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1.1 Concetti Preliminari
Classificazione dei dati: una prima domanda che ci si pone analizzando a
una serie temporale, riguarda l’individuazione della tipologica di dati che
si stanno trattando. Purtroppo la risposta a questa domanda risulta essere
molto delicata, dato che le procedure attualmente utilizzate si avvalgono di
metodologie statistiche (vedi capitolo 4). Una prima questione essenziale,
ad esempio, è comprendere se i nostri dati siano frutto di un sistema
determinista o aleatorio. In generale si possono verificare i seguenti casi:
Sinusoidale: segnale composto da una sola frequenza.
)sin()( Μ Ζ ttx (1.1)
Periodicitá Complessa: somma di sinusoidi con frequenze multiple di una
fondamentale
0
Ζ (il rapporto tra le frequenze è un numero razionale).
ƒ
φ
1
000
))sin()cos(()(
n
nn
tnbtnaatx Ζ Ζ (1.2)
Quasi-Periodico: segnale composto da una somma di sinusoidi con
frequenze incommensurabili (ovvero il rapporto tra le frequenze é un
numero irrazionale). Un esempio potrebbe essere:
)31sin()4sin()( tBtAtx (1.3)
Transitorio: fase iniziale della traiettoria descritta nello spazio delle fasi,
prima che il sistema giunga sul proprio attrattore. Esempio:
bt
eatx
)( (1.4)
Segnale
Determinista Casuale
Periodico Non-periodico
Sinusoidale
PerodicitáComplessa
Quasi-periodico
Transitorio
Attrattore Strano
Stazionario Non-Stazionario
Ergodico
Non-Ergodico
Altra varietá…
7
Attrattore Strano: in generale con attrattore si definisce un insieme chiuso
n
A che gode delle seguenti proprietá:
1. Invariante (cioé partendo da A si rimane in A).
2. Indecomponibile (partendo da qualsiasi punto di A si visita prima o poi
tutto A).
3. Attrattivo (partendo da un punto vicino ad A si tende ad A).
Sostanzialmente il concetto d’attrattore é un’estensione del concetto
d’equilibrio; le tipologie d’attrattori nello spazio delle fasi possono essere
suddivise in quattro grandi classi (che ricalcano la classificazione dei
sistemi deterministi):
ξ Equilibri (la distanza tra due traiettorie “vicine” qualunque, si contrae
sino a giungere ad una stessa orbita costante).
ξ Cicli (corrispondenti a segnali periodici).
ξ Tori (corrispondenti a segnali quasi-periodici).
ξ Attrattori Strani (orbite non periodiche a banda larga con dimensione
frattale).
Una particolare classe d’attrattori strani sono gli attrattori caotici.
Stazionarietá: esistono piú definizioni di quest’importante concetto; noi
faremo riferimento essenzialmente alle due che riteniamo piú efficaci ai
fini della comprensione.
Definizione debole (stazionarietá del secondo ordine): una serie temporale
x(t) é stazionaria se per ogni t vale:
> ≅
> ≅
°
↓
°
→
↑
φ
)cov())(),(cov())(),(cov(
)(
)(
212121
22
tttxtxtxtx
txE
mtxE
Ω Ω
ς (1.5)
Cioé la media sia tempo-invariante, il momento secondo sia anch’esso
indipendente dal tempo e finito, e infine la covarianza dipenda solo dalla
distanza temporale tra due campioni. Un rumore bianco con media e
varianza stabilita, é un esempio di processo stazionario. Seguendo lo stesso
schema si possono dedurre altre definizioni meno restrittive, ad esempio
richiedendo solamente che la media sia finita e costante al variare del
tempo (stazionarietá del primo ordine), o condizioni piú forti richiedendo
Attrattore
Equilibrio Ciclo Toro Attrattore Strano
8
che anche i momenti d’ordine superiore siano finiti e tempo-invarianti
(stazionarietá di ordine n).
