Sull'analisi in regime permanente dei sistemi elettrici dissimmetrici

Su l l ’ ana l i s i  i n  reg ime permanente de i  s i s temi  e l e t t r i c i  d iss immet r ic i
 
 
I .1  –  MO DOR A L IT C
1
 
La determinazione del le condizioni di funzionamento in 
regime permanente dei sistemi elettrici  è di fondamentale 
importanza sia in fase di pianificazione e progettazione di 
nuovi sistemi sia nel determinare, per sistemi già esistenti,  
le migl iori  condizioni di funzionamento. 
Tale anal isi  viene sol i tamente condotta nel le ipotesi di  rete 
simmetrica e di carichi equi l ibrati , trascurando, pertanto, 
gl i  squil ibri  dei carichi e le dissimmetrie del le l inee e 
ricorrendo ad una rappresentazione monofase equivalente 
del l ’ intero sistema. Un tale model lo, però, non è più 
accettabi le nel le situazioni in cui l ’entità degl i  squi l ibri  di 
carico e del le dissimmetrie di rete è tale da non poter 
essere trascurata. Situazioni di tal  genere si  verificano ad 
esempio quando sono presenti  carichi monofase di trazione, 
forni ad arco, lunghe l inee elettriche non trasposte e così 
via. Ben note, poi, sono le dissimmetrie del le l inee e gl i  
squi l ibri  dei carichi che possono caratterizzare i  sistemi 
elettrici  di  distribuzione in media e bassa tensione. 
In tal i  casi si  rende necessaria una model lazione del 
sistema più accurata, ottenuta tramite la rappresentazione 
tri fase dei vari  componenti del sistema stesso. Ciò impl ica 
che i l model lo matematico che consente di descrivere le 
condizioni di funzionamento in regime permanente del 
sistema si presenta alquanto più complesso di quel lo 
I.2 T ENE MLITÀ  
Su l l ’ ana l i s i  i n  reg ime permanente de i  s i s temi  e l e t t r i c i  d iss immet r ic i
 
 
I .1  –  MO DOR A L IT C
2
normalmente impiegato quando per la rappresentazione dei 
componenti sono sufficienti  i  circuiti  monofase equivalenti. 
Nel presente capitolo viene anzitutto i l lustrato, nel  
paragrafo I.2, i l  model lo matematico di un sistema elettrico 
tri fase in cui sono presenti  dissimmetrie di l inea e squi l ibri  
dei carichi Pl )aEq fl)zq trnfase1. Nel paragrafo I.“, poi, viene 
i l lustrata la versione in tri fase del gastq Dec)upleEq k)aEq
gl)z ” analogamente a quanto accade per i l caso di sistemi 
simmetrici  j6x, tale model lo sempli ficato sfrutta il  fatto che, 
come noto, le potenze attive presentano una scarsa 
dipendenza dai modul i  del le tensioni mentre le potenze 
reattive sono approssimativamente indipendenti dal le fasi  
del le tensioni. 
Nel paragrafo I.4, infine, viene proposto un nuovo metodo 
euristico per i l  dimensionamento e l ’al locazione ottimal i  dei 
condensatori  in una rete di distribuzione dissimmetrica” tale 
metodo sfrutta opportunamente, per descrivere i l  
funzionamento in regime permanente del sistema, sia le 
equazioni di load floF tri fase che una loro version e 
sempli ficata. 
Su l l ’ ana l i s i  i n  reg ime permanente de i  s i s temi  e l e t t r i c i  d iss immet r ic i
 
