Tecniche di Trading in un Mercato Multifrazionario

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presenza di memoria nelle serie storiche. Nello studio si è utilizzato il moto browniano 
multifrazionario per la modellizzazione delle dinamiche finanziarie che contempla le 
caratteristiche anzi esposte, e oltre a fornire una rappresentazione stocastica consistente, 
l’ipotesi che H
t
 vari nel tempo ha un significato economico finanziario abbastanza 
preciso. H
t
 infatti non è solo il parametro di autosimilarità ma indica anche l’intensità 
della dipendenza seriale degli incrementi del moto, in altri termini, misura il peso che 
l’aggregato degli operatori economici riconosce al passato nel condizionare il presente. 
Nel presente lavoro partendo da una interpretazione avanzata delle serie finanziarie, 
ho tentato di fare un uso profittevole delle informazioni offerte dal modello considerato, 
inserite in un algoritmo di trading, applicato al mercato reale. L’evidenza empirica, e il 
confronto con strategie alternative casuali e benchmark d’indce, offre lo spunto per 
suggerire l’uso del parametro H
t
 a supporto delle decisioni di acquisto e di vendita di 
partecipazioni azionarie. 
 Il contributo originale può riassumersi dimostrazione pragmatica che la 
considerazione dello stimatore hölderiano nelle decisioni di compravendita di titoli 
azionari ha una rilevanza profittevole.  
 
Cassino, 10.6.2003 
 
 
 
 
 
  
____________________________ 
Benché sia il solo responsabile per eventuali errori e manchevolezze, desidero rivolgere 
un ringraziamento al Prof. Sergio Bianchi per le puntuali osservazioni e il supporto di cui 
ha beneficiato il presente lavoro. 
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CAPITOLO PRIMO ----------------------------------------------------------------- 
MODELLO RANDOM WALK E SUOI LIMITI 
 
 
Le cose andrebbero rese il più possibile semplici, ma 
non più semplici del possibile. 
Albert Einstein 
 
 
1. L’ipotesi di Efficienza dei Mercati: presupposti logici ed economici – 2 il Modello 
random walk – 3 Implicazioni economico finanziarie – 4 Limiti del modello random walk 
 
 
 
I.1. L’Ipotesi di Efficienza dei Mercati: presupposti logici ed economici. La 
comprensione di gran parte della letteratura a partire dagli anni ’60 relativa 
all’analisi delle serie storiche dei prezzi azionari non può prescindere dalla 
nozione di “mercato efficiente”, con la quale si individua un mercato in cui i 
prezzi formati in ciascun istante riflettono pienamente l’informazione disponibile 
(Fama 1970). Un mercato risulta dunque efficiente rispetto ad una certa 
informazione se la stessa è superata, nel senso che non può essere sfruttata da 
alcuno degli investitori per trarne un profitto atteso superiore a quello medio del 
mercato; è inefficiente se i prezzi dei beni non la rispecchiano, se cioè un 
investitore può conseguire profitti straordinari servendosi di essa. Sulla base di 
una classificazione parziale inizialmente suggerita da Roberts (1964) ed in 
seguito ampiamente accolta in letteratura, con riferimento all’insieme 
informativo sulla cui base il prezzo si forma si suole distinguere tra: 
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a) efficienza in forma debole, se si ipotizza che per la formazione del prezzo 
sia rilevante solo l’informazione rappresentata dalla storia dei prezzi 
passati; 
b)  efficienza in forma semi-forte, se si ipotizza che a determinare il prezzo 
sia rilevante esclusivamente l’informazione disponibile pubblicamente (es. 
prezzi, dividendi, comunicati stampa, ecc.); 
c) efficienza in forma forte, se si ipotizza che un certo numero di investitori 
abbia accesso ad informazioni che concorrono a determinare il prezzo, ma 
che non sono di dominio pubblico (cd. insider trading o aggiotaggio). 
Nei termini euristici sin qui impiegati, la definizione di efficienza non ha 
carattere concreto, non può cioè essere empiricamente testata, e pertanto al 
fine di arricchirne il contenuto operativo in generale la si formula in termini 
di rendimenti attesi, sulla scorta dell’assunzione che le condizioni di 
equilibrio del mercato a cui l’ipotesi di efficienza conduce possano essere in 
qualche modo da questi espresse. Una prima specificazione del modello, può 
essere tradotta in notazione come 
(1.1)                                       
( ) ( )[ ]
tjtjttjttj
pprEpE
,,1,1,
|1| =Φ+=Φ
++
 
ove E rappresenta l’operatore valore atteso, p
j,t
 il prezzo del titolo (o più 
genericamente del bene) j al tempo t, r
j,t
  il rendimento uniperiodale e  Φ
t 
l’insieme delle informazioni ritenute rilevanti per la determinazione del 
prezzo p
j,t+1
. 
Prima di analizzare in dettaglio le conseguenze della (1.1) si procede ad una 
precisazione circa il tipo di rendimento uniperiodale. In luogo del rendimento 
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percentuale definito dalla 
tjtjtj
ppp
,,1,
/)( −
+
 è pressoché unanime in letteratura 
il consenso nell’impiegare le variazioni logaritmiche dei prezzi, definite dalla 
()
(
tjttj
tj
ttj
tj
tjttj
tttjttj
pp
p
p
p
pp
rx
,,
,
,
,
,,
,,,
logloglog1log1log −==