Definizione forte: una serie temporale x(t) é strettamente stazionaria se la
distribuzione congiunta di > ≅)(),...(),(
21 N
txtxtx e
> ≅)(),...(),(
21
Ω Ω Ω
N
txtxtx é invariante per tutti gli istanti t
i
e per
qualsiasi τ. Si tratta di una condizione piú forte che include la precedente
perché implica condizioni sui momenti d’ordine superiore.
Nel seguito della trattazione, in realtá considereremo stazionaria una serie
le cui componenti spettrali non variano col tempo.
Ergodicitá´: un sistema dinamico puó definirsi ergodico se dopo un tempo
adeguato, la traiettoria nello spazio delle fasi “ripercorre” stati simili ai
precedenti. In termini statistici, significa che esiste una misura invariante
che corrisponde ad una distribuzione di probabilitá; questa misura
invariante descrive perfettamente le proprietá dell’attrattore su cui “lavora”
il sistema. In altre parole, un sistema é ergodico, nonostante sia aperiodico,
tende probabilisticamente ad un limite detto attrattore che é indipendente
dalle condizioni iniziali. In un sistema ergodico le medie nel tempo e nello
spazio sono uguali.
Sistema dinamico: esprime la variabilitá di uno stato nel tempo. Lo stato é
rappresentato da un punto in uno spazio vettoriale di dimensione n. Il
tempo puó essere rappresentato in modo continuo Rt o discreto Zt .
In buona sostanza, un sistema dinamico autonomo é una legge che regola
la variazione temporale dello stato espressa attraverso un’equazione
differenziale ordinaria o alle differenze finite, a seconda che il sistema sia
continuo o discreto:
)(xf
dt
xd G
G
(oppure )(
1 kk
xfx
GG
) (1.6)
Nel caso di un sistema non autonomo il secondo membro dipende
esplicitamente dal tempo:
),( txf
dt
xd G
G
(1.7)
In pratica, un sistema autonomo puó essere considerato un sistema con
ingresso nullo; ingresso che é invece presente in un sistema non autonomo
(forzante esterna). Un sistema autonomo é anche stazionario.
Caso Cerebrale: nel nostro caso saremo in possesso di p segnali uno per
ogni elettrodo; ovviamente dovremo considerare le “interferenze” che per
svariati motivi mescolano quest’insieme di dati. Matematicamente
possiamo modellizzare il sistema dell’EEG come un sistema di oscillatori,
uno per ogni elettrodo, interagenti tra loro. In formule:
9
°
°
°
↓
°
°
°
→
↑
),,....,,,(
..........................................
),,....,,,(
),,....,,,(
),,....,,,(
321
32133
32122
32111
txxxxfx
txxxxfx
txxxxfx
txxxxfx
ppp
p
p
p
(1.8)
Che, in generale, é da considerarsi non autonomo. Dobbiamo evidenziare
che l’elettroencefalogramma (come del resto il magnetoencefalogramma
MEG) é una misura macroscopica delle dinamiche cerebrali; difatti ogni
elettrodo registra l’attivitá di una determinata regione celebrale, contenente
un insieme numeroso di neuroni ognuno dei quali puó essere considerato a
sua volta un oscillatore. E` interessante notare come nonostante i segnali
neurali siano fortemente non-lineari, dagli studi sin qui effettuati, la non-
linearitá dei segnali EEG risulta essere notevolmente piú debole.
Segnali EEG: le onde cerebrali hanno comunemente un andamento
sinusoidale. Si tratta d’onde elettromagnetiche il cui rango di valori, di
solito, si aggira attorno a V Π5.0 sino ai V Π100 . Sono catalogate in cinque
grandi gruppi secondo la frequenza caratteristica:
1. onde delta (0.5-4 Hz).
2. onde theta (4-8 Hz).
3. onde alfa (8-13 Hz).
4. onde beta (13-30 Hz).
5. onde gamma (>30 Hz).
A seconda dello “stato di coscienza” é predominante un gruppo rispetto ad
un altro. Le onde delta, ad esempio, sono associate al piú profondo
rilassamento psicologico. Le onde theta sono proprie di una mente
impegnata (visualizzazione, ispirazione creativa) ed anche della fase REM
del sonno, mentre le alfa sono associate allo stato di coscienza vigile ma
rilassato. Infine le onde beta-gamma sono relazionate alle normali attivitá
di veglia.