 
I .2  – MODRL LO  MATRMAT ICO  DRL  S I STRMA RLRTTR ICO  TR IF ASR  D I SS IMMRTR ICO:  I L  LOAD  
FLOW TR I FASR 
 
3
 
La final i tà del l ’anal isi  in regime permanente di un sistema 
tri fase dissimmetrico è quel la di determinare le tensioni, in 
modulo e fase, in tutti  i nodi monofase del sistema stesso. 
Ciò può essere ottenuto per mezzo di un opportuno model lo 
matematico, costituito da un sistema non l ineare di 
equazioni che, per un’assegnata struttura del la rete, 
rappresenta i l  legame esistente tra le grandezze elettriche 
di stato ’tensioni nei nodi monofaseU, le potenze attive e 
reattive richieste dai carichi e le potenze attive tri fase nei 
nodi di generazione tranne quel lo di saldo. 
Nel la scrittura del model lo matematico in questione si  
possono uti l izzare, nel la rappresentazione dei fasori  e degl i 
operatori  complessi, le coordinate cartesiane o quel le polari  
e, analogamente, sono possibi l i  diverse rappresentazioni per 
i  generatori  sincroni ì ciò corrisponde a diverse st rutture 
possibi l i  per tale model lo. 
Tra le numerose strutture del model lo matematico di un 
sistema tri fase presenti  nel la letteratura scienti fica 
internazionale, nel seguito si  farà ri ferimento al model lo 
proposto in I6N, la cui estensione nel campo probabi l istico 
verrà i l lustrata nel capitolo II del presente lavoro di tesi. 
In tale model lo, per la rappresentazione dei fasori vengono 
impiegate le coordinate polari  mentre per gl i  operatori  
complessi le coordinate cartesiane. Per quanto riguarda i  
I.2 MODELLO METEMETICO DEL SISTEME ELETTSICO 
TSI’ESE DISSIMMETSICO :  IL LOED ’LOW TSI’ESE  
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FLOW TR I FASR 
 
4
generatori  sincroni, essi sono rappresentati  in coordinate di 
fase, con un model lo dedotto a partire dal la figura I.1. 
Come evidente da tale figura, per ciascun generatore 
sincrono si  individua una coppia di  nodi tri fase, quel lo 
esterno “i” e quel lo interno “j”ì g
.
Y  rappresenta la matrice 
di dimensioni I6x6N del le ammettenze del generatore. 
 
1
j
V  
1 
Nodo interno 
’jU 1
i
V  2
j
V  3
j
V  2
i
V  3
i
V  
2 
6 
Nodo esterno 
’iU 
g
.
Y
 
Figura I.1 
Rappresentazione in coordinate di fase della macchina sincrona 
 
Ipotizzando che i l  sistema di eccitazione del l ’alternatore 
agisca in maniera simmetrica sul le tre fasi, le tre tensioni di 
fase nel nodo interno di generazione costituiscono una terna 
simmetrica di sequenza diretta e, pertanto, valgono per tale 
nodo le seguenti relazioni: 
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5
.
3
4
3
2
13
12
321
piθθ
piθθ
−=
−=
==
jj
jj
jjj
VVV
 
 
’ I.1U 
Ciò premesso, si  consideri  un sistema elettrico tri fase 
dissimmetrico, costituito da N nodi tri fase e, quindi, da 6N 
nodi di fase. Supponendo, per semplicità di trattazione, che 
i  nodi del sistema siano sempre o di sola generazione o di 
solo carico, gl i  N nodi tri fase che cost ituiscono i l  sistema 
siano classificati  nel la maniera seguente: 

 i  nodi da 1 a Nc siano di caricoì 

 i  nodi da ’N c+1U a ’Nc+NgU siano esterni di generazioneì 

 i  nodi da ’N c+Ng+1U a ’Nc+2NgU=N siano interni di 
generazioneì 

 l ’ult imo nodo di generazione sia quel lo di saldo ’“ nodo 
slack”U. 
Il  model lo matematico atto a descrivere i l  comportamento 
in regime permanente di un sistema elettrico tri fase 
dissimmetrico è costituito dal l ’ insieme del le equazioni 
riportate nel presente paragrafo. Per comodità di 
esposizione e per congruenza logica, nel seguito tali 
equazioni vengono raggruppate in funzione del la tipologia di 
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6
nodo al quale sono ri ferite e vengono espl icitamente 
indicate, per ciascun tipo di nodo, le grandezze note e 
quel le incognite. 
 
