Capitolo 1 Principio di funzionamento delle saldatrici per vibrazione
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Capitolo 1 Principio di funzionamento delle
saldatrici per vibrazione
Nella produzione industriale vi sono molte tecniche per la saldatura di polimeri
termoplastici che si basano su principi differenti. Le piø diffuse sono le saldature
a vibrazione, a ultrasuoni o a lama calda.
In questo capitolo verranno spiegati i principali motivi che hanno spinto l industria
ad indirizzarsi verso le saldature a vibrazione, il principio di questa tecnica e il
funzionamento delle macchine che la attuano.
Descrizione generale
La saldatura a vibrazione ha vaste applicazioni in varie aree di interesse
industriale, specialmente nella grande produzione di serie. La congiunzione di
pezzi plastici di media e grossa dimensione Ł dominata da questa tecnologia.
Questa tecnica Ł perfettamente appropriata per una larga variet di
termoplastici, compresi i materiali reputati difficili come il polipropilene, il
poliammide caricato e non caricato, con o senza additivi e si presta ugualmente
per la combinazione di materiali eterogenei come il PMMA con ABS o il legno
con altri termoplastici. Principale vantaggio Ł la considerevole riduzione del
tempo di saldatura dei pezzi rispetto all uso di adesivi o di strumenti a caldo. Per
questa ragione, soprattutto l industria automobilistica con i relativi fornitori, usa
largamente questa tecnica.
Questo Ł un metodo di saldatura a frizione. A differenza delle saldature a lama
calda, le superfici di contatto dei pezzi da saldare non vengono fuse dall apporto
di un calore esterno ma mediante la trasformazione diretta in calore dall energia
prodotta per attrito. I due corpi da assemblare sono messi in rapido moto relativo
l uno rispetto all altro e pressati tra loro. Il calore che si sviluppa nello
sfregamento fonde in superficie i due pezzi che nella fase di raffreddamento
sotto pressione rimangono saldati. La vibrazione Ł a una frequenza e ad
un ampiezza predefinita e pu essere unidimensional e (vibrazione angolare o
lineare) o bidimensionale (vibrazione orbitale). L ampiezza della vibrazione
tipicamente varia tra 0.25 mm e 2.5 mm con frequenze tra gli 80Hz e i 300Hz. La
pressione da esercitare ortogonalmente al piano di saldatura varia tra 0.5x106
Pa e 8x106 Pa. Molto importanti sono anche il tempo di saldatura (tipicamente 2-
15 s) e il tempo di mantenimento della posizione dopo la vibrazione (Figura 1.1).
Il processo di saldatura Ł composto da cinque fasi temporali:
AVVIAMENTO VIBRAZIONE : per portare la struttura in vibrazione
FRIZIONE SOLIDA: i pezzi da saldare sono ancora solidi in superficie
FASE TRANSITORIA: inizia la fusione delle superfici a contatto
FUSIONE: le superfici sono fuse e si compenetrano lentamente
RAFFREDDAMENTO: si solidifica la zona fusa
Capitolo 1 Principio di funzionamento delle saldatrici per vibrazione
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Figura 1.1: Fasi temporali del processo di saldatura
La scelta tra saldatura orbitale o lineare non Ł casuale. Con la saldatura lineare
si ottengono superfici ermeticamente sigillate adatte a pompe, lavatrici e
componenti per applicazioni automobilistiche. La saldatura orbitale Ł utile per
assemblare parti estese quali fanali per automobili, filtri per carburante,
connessioni per tubi di plastica, silenziatori per motori (in pratica pezzi a
simmetria circolare). In Figura 1.2 Ł possibile osservare uno schema semplificato
di una saldatrice lineare che pu facilitare la com prensione del principio su cui si
base questa tecnica. Nella parte superiore si trova il gruppo risonante ovvero la
struttura meccanica che viene messa in oscillazione . Questo Ł un gruppo
massa-molla costituito da una tavola mobile (massa) al quale sono collegate
dalle piastre d acciaio in parallelo (che hanno il comportamento di molle). Questa
struttura ha il vantaggio di non avere parti soggette ad usura e da lubrificare.
