Modelli di pricing per titoli azionari: la valutazione in economie dinamiche

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per altro verso costituisce incertezza. Il rigore logico alla base della separazione tra 
un’aleatorietà esprimibile in termini di probabilità numeriche e un’incertezza non 
quantificabile, pose i cardini teoretici per lo sviluppo della teoria dell’equilibrio 
economico generale di Arrow e Debreu che tanta parte era destinata ad avere nello 
sviluppo successivo della moderna dottrina di portafoglio. 
Durante i tre secoli che ci separano da quel lontano 1738 la teoria finanziaria si è 
dunque progressivamente arricchita di numerosi tasselli che hanno dato origine nel loro 
complesso un corpus letterario fondato su pochi ma decisivi postulati essenziali, 
riconducibili alla tesi dell’efficienza (informativa) dei mercati, alla razionalità degli 
investitori e alla continua ricerca di opportunità di arbitraggio e in ultima analisi della 
massimizzazione della propria ricchezza.  
In un’epoca più recente, collocabile entro le soglie del ventesimo secolo, la scienza 
finanziaria fu radicalmente trasformata dalla pubblicazione di un famoso articolo 
dedicato alla selezione di portafoglio che valse a Markowitz l’assegnazione del Nobel 
Memorial Prize in Economic Science nel 1990. Le sue pionieristiche ricerche intorno 
alla stock selection lo portarono a rigettare le radicate posizioni dei suoi contemporanei i 
quali ritenevano che potessero esistere dei portafogli in grado di assicurare 
contestualmente il massimo rendimento atteso a fronte di un’esposizione al rischio 
minima. Egli affermava in proposito: “not only does [portfolio analysis] imply 
diversification, it implies the right kind of diversification for the right reason.” Gli studi 
condotti in questa direzione misero in luce la rivoluzionaria idea per cui la ricerca degli 
investitori dovrebbe essere protesa alla costruzione di portafogli di titoli selezionati non 
tanto sulla base del criterio della massimizzazione del rendimento atteso, di per se 
distorsivo in quanto all’oscuro del fattore rischio e del principio della diversificazione, 
quanto piuttosto sulla base di un’analisi simultanea di media e varianza dei rendimenti, 
optando in ultima analisi per quelle combinazioni in grado di fornire la massima 
remunerazione per un dato livello di rischio (portafogli efficienti). Ciò che divenne ben 
presto noto come diversificazione secondo Markowitz si fondava dunque sul principio in 
base al quale la combinazione di attività finanziare caratterizzate da una correlazione 
quanto più possibile bassa, meglio se inversa, consentirebbe di operare una riduzione 
del rischio complessivo senza intaccare il profilo del rendimento. 
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Il passo successivo fu mosso da Tobin nel 1958, al quale va il merito di aver portato 
avanti l’analisi di Markowitz fino all’identificazione di un portafoglio di mercato e alla 
razionalizzazione del meglio noto teorema della separazione, in ragione del quale la 
composizione della combinazione ottimale di attività rischiose è indipendente dal grado 
di avversione al rischio degli individui. Prendendo le mosse dall’osservazione di come 
gli agenti economici procedono all’allocazione della propria ricchezza tra liquidità e 
attività incerte, Tobin dimostrò che la composizione qualitativa della porzione certa del 
portafoglio risultava indipendente dal suo peso nel bilancio complessivo 
dell’investimento. Questo risultato aprì la possibilità di scindere il problema della 
selezione di portafoglio in stadi differenziati per grado di aggregazione, scegliendo 
dapprima le categorie di attività e successivamente all’interno di ciascuna, i singoli 
titoli. L’asset mix definitivo che procede dalla costruzione di un portafoglio efficiente 
alla sua combinazione con un attività free risk, ha il pregio di riflettere il grado di 
tolleranza al rischio dell’investitore.  
La comunità finanziaria fu piuttosto lenta nell’abbracciare quelle teorie per certi aspetti 
sovversive dello status quo preesistente, introdotte da Markowitz e Tobin, non solo a 
causa di un connaturato sentimento di diffidenza verso ciò che è nuovo, ma anche e 
soprattutto in ragione di una serie di difficoltà pratiche dettate dalla profusione dei dati 
da passare in rassegna. La costruzione di un portafoglio di 100 titoli secondo i precetti 
della stock selection alla Markowitz, richiedeva infatti l’elaborazione di qualcosa come 
5050 stime di termini di rischio tra varianze e covarianze, compito decisamente arduo se 
si pensa all’inadeguatezza degli strumenti a disposizione nel lontano ’52. Una simile 
carenza di supporti tecnici sufficientemente evoluti costituiva un limite per molti versi 
insormontabile che spinse alcuni entusiasti della nuova teoria a cercare una soluzione. 
