L'analisi frattale nella tecnica farmaceutica

ben lontana da quella di tre secoli fa, che riponeva una fiducia cieca nella 
ragione e nel metodo scientifico. Infatti, secondo quell’ottica fedele alla 
regolarità, Cartesio si serviva della matematica come strumento per 
interagire con l’Universo, comprenderlo, svelarne le leggi e predirne 
l’andamento futuro (3), Galileo Galilei avviava i suoi esperimenti mentre 
Isaac Newton, studiando la meccanica celeste, formulava le tre leggi 
fondamentali del moto e la legge della gravità, dalle quali deduceva il moto 
planetario (4). Quest’ultimo, inoltre, in campo matematico, scopriva il 
calcolo infinitesimale, strumento indispensabile per prevedere l’evoluzione 
temporale degli astri, così come di oggetti terrestri, mentre con il telescopio 
fu possibile, in seguito, scrutare empiricamente i cieli e confermare quanto 
previsto da Newton. Gli strumenti a disposizione aumentavano e le 
scoperte si arricchivano di nuovi dati, sempre più dettagliati, a conferma di 
una realtà regolare, perfettamente comprensibile e spiegabile con le leggi 
della matematica, della fisica e della geometria.  
Naturalmente era un discorso valido soprattutto a livello macroscopico.  
Ciò che avviene a livelli microscopici, infatti, non sempre è pienamente 
misurabile, e tutto al più se ne può fornire un’approssimazione valida a 
spiegarne il risultato finale su scala macroscopica.  
Semplificare i molteplici aspetti della natura, classificarla in base alle sue 
regolarità, era il lavoro dello scienziato che, interagendo con essa, ne 
osservava le risposte e i cambiamenti. Per questo si serviva, da un lato, 
della matematica, procedendo con rigore attraverso ipotesi, dimostrazione e 
tesi, dall’altro, del suo laboratorio che gli offriva tutti gli strumenti di cui 
aveva bisogno per ricevere la risposta per confermare o confutare la sua 
ipotesi. Ogni fase dell’esperimento era condotta con estrema attenzione e 
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meticolosità: tutti i dati erano registrati e si osservava il variare del 
fenomeno in funzione di determinati parametri. Solo se l’ipotesi veniva 
verificata era possibile pensare che in futuro si sarebbe potuto prevedere, 
controllare o modificare il fenomeno in questione (5).  
Tutto questo fu chiamato, per ben tre secoli, “determinismo”. Infatti,  
partendo dal presupposto che, dalla conoscenza dello stato di un sistema in 
un dato istante se ne poteva prevedere lo stato in un qualsiasi momento 
futuro, il “determinismo classico” ha dominato la corrente scientifica 
apportando scoperte rivoluzionarie (6), dove ogni evento era visto come 
una diretta conseguenza del precedente ed ogni meccanismo obbediente a 
regole sempre valide. Tutto questo era comprensibile ed accessibile alla 
mente dell’uomo, che viveva su una scena dove nulla era lasciato al caso 
(5).  
E’ evidente che questo concetto è in contraddizione con la realtà che si 
osserva tutti i giorni, in cui certi fenomeni sembrano disordinati o 
addirittura imprevedibili! 
Il matematico Simon de Laplace (1749-1827), seguace del “determinismo”, 
sosteneva la capacità di prevedere l’evoluzione di tutte le particelle 
dell’Universo fino all’eternità, affermando che eventuali imperfezioni ed 
incertezze, attribuibili ad un’analisi imprecisa, appartenevano alla teoria 
delle probabilità (7). Se poi, nel contesto di un esperimento o di un sistema 
non lineare accadeva qualcosa di imprevisto, e quindi inspiegabile, si 
cercava in tutti i modi di ristabilire l’ordine attraverso approssimazioni 
lineari o, nell’incapacità di farlo, lo si annullava, ammettendone 
l’insuccesso (2a).  