Sotto la tavola mobile Ł presente il posaggio superiore. Per posaggio si intende
la zona della macchina dove possono essere alloggiati e fissati i pezzi plastici da
saldare, affinchØ la saldatura non avvenga con ulteriori vibrazioni relative tra
posaggio stesso e pezzo.
Per portare e mantenere in risonanza il posaggio superiore sono utilizzati degli
attuatori elettromagnetici in modo da non avere contatti meccanici tra il gruppo
risonante e gli attuatori stessi.
Nella parte inferiore si trova la tavola di sollevamento sopra la quale vi Ł il
posaggio inferiore. La tavola viene sollevata grazie a un cilindro idraulico e
guidata nella direzione verticale con l aiuto di due colonne. Il cilindro idraulico ha
anche il compito di imprimere la pressione tra i due pezzi da saldare.
Capitolo 1 Principio di funzionamento delle saldatrici per vibrazione
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Figura 1.2: Schema generale di una saldatrice per vibrazione lineare
In Figura 1.3 Ł possibile osservare anche una saldatrice a vibrazione dotata di
movimento bidirezionale: spostamento frontale e laterale.
In Figura 1.4 Ł presente il gruppo risonante 2D. Questo Ł azionato da due
elettromagneti contrapposti per asse. La struttura meccanica del gruppo
risonante, fatta in modo tale da disaccoppiare il movimento bidirezionale tra
spostamento frontale e spostamento laterale, permette non solo la realizzazione
di vibrazioni lineari indipendenti su ogni singolo asse, ma anche vibrazioni
orbitali (intendendo con questo la combinazione dei due moti lineari).
Figura 1.3: Saldatrice a vibrazione con gruppo risonante 2D
Capitolo 1 Principio di funzionamento delle saldatrici per vibrazione
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Figura 1.4: Vista tridimensionale del gruppo risonante 2D
Banco prova
Nell impossibilit di disporre di una saldatrice in dustriale Ł stato costruito un
banco prova didattico semplificato il cui principio di funzionamento Ł simile a una
macchina a vibrazione. Su di esso Ł possibile effettuare gli studi di controllo sul
movimento della parte risonante che potrebbero in seguito essere estesi su un
impianto piø complesso.
Verranno invece tralasciati i fenomeni chimico-fisici alla base del processo di
fusione.
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
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Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e
metodo degli elementi finiti
All interno di questo capitolo verranno affrontate le questioni teoriche relative alle
vibrazioni di strutture meccaniche, utilizzate per lo svolgimento della tesi, con
riferimento ai testi [1] [2].
La teoria riportata Ł stata utilizzata in particolare per la realizzazione del modello
della trave e per l identificazione dei suoi parametri.
¨ stato necessario trattare anche i concetti dei si stemi a piø variabili in quanto la
struttura meccanica Ł stata modellizzata con il metodo degli elementi finiti
(FEM).
Ovviamente la risoluzione delle equazioni differenziali del modello della struttura
ottenuto sono svolte dal solutore del simulatore con le tecniche del calcolo
numerico. A questo proposito sono stati visti i vari metodi di risoluzione, non
riportati in questa sezione ma approfonditamente trattati nei capitoli 8 e 9 del
testo [5], in modo da scegliere un solutore adatto al nostro sistema.
Alla fine del capitolo Ł presente anche la teoria degli elementi finiti in cui viene
analizzato in particolare l elemento trave. Per completezza e per capire meglio
questo argomento vi sono anche alcune considerazioni generali sulle travi e
alcuni accenni alla trave di Eulero-Bernoulli e di Timoschenko.