Un’importante semplificazione sia qualitativa che quantitativa in questo senso, si ebbe 
nel decennio seguente grazie al lavoro di Sharpe (1963). Ad egli va riconosciuto il 
merito di aver individuato un legame esplicativo di tipo causa effetto tra i movimenti 
dei singoli titoli e i movimenti del mercato. I risultati ottenuti vennero razionalizzati 
nella stesura di uno dei maggiori capisaldi della moderna teoria finanziaria quale è 
divenuto il Single Index Model. Facendo propri i dettami logici della portfolio selection 
di Markowitz e Tobin, Sharpe elaborò una teoria di equilibrio di mercato in condizioni 
di rischio che fondata su alcune ipotesi semplificatrici, dimostrava come lungo la 
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frontiera efficiente esistesse un solo portafoglio che combinato con qualsivoglia 
porzione di attività al tasso certo, dominava tutte le altre aggregazioni efficienti. Si 
trattava del portafoglio di mercato, rappresentante il massimo livello possibile di 
diversificazione. Sharpe andò oltre postulando l’esistenza di una relazione di tipo 
lineare tra l’andamento dei rendimenti e le fluttuazione di un indice di mercato mediata 
da un ben noto coefficiente di sensibilità, e rintracciando due principali ed esclusive 
fonti di rischio. Delle due la prima veniva ricondotta a cosiddetti fattori sistematici 
responsabili del dinamismo dei corsi per mezzo dell’impatto esercitato sul valore del 
portafoglio di mercato; la seconda nota come rischio sistematico, era imputata a forze 
idiosincratiche interessanti il singolo emittente e in quanto tali responsabili di un rischio 
eliminabile tramite la diversificazione. In proposito egli scriveva: “The major 
characteristic of the diagonal model is the assumption that the returns of various 
securities are related only through common relationships with some basic underlying 
factor. The return from any security is determined solely by random factors and this 
single outside element…” 
Nell’anno in cui la Portfolio Selection di Markowitz entrava in pubblicazione, Treynor 
iniziava a lavorare ad un manoscritto la cui importanza è spesso lasciata in secondo 
piano in quanto oscurata dal successo arriso alla selezione di portafoglio. Si trattava di 
uno studio del 1961, dal titolo “Toward a theory of market value of risky assets ”, 
tuttora spesso dimenticato dalla letteratura accademica, che sviluppava una teoria del 
valore di mercato in condizioni di rischio e che arrivava autonomamente a dimostrare la 
tesi per cui il premio per il rischio remunerato dall’i-esimo investimento risulterebbe 
proporzionale alla covarianza esistente tra l’investimento e il mercato, inteso come 
macro-investimento aggregato.  
Di fatto gli anni sessanta del secolo scorso furono forieri di importanti innovazioni nel 
campo della teoria economica che raggiunsero l’apice con la messa a punto da parte di 
Sharpe, Lintner e Mossin separatamente, del Capital Asset Pricing Model (CAPM). 
Destinato sin dai suoi albori a divenire il massimo credo di accademici e professionisti 
almeno fino agli anni ’80, il CAPM riassumeva in un paradigma organico le principali 
conquiste dei precedenti due decenni, sviluppando una teoria di equilibrio dei mercati 
dei capitali di tipo positivo che sanciva l’esistenza di un legame di proporzionalità 
diretta tra rendimento e rischio. L’idea per cui il rendimento in eccesso sul tasso risk 
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free corrisposto dal generico investimento, o portafoglio di investimenti, è commisurato 
al rendimento in eccesso del portafoglio di mercato per mezzo di un coefficiente beta 
(che riassume in termini di rischiosità, la correlazione esistente tra titolo e mercato) 
segnò così il definitivo passaggio alla moderna teoria finanziaria.  
Successivamente alla sua pubblicazione il CAPM divenne oggetto preferenziale di 
numerosi studi, finalizzati di volta in volta ad estenderne la valenza pratica, a precisarne 
le istanze teoretiche e non di rado a confutarne la validità dei presupposti logici. Tra i 
lavori più significativi condotti intorno al modello in parola si colloca senza dubbio 
quello di Black del 1972 meglio noto come Zero-Beta CAPM, cha adattava le versione 
originale al caso in cui non fosse disponibile sul mercato un impiego/finanziamento al 
tasso certo, e ancora quello di Treynor e Black del 1973. Di impostazione più 
prammatica, quest’ultimo prendeva spunto dalla radicale innovazione introdotta nelle 
pratiche dell’investment management dai nuovi paradigmi di mercato e sviluppava 
alcune considerazioni sulla costruzione e sulla gestione di portafogli legando il CAPM 
al single-index model di Sharpe. Più precisamente, il modello di Treynor e Black 
sanciva in via definitiva alcune regole guida fondamentali per la gestione di portafoglio 
mediante strategie di benchmark, o in alternativa tramite strategie attive di variazione 
del grado di diversificazione, riconducibili ad una serie di scommesse avanzate sulle 
performance prospettiche dei singoli titoli.  