−
+=+≡
∆+
∆+∆+
∆+∆+
 
Sono in sostanza tre le ragioni per cui è preferibile il ricorso alle 
variazioni logaritmiche: 
a) rende possibile esprimere il rendimento composto r
t
(n), cioè relativo ad un 
investimento della durata di n periodi unitari come somma degli n 
rendimenti logaritmici dei singoli periodi. È infatti: 
() ()[]
∏ +
+=+
s
stt
rnr 111
 da cui  
()[] ()[]

 +
+=+
s
stt
rnr 11log1log
. 
In questo modo di può applicare il teorema del limite
1
 centrale alla variabile 
aleatoria rendimento logaritmico (Garbade 1989); 
b) perequa la maggior variabilità delle variazioni percentuali dei prezzi, in 
funzione crescente dell’ordine di grandezza dei prezzi stessi (Moore 
1962); 
c) nell’intervallo (-15%, 15%), le variazioni logaritmiche si discostano in 
modo trascurabile da quelle percentuali (Fama1965). 
Prescindendo dall’analisi che può compiersi sirca la correttezza dell’impiego 
del valore atteso quale sintesi della nozione di efficienza, il maggiore 
risultato che scaturisce dall’impostazione formale (1.1) consiste 
nell’escludere la possibilità che sistemi di trading basati esclusivamente 
sull’informazione Φ
t
 possano conseguire un profitto atteso maggiore di quello 
                                                 
1
 Il teorema del limite centrale è relativo alla “somma” di valori attesi. 
 9
espresso dalla condizione di equilibrio, ciò che formalmente si traduce nella 
(1.2)  
( ) 0|
1,
=Φ
+ ttj
xE
      essendo 
( )
ttjtjtj
pEpx Φ−=
+++
|
1,1,1,
 
o, equivalente, nella 
   (1.3) 
( ) 0|
1,
=Φ
+ ttj
zE
      essendo 
( )
ttjtjtj
rErz Φ−=
+++
|
1,1,1,
 
Data la (1.2), le condizioni sufficienti affinché si abbia efficienza nel mercato sono 
essenzialmente riconducibile: a) all’assenza di costi di transazione nello scambio dei 
titoli (mercato non frizionale); b) alla disponibilità gratuita per tutti gli attori del 
mercato dell’informazione ritenuta rilevante; c) all’omogenea interpretazione, da parte 
di tutti i partecipanti al mercato, dalle implicazioni dell’informazione corrente sul 
prezzo e sulle distribuzioni dei prezzi futuri di ciascun titolo (mercato con aspettative 
omogenee). Si noti che le a)-c) costituiscono condizioni sufficienti ma non necessarie, il 
che legittima in qualche modo l’ipotesi che la plausibilità del modello di efficienza non 
sia circoscritta al piano materialmente ideale. 
Un caso speciale cui l’ipotesi di efficienza ha dato luogo in letteratura, e che 
oggi rappresenta l’attuale modello stocastico imperante per la rappresentazione 
delle serie storico finanziarie, è la Random Walk, che descrive l’andamento dei 
prezzi come una passeggiata aleatoria. 
 
 10
 
I.2. Il modello random walk. Sulla base dell’assunzione secondo la quale i prezzi 
riflettono pienamente l’informazione disponibile, a partire dagli anni ’60 è stata 
riproposta sotto varie forme la tesi esposta sin da inizio secolo da Bachelier, 
(1900) secondo la quale le variazioni di prezzo sarebbero: 
a) serialmente indipendenti e 
b) identicamente distribuite nel tempo, o conformi a una data legge di 
distribuzione. 
Le due ipotesi identificano il modello random walk, che formalmente può 
scriversi come: 
(1.4)                                         
( ) ( )
1,1,
|
++
=Φ
tjttj
rfrf
 
