) e la trasformazione topologica
che porta alla struttura in-line, la denormalizzazione del prototipo e la realizzazione
con linee accoppiate in congurazione comb.
Nel Capitolo 2 viene descritto il metodo degli elementi al contorno nelle sue generalita
e poi l'applicazione alla struttura considerata per il calcolo della matrice capacita per
unita di lunghezza; vengono presentati il concetto di quadratura per il calcolo numerico
delle equazioni integrali e il raggio equivalente per approssimare la sezione circolare
delle linee. Inne si estende lo studio della struttura al caso in cui questa presenti dei
Introduzione 3
setti.
Nel Capitolo 3 si descrive la struttura considerata in questo lavoro rispetto al ltro
a cavita multiaccoppiate, evidenziandone le dierenze; si presentano le topologie rea-
lizzabili con questa struttura e si giustica l'utilizzo dei setti per ottenere gli zeri di
trasmissione.
Il Capitolo 4 descrive le metodologie di progetto e di analisi del ltro, soermandosi
soprattutto sulla scelta delle variabili e sui valori a cui devono essere inizializzate, sia
nel caso di presenza che di assenza dei setti all'interno della struttura.
Il Capitolo 5 tratta nella prima parte la precisione del metodo, descritto nel Capitolo
2, per lo studio della schiera di linee TEM multiaccoppiate; nella seconda parte si
discutono invece alcuni esempi di ltri dimensionati con la procedura presentata in
questo lavoro. In particolare, dopo aver evidenziato l'impossibilita di ottenere zeri
di trasmissione senza l'introduzione dei setti, si danno degli esempi di strutture con
setti che realizzano zeri di trasmissione.
Capitolo 1
Generalita sui ltri a linee
accoppiate con risposta in
frequenza specicata
Nel progetto di ltri a microonde le speciche spesso richiedono che il ltro, oltre ad
avere un coeciente di ri
essione piccolo in banda passante, abbia anche una funzione
di trasferimento con una elevata ripidita dei fronti, cioe una banda di transizione mi-
nima tra banda passante e banda arrestata; questa si ottiene aumentando l'ordine del
ltro, ovvero il numero di elementi risonanti. Lo stesso risultato puo essere ottenuto
introducendo nella funzione di trasferimento zeri a frequenze nite immaginarie (zeri
di trasmissione), che permettono di avere nell'intorno di tali frequenze valori elevati
delle perdite di trasduzione; cio riduce la larghezza della banda di transizione, ovvero
rende i fronti piu ripidi dalla banda passante alla banda arrestata, senza dover au-
mentare l'ordine del ltro. Un altro vantaggio degli zeri di trasmissione e quello di
avere nei ltri di ricezione la maggior attenuazione possibile a frequenze particolari,
quali quelle dell'oscillatore locale e la frequenza immagine.
Come risultato, la funzione di trasferimento puo essere asimmetrica, in quanto l'alta
selettivita del ltro e tipicamente richiesta solo su un lato della banda passante.
Il progetto di ltri passa-banda, con o senza zeri di trasmissione, quali sono quelli
considerati in questo lavoro, si eettua a partire da un prototipo normalizzato passa-
4
Capitolo 1 - Generalita sui ltri a linee accoppiate 5
basso, in cui la banda passante e la resistenza del generatore hanno valore unitario.
Quindi si denormalizza il prototipo, passando alla corrispondente caratteristica passa-
banda. Di questa, cos come del resto della caratteristica passa-basso, si puo dare una
rappresentazione di tipo serie o di tipo parallelo, a seconda che si utilizzino invertitori
di impedenza o di ammettenza. La scelta di una delle due rappresentazioni dipende
dalla struttura a microonde impiegata per il ltro (per le strutture ltranti studiate
in questo lavoro, si considereranno solo invertitori di ammettenza). Inne si realizza
ciascun elemento concentrato della caratteristica passa-banda con un componente
a microonde, il cui circuito equivalente nella banda desiderata coincida con esso.
L'equivalenza tra struttura a elementi concentrati e struttura ad elementi distribuiti
e sucientemente accurata per bande relative piccole (inferiori al 2 3%).
Si possono quindi individuare tre fasi nel progetto dei ltri, e cioe:
1. la sintesi del prototipo passa-basso (trattata nel paragrafo 1.1);
2. la denormalizzazione del prototipo (paragrafo 1.2);
3. la realizzazione con elementi distribuiti (paragrafo 1.3).
La realizzazione con elementi distribuiti, al punto 3, verra considerata nel caso di
linee di trasmissione accoppiate in congurazione comb.
1.1 La sintesi del prototipo passa-basso
La sintesi del prototipo passa-basso si eettua a partire dalle speciche assegnate,
che sono riassunte dall'andamento con la frequenza del parametro rapporto di perdita
di trasduzione. Esso e denito come rapporto A tra la potenza P0 disponibile dal
generatore e quella PL erogata eettivamente al carico. Questo rapporto, espresso in
Capitolo 1 - Generalita sui ltri a linee accoppiate 6
dB, viene anche chiamato perdita di trasduzione o piu semplicemente attenuazione:
A(dB) = 10 log
P0
PL
: (1.1)
Le speciche deniscono il massimo livello di attenuazione accettabile in banda pas-
sante e la minima attenuazione fuori banda, nonche il livello di adattamento richiesto
in banda passante.
In assenza di perdite, che e l'ipotesi con la quale si progetta il ltro, l'attenuazione
e denita in funzione del coeciente di trasmissione S21 della matrice di scatter o,
equivalentemente, in funzione del parametro " e della caratteristica FN del ltro:
A(
) = 1
jS21(
)j2
= 1 + "2 
 F 2N(
); (1.2)
dove " e dato da:
"2 = jmaxj
2
(1 jmaxj2)
' jmaxj2; (1.3)
con max coeciente di ri
essione massimo in banda passante (S11max)1.
Il coeciente S21 esprimibile come rapporto di due polinomi P e Q, rispettivamente
di grado N e M , nella frequenza complessa normalizzata s =  + j
, con N  M :
S21 =
Q(s)
P (s)
(1.5)
Nel caso in cui M = 1, il ltro non presenta zeri di trasmissione (si tratta, cioe,
di un ltro `tutti-poli'). In questo caso, dalla caratteristica FN scelta nella (1.2), si
ricavano i parametri del prototipo, secondo delle formule ben note in letteratura (ad
1Le speciche solitamente danno le perdite di ritorno o return loss (RL), espresse in dB:
RL(dB) = 20 log
1
jS11j
: (1.4)
Capitolo 1 - Generalita sui ltri a linee accoppiate 7
esempio, in [1, pagg. 306 e seguenti]). La risposta di tipo passa-basso che si ottiene
e simmetrica attorno all'origine ed il prototipo e sicamente realizzabile.
Invece, nel caso in cui M  1, S21 presenta zeri a frequenze nite. In particolare, se
tali zeri sono a frequenze nite immaginarie si tratta di zeri di trasmissione.
La presenza degli zeri comporta generalmente2 che S21 non goda piu della seguente
proprieta : S21(j
) = S21(j
); cio signica che il ltro prototipo passa-basso non e
sicamente realizzabile utilizzando componenti concentrati ideali (induttori, conden-
satori, : : :), perche la sua caratteristica di trasmissione non e simmetrica intorno a
! = 0. Ad ogni modo, ed e cio che conta, e realizzabile il ltro passa-banda da esso
dedotto.
I prossimi due paragra presentano due metodi di sintesi, che dieriscono per la
struttura del prototipo, che puo essere con ingresso e uscita sullo stesso lato (paragrafo
1.1.1) o su lati opposti (paragrafo 1.1.2). Questi due metodi permettono la sintesi di
ltri con o senza zeri di trasmissione.
1.1.1 Sintesi del prototipo folded
Per sintetizzare un prototipo passa-basso asimmetrico si introducono componenti cir-
cuitali non realizzabili sicamente, costituiti da suscettanze bi invarianti con la fre-
quenza posti in parallelo alle capacita gi (in assenza di zeri di trasmissione, si hanno
solo le componenti gi).
Il valore dei parametri bi e gi e degli invertitori di ammettenza Jm;n del prototipo ven-
gono ricavati dalla procedura proposta da Cameron [2], in cui e scelta come funzione
polinomiale approssimante FN(
) la caratteristica di Chebyche generalizzata (per
tener conto degli zeri). Questa caratteristica permette la sintesi di una rete prototipo
equiripple. Con questa procedura la sintesi viene fatta con una struttura ripiegata
(folded), in cui ingresso e uscita sono sullo stesso lato (Figura 1.1).
2A meno che non si tratti di coppie di zeri simmetrici.
Capitolo 1 - Generalita sui ltri a linee accoppiate 8
Figura 1.1: Struttura del prototipo passa-basso di tipo folded; ciascun nodo rappresenta la capacita
unitaria gi in parallelo alla suscettanza bi; Jm;n sono gli invertitori di ammettenza
Nella struttura di tipo folded si riconosce un percorso principale ripiegato di invertitori
di ammettenza tra elementi adiacenti del ltro e la presenza di ulteriori accoppiamenti
ausiliari tra gli elementi non adiacenti, necessari per la realizzazione di zeri simmetrici
e asimmetrici.
Il numero di zeri a frequenza nita nz realizzabile con una struttura ripiegata dipende
dal numero totale N di risonatori ed e calcolabile tramite la relazione: nz = N Nn,
dove Nn e il numero di risonatori `toccati' lungo il percorso di lunghezza minima tra
ingresso e uscita (tipicamente, Nn = 2).
Poiche si hanno dei gradi di liberta nella sintesi, solitamente si pone gk = 1; 8k =
1; : : : ; N . In questo modo, i parametri del prototipo, che si riducono a bi e a Jm;n,
possono essere raggruppati in un'unica matrice J :
J =
0
BBBB@
b1 J1;2 
 