Sincronizzazione: é l’adattamento del ritmo di due o piú oscillatori dovuta
alla loro debole interazione. E’ importante sottolineare che se due variabili
“oscillano in modo sincrono” ció non implica che vi sia sincronizzazione
tra esse. Consideriamo come esempio di non sincronizzazione, un semplice
sistema:
↓
→
↑
12
21
0
xx
xx
xx
Ο
Ο
(1.9)
10
Una possibile coppia soluzione é:
)cos(
),sin(
2
1
tx
tx
ΟΟ
Ο
(1.10)
Queste due variabili pur essendo entrambe oscillanti (formano un ciclo
nello spazio delle fasi), non possono essere considerate sincronizzate
perché se venissero disaccoppiate le oscillazioni svanirebbero. Il sistema
non é separabile in sotto-sistemi (non interagenti) che oscillano
indipendentemente. Come esempio di sincronizzazione riportiamo invece
che la prima prova sperimentale ottenuta da Huygens nel 1673: si trattava
di due pendoli che connessi a uno stesso supporto (iterazione debole),
adattavano il loro ritmo di oscillazione.
Inoltre non é corretto parlare di sincronizzazione se l’interazione tra due
oscillatori é “forte”: intuitivamente, se un sotto-sistema smette di oscillare
non deve impedire agli altri di continuare a farlo.
Si ha una sincronizzazione di ordine n:m tra due oscillatori se:
.)()(
21
consttmtn Μ Μ (1.11)
Dove con
21
, Μ Μ abbiamo indicato le fasi istantanee degli oscillatori. Se
quest’ultimi sono periodici la (1.11) si riduce a una relazione tra le
frequenze:
21
Ζ Ζ mn (1.12)
Piú generale nei casi reali la condizione di sincronizzazione (phase locking)
viene cosí espressa:
.cos)()(
21
ttmtn δ Μ Μ (1.13)
In letteratura quanto sopra descritto, viene definito phase sincronization PS
(Rosemblum, 1996) dove le ampiezze degli oscillatori sincronizzati
rimangono tra loro non correlate, mentre si parla di generalized
sincronization GS (Rulkov, 1995) se esiste una dipendenza funzionale tra i
due oscillatori. A differenza della complete sincronization (Fujisaka e
Yamada, 1983) che é possibile solo tra sistemi identici, la GS e la PS
esistono anche tra sistemi di natura diversa (anche in presenza di rumore).
Rumore di misura: errore di misurazione che varia ad ogni prova ma non
influisce direttamente sulla dinamica del sistema. Per esempio, il sistema:
)()1( txAtx Υ (1.14)
che ha un punto fisso (equilibrio) :
Υ
1
A
x
e
(1.15)
11
che, se 1 Υ , é anche stabile. Il sistema avrebbe come soluzione una
caduta esponenziale transitoria sino al raggiungimento dell’equilibrio. Se
peró la misura é sporcata da rumore aleatorio )(tW , le nostre variabili
osservate saranno:
)()()( tWtxtO (1.16)
Noi dunque registreremo una serie temporale )(tO diversa da x(t); ció non
riguarda la dinamica che ad ogni passo tiene conto solo del valore
precedente x(t). In pratica dopo un certo tempo nonostante il transitorio sia
terminato e il sistema si trovi all’equilibrio, continueremmo ad osservare
oscillazioni dovute esclusivamente al rumore ( )()( tWxtO
e
).
