Modelli di valutazione di opzioni sul massimo e minimo fra numerosi sottostanti

INTRODUZIONE 
 4
Nel secondo capitolo ci soffermiamo sulle molteplici opportunità di 
utilizzo delle opzioni sul massimo e minimo, in primo luogo sul 
mercato dei cambi: la loro struttura infatti permette payoff a 
scadenza più elevati di una currency option,  a fronte di un costo 
minore. Analizziamo inoltre una strategia particolare di selezione di 
portafogli multivalutari, la MAP, e la confrontiamo con un 
portafoglio equamente distribuito fra le stesse valute : emerge 
chiaramente la convenienza della strategia MAP su tutti i fronti. 
Dopo i cambi illustriamo anche le altre possibilità di utilizzo, 
soffermandoci in particolare sull’ impiego nel Corporate Finance e 
sulle opportunità di hedging, che sono maggiori se le opzioni sono di 
tipo asiatico. 
Nel terzo capitolo analizziamo i diversi contributi forniti per la 
valutazione tramite modelli discreti. In particolare la nostra 
attenzione si focalizza sulle tecniche che ripropongono il modello 
binomiale  adattandolo però al caso di numerosi sottostanti; per 
ogni modello forniamo dei risultati che mostrano la puntualità della 
stima e il grado di approssimazione ottenuto rispetto agli accurate 
values di riferimento di opzioni europee, nonchè il tempo necessario 
a calcolare il valore con le diverse tecniche. 
INTRODUZIONE 
 5
Introduciamo anche i diversi modelli che si rifanno alla Simulazione 
Monte Carlo, distinguendo le tecniche di valutazione per opzioni 
europee da quelle per opzioni americane: per le europee il problema 
è posto sulla riduzione della varianza, e il modello che se ne occupa 
prende il nome di Quadratic Resampling; per le Americane l’ 
attenzione si sposta sull’ enorme quantità di memoria necessaria 
per la valutazione delle opzioni seguendo un approccio reticolare. 
Mostriamo come la tecnica sviluppata, chiamata Stratification State 
Along the Payoff, renda possibile la valutazione con l’ approccio 
reticolare senza occupare uno spazio di memoria esponenziale. 
Nell’ ultimo capitolo ci occupiamo di  valutare opzioni sul massimo e 
minimo tra due sottostanti utilizzando due diversi modelli. 
Per illustrare la formula chiusa di Stultz troviamo il valore di 
opzioni call e put sul massimo e minimo tra due cambi del Dollaro: i 
risultati sono concordi con quanto visto nella teoria, in quanto 
emerge sempre la convenienza ad un’ opzione multipla. 
Il modello di riferimento per illustrare l’ approccio reticolare invece è 
il BEG : troviamo il valore di opzioni call e put europee e americane 
sul massimo e minimo tra due titoli dello S&P Mib. Anche in questo 
caso mostriamo come  grazie a queste opzioni si possa ottenere un 
guadagno maggiore pagando un prezzo minore ancora prima di 
addentrarsi in strategie speculative particolari.  
  6
Capitolo I 
 
La nascita e il pricing delle Opzioni 
Rainbow 
 
1.1 Evoluzione dalla vanilla option ai derivati 
esotici 
 
Il termine derivato sta a significare che il valore del prodotto 
finanziario a scadenza dipende dal valore assunto da uno strumento 
sottostante (azioni, indici, bonds, materie prime) in un instante di 
valutazione. 
Le opzioni sono strumenti derivati particolari, in quanto il 
detentore, al momento della stipula, paga un premio per acquistare 
il diritto a comperare o a vendere lo strumento sottostante a 
scadenza o entro una determinata scadenza ad un prezzo 
prefissato. 
Gli strumenti derivati  ( contratti forward, futures, opzioni ) 
cominciarono a diffondersi in America negli anni ’70, ma il momento 
fondamentale per l’ evoluzione del mercato delle opzioni è il 1973, 
con la creazione del Chicago Board Of Options Exchange (CBOE), il 
primo mercato organizzato per tali strumenti.  
  7
Il volume di scambi di tali titoli è cresciuto rapidamente : verso la 
fine degli anni 70 e l’inizio degli anni 80, quando ormai il 
funzionamento delle opzioni standard era consolidato e il numero 
dei contratti superava i cento milioni annui, le istituzioni 
finanziarie cominciarono a creare nuove e alternative forme di 
opzioni, così da andare incontro alle esigenze particolari dei clienti e 
incrementare il volume d’ affari.Questi nuovi strumenti prendono il 
nome di exotic options: il loro sviluppo è degno di nota soprattutto 
tra la fine degli anni 80 e i primi anni 90. 
La contrattazione avveniva e avviene tuttora principalmente in 
mercati over the counter, e vengono trattate da grandi società, 
istituzioni finanziare, gestori di fondi e da qualche anno anche da 
banche private. 
Sono strumenti molto delicati e necessitano una conoscenza 
perfetta delle dinamiche dei mercati, ma hanno il vantaggio di 
rispondere alle esigenze di hedging anche degli investitori più 
sofisticati. Per questo vengono anche chiamate Special purpose 
options
1
 