 
 J1;N
J1;2 b2 
 
 
 J2;N
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
J1;N J2;N 
 
 
 bN
1
CCCCA
: (1.6)
Essendo l'accoppiamento tra i risonatori reciproco, si ha Jm;n = Jn;m.
Capitolo 1 - Generalita sui ltri a linee accoppiate 9
1.1.2 Sintesi del prototipo in-line
Non esiste in letteratura un metodo generale per la sintesi del prototipo in-line, che
deve essere ottenuto a partire dalla struttura ripiegata di pari ordine N , a patto che
il numero di zeri di trasmissione nz soddis la seguente relazione: nz  nz;max, dove
nz;max e il massimo numero di zeri di trasmissione realizzabile con la struttura in-line
e vale:
nz;max =
(
N=2 se N e pari,
(N  1)=2 se N e dispari. (1.7)
Figura 1.2: Struttura del prototipo in-line: in grassetto sono gli accoppiamenti tra risonatori
adiacenti, mentre tratteggiati tutti i possibili accoppiamenti non adiacenti (`di scavalco')
Nota la matrice J della struttura ripiegata, per sintetizzare il prototipo in-line si
applica la seguente trasformazione matriciale:
J 0 = Ri;j 
 J 
Rti;j: (1.8)
la matrice J 0, i cui elementi J 0i;j hanno lo stesso signicato di quelli della matrice