Dove r
j,t+1 
rappresenta il rendimento del bene j al tempo t+1, Φ
t
 l’insieme 
informativo ritenuto rilevante per la formazione del rendimento. L’uguaglianza 
su indicata quindi, esprime il fatto che le distribuzioni di probabilità condizionata 
e marginale di una variabile aleatoria indipendente sono identiche e che f è 
invariante nel tempo. Come si può desumere dalla (1.4), le conseguenze 
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empiriche di questa sono molto più forti della (1.1).  Il modello ambisce 
sostanzialmente a fornire informazioni circa l’ambiente stocastico nel quale si 
delinea il processo di formazione dei prezzi; ciò invece è ignorato dalla nozione 
di efficienza in senso stretto. È con tale accezione che il modello random walk 
può essere interpretato come un’estensione dell’ipotesi di efficienza dei mercati. 
Un’utile classificazione delle diverse forme assunte dal modello random walk 
è quella delineata da Kariya (1993), il quale distingue tra: 
 
a) random walk normale forte, se si ipotizzano variazioni di prezzo indipendenti 
ed identicamente distribuite secondo la legge normale. È la versione del 
modello di gran lunga più diffusa ed impiegata come ipotesi preliminare in 
vari modelli derivati, come il capital asset pricing model (CAPM) o la 
formula Black-Sholes per la valutazione delle opzioni.: 
b) random walk forte, se si assume che le variazioni di prezzo siano indipendenti 
e identicamente distribuite. Il rilascio, in questa versione, dell’ipotesi di 
normalità è stato suggerito da numerosi studi che hanno offerto una vasta 
evidenza empirica dell’inadeguatezza dell’ipotesi gaussiana. Infatti 
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caratteristica diffusa nelle serie delle variazioni dei prezzi è il distribuirsi in 
modo leptocurtico
2
 e con code più spesse rispetto alla normale. 
c) random walk semi- forte, se si ipotizzano variazioni di prezzo indipendenti. In 
tal caso si rilascia l’ipotesi di identica distribuzione, ovvero di stazionarietà 
del processo; 
d) random walk debole, se le variazioni di prezzo sono supposte essere 
serialmente incorrelate. 
 
 
I.3. Implicazioni economico-finanziarie: assenza di arbitraggio. L’assunto 
fondamentale della moderna teoria finanziaria è che il mercato non ammette che 
per periodi significativi si creino opportunità di arbitraggio, cioè la possibilità di 
conseguire profitti non rischiosi; questi infatti sarebbero non compatibili con le 
condizioni di un mercato efficiente.  
 
                                                 
2
 Una distribuzione che presenta una curtosi maggiore della distribuzione  normale avente medesima 
media e varianza. 
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I.4. Limiti del modello random walk. Le statistiche impiegate negli ultimi anni 
per verificare la rispondenza dei mercati finanziari al modello random walk, in 
misura più o meno evidente, hanno rilevato tutte l’esistenza di un certo 
scostamento tra quanto previsto dalla teoria e quanto emerge empiricamente. 
Sovente tali deviazioni dal modello, benché indiscutibili, vengono tuttavia 
ritenute insufficienti a confutarne la validità; al riguardo l’argomento più 
utilizzato è che, in ogni caso, le discrepanze rilevate non sono tali da consentire 
in concreto l’elaborazione di strategie attraverso le quali possano essere 
conseguiti profitti attesi superiori a quello medio. L’obiezione che giustifica il 
mantenimento di assunzioni che l’evidenza empirica ha invece ampiamente 
confutato risiede dunque nell’idea che, comunque, il modello di efficienza dei 
mercati non risulta indebolito dalla falsificazione del modello random walk, ove 
questo rappresenta elusivamente un estensione del concetto di efficienza, 
rappresentato in tal caso con l’operatore valore atteso. Se da un lato, avendo 
osservato che il secondo modello costituisce una generalizzazione del primo, 
questo argomento appare plausibile, d’altro canto non è trascurabile l’effetto che 
un equivoco di fondo produce tutt’oggi sulla modellizzazione delle dinamiche 
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economico-finanziarie. L’equivoco cui ci riferiamo consiste nel fatto che 
l’ipotesi di efficienza viene a torto invocata per avallare modelli che invero 
implicano l’ipotesi random walk e, solo come caso particolare, l’efficienza in 
senso proprio.  
Ciò premesso i limiti delle variabili a)-b) del modello random walk sono di 
fatto riconducibili al rilascio, individuale o simultaneo, delle ipotesi di 
indipendenza ed identica distribuzione dei prezzi (o dei rendimenti). 
Da un punto di vista socio-economico invece, esistono altresì ulteriori 
considerazioni da fare:
 
Il mercato finanziario, come riscontrabile quindi empiricamente, in qualsiasi arco 
temporale, in alcuni momenti è caratterizzato da efficienza, in altri da volatità che vede 
caratterizzata da assenza di modelli dominanti, il problema sta nel determinare tali 
momenti con una possibilità ragionevole di arbitraggio.