Rumore dinamico: dato che non esistono sistemi perfettamente isolati,
molti modelli considerano al loro interno una fonte aleatoria )(tw . Un
esempio classico é un sistema autoregressivo:
)()(
)()()1(
txtO
twtxtx
Υ
(1.17)
Ovviamente in generale si verifica il caso in cui entrambe le tipologie di
rumore sono presenti:
)()()(
)()()1(
tWtxtO
twtxtx
Υ
(1.18)
Graficamente:
Misura dell’Elettroencefalogramma (EEG): l’esistenza di corrente
elettrica nel cervello fu scoperta nel 1875 dall’inglese Richard Caton che
registró i primi segnali EEG su conigli e scimmie. Nel 1924 il tedesco
Hans Berger riuscí ad amplificare l’attivitá elettrica cerebrale misurata
sulla corteccia di un essere umano. Il procedimento utilizzato per la misura
consiste nel fissare piccoli elettrodi di metallo direttamente al cuoio
capelluto del paziente in corrispondenza di diverse aree della corteccia
cerebrale. Questi elettrodi vengono collegati a un potente amplificatore per
aumentare il biopotenziale, di per sé modesto. In pratica, un
elettroencefalogramma misura la differenza di potenziale tra due elettrodi
W(t)
O(t)
Sistema dinamico
x(t+1)
w(t)
)(tx Υ
12
posti in regioni diverse dello scalpo, ed é dunque proporzionale alla
corrente che scorre nella corteccia durante l’eccitazione sinaptica di molti
neuroni che giacciono proprio sotto al cranio. Vale la pena rimarcare che
un EEG corrisponde alla sintesi di migliaia di segnali neuronali, attivi
contemporaneamente. Questo perché il contributo elettrico di un singolo
neurone é straordinariamente piccolo e viene ulteriormente smorzato
dall’attraversamento di diversi strati di tessuto come la corteccia. Dunque
solo un numero elevato di neuroni puó generare un segnale abbastanza
grande da essere rilevato. Ció ha un interessante conseguenza
sull’ampiezza del segnale EEG: essa dipende in gran misura dal grado di
sincronizzazione dei neuroni implicati. Difatti, cellule eccitate in tempi
diversi genereranno segnali esigui ed irregolari. Viceversa se l’eccitazione
é contemporanea i segnali possono sommarsi, dando origine ad un campo
piú intenso. Inoltre dobbiamo osservare che piú piccolo é l’elettrodo
(dell’ordine di 1 mm), maggiori dettagli si riescono a cogliere dell’attivitá
elettrica a discapito di una visione globale (elettrodi di qualche mm). Il
magnetoencefalogramma (MEG) é perfettamente complementare al EEG,
dato che misura le variazioni del campo magnetico prodotto anziché del
campo elettrico.
Descrizione dei dati in nostro possesso: le figure e le quantitá ricavate nei
paragrafi seguenti, riguarderanno una matrice 307680 υ di dati, dove ogni
colonna rappresenta 30 secondi di segnale campionato a 256 Hz
( υ25630 7680 campioni). Dunque ogni colonna rappresenta un
frammento di EEG proveniente da un determinato canale (vedi figura alla
pagina seguente). Nel nostro caso, solo 20 dei 30 elettrodi registrati sono
stati posti nel cranio del paziente, disposti in due file parallele una per ogni
emisfero. La prima composta dall’ elettrodo nº 1 (EL1) all’ elettrodo nº 10
(EL10) nell’emisfero sinistro, la seconda dall’elettrodo nº 11 (EL11) al nº
20 (EL20) nel destro. In pratica, i canali EL1 ed EL11 si trovano accanto
nella parte frontale ma in emisferi diversi. I 10 elettrodi restanti sono
collocati nel resto del corpo (come occhi, cuore, arti etc..) per poter
controllare l’attivitá oculare e muscolare. Tutti i dati sono stati filtrati a 50
Hz per isolarli dalla corrente elettrica presente nel laboratorio durante
l’esperimento.
L’obbiettivo dei ricercatori dell’universitá Pablo de Olavide era studiare la
dinamica spazio-temporale su soggetti sani degli arousal** spontanei
rispetto ad arousal provocati. Il soggetto osservato veniva artificialmente
disturbato durante il sonno, attraverso rumori e stimoli esterni consueti
(come lo sbattere di una porta, o il clacson di un’auto).