a)a Equaztrnta neta nreta eta generaztrnea aea ecceztrnea
eelanreraslacka
Nei nodi di generazione, fatta eccezione per i l  nodo slack, 
le grandezze note sono le seguenti: 

 la potenza attiva tri faseì 

 la legge di regolazione del la tensione. 
Le equazioni che si  possono scrivere nei nodi interni di 
generazione, tranne che nel nodo interno del nodo slack 
’j=NU sono le seguenti: 
( ) [ ]
.,...,NNNj
BGVVP
gc
p
N
k m
pm
jk
pm
jk
pm
jk
pm
jk
m
k
p
j
spgen
j
11
sincos
3
1 1
3
1
−++=
∑ ∑ ∑ +=
= = =
θθ
 
’ I.2U 
Per quanto riguarda i  nodi esterni di generazione, poi, è 
evidente dal la figura I.1 che essi sono dei nodi di transito 
del la potenza attiva e del la potenza reattivaì pert anto in 
tal i  nodi si  possono scrivere le equazioni ’I.6U: 
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7
[ ]
[ ]
.N,...,NN ;   i,,p
BGVV
BGVV
gcc
N
k m
pm
ik
pm
ik
pm
ik
pm
ik
m
k
p
i
N
k m
pm
ik
pm
ik
pm
ik
pm
ik
m
k
p
i
11321
cossin0
sincos0
1
3
1
1
3
1
−++==
−=
+=
∑∑
∑∑
= =
= =
θθ
θθ
 
’ I.6U 
In effetti , a rigore i l  dato noto nei nodi  di generazione è la 
potenza attiva tri fase erogata dal la macchina sincrona, cioè 
quel la resa disponibi le nel nodo esterno di generazione. Di 
fatto, però, i l  rendimento dei generatori  sincroni è tanto 
elevato da consentire di trascurare le perdite del la 
macchina e di supporre, pertanto, che la potenza erogata 
dal la stessa si  possa assegnare direttamente nel nodo 
interno di generazione I6N. 
Negl i  stessi nodi di generazione, poi, si  possono scrivere le 
equazioni relative al la regolazione della tensione, cioè le 
’I.4U: 
( ) ( )
11
,,,,,
321321
−++=
=
gcc
iiiiii
spreg
i
N,...,NNi
VVVfV θθθ
 
’ I.4U 
Se, ad esempio, la regolazione del la tensione viene 
effettuata in modo tale che la media dei modul i  del le tre 
tensioni di fase sia mantenuta costantemente pari  a ( )spreg
i
V , 
le equazioni ’ I.4U sono espresse dal la relazione: 
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8
( ) .
3
321
iii
spreg
i
VVV
V
++
=  ’ I.5U 
Nei nodi di generazione le grandezze incognite sono le 
seguenti: 

 i l  modulo e la fase di ciascuna del le tre tensioni di fase 
nei nodi di generazione esterni ì 

 i l  modulo e l ’argomento di una del le tre tensioni di fase, 
di sol i to la prima, nei nodi di generazione interni ’ciò in 
virtù del fatto che, come evidenziato dal le relazioni  
’ I.1U, si  ipotizza che nei nodi interni di generazione le 
tre tensioni di fase costituiscano una terna simmetrica 
di sequenza direttaU. 
In definit iva, pertanto, in ciascun nodo di generazione, 
escluso i l  nodo slack, si  possono scrivere la ’I.2U, la ’I.4U e 
le sei ’ I.6U, che costituiscono un sistema di otto equazioni a 
fronte del le ulteriori  otto incognite introdotte. 
 