 
                                                 
1
 Zhang, 1998 
  8
1.2    Le caratteristiche delle opzioni 
 
Abbiamo già definito cosa sia un’ opzione. Ora andiamo a 
distinguerle in base al momento di esercizio del diritto : abbiamo 
un’ opzione europea se il diritto è esercitabile solo alla  scadenza T, 
mentre l’ opzione è americana se è possibile vantare il diritto in ogni 
istante compreso tra la stipula in t
0
 e la scadenza T. Le opzioni 
trattate in borsa sono in prevalenza di tipo americano; solo quelle 
su indice azionario (S&Pmib) sono di tipo europeo. 
In base al diritto del detentore ( holder), le opzioni si distinguono in 
call e  put options se comportano un diritto all’ acquisto o un diritto 
alla vendita. 
 
A differenza di altri derivati come i contratti forward o futures, le 
opzioni sono caratterizzate dalla non obbligatorietà dell’ esercizio, e 
dal pagamento anticipato del costo dell’ operazione. Sono infatti 
contratti assicurativi, ovvero garantiscono un prezzo massimo di 
acquisto ( o un prezzo minimo di vendita ) sopra (o sotto) al quale 
non si può andare. 
Il payoff di un opzione a scadenza si può quindi descrivere: 
Ponendo S(T) = valore del sottostante a scadenza 
                  X  = Strike dell’ opzione 
                T-t = maturity 
Il payoff di una call sarà c = max ( S(T) – X ;0 )  
  9
 
PAYOFF CALL IN T
0
2
4
6
8
10
12
02468101214
S(T)
p
a
y
o
f
f
 
Il payoff di una put sarà p = max  ( X – S(T) ;0 )  
PAYOFF PUT IN T
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
S(T)
p
a
y
o
f
f
 
 
Come dal grafico, il detentore eserciterà l’ opzione  solo se avrà dei 
vantaggi dall’ esercizio, ovvero quando l’ opzione sarà  in the money. 
Una opzione call infatti si dice : in the money quando   S(T) > X 
                                                    at the money quando   S(T) = X 
                                                    out the money quando S(T) < X 
  10
Il problema principale delle opzioni sta nel definire il loro prezzo. Il 
modello di Black and Scholes
2
 è preso come punto di riferimento 
per la definizione dell’ equazione di valutazione delle varie tipologie 
di opzioni europee. Anche se tale modello ha delle condizioni 
abbastanza stringenti, ha il merito di essere definito da fattori 
osservabili che possono essere agevolmente misurati nella pratica. 
Partendo dall’ ipotesi che l’ evoluzione del sottostante avvenga in 
ambito risk free e segua un moto browniano moltiplicativo  
 
ds = Sδdt + Sσdz,
3
 
Il modello consente di determinare una formula chiusa per il prezzo 
di una call option:  c (t) = S (t) N(d
1
) – X N(d
2
) 
 dove N(d
1
) e N(d
2
) sono i valori della distribuzione normale standard     
associati ai possibili valori del sottostante, 
d
1
 = ln
    
    tT
tT
X
tS
  
  
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
    
 ς
 ς
Γ
2
)(
2
             d
2
 =  d
1 -
    Tt   ς  
Per la put option la soluzione è : p(t) = XN(-d
2
) – S(t)N(-d
1
) 
Tale soluzione si deve al fatto che S è distribuito come una log-
normale, dove una funzione è distribuita come una log normale 
quando il suo logaritmo ha una distribuzione normale. 
                                                 
2
 Black, F. e Scholes, M. 1973 
3
 δ è l’ intensità istantanea di interesse, σ è la volatilità di S. Entrai sono assunti costanti. Dz è un 
processo di Wiener Standard. Così scritta la formula permette di affermare che il valore di una call 
option oggi equivale al suo valore atteso scontato al tasso free risk. Le possibili determinazioni di S 
non dipendono da valutazioni soggettive. 
  11
Possiamo quindi analizzare che il prezzo di un’ opzione è funzione di 
una serie di variabili: 
 ξ  Prezzo corrente del sottostante 
 ξ  Prezzo di esercizio X 
 ξ  La volatilità del sottostante 
 ξ  la scadenza T 
 ξ  Il tasso di interesse 
 ξ  I dividendi attesi del sottostante 
Tutti i parametri sono noti, perchè stabiliti contrattualmente, 
tranne la volatilità del sottostante, per la quale è necessario 
ricorrere ad una stima. 
 