Introduzione
Il moto vibratorio Ł uno dei moti possibili di sistemi meccanici dotati di massa e di
elasticit . Tale moto consiste di oscillazioni del corpo in esame intorno a certe
posizioni di equilibrio ed Ł reso possibile dalla capacit dei materiali costituenti il
corpo di immagazzinare energia potenziale elastica.
Il sistema da studiare viene rappresentato da un modello fisico che pu essere a
parametri distribuiti oppure a parametri concentrati. Il primo tipo di modello, piø
vicino alla realt ,in quanto la massa e gli element i elastici sono in effetti distribuiti
con continuit nello spazio, Ł descritto da equazio ni differenziali alle derivate
parziali; il secondo tipo Ł descritto da equazioni differenziali ordinarie.
Per il sistema in studio possono essere stabiliti i gradi di libert cioŁ il minimo
numero di coordinate indipendenti necessarie a descriverne il moto. I sistemi
discreti sono individuati da un numero finito di gradi di libert ; i sistemi continui
da un numero infinito di gradi di libert . I sistem i vibranti possono essere
classificati in lineari e non lineari. I primi sono retti da equazioni lineari e per essi
vale il principio di sovrapposizione degli effetti, i secondi sono di piø difficile
trattazione analitica.
Le vibrazioni sono dette libere quando il sistema vibra in assenza di forze
esterne impresse, forzate quando il sistema oscilla sotto l azione di forze esterne
che permangono nel tempo.
In tutti i sistemi meccanici sono presenti forze di attrito che dissipano energia e
tendono a smorzare il moto oscillatorio. Se l effetto di tali forze Ł trascurabile, il
sistema Ł detto non smorzato, viceversa Ł detto smorzato.
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
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Sistemi ad un grado di libert
Il sistema oscillante piø semplice tra quelli studiati in dinamica Ł il sistema
riportato in Figura 2.1 e costituito da una massa puntiforme sospesa ad una
molla lineare. Tale sistema Ł ad un grado di libert e il suo moto pu essere
descritto da una unica coordinata x.
Figura 2.1: Sistema massa molla
I sistemi meccanici reali presentano tutti un certo grado di smorzamento dovuto
alla presenza di azioni dissipative. Pertanto in tali sistemi un moto armonico con
ampiezza costante non pu essere mantenuto senza ch e venga fornita energia
dall esterno. Un modello rigoroso della forza dissipativa Ł praticamente
irrealizzabile, tuttavia un modello che offre un buon grado di approssimazione Ł
costituito dallo smorzatore viscoso, il quale origina una forza che Ł proporzionale
ed opposta alla velocit . Il sistema libero smorzat o Ł pertanto costituito da una
massa m, da una molla k e da uno smorzatore viscoso con costante di
smorzamento c. Sulla massa puntiforme m potrebbe agire una forzante funzione
del tempo F(t). Il sistema con questi elementi Ł schematizzato in Figura 2.2
Figura 2.2: Sistema massa molla smorzatore con forza esterna
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
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Per ricavare l equazione del moto di tale sistema Ł sufficiente scrivere
l equazione di equilibrio dinamico della massa m considerando come origine del
sistema di riferimento il punto O coincidente con la posizione di equilibrio statico;
si ha :
( )mx cx kx F t+ + =&& & .
2.1
La soluzione generale dell equazione sovrastante si ottiene sommando la
soluzione generale dell equazione omogenea associata ad un integrale
particolare dell equazione completa.
La prima descrive il comportamento del sistema quando non vi Ł alcuna
sollecitazione esterna che agisca su di esso (comportamento libero) e, di
conseguenza, Ł influenzata soltanto dai suoi parametri interni. Essa pu essere
ottenuta dall equazione omogenea associata all equazione del moto, che Ł
un equazione differenziale del secondo ordine, autonoma poichØ la variabile
indipendente, il tempo, non compare in modo esplicito.
