Capitolo I
2
1. Approssimazione di funzioni
Le funzioni matematiche sono lo strumento di base per la descrizione dei processi
nell’ambito delle varie Scienze (Fisica, Statistica, Biologia, etc.). Molte volte
l’andamento di una funzione g(x) che descrive un determinato processo è solo
parzialmente nota: in genere si conoscono i valori Κ,,,i,g
i
210= , di g in
corrispondenza di una sequenza di nodi )x(
i
appartenenti all’insieme di
definizione [ ]b,a di g. Tali valori sono spesso frutto di rilevazioni sperimentali.
Si vuole determinare una funzione )x(f che ''approssimi'' la funzione data in un
intorno abbastanza grande di ogni nodo. Questa è l’impostazione classica di un
problema di approssimazione.
Altre volte l’espressione analitica di g è ben nota, ma si preferisce usare una sua
approssimazione che presenti maggiori caratteristiche di analiticità.
L’approccio più comune volto a determinare un’approssimazione della g è il
seguente:
1. Si determina una classe F di funzioni in cui cercare una funzione
approssimante f ;
2. Si mette a punto uno schema di approssimazione che permetta di assegnare
una certa funzione ad uno specifico problema.
Tra i criteri in base ai quali si seleziona, nella classe prescelta F, la funzione
approssimante f, i più importanti sono:
Capitolo I
3
1. Interpolazione: si cerca [ ] ,b,af R→: ,f F∈ tale che
,g)x(f
ii
= Κ,,,i 210= ;
2. Ricerca della migliore approssimazione: supponiamo in questo caso che F sia
uno spazio normato di norma F⋅ . Si determina, se esiste, una funzione f in F
tale che
(1) F∈∀−≤− jj ,gfg FF .
La soluzione di tale problema, se esiste, è spesso difficile da trovare in forma
esatta, ricorrendo il più delle volte ad una soluzione approssimata. Un risultato
Teorema 1 Sia g continua su [ ]b,a . Allora, per ogni N∈n , esiste, ed è unico, il
polinomio np di grado n di miglior approssimazione per g . Inoltre esistono 2+n
punti distinti 110 ,,, +nxxx Κ in [ ]b,a tali che
110 +=−±=− ∞ n,,,i,pg)(p)(g nini Κxx ,
cioè np oscilla con segno alterno in almeno n+2 punti attorno a g. In particolare si
deduce che esistono n+1 punti (incogniti) [ ],,in ,,, 10 baxxx nΚ tali che
.n,,i),x(p)x(g
ini Κ0== ϖ
Il successo dei precedenti problemi, anche da un punto di vista numerico, dipende
soprattutto dalle caratteristiche della classe F prescelta. In particolare si vuole che:
1. F sia''abbastanza'' grande;
Capitolo I
4
2. Le funzioni di F abbiano una forma che può essere facilmente gestita da
algoritmi di calcolo numerico;
3. Tali funzioni siano relativamente ''lisce''.
Quest'ultima opzione è particolarmente significativa. D'ora in avanti chiameremo
smooth (lett.Ingl.''lisce'', per l'appunto), quelle funzioni aventi particolari
caratteristiche di analiticità (continuità, derivabilità, integrabilità, etc., ma anche
assenza di oscillazioni troppo ampie) che le rendono particolarmente adatte a
descrivere dei fenomeni naturali. Spesso, per ottenere un certo grado di
smoothness per una certa funzione approssimante f , si impone che f soddisfi
un'ulteriore condizione, detta appunto di smoothing, e cioè che f minimizzi una
quantità del tipo
)(
f
n
per un qualche N∈n , ove ⋅ è la norma associata ad un certo spazio di funzioni
smooth. Vediamo alcuni di tali spazi.
2. Funzioni smooth
Gli spazi che più spesso saranno considerati in questa relazione sono quelli più
largamente usati nell'Analisi Numerica. Vediamoli più in dettaglio.