b)a Equaztrntanelanreraslacka
Nel nodo di saldo le grandezze assegnate sono le seguenti: 

 la legge di regolazione del la tensione nel nodo esternoì 
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 la fase del la tensione nel nodo interno ’sol i tament e 
posta pari  a zeroU, che viene assunta come ri ferimento 
per le fasi del le tensioni. 
In considerazione del fatto che i l  nodo esterno del nodo di  
saldo è di transito, per esso valgono, poi, le sol ite equazioni 
di bi lancio. 
Nel nodo slack, pertanto, si  ha: 
( ) ( )
gc
iiiiii
spreg
i
NNi
VVVfV
+=
= ,,,,, 321321 θθθ
 
’ I.6U 
[ ]
[ ]
.NN ;   i,,p
BGVV
BGVV
gc
N
k m
pm
ik
pm
ik
pm
ik
pm
ik
m
k
p
i
N
k m
pm
ik
pm
ik
pm
ik
pm
ik
m
k
p
i
+==
−=
+=
∑∑
∑∑
= =
= =
321
cossin0
sincos0
1
3
1
1
3
1
θθ
θθ
 
’ I.7U 
Quanto detto per le equazioni ’I.4U è val ido anche per le 
equazioni ’ I.6U. 
Nel nodo slack le grandezze incognite sono le seguenti: 

 i l  modulo e l ’argomento di ciascuna del le tre tensioni di 
fase nel nodo di generazione esternoì 

 i l  modulo del la tensione di una del le tre fasi, di  sol i to la 
prima, nel nodo interno di generazione. 
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In definit iva, pertanto, nel nodo slack si  possono scrivere 
la ’I.6U e le sei ’ I.7U, che costituiscono un sistema di sette 
equazioni a fronte del le ulteriori  sette incognite introdotte. 
 
c)a Equaztrntanetanretaetacartcra
Nei nodi di carico le grandezze note sono: 

 la potenza attiva in ciascuna del le tre fasi ì 

 la potenza reattiva in ciascuna del le tre fasi. 
Trattandosi, appunto, di nodi di carico, le equazioni che 
valgono per essi sono le seguenti: 
( ) [ ]
( ) [ ]
.,...,N ;   i,,p
BGVVQ
BGVVP
c
N
k m
pm
ik
pm
ik
pm
ik
pm
ik
m
k
p
i
spp
i
N
k m
pm
ik
pm
ik
pm
ik
pm
ik
m
k
p
i
spp
i
1321
cossin
sincos
1
3
1
1
3
1
==
−=
+=
∑∑
∑∑
= =
= =
θθ
θθ
 
’ I.8U 
Nei nodi di carico, le grandezze incognite sono: 

 i  modul i  del le tre tensioni di faseì 

 gl i  argomenti del le tre tensioni di fase. 
In definit iva, pertanto, in ciascun nodo di carico si  possono 
scrivere le sei ’ I.8U, che costituiscono un sistema di sei 
equazioni a fronte del le ulteriori  sei incognite introdotte. 
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e)a Mreellramatemattcracrmplesstvraeelaststemaa
Da quanto esposto segue che i l  model lo matematico 
del l ’ intero sistema elettrico tri fase dissimmetrico è 
costituito da un sistema non l ineare di I6’N c+NgU+2Ng-1N 
equazioni in altrettante incognite. 
In particolare, i l  sistema non l ineare è costituito dal le 
equazioni seguenti: 

 le Ng-1 equazioni ’ I.2U, ri ferite al la potenza attiva 
tri fase nei nodi di generazione, tranne i l  nodo slackì 

 le Ng equazioni ’ I.4U e ’I.6U, ri ferite al le leggi di 
regolazione del la tensione in tutti  i  nodi di generazione 
compreso i l  nodo slackì 

 le 6Ng equazioni ’ I.6U e ’I.7U, ri ferite a tutti  i  nodi di 
generazione, compreso i l  nodo slackì 