L integrale particolare dell equazione completa descrive il moto sotto l effetto di
un eccitazione esterna ed Ł influenzato sia dalle caratteristiche del sistema che
dalla storia temporale dell eccitazione. Dal momento che l equazione del moto Ł
un equazione differenziale di secondo grado, Ł necessario definire due
condizioni sui valori iniziali in modo da ottenere una soluzione unica.
Sistemi a molti gradi di libert
Si consideri un sistema discretizzato consistente in un numero di masse
collegate le une alle altre e ad un punto di vincolo da molle lineari e smorzatori
viscosi. Usando la notazione matriciale, le equazioni di equilibrio dinamico
possono essere scritte in forma compatta
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }M x C x K x F t+ + =&& & .
2.2
[M] Ł la matrice delle masse del sistema. Essa Ł diagonale se tutte le coordinate
xi sono relative a gradi di libert di traslazione e d efinite in un sistema di
riferimento inerziale.
[C] Ł la matrice di smorzamento viscoso del sistema.
[K] Ł la matrice di rigidezza. Di solito non Ł una matrice diagonale, sebbene
abbia normalmente una struttura a banda.
Utilizzando le coordinate modali (spiegate in seguito) le matrici di massa e di
rigidezza saranno entrambe diagonali. Sono tutte simmetriche e di ordine n,
dove n Ł il numero di gradi di libert del sistema.
I vettori contenuti nell equazione 2.2 sono {x}, un vettore in cui sono elencate le
coordinate generalizzate e {F}, un vettore dipendente dal tempo, in cui sono
elencate le forzanti, dovute alle forze esterne. Le equazioni del moto possono
essere ottenute scrivendo le equazioni di equilibrio dinamico per ciascuna delle
masse mi o attraverso le equazioni di Lagrange. ¨ possibile utilizzare anche
metodi di meccanica analitica come il principio dei lavori virtuali o il principio di
Hamilton.
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
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Spazio degli stati
Lo stato di moto di un sistema con un grado di libert Ł completamente noto, se
sono noti due parametri (posizione e velocit ) in u n istante qualsiasi
Posizione e velocit sono di conseguenza le variabi li di stato del sistema, anche
se la scelta non Ł univoca dal momento che si possono usare altre coppie di
variabili correlate con esse (ad esempio la posizione e la quantit di moto come
Ł possibile vedere in appendice G). Talvolta Ł molto utile rappresentare il moto
nello spazio degli stati, cioŁ uno spazio definito da un sistema di riferimento le
cui coordinate sono le variabili di stato del sistema. Nel caso di un sistema a n
gradi di libert , le variabili di stato sono 2n e l equazione del moto pu essere
trasformata in un sistema di 2n equazioni differenziali del primo ordine,
l equazione di stato del sistema
{ } [ ]{ } [ ]{ }( )z A z B u t= +&
2.3
dove
{ }
{ }
{ }
x
z
x
=
&
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
1 1
0
M C M K
A
I
− −
− −
=
2.4
sono rispettivamente il vettore di stato e la matrice dinamica del sistema.
Il vettore u(t) la cui dimensione non deve necessariamente essere uguale al
numero di gradi di libert del sistema, Ł il vettor e in cui sono elencati gli input
che influenzano il comportamento del sistema , [B] Ł la matrice dei guadagni
degli input. Se gli input u(t) sono legati alle forze generalizzate F(t) che agiscono
sui diversi gradi di libert dalla relazione Ł poss ibile scrivere
( ){ } [ ] ( ){ }iF t T u t=
2.5
dove [Ti] Ł chiamata matrice di selezione degli ingressi ed Ł composta da zeri e
uni.
L espressione della matrice dei guadagni degli input Ł
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
1
0
i
M T
B
−
=
.
2.6
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
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Comportamento libero
Sistemi ad un grado di libert
La soluzione omogenea associata all equazione del moto di un sistema ad un
grado di libert 2.1 Ł del tipo
0
st
x x e= .
2.7
Introducendo la soluzione 2.7 nell equazione del moto, la condizione per
l esistenza di una soluzione diversa dalla soluzione banale x0 = 0 porta alla
seguente equazione caratteristica
2 0ms cs k+ + =
2.8
le cui due soluzioni s1 e s2 sono
2 4
2
c c mk
s
m
− ± −
= .
2.9
Se la condizione
2c km>
2.10
Ł soddisfatta,le soluzioni dell equazione caratteristica 2.8 sono reali. Il moto del
sistema non Ł oscillatorio, ma Ł semplicemente la combinazione dei due termini
che diminuicono monotonicamente nel tempo, poichØ le due radici sono negative
(Figura 2.3).
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
14
Figura 2.3: Sistema sovrasmorzato
Il valore dello smorzamento espresso dall equazione 2.10 Ł spesso definito
smorzamento critico poichØ Ł il valore piø alto di c che consente al sistema di
avere un comportamento libero oscillatorio. Quando la condizione 2.10 Ł
soddisfatta, si dice che il sistema Ł sovrasmorzato.
Introducendo lo smorzamento relativo ζ, cioŁ il rapporto tra il valore dello
smorzamento c e il suo valore critico ccr
2cr
c c
c km
ς = =
2.11
i due valori della velocit di decadimento σ, cioŁ la velocit a cui l ampiezza delle
oscillazioni libere diminuisce, di un sistema sovrasmorzato (ζ>1) sono
( )
2 1
k
m
σ ς ς= ± − .
2.12
Se lo smorzamento del sistema Ł minore dello smorzamento critico (ζ<1), si dice
che il sistema Ł sottosmorzato. L equazione 2.9 Ł ancora valida, ma porta ad
una coppia di soluzioni complesse coniugate per s. Il sistema esegue oscillazioni
armoniche smorzate come in Figura 2.4.
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
15
Figura 2.4: Sistema sottosmorzato
La pulsazione delle oscillazioni sar
21
k
m
ω ς= − .
2.13
La velocit di decadimento sar
k
m
σ ς= .
2.14
Se il sistema non Ł smorzato, cioŁ se c=0 (ζ=0), le due soluzioni dell equazione
caratteristica sono immaginarie, producendo una oscillazione armonica non
smorzata la cui pulsazione Ł la frequenza propria ωn del sistema (Figura 2.5).
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
16
Figura 2.5: Sistema non smorzato
n
k
m
ω = .
2.15
Definite queste nuove grandezze Ł possibile scrivere l equazione 2.8 nella forma
generalizzata
20 2 0n n
c k
x x x x x x
m m
ςω ω+ + = →→ + + =&& & && & .
2.16
La soluzione dell omogenea Ł la somma di due termini indicato nell equazione
2.7 con due costanti x01 e x02 che dipendono dalle equazioni iniziali
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
2
01 02
2
2
0 cos 1
01
0 sin 1
1
n
n
ts t s t
g
n
n
x t
x x x e x e e x
x t
ςω
ω ς
ς ω ς
ως
−
− +
= = + =
+ −
−
&
.
2.17
I sistemi studiati dalla dinamica strutturale sono di solito poco smorzati e di
conseguenza il fattore e-ζωnt diminuisce monotonicamente molto lentamente nel
tempo. La frequenza delle oscillazioni Ł soltanto leggermente minore della
frequenza propria del sistema non smorzato ωn, a causa della presenza del
fattore 21 ς− . Nel caso di sistemi poco smorzati questo fattore Ł quasi uguale
all unit , e la frequenza delle oscillazioni libere smorzate Ł quasi uguale a quella
delle oscillazioni libere del sistema non smorzato.
Il rapporto tra le ampiezze di due picchi vicini Ł costante nel tempo. Il suo
logaritmo naturale, calcolato assumendo che i picchi si verifichino nel momento
in cui la parte armonica della risposta raggiunge il suo massimo, Ł
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
17
2
1
ln 2 2
1
i
i
x
x
ς
δ pi piς
ς+
= = ≈
−
.