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Inaspettatamente nel 1900, quando sembrava che si fosse giunti al pieno 
controllo sulle leggi della natura, tutto sembrò vacillare in seguito alla 
scoperta del quanto ad opera dello scienziato Max Planck (1858-1947). 
Albert Einstein (1879-1955) forniva il suo contributo con la scoperta del 
moto browniano, a conferma dell’esistenza di atomi e molecole, invisibili, 
ma non più ideali: iniziava così l’era della relatività che poneva, inoltre, 
delle restrizioni all’applicazione delle equazioni di Newton (5). 
Il determinismo, pur restando un punto di partenza per ogni scienziato, 
cedeva il posto alla nascente meccanica quantistica che, con la sua visione 
probabilistica della realtà su scala atomica, gettò le basi di una nuova 
filosofia scientifica rivoluzionaria che si collocava proprio agli antipodi del 
determinismo classico (3). Uno dei postulati della nuova scienza fu il 
principio di indeterminazione di Werner Heisenberg (1901-1976), che mise 
in dubbio la capacità della mente umana di poter definire con accuratezza 
fenomeni che avvengono su scala atomica (3): il mondo microscopico e, di 
conseguenza, quello macroscopico, sembravano sfuggire alla piena 
comprensione delle loro leggi (5). Si accettava, insomma, l’esistenza di 
fenomeni naturali imprevedibili (7).  
Già a fine ‘800 lo scienziato Henri Poincaré (1854-1912) si era imbattuto in 
un'incongruenza che strideva con il concetto classico delle semplici leggi 
naturali: riprese il problema dei tre corpi di Newton ma, non riuscendo a 
fornire una soluzione esatta, dovette ammetterne l’impossibilità, 
riconoscendo la complessità del problema (8).  
In casi come questo, nei quali la matematica non era in grado di fornire una 
esatta descrizione e, di conseguenza, una soluzione o, nel caso in cui la 
soluzione si rivelava inspiegabile perché seguiva un andamento irregolare, 
 7
Poincaré proponeva il concetto di non integrabilità di un problema di 
meccanica (9). Come lo scienziato Poincaré, anche il matematico Jacques 
Hadamard fece le sue esperienze con fenomeni che evolvevano senza 
seguire la regolarità attesa (8).   
Si delineava così l’idea di un mondo deterministico, ma prevedibile solo in 
parte, che interagiva con una natura a volte troppo complessa per essere 
compresa a fondo, perché dominata da eventi casuali (6). 
Quindi non bastava più raccogliere un numero di dati sufficienti per 
ottenere l’informazione che si cercava, perché anche i sistemi più semplici 
potevano rivelare un andamento inspiegabile, che non svaniva neppure 
aggiungendo ulteriori dati (7): era come se una sorta di disordine nasceva, 
senza spiegazione, dai sistemi più semplici agendo come un processo 
creativo e generando complessità (2a). A questa nuova filosofia venne 
attribuito il nome di caos deterministico, a sottolineare il fatto che anche 
ciò che appariva disordinato e imprevedibile era stabilito da regole precise, 
tutt’altro che casuali. Concettualmente era corretto affermare che il futuro 
fosse una diretta conseguenza del passato ma emergeva come, le eventuali 
indeterminazioni riscontrabili, non facessero altro che amplificarsi, fino a 
rendere impossibile effettuare ogni previsione a lungo termine in maniera 
accurata (7). Tutto questo è sintetizzato nel concetto della dipendenza 
sensibile dalle condizioni iniziali, che spiega la coesistenza del 
determinismo storico con quell’imprevedibilità che a volte si riscontra 
(6).Una materia così rivoluzionaria, anche se limitava le capacità dello 
scienziato, ciò non di meno permetteva di applicare il determinismo a 
problemi inerenti una materia, quella del caos, fino a quel momento 
ignorata, al fine di prevedere fenomeni prima considerati irregolari (7). 