 le 6Nc equazioni ’I.8U, ri ferite al le potenze attive e 
reattive monofase dei nodi di carico. 
Nel le suddette equazioni, ovviamente, sono imposte le 
relazioni ’ I.1U per tutti  i  nodi interni di generazione. 
Le incognite del sistema non l ineare in oggetto, invece, 
sono le seguenti: 
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 gl i Ng-1 argomenti del la tensione di una del le tre fasi  
nei nodi interni di generazione, ad eccezione del nodo 
slackì 

 gl i  Ng modul i  del la tensione di una del le tre fasi nei  
nodi interni di generazioneì 

 i  6Ng modul i  ed argomenti del le tensioni di ciascuna 
del le tre fasi nei nodi esterni di generazioneì 

 i  6Nc modul i  ed argomenti del le tensioni di ciascuna 
del le tre fasi nei nodi di carico. 
La soluzione di questo sistema di equazioni non l ineare può 
essere ottenuta esclusivamente per via numerica, facendo 
uso di tecniche di t ipo iterativo. Tra le varie tecniche 
possibi l i , quel la che megl io si  presta al lo scopo e che, 
pertanto, risulta essere di gran lunga la più impiegata è 
quel la che uti l izza un algoritmo di risoluzione di t ipo 
Ne ?ton-Raphson. 
A tal fine, si  ponga i l sistema di equazioni non l ineari  su 
evidenziato nel la seguente forma più compatta: 
( ) ( )θVPP ,=sp  ’ I.9U 
( ) ( )θVPP ,genspgen =  ’ I.10U 
( ) ( )θVQQ ,=sp  ’ I.11U 
( ) ( )θVUU ,=spreg  ’ I.12U 
nel la quale i  simbol i  uti l izzati  hanno i l  seguente significato: 
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 V  è i l  vettore dei modul i  del le tensioni di fase incogniteì  

 θ  è i l  vettore degl i  argomenti del le tensioni di fase 
incogniteì 

 ( )spgenP  è i l vettore del le potenze attive tri fase specificate 
nei nodi interni di generazione, ad eccezione del lo slackì  

 ( )spP  è i l  vettore del le potenze attive di fase specificate 
nei nodi di carico e nei nodi esterni di generazioneì  

 ( )spQ  è i l  vettore del le potenze reattive di fase specificate 
nei nodi di carico e nei nodi esterni di generazioneì  

 ( )spregU  è i l  vettore dei valori  di  ri ferimento dei regolatori  
di  tensione dei generatori. 
Svi luppando in serie di Taylor le equazioni da ’I.9 U a 
’I.12U ed arrestando tale svi luppo ai termini del primo 
ordine, si  ottengono le seguenti equazioni l inearizzate: 
V
V
P
θ
θ
P
P ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆  
’ I.16U 
V
V
P
θ
θ
P
P ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
gengen
gen
 
’ I.14U 
V
V
Q
θ
θ
QQ ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆  
’ I.15U 
V
V
U
θ
θ
UU ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆  
’ I.16U 
con ovvio significato dei simbol i . 
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Le equazioni da ’I.16U a ’1.16U possono essere espresse in 
una forma matriciale ancora più compatta nel la maniera 
seguente: 






∆
∆






















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=














∆
∆
∆
∆
V
θ
V
U
V
Q
V
P
V
P
θ
U
θ
Q
θ
P
θ
P
U
Q
P
P gengen
gen
 
 
 
’ I.17U 
in cui la matrice contenente le derivate parzial i  rispetto al le 
variabi l i  di  stato è la nota matrice Jacobiana, che si 
indicherà nel seguito con J: 
.






















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
V
U
V
Q
V
P
V
P
θ
U
θ
Q
θ
P
θ
P
J
gengen
 
 
 
’ I.18U 
Nel l ’Appendice sono riportate le espressioni degl i  elementi 
del lo Jacobiano. 
La ’I.17U, tenendo conto del la posizione ’I.18U, può essere 
sinteticamente riscritta come: