Calcolo del valore atteso della vita dei componenti di un sistema elettrico industriale

Introduzione ii 
temperatura raggiunta dal punto più caldo del 
componente stesso portando in conto anche la 
presenza di condizioni di esercizio non sinusoidali.  
 Nel capitolo II, poi, vengono inizialmente 
esaminati i fenomeni di degrado termico ed elettrico 
dei materiali isolanti da un punto di vista fisico e 
successivamente viene illustrato il modello 
matematico che consente il calcolo della riduzione 
della durata di vita dei componenti in condizioni 
“multi-stress”, cioè tenendo conto della presenza 
contemporanea della sollecitazione elettrica e di 
quella termica. 
 Tale modello è stato opportunamente formulato 
in modo da poter considerare anche condizioni di 
funzionamento non sinusoidali. Occorre, a tal 
proposito, sottolineare che i dati di ingresso 
necessari per la valutazione dell’inquinamento 
armonico e, quindi, dei suoi effetti sono 
Introduzione iii 
caratterizzati dalla presenza di inevitabili incertezze 
e ciò è principalmente dovuto alle variazioni delle 
potenze, attive e reattive, richieste dai carichi lineari, 
alle modifiche via via subite dalla rete nelle sue 
configurazioni e, infine, ai cicli di funzionamento dei 
carichi non lineari stessi. 
 Per questo motivo, al fine di portare in conto la 
natura aleatoria dell’inquinamento armonico il 
modello di vita “multi-stress” è stato esteso al campo 
probabilistico. 
Nel capitolo III, infine, la metodologia proposta 
è stata applicata per il calcolo del valore atteso della 
vita di alcuni componenti di una rete test a partire 
dalla conoscenza dei parametri caratteristici dei 
componenti stessi e delle modalità di esercizio della 
rete nel suo complesso. 
  
 
CAPITOLO  I 
 
 
Modelli  termici  dei  componenti  di  un  
sistema  elettrico  in  presenza  di  
distorsione  armonica 
 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.1 - Generalità 1 
I.1 Generalità 
 
 La presenza di distorsione armonica in un 
sistema elettrico rende necessario valutare in maniera 
appropriata le perdite che interessano i componenti 
inseriti nel sistema stesso. Ciò è dovuto al fatto che 
la valutazione delle sole perdite alla fondamentale 
comporterebbe inevitabilmente una sottostima delle 
perdite che realmente si hanno nei componenti stessi 
e, quindi, dello stress termico cui essi sono 
sottoposti. 
 L’obbiettivo del presente capitolo è quello di 
proporre dei modelli matematici che consentono di 
valutare, per i singoli componenti inseriti nel sistema 
elettrico, la massima temperatura di funzionamento 
anche in presenza di armoniche. Tali modelli sono 
stati sviluppati sulla base delle più recenti 
pubblicazioni scientifiche internazionali, che 
vengono riportate nella Bibliografia. 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.1 - Generalità 2 
 I componenti esaminati sono: 

  cavi; 

  condensatori; 

  motori asincroni; 

  trasformatori. 
Per i cavi e i motori asincroni viene proposto un 
unico modello, per i condensatori ne vengono 
presentati due e, infine, per i trasformatori i modelli 
presentati sono quattro. 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 3 
I.2 Modello termico dei cavi 
 L’approccio seguito per la determinazione della 
temperatura alla quale si porta il cavo in condizioni 
di regime permanente non sinusoidale simmetrico è 
concettualmente il medesimo sia nel caso di cavi 
tripolari o, più in generale, con un numero di 
conduttori variabile da 1 a 3 che nel caso di cavi 
quadripolari. E’ necessario, però, distinguere la 
trattazione del primo caso rispetto a  quella del 
secondo, a causa della differente configurazione 
costruttiva dei due tipi di cavo ovvero, in particolare, 
a causa del fatto che il cavo quadripolare prevede la 
presenza del conduttore di neutro che nel caso dei 
cavi unipolari, bipolari oppure tripolari, invece, è 
assente. 
 I modelli elettrici equivalenti che 
schematizzano il comportamento termico di un cavo 
sono validi indipendentemente dalla sua condizione 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 4 
di esercizio e ciò in quanto tali modelli si basano 
sulla considerazione di una generica potenza termica 
dissipata nel cavo stesso, di qualunque origine essa 
sia. 
Il modello elettrico termicamente equivalente 
ad un cavo contenente fino a tre conduttori è 
riportato nella figura I-1: 
Figura I-1 
Circuito elet trico termicamente equivalente ad un cavo 
tripolare 
 
 Lo schema elettrico equivalente al 
comportamento termico di un cavo quadripolare, 
invece, è indicato nella figura I-2 (pagina seguente). 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 5 
Figura I-2 
Circuito elet trico termicamente equivalente ad un cavo 
quadripolare 
  
Nel caso dei cavi che non sono esposti 
all’irraggiamento solare ed ospitano fino a tre 
conduttori, la temperatura dei conduttori si esprime 
nella maniera seguente: 
(I.1) 
 Nel caso dei cavi quadripolari, invece, è 
necessario tenere conto del fatto che c’è il conduttore 
( ) ( )
θ θ λ
λ λ
= + • +





 • + • • + • +





 • +
+ • • + + • +





 • +
= =
=
∑ ∑
∑
a h
h
h
h d h h d
h
h
h h d
h
h
R I W T I R R I W nT
I R R I W n T T
1
2
1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
1 1 2
2
1
3 4
1
2
max max
max
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 6 
di neutro ed esso è attraversato, nel caso in cui il 
carico alimentato sia equilibrato, dalle armoniche di 
sequenza omopolare. Queste ultime, infatti, fluiscono 
nei conduttori di fase e si richiudono attraverso il 
conduttore di neutro, provocando in esso delle 
perdite che è necessario portare in conto. 
E’ stato determinato analiticamente e verificato 
sperimentalmente che lo spettro della corrente 
fluente nel conduttore di neutro nel caso di carico 
equilibrato e tensione di alimentazione simmetrica è 
costituito dalla terza armonica e dalle armoniche di 
ordine multiplo di tre. 
La formula che esprime la temperatura dei 
conduttori di un cavo quadripolare non esposto alla 
radiazione solare, in regime di funzionamento non 
sinusoidale ma comunque simmetrico, è la seguente: 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 7 
(I.2)  
 Nelle due formule precedenti Wd indica le 
perdite nel dielettrico valutate per ciascun ordine di 
armonica. Esse dipendono dalla capacità, che è 
variabile con la frequenza e nel nostro modello 
vengono trascurate, in quanto nel caso dei cavi in 
bassa tensione sono sempre molto piccole e tale 
situazione si verifica frequentemente anche nel caso 
dei cavi in media tensione. In tal modo, ponendo 
Wd=0, le formule precedenti si riscrivono come: 
(I.3) 
per i cavi contenenti fino a tre conduttori e 
( ) ( )
θ θ λ
λ λ
= + • +





• + • • + • + • +





• +
+ • • + + • + • +





• ⋅ +
= ==
==
∑ ∑∑
∑∑
a h
h
h
h d h h nh h
h
h
d
h
h
h h nh h
h
h
d
h
h
R I W T I R R I R I W T
I R R I R I W T T
1
2
1 1
2
1 1
2 2
31
2
1
2
1 1 2
2 2
31
3 4
1
2
3 3
3 3
max
' '
'
'
maxmax
' '
'
'
maxmax
,
,
( ) ( )
θ θ λ
λ λ
= + •





 • + • • + •





 • +
+ • • + + •





 • +
= =
=
∑ ∑
∑
a h
h
h
h h h
h
h
h h
h
h
R I T I R R I nT
I R R I n T T
1
2
1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
1 1 2
2
1
3 4
max max
max
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 8 
(I.4) 
per i cavi quadripolari. 
Nelle suddette formule i simboli hanno il seguente 
significato: 
• θ=temperatura raggiunta dal conduttore [°C]; 
• θa=temperatura ambiente [°C]; 
• Rh=resistenza del conduttore per unità di 
lunghezza valutata con riferimento all’h-esima 
armonica (cioè valutata alla frequenza fh=h•f1) 
[Ω/m]; 
• Ih=valore efficace dell’armonica di corrente di 
ordine h [A]; 
• Ih’=valore efficace dell’armonica di corrente di 
sequenza omopolare di ordine h’ [A]; 
( ) ( )
θ θ λ
λ λ
= + •





 • + • • + • + •





 • +
+ • • + + • + •





 • +
= ==
==
∑ ∑∑
∑∑
a h
h
h
h h h n h h
h
h
h
h
h h n h h
h
h
h
h
R I T I R R I R I T
I R R I R I T T
1
2
1 1
2
1 1
2 2
31
2
1
2
1 1 2
2 2
31
3 4
3 3
3 3
max
' '
'
'
maxmax
' '
'
'
maxmax
,
,
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 9 
• Rn,h’=resistenza del conduttore di neutro per unità 
di lunghezza valutata in corrispondenza 
dell’armonica di ordine h’ (cioè in corrispondenza 
della frequenza fh’=h’•f1) [Ω/m]; 
• T1=resistenza termica per unità di lunghezza tra 
conduttore e guaina [°Cm/W]; 
• T2=resistenza termica per unità di lunghezza tra 
guaina ed armatura [°Cm/W]; 
• T3=resistenza termica per unità di lunghezza del 
rivestimento esterno del cavo [°Cm/W]; 
• T4=resistenza termica per unità di lunghezza tra la 
superficie del cavo e l’ambiente [°Cm/W]; 
• n=1,2,3 rispettivamente per i cavi unipolari, 
bipolari, tripolari; 
• λ1=rapporto tra le perdite nella guaina metallica e 
le perdite totali in tutti i conduttori; 
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 10
• λ2=rapporto tra le perdite nell’armatura e le 
perdite totali in tutti i conduttori; 
• h=ordine di armonica; 
• hmax=massimo ordine di armonica considerato. 
Nelle (I.3) e (1.4) occorre determinare le 
espressioni della resistenza del conduttore per unità 
di lunghezza in funzione della frequenza, di λ1, di λ2 
e delle resistenze termiche T1, T2, T3 e T4. 
 Per quanto riguarda la resistenza per unità di 
lunghezza del conduttore, valutata alla frequenza di 
h-esima armonica, essa è espressa dalla relazione 
seguente: 
(I.5) 
dove: 
• R’=resistenza in corrente continua per unità di 
lunghezza del conduttore valutata alla massima 
( )R R y yh h h= • + +' , ,1 1 2
Capitolo I – Modelli termici dei componenti di un 
sistema elettrico in presenza di distorsione armonica 
I.2 –Modello termico dei cavi 11
temperatura di servizio (che indichiamo con θS) 
[Ω/m]; 
• y1,h=incremento del valore della resistenza per 
“effetto pelle”; 
• y2,h=incremento del valore della resistenza per 
“effetto prossimità”. 
 Le grandezze che compaiono al secondo 
membro dell’equazione precedente devono essere 
valutate come segue: 
(I.6) 
(I.7) 
( )[ ]R R C S'= • + • −°0 201 20α ϑ
( )y F xh h1, =