Prendiamo ancora in considerazione gli spazi [ ]bar ,C delle funzioni r volte
derivabili con continuità, ,N∈r cui molte volte è associata la norma
[ ]b,aC⋅=⋅ ∞ ; essi sono ''annidati'' come segue:
(2) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]bababababa rr ,,,,, 11 CCCCC ⊆⊆⊆⊆⊆ −∞ ΛΛ ;
Capitolo I
5
Hanno un notevole interesse nelle applicazioni gli spazi di Lebesgue
[ ] { }∞<= pp fb,af:fb,a ],[su misurabile L , ∞<≤ p1 ,
ove, come al solito, si è posto
.dx)x(ff
p/b
a
p
p
1
= ∫
D'ora in avanti supporremo che [ ]b,a sia limitato. Con questa ipotesi si ha in
particolare che
(3) [ ] [ ] qp,b,ab,a pq ≤≤⊆ 1LL .
Vediamo un'utile generalizzazione di ambedue questi ultimi concetti.
Definizione 1 Sia [ ] R→b,af : , misurabile. f dicesi essenzialmente limitata su
[ ]b,a , se esiste un +∈ Rk tale che
k)x(f ≤ , q.o. in [ ]b,a .(1)
Il numero reale positivo k dicesi allora un maggiorante essenziale di f .
Definizione 2 Se f è essenzialmente limitata su [ ]b,a , si dice estremo superiore
essenziale di f su [ ]b,a il valore
[ ]
[ ] }{ .b,afkkinff.esssupf
def
b,a
su di essenziale emaggiorant : (4) ==∞L .
(1) Come al solito, si è usata l'abbreviazione q.o. al posto di quasi ovunque, intendendo così dire,
come è noto, che la proprietà è valida in tutti i punti di [a, b], a prescindere da un suo
sottoinsieme di misura nulla (secondo Lebesgue).
Capitolo I
6
Si ponga
[ ] {
[ ]
}∞<= ∞∞ b,a
def
fffb,a LL ,misurabile :
Si può dimostrare che [ ]b,a∞L è uno spazio normato. Vale inoltre
[ ] [ ] ∞≤≤⊆∞ p,b,ab,a p 1LL .(2)
Ed ancora
[ ]
[ ]b,af,fflim
b,app
∞
∞→
∈= ∞ LL ogniper .
Come strumento di integrazione si è scelto l'integrale di Lebesgue, come spesso
avviene nelle trattazioni di Analisi Numerica. Tale scelta è dovuta principalmente
al fatto che lo spazio delle funzioni Lebesgue-integrabili è molto più ampio di
quello delle funzioni Riemann-integrabili. (3)
Vale ad esempio:
Se f è misurabile e limitata su un compatto, è ivi sommabile.
In ogni caso:
Se f è Lebesgue-integrabile su [ ]b,a , allora è anche Riemann-integrabile ed i due
integrali coincidono.
Vediamo delle funzioni decisamente smooth che sono strettamente legate
all'integrale di Lebesgue.
(2)
Per una trattazione completa delle proprietà di tali spazi si può consultare Kolmogorov [1980] o
Riesz [1952].
(3)
Diremo che f è sommabile su [a, b], se ivi esiste finito il suo integrale di Lebesgue. Se, invece,
tale integrale esiste ma non è finito, allora f si dirà semplicemente Lebesgue-integrabile.
Capitolo I
7
Definizione 2 Sia [ ] R→b,af : . f dicesi assolutamente continua in [ ]b,a se,
per ogni 0>e , esiste un 0>ed tale che, per ogni famiglia numerabile di
sottointervalli [ ] }{
iii
b,a , a due a due privi di punti interni in comune, si ha
ede <−<− ∑∑
i
ii
i
ii
)a(f)b(f)ab( che implica .
Equivalentemente si può affermare che
f è assolutamente continua su [a, b] se, e solo se, f trasforma sottointervalli di
[ ]b,a di misura nulla in sottointervalli di [ ]b,a di misura nulla.