2.18
Esso viene solitamente definito decremento logaritmico e d una misura dello
smorzamento del sistema che non Ł troppo difficile da valutare dalla
registrazione dell ampiezza in funzione del tempo. Se il sistema Ł poco
smorzato, la suddetta ipotesi porta a risultati precisi.
Sistemi a piø gradi di libert
La soluzione dell equazione omogenea associata all equazione del moto nello
spazio degli stati 2.3 Ł del tipo
{ } { }0
st
z z e= .
2.19
Introducendo la soluzione 2.19, si ottiene il sistema di equazioni algebriche
omogenee lineari
[ ] [ ]( ){ } { }0 0A s I z− = .
2.20
Per ottenere soluzioni diverse dalla soluzione banale { } { }0 0z = , il determinante
della matrice dei coefficienti deve annullarsi.
[ ] [ ]( )det 0A s I− = .
2.21
Si ottiene cos un autoproblema di ordine 2n gli autovalori s danno le frequenze
di oscillazione e le velocit di decadimento mentre gli autovettori danno le forme
modali complesse { }0z .
Se il sistema non Ł smorzato, la soluzione pu esse re ricavata direttamente
nello spazio delle configurazioni invece di ricorrere allo spazio degli stati.
L equazione omogenea che definisce il moto libero Ł:
[ ]{ } [ ]{ } { }0M x K x+ =&& &
2.22
cioŁ un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine.
Queste equazioni sono accoppiate, poichØ almeno una delle matrici [M] o [K] di
solito non Ł diagonale. Se la matrice [M] non Ł diagonale, si dice che il sistema
ha un accoppiamento inerziale, mentre se [K] non Ł diagonale si dice che
l accoppiamento Ł elastico.
Tuttavia, se il sistema non Ł smorzato, tutte le soluzioni s sono immaginarie ed Ł
conveniente l uso di una soluzione del tipo { } { }0
st
x x e= , in cui compare
Capitolo 2 Elementi di teoria delle vibrazioni e metodo degli elementi finiti
18
esplicitamente la frequenza di oscillazione ω. L equazione caratteristica
dell autoproblema Ł quindi
[ ] [ ]( )
2det 0K Mω− =
2.23
che pu essere ridotta in forma canonica nel seguen te modo
[ ] [ ] [ ]( )
1 2det 0M K Iω− − = .
2.24
La matrice[ ] [ ]1 0M K− = Ł spesso definita matrice dinamica e viene usato per
indicarla il simbolo [D]. L equazione 2.24 sono equazioni algebriche di grado n in
ω2 le cui soluzioni sono gli n valori delle frequenze proprie del sistema. Gli
autovettori danno la forma modale, cioŁ le ampiezze di oscillazione delle varie
masse alle corrispondenti frequenze proprie. Dal momento che gli autovalori
sono n, Ł possibile formare una matrice quadrata, la matrice degli autovettori
[ ] { } { } { }1 2 1, ,.... ,q q q Φ = in cui ogni colonna Ł uno degli autovettori.
La soluzione completa dell equazione del moto Ł
{ } { } [ ] ( ){ }{ } ( ) [ ] ( ){ }{ } ( )1 1
1
0 cos 0 sin
n
g i i i i
i
x x x q t x q tω ω− −
=
= = Φ + Φ
∑ & .
2.25
Disaccoppiamento delle equazioni del moto
Pu essere dimostrato che gli autovettori sono orto gonali rispetto alle matrici di
rigidezza e di massa. Ne consegue che
{ } [ ]{ } 0Ti jq M q = { } [ ]{ } 0
T
i j
q K q =
2.26
se i ≠ j
{ } [ ]{ }Ti j iq M q M= { } [ ]{ }
T
i j i
q K q K=
2.27
se i = j.
Le costanti iM e iK sono rispettivamente la massa modale e la rigidezza
modale dell i esimo modo.
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