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Gradualmente le vecchie teorie lasciarono il posto alle più innovative: fare 
scienza non significava più prevedere con esattezza e precisione l’evolversi 
di un evento; gli obiettivi, meno ambiziosi, miravano a fornire l’aspetto 
qualitativo del reale, perché quello quantitativo era soggetto 
inevitabilmente ad imprecisione e approssimazione. I fenomeni complessi 
di tutti i giorni, ovvero quelli nei quali dominano l’imprevedibilità, la 
soggettività, il finalismo, la libera scelta, si potevano, quindi, ridurre a 
schemi matematici (10). 
Sino ad allora, anche in campo ecologico si era ritenuto che l’evoluzione di 
una popolazione si stabilizzasse intorno ad un valore di densità circa 
costante o seguisse variazioni cicliche e che eventuali irregolarità fossero 
causate da imprevedibili variazioni ambientali (11).  
Il punto di vista cominciò a cambiare quando un biologo, Robert May, 
usando una semplice equazione matematica, studiò il comportamento 
evoluzionistico di una popolazione, al variare di un certo parametro non 
lineare (il tasso di incremento della popolazione, cioè la sua tendenza ad 
aumentare e poi esplodere). Più basso era il suo valore, più il modello 
tendeva verso uno stato stazionario; al crescere del valore invece, 
aumentava la non linearità e la popolazione oscillava tra due valori che si 
alternavano; a valori ancora più elevati del parametro, la popolazione 
evolveva allontanandosi sempre più dal raggiungimento dell’equilibrio, per 
assumere un andamento imprevedibile. Ponendo i valori del parametro 
sulle ascisse e la popolazione sulle ordinate, egli ottenne il “diagramma di 
biforcazione” (vedi figura 1) in cui ogni punto indicava il raggiungimento 
di un equilibrio: per bassi valori del parametro si ottenevano singoli punti, 
sinonimo di uno stato stazionario su una curva ascendente. Poi, giunti al 
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primo punto critico, la linea si spezzava in due: si assisteva ad uno 
sdoppiamento in cui la popolazione passava da un ciclo di un anno ad un 
ciclo di due anni, oscillando tra i due valori. Accrescendo ancora un po’ il 
parametro e giunti ad un nuovo punto critico avveniva, per ogni linea, un 
nuovo sdoppiamento che produceva in totale un ciclo di quattro anni di 
aumento e diminuzione della popolazione. Un simile andamento era 
complesso ma, nello stesso tempo, regolare, stabile e prevedibile: il sistema 
si assestava sullo stesso ciclo di quattro anni, indipendentemente dai valori 
delle condizioni iniziali.  
 
 
 
Figura 1. Diagramma di biforcazione: raddoppiamento di periodo e caos. 
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Proseguendo l’analisi le biforcazioni diventavano sempre più frequenti (2, 
4, 8, 16, 32…) fino, ad un certo punto, ad arrestarsi. Si tratta del cosiddetto 
“punto di accumulazione”, in cui gli sdoppiamenti diventano così 
rapidissimi da non distinguersi più, ed il sistema diventa caotico: il numero 
complessivo della popolazione in questione continua a fluttuare tra 
un’infinità di valori diversi. Proseguendo in questo stato caotico, però, 
improvvisamente riappare una regolarità che sfocia nuovamente nel caos, 
ripetendo all’infinito un motivo sempre uguale a se stesso (vedi figure 2, 3, 
4) (2a). Si è di fronte ad un esempio di caos deterministico, in quanto i dati 
non fluttuano in modo casuale e prevederne l’andamento a lungo termine 
sarebbe inutile, in quanto soggetto ad errori crescenti in modo 
esponenziale. Tuttavia, dall’osservazione della regolarità celata dietro la 
complessità del fenomeno, cioè di come il sistema possa evolvere da 
condizioni iniziali simili, è possibile tentare una previsione dell’andamento 
a breve termine (11). 
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