Posto
[ ] [ ] [ ] }{ b,afb,afb,a
def
su continua nteassolutame :: RAC →= ,
si osserva facilmente che [ ]b,aAC è uno spazio lineare su R. Sussistono le
seguenti proprietà:
1. Se f è assolutamente continua su [ ]b,a , allora è ivi (uniformemente) continua
e q.o. derivabile;
2. Se f è Lipschitziana su [ ]b,a , allora è ivi assolutamente continua.(4)
Per l'integrale di Lebesgue valgono allora i seguenti risultati fondamentali:
1. (Teorema fondamentale del calcolo integrale)
Per ogni f sommabile su [ ]b,a , vale
(4) Utilizzando il teorema del valor medio, si vede facilmente che
Una funzione f è Lipschitziana su [a, b] se, e solo se, è ivi derivabile con derivata limitata.
Capitolo I
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[ ]b,ain.o.q)x(fdt)t(f
dx
d x
a
=
∫
.
2. Se f è sommabile in [ ]b,a , allora la funzione integrale
[ ]b,ax,dt)t(f)x(F
x
a
∈=
∫
è assolutamente continua.
3. (Teorema di Vitali)
Se f è derivabile q.o. su [ ]b,a , allora [ ]b,af AC∈ se, e solo se, [ ]b,af 1L∈′ e
vale la formula di Newton-Leibnitz
[ ]b,axogniper,)a(f)x(fdt)t(f
x
a
∈−=′
∫
(5)
.
Si può dimostrare che
Se [ ]b,ag,f AC∈ , allora [ ]b,afg AC∈ e vale la regola di integrazione per
parti
[ ]
∫∫
′−=′
b
a
b
a
b
a
dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f .
Conviene adesso introdurre i seguenti spazi di funzioni:
Definizione 3 Si consideri l'insieme
[ ] [ ] [ ]{ [ ] }b,afD,b,afDb,afb,a rr
def
pr
p LACRW ∈∈→= −1 : : .
(5)
Una trattazione completa delle funzioni assolutamente continue si può trovare su Kolmogorov
[1980] e Riesz [1952].
Capitolo I
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Si può dimostrare che [ ]b,arpW è uno spazio normato con la norma
[ ] [ ]∑
=
=
r
j
b,a
j
def
b,a
fDf
0
pr
p LW .
[ ]b,arpW dicesi uno spazio di Sobolev. Per la (3) e per la proprietà 2 delle funzioni
assolutamente continue si ha dunque:
(5) [ ] [ ] [ ] [ ] NCWWC 1rrqrpr ∈∞≤≤⊆⊆⊆ − r,pq,b,ab,ab,ab,a .
In ogni caso, lo spazio delle funzioni più smooth di qualsiasi altra è lo spazio dei
polinomi di ordine n (cioè di grado 1−≤ n ).
−=∈∈== ∑
−
=
10
1
0
n,,i,a,x,xa)x(p:)x(p
i
i
n
i
i
ΚRRPn .
3. Differenze divise
Riprendiamo adesso uno strumento molto usato nell'Analisi Numerica.
Definizione 1 Sia [ ] R→b,af : , siano Κ,t,t,t 321 dei nodi in [ ]b,a . Si ponga
[ ] )t(ftf
i
def
i
= , Κ,,i 21= .
Si dice differenza divisa prima il valore
[ ]
[ ] [ ]
sr
sr
def
sr
tt
tftf
t,tf
−
−
= , Κ,,s,r 21= , sr ≠
Capitolo I
10
Si dice differenza divisa seconda il valore
[ ]
[ ] [ ]
ur
ussr
usr
tt
t,tft,tf
t,t,tf
−
−
= , Κ,,u,s,r 21= , usr ≠≠ .
In generale si dice differenza divisa n-sima, N∈n , il valore
[ ]
[ ] [ ]
nii
niinii
def
niii
tt
t,,tft,,tf
t,,t,tf
+
++−+
++ −
−
=
ΚΚ
Κ 111 ,
ove siri tt ++ ≠ , n,,,s,r Κ10= , sr ≠ , Κ,,i 21= .
Proprietà
1. Le differenze divise di qualsiasi ordine di una costante sono nulle.
2. Due funzioni f e g, tali che )t(g)t(f
ii
= , hanno le stesse differenze divise.
3. Una differenza divisa non cambia se si opera una permutazione sugli indici
dei suoi argomenti.
4. Se 1kP +∈f , allora [ ]kiii t,,t,tf ++ Κ1 è costante (come funzione di kii t,,t +Κ ).
In particolare:
[ ] 01 =++ kiii t,,t,tf Κ ,
per ogni kP∈f .
I dati e le relative differenze divise vengono disposti nella seguente tavola:
Capitolo I
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[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
ΜΜ
Μ
ΜΜ
Μ
Μ
ΚΛ
ΜΜ
ΟΜΜΜ
Ο
Μ
Μ
Μ
nini
nini
niii
ii
iiiii
ii
iiiii
ii
ii
tft
t,tf
t,,t,tf
t,tf
t,t,tftft
t,tf
t,t,tftft
t,tf
tft
++
+−+
++
++
+++++
++
++++
+
1
1
32
32122
21
2111
1
Una grande mole di risultati relativi alle differenze divise è già stata dimostrata
nei corsi di Calcolo Numerico.(6) Citiamo i seguenti teoremi, che torneranno utili
ai nostri scopi.
Teorema 1 Se [ ]b,at,,t,t miii ∈++ Κ1 , siri tt ++ ≠ , m,,,s,r Κ10= , sr ≠ , allora
vale la seguente formula:
[ ] ∑ ∑
∏= = +
+
≠
=
++
+
+
′
=
−
=
m
s
m
s si
si
m
sj
j
jisi
si
mii
)t(
)t(f
)tt(
)t(f
t,,tf
0 0
0
w
Κ ,
ove
)tt()tt)(tt()t( miii ++ −−−= Κ1w
è il polinomio nodale (associato a mii t,,t +Κ ).
v
(6)
Si veda, ad esempio, Gori [1994], oppure Bevilacqua [1992].
Capitolo I
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Teorema 2 Le differenze divise hanno significato anche se i
j
t non sono a due a
due distinti. Infatti, se [ ]b,af kC∈ , ( )b,at,s ∈ , allora
[ ] [ ]{ }
tt
ss
j
t
k
s
voltejvoltek
t,sfDD
!j!k
t,,t,s,,sf
=
=
++
=
1
11
321
Κ
434 21
Κ .
In particolare vale:
[ ]
!j
)t(f
t,,tf
)j(
j
=
+
321
Κ
1
.
ϖ
Teorema 3 Sia p(t) il polinomio di grado k interpolante f nei nodi kii t,,t +Κ di
[ ]b,a .
Allora, si ha l'espressione di Newton alle differenze divise per )t(p
[ ] [ ] [ ] Λ+−−+−+= ++++ 2111 iiiiiiiii t,t,tf)tt)(tt(t,tf)tt(tf)t(p
[ ] [ ]∑
+
=
+−+−++ =−−−+
ki
ir
riirkiikiii t,,tf)t(t,,tf)tt()tt)(tt( ΚΚΛΛ 111 w ,
avendo posto
)tt()tt()t( rir 11 −− −−= Λw , ki,,ir += Κ ,
ove
∏ =∅=− 11 )t(iw
e per l'errore di interpolazione pf)f(E
def
k −= :
Capitolo I
13
[ ]
)!k(
)(f
)x(t,,t,tf)x()f(E
)k(
kikiikik
1
1
+
==
+
+++
xww Κ ,
ove ( )b,a∈x .
v
Dal Th.3 segue subito il seguente
Corollario 1 La k-sima differenza divisa di f nei nodi kii t,,t +Κ è uguale al
coefficiente direttivo del polinomio )t(pk 1+ di ordine 1+k interpolante f in tali
punti.
Ricordiamo ora la formula di Leibnitz per la derivazione del prodotto di due
funzioni, che verrà usata spesso in questa sede.