13
Elettrodo 1 Elettrodo 10
14
Capitolo 2
RIMOZIONE DEGLI ARTEFATTI
Ricavare informazioni dai segnali EEG é un compito piuttosto arduo per
lo scarso SNR che li caratterizzano, come già detto piú volte. Le sorgenti
di rumore e degli artefatti sono svariate: linea rumore ad una data
frequenza, movimento delle palpebre, movimento oculare, movimento
respiratorio, battito cardiaco e piú in generale qualsiasi attivitá muscolare.
Alcuni artefatti, come il movimento delle palpebre, producono un aumento
dell’ampiezza del voltaggio rispetto alla tipica attivitá celebrale.
Chiaramente la commistione tra diversi elettrodi avviene in modo
bidirezionale, ovvero anche il segnale ricavato dall’elettrodo oculare é
“sporcato” dall’attivitá celebrale registrata dagli elettrodi posti nella
corteccia.
Movimento delle palpebre (eye blink): é molto comune nei dati dell’ EEG.
Produce ampiezze molto più grandi nei segnali EEG d’interesse; data la
grande potenza di questi segnali vengono corrotti tutti gli elettrodi, anche
quelli collocati nella parte posteriore della corteccia. In generale, una
misura degli artefatti oculari é ottenuta attraverso due elettrodi posti vicino
agli occhi (EOG). Sfortunatamente, anche questa misura non é
completamente “pura” perché, a sua volta, risente della contaminazione
degli altri elettrodi.
Movimento oculare: quest’artefatto é causato dalla riorientazione del
dipolo retinocorneale. La diffusione di quest' artefatto lungo lo scalpo, é
piú forte rispetto al movimento delle palpebre.
Rumore: rumore di misura che colpisce a determinate frequenze.
Attivitá muscolare: si riferisce a qualsiasi attivitá muscolare incluso i
muscoli facciali. Questi segnali si trovano nel rango delle medie frequenze,
e contaminano gli elettrodi piú vicini alla zona attiva.
Battito cardiaco: é presente quando é necessario collocare un elettrodo
vicino al cuore. Il segnale prodotto ha una caratteristica tipica simile alla
periodicitá, dovuta all’espansione e contrazione dei ventricoli. Si trova
intorno alla frequenza di 1.2 Hz, ma varia a seconda del paziente.
Per migliorare il piú possibile la qualitá delle nostre serie temporali
dell’EEG sono state proposte varie metodologie, alcune delle quali
tratteremo di seguito. Storicamente si é passati dalla semplice regressione a
tecniche statistiche molto piú complesse e sofisticate, a dimostrazione
dell’importanza e l’interesse verso l’argomento.
15
2.1 Regressione Lineare Multipla
Uno dei primi metodi utilizzati per la rimozione degli artefatti é la
semplice regressione lineare; immaginando, ad esempio, di voler
rimuovere la contaminazione dovuta agli artefatti oculari (EOG),
possiamo scrivere la formula generale con ritardo:
ƒ
T
teogtEEGteeg
0
)()()(
Ω
Ω
Ω Ε (2.1)
Dove EEG(t) sono i segnali cerebrali registrati, eog(t) sono i segnali
provenienti dagli elettrodi posti vicino agli occhi, e gli eog(t) sono i ”
veri” segnali depurati. I coefficienti
Ω
Εche misurano il grado di
contaminazione prodotto, vengono ottenuti applicando la regressione. Può
essere applicata anche un’espressione senza ritardo, considerando il
mescolamento istantaneo:
)()()()(
21
tVEOGtHEOGtEEGteeg ∆ ∆ (2.2)
Dove con HEOG e VEOG ci riferiamo al canale orizzontale e verticale.
Indicando con X la matrice composta da queste due componenti, e con y il
segnale EEG registrato all’elettrodo, i coefficienti si ricavano dalla nota
soluzione ai minimi quadrati che viene cosí espressa:
yXXX
TT
)(
ˆ
1
∆ (2.3)
e la serie non contaminata verrebbe banalmente ottenuta:
Xyy ∆ˆˆ (2.4)
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