Riguardo al pricing delle opzioni americane il discorso è ancora più 
complesso, in quanto bisogna conoscere il valore dell’ opzione in 
ogni istante, e per questo non si dispone di una formula chiusa.  
In questo caso si utilizzano approssimazioni e procedure numeriche 
per arrivare ad una stima attendibile. 
 
 
  12
1.3    Le opzioni esotiche: The Rainbow Options 
 
Nel nostro lavoro ci occuperemo di un particolare tipo di exotic 
option, le cosiddette Option on the best and the worse of several 
assets. 
Si tratta di opzioni su più sottostanti, ovvero contratti che hanno 
per oggetto la facoltà di acquisto o vendita di una sola tra n attività, 
ad un prezzo prefissato. Tale facoltà può riferirsi all’ attività che 
abbia ottenuto la performance migliore o peggiore tra le attività di 
riferimento. 
 
Per trovarne il prezzo bisogna conoscere il valore a scadenza delle n 
attività rischiose, stimare la loro volatilità, ma soprattutto è 
necessario trovare il loro indice di correlazione. Il problema quindi si 
sposta dalla definizione di volatilità alla definizione di correlazione. 
 
Il primo a cui si deve il merito di aver trovato una formulazione per 
il valore di un’ opzione sul massimo ( o minimo) tra due attività è 
Renè M. Stultz, nel 1982, che, partendo dalle ipotesi sui cui si basa 
anche il modello di Black & Scholes ha definito il prezzo nel caso di 
opzioni europee  
Successivamente nel 1987 Herbert Johnson ha generalizzato i 
risultati di Stultz portando a n le possibili attività rischiose 
  13
sottostanti. e nel 1990 P. Boyle e Tse hanno sviluppato una 
discussione dettagliata riguardo al pricing di tali opzioni
4
.  
Il nome con cui sono conosciute alla comunità finanziaria  si deve a 
Rubinstein, che con una serie di articoli apparsi su Risk nel 1991 
chiamò  Two colour rainbow options
5
  le opzioni su due assets 
rischiosi.  
Vi sono numerosi esempi sui mercati finanziari di utilizzo delle 
opzioni multiple, in particolare di utilizzo di opzioni sul massimo e 
sul minimo di un numero di attività. 
In particolare, i risultati del modello sono utilizzati per analizzare i 
pricing di vari bonds che includono una o più valute straniere : 
Foreign currency bonds, default free option bonds, currency options 
bonds emessi da aziende; 
Ma l’ applicazione è possibile anche in corporate finance: nell 
‘ambito dei risk sharing contract come negli incentive contracts, e 
anche nell’ ambito della valutazione di opportunità di investimento. 
  
                                                 
4
 Al riguardo si veda:   Boyle, P . 1990 
                                   Boyle, P e Tse, Y., 1990 
                                   Boyle, P. Evnine J e Gibbs, S., 1989 
5
 Rubinstein, M., 1991 
  14
     1.4. La formula chiusa di R.M. Stultz 
 
Nel suo articolo
6
 Stultz  trova innanzitutto il prezzo di un’ opzione 
call sul minimo tra due sottostanti rischiosi; successivamente, 
grazie a relazioni di parità delle opzioni, riesce a prezzare anche la 
call sul massimo, e le due tipologie di opzioni put. 
Siano V e H i prezzi di due assets rischiosi; una call sul minimo dei 
due avrà un payoff a scadenza pari a  
max{ min (V;H) – F ; 0 } 
dove F è lo strike price. 
Le ipotesi alla base del modello sono: 
- mercati senza frizioni e a trattazione continua 
- evoluzione stocastica dei due sottostanti come moto browniano        
   moltiplicativo 
dzdt
V
dV
VV
 ς Π     ;    (1)         dzdt
H
dH
HH
 ς Π           (2) 
in cui dz 
V 
e dzH  sono processi di Wiener Standard il cui coefficiente 
di correlazione, ρ
VH, si assume costante nel tempo. 
- Tasso istantaneo di interesse , R, è costante. 
 Egli afferma che per trovare il valore di una call sul minimo tra i 
due sottostanti V e H e strike F ,M ( V, H, F, T-t ), è sufficiente 
trovare il valore di un portafoglio autofinanziato il cui valore alla 
scadenza T è uguale al valore dell’ opzione a scadenza. Se tale 
portafoglio esiste, per non arbitraggio il suo valore all’ inizio del 
periodo, in t, deve essere uguale al valore dell’ opzione in t. 
                                                 