Teorema 4 Siano [ ]b,ag,f kC∈ . Allora anche [ ]b,agf kC∈⋅ e si ha
∑
=
−
=⋅
k
h
hkhk
)x(gD)x(fD
h
k
)x)(gf(D
0
,
per ogni ( )b,ax ∈ .
Per le differenze divise vale un risultato analogo.
Teorema 5 (Formula di Leibnitz)
Se )t(h)t(g)t(f = , per ogni ( )b,at ∈ , allora
[ ] [ ] [ ]∑
+
=
++ =
ki
ir
kirrikii t,,tht,,tgt,,tf ΚΚΚ .
Capitolo I
14
Dimostrazione
Consideriamo la funzione
)t(H)t(G)t(F = ,
ove )t(G è il polinomio di ordine k+1 interpolante g nei nodi kii t,,t +Κ , ed )t(H
quello interpolante h nei nodi
iki t,,t Κ+ .
Dunque
(6) )t(f)t(h)t(g)t(H)t(G)t(F
jjjjjj
=== , ki,,ij += Κ ,
Allora, per il Th.3, si ha:
[ ]∑
+
=
−=
ki
ir
rir t,,tg)t()t(G Κ1w
e
[ ]∑
+
=
++=
ki
is
kiss t,,th)t()t(H Κ1s ,
ove evidentemente si è posto
)tt()tt()t( kiss +++ −−= Λ11s , ki,,is += Κ ,
con
∏ =∅=+ 1)t(kis .
Allora vale:
{ [ ]}{ [ ]} == ∑∑
+
=
++
+
=
−
ki
is
kiss
ki
ir
rir t,,th)t(t,,tg)t()t(F ΚΚ 11 sw
[ ] [ ] == ∑
+
=
++−
ki
is,r
kisrisr t,,tht,,tg)t()t( ΚΚ11 sw
Capitolo I
15
(7) [ ] [ ]∑
+
>
=
++−+=
ki
sr
is,r
kisrisr t,,tht,,tg)t()t()t(Q ΚΚ11 sw ,
ove si è posto
[ ] [ ]∑
+
≤
=
++−=
ki
sr
is,r
kisrisr t,,tht,,tg)t()t()t(Q ΚΚ11 sw .
Ma, per sr > , ki,,is,r += Κ , si ha che i prodotti )t(r 1−w e )t(s 1+s non sono
mai vuoti, per cui la seconda somma in (7) si annulla in kii t,,t +Κ .
Inoltre
[ ] [ ] =−−−−= +
+
≤
=
++−∑ kis
ki
sr
is,r
rikisri t,,tht,,tg)tt()tt)(tt()tt()t(Q ΚΚΛΛ 11
[ ] [ ] =−−+−−=
=+=
++++
==
+++ 4444444 34444444 21
ΚΛ
4444444 34444444 21
ΚΛ
ir,is
kiikiii
isr
kiikiii t,,th)tt()tt)(t(gt,,th)tt()tt)(t(g
1
121
[ ] [ ] +−−+−−=
=+=
++++
==
+++ 4444444 34444444 21
ΚΛ
4444444 34444444 21
ΚΛ
ir,is
kiikiii
isr
kiikiii t,,th)tt()tt)(t(gt,,th)tt()tt)(t(g
1
121
[ ] [ ] ΛΛ
444444444 3444444444 21
ΚΛ +−−−+
+==
+++++
1
121
isr
kiikiiiii t,,th)tt()tt(t,tg)tt(
cioè )t(Q è somma di polinomi tutti di grado k≤ , cioè 1kP +∈)t(Q . Allora, per
la (6), si ha che
)t(f)t(Q
jj
= , ki,,ij += Κ ,
cioè )t(Q è proprio il polinomio interpolante f nei nodi kii t,,t +Κ , perciò, per il
Coroll.1, il coefficiente direttivo di )t(Q , che è
[ ] [ ]∑
+
=
=
+
ki
sr
is,r
kisri t,,tht,,tg ΚΚ ,
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