6
 Stultz,R.M. “Journal of Financial Economics” 1982 
  15
Poniamo  τ = T – t ;  
Sia P il valore del portafoglio, e possiamo dire che P = P(V,H;τ) 
Definendo P come una funzione di V e H e del tempo possiamo 
scrivere la sua evoluzione con il lemma di Ito scritto per due 
variabili: 
 ⊥  dtVHPHPVPdtPdHPdVPdP
HVVHVHHHHVVVHV
 ς ς Υ ς ς
 Ω
2
2
1
2222
            (
3)  
Se il portafoglio è autofinanziato e consiste in investimenti in V e H 
e in un  titolo non rischioso, la sua evoluzione può essere scritta 
anche  
RPdtyxP
H
dH
yP
V
dV
xdP )1(        ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
   ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
   (4) 
dove x è la frazione di portafoglio investita in V, y quella investita in 
H. Data l’ uguaglianza delle formule (3) e (4) è necessario che per 
ogni instante nell’ arco temporale [t,T] siano soddisfatte le seguenti 
condizioni: 
P
V
V = xP   ;    PHH = yH  
Utilizzando tali condizioni possiamo eliminare i termini stocastici 
nell’ evoluzione di P, arrivando alla equazione alle derivate parziali 
che il nostro portafoglio deve soddisfare: 
 ⊥  
HVVHHVHHHVVVHV
VHPHPVPHRPVRPRPP  ς ς Υ ς ς
 Ω
2
2
1
2222
                
 (7) 
A questo punto, perchè  P sia uguale al valore dell’ opzione, deve 
soddisfare anche le condizioni contrattuali dell’ opzione: 
P ( V, H, 0 )= max { min (V, H ) – F , 0 }  
  16
P ( 0, H, τ ) = 0    
P (V, 0, τ  ) = 0 
Come possiamo notare anche l’ equazione (7) non dipende dal 
rendimento atteso di V e H; per questo possiamo ipotizzare che l’ 
evoluzione avvenga in un contesto risk neutral, e di conseguenza 
possiamo affermare che il valore della call oggi è uguale al valore 
atteso a scadenza scontato al tasso di interesse R. 
Ne consegue che il valore dell’ opzione è dato da
7
: 
    
    
    
VH
R
VHVH
V
HVVH
H
NFe
V
H
VN
H
V
HNM
 Υ ϑϑ
 ς
 ς ς Υ
 Ω ς
 Ω ς
 Ω ς ϑ
 ς
 ς ς Υ
 Ω ς
 Ω ς
 Ω ς ϑ
 Ω
,212
2
22
2
12
,
;
2
1
ln
;
,
2
1
ln
;
  
  
 ÷
 ÷
÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
  
   ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
    
 ÷
 ÷
÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
  
  
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
    
 
dove N
2
 è una distribuzione normale bivariata, con limiti di 
integrazione γ
1
eγ
2 
e coefficiente di correlazione ρ
VH.  
 
 
 Ω ς
 Ω ς
 ϑ
H
H
R
F
H
÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
    
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
  
2
1
2
1
ln
 
 Ω ς
 Ω ς
 ϑ
V
V
R
H
V
÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
    
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
  
2
2
2
1
ln
 
σ
2
= σ
2
V
 + σ
2
H - 2ρVHσVσH   . 
                                                 
7
 Il metodo utilizzato da Stultz riprende il lavoro di Cox, Ross , 1976 
  17
L’ equazione con cui troviamo il valore di M soddisfa l’ equazione 
alle derivate parziali espressa in (7) e le sue condizioni. 
 
1.4.1    Relazioni di parità 
Partendo dalla formula che identifica il prezzo di un’ opzione call sul 
minimo tra due sottostanti rischiosi, V, e H, e tasso di interesse R, è 
possibile ricavare il prezzo anche delle altre opzioni. 
 
a)   Call sul max tra V e H 
Sia quindi MX ( V, H, F, τ ) una call sul max fra V e H ; il suo payoff 
a scadenza sarà 
MX = max {max ( V,H ) – F ; 0 ) 
Il valore dell’ opzione sarà quindi 
MX( V, H, F, τ ) = c( V, F, τ ) + c ( H, F, τ ) – M( V, H, F, τ )    (8) 
 Se V > F , MX (V, H, F, τ ) paga  V-F. 
Anche un portafoglio in cui si detiene   una call su V e una call su H 
e si scrive un’ opzione sul minimo tra i due sottostanti (con strike 
price F per le tre opzioni) paga V-F. Per questo l’uguaglianza ha 
valore