Non meno risonanza ebbe qualche anno più tardi la teoria dell’Arbitrage Pricing di 
Ross (1976), che si pose al centro della scena accademica e professionale come criterio 
alternativo di selezione e come soluzione ai limiti soprattutto pratici progressivamente 
evidenziati dai test condotti sul CAPM. Si trattava di un modello multifattoriale, che in 
antitesi alla singolarità dell’indice che caratterizzava la precedente teoria, proponeva 
una molteplicità di fattori esplicativi del rischio sistematico e delle forze motrici dei 
corsi azionari, i quali dal canto loro erano supposti sviluppare una data sensibilità verso 
non uno ma più moventi pervasivi. In sintesi, ammettendo che il modello noto come 
APT risultasse ben specificato e non esistesse alcun rischio diversificabile, la legge del 
prezzo unico imponeva l’esistenza di un legame lineare tra il rendimento atteso del 
singolo titolo, i fattori di rischio ritenuti significativi e i rendimenti attesi delle altre 
attività. Se così non fosse stato gli arbitraggisti avrebbero avuto la possibilità di attivare 
 6
strategie di negoziazione long-short in grado di produrre risultati positivi a fronte di un 
costo nullo se non addirittura negativo. 
I progressi compiuti dalla teoria dei mercati dei capitali nel corso degli ultimi decenni 
sono stati resi possibili anche da altrettanti traguardi raggiunti con successo in ambiti 
differenti ma tra loro strettamente connessi. In particolare lo sviluppo dell’ingegneria 
finanziaria e la diffusione di strumenti assolutamente innovativi riconducibili alla 
macroclasse dei derivatives, ha radicalmente modificato le tradizionali tecniche di asset 
management  all’insegna di una maggiore flessibilità ed efficienza nella costruzione e 
nella gestione di portafogli dalla complessità crescente. Si tratta di fattispecie 
contrattuali il cui payoff dipende dal valore di un cosiddetto sottostante, diversamente 
specificato, sulla base di clausole che portano ad una altrettanto diversa 
caratterizzazione degli strumenti finanziari in parola. Tra essi i più diffusi sono 
essenzialmente riconducibili alle categorie dei forward, dei futures e delle opzioni. Le 
ultime in particolare hanno contraddistinto la storia economica della società occidentale 
sin dall’antichità classica quando, come riporta Aristotele, Talete di Mileto utilizzò delle 
opzioni ante litteram per indurre una stretta sul mercato della spremitura delle olive. 
L’impiego diffuso di derivati ha inevitabilmente imposto l’elaborazione di modelli di 
pricing per il giusto apprezzamento del loro valore intrinseco, che molto hanno 
contribuito allo sviluppo della dottrina finanziaria nei sui più vari segmenti, favorendo 
la comprensione degli strumenti in parola e del loro enorme potenziale operativo. Così, 
tra gli studi destinati ad entrare a far parte delle torri d’avorio della finanza moderna non 
è possibile dimenticare il lavoro di Black e Scholes (1973), Cox e Ross (1976) e Cox, 
Ross e Rubinstein (1979), per ciò che riguarda in particolare la valutazione delle 
opzioni. Il  primo, giunse alla specificazione di una formula di pricing valida per tutti gli 
investitori indipendentemente dalla struttura delle preferenze individuali, per cui il 
rendimento atteso dell’opzione dipenderebbe dal rendimento atteso del sottostante nella 
misura in cui un incremento del prezzo dell’attività genera un incremento del valore 
dell’opzione secondo la forma funzionale specificata dagli autori. L’idea fondamentale 
alla base del modello di Black e Scholes venne poi ripresa e sviluppata da Cox e Ross i 
quali arrivarono a dimostrare per primi che la distribuzione di probabilità sotto la quale 
sono considerate le aspettative non è la misura reale, bensì una misura corretta nota 
come distribuzione neutrale verso il rischio, per mezzo della quale si attua una 
 7
trasformazione del contesto probabilistico di riferimento all’insegna dell’indifferenza al 
rischio di tutti gli investitori. La valorizzazione del potenziale teorico e pratico insito 
nelle conclusioni raggiunte, venne apprezzato appieno solo qualche anno più tardi, nel 
1979, da Harrison e Kreps, ai quali va il merito di aver dimostrato che sotto certe 
condizioni, l’assenza di arbitraggio è equivalente alla possibilità di specificare delle 
probabilità neutrali verso il rischio, nel qual caso il prezzo della generica attività 
finanziaria scontato al tasso certo è una martingala. In matematica una martingala è una 
variabile aleatoria il cui valore atteso per il periodo successivo è dato precisamente dal 
suo valore corrente. Applicato ai titoli azionari, questo significa che in un contesto 
probabilistico di neutralità verso il rischio il rendimento atteso del generico titolo 
eguaglia il tasso risk free, con la conseguenza per cui gli investitori non potranno 
ragionevolmente sperare in sovrarendimenti di segno positivo.   
Per certi aspetti ancor più rilevanti sono stati i passi avanti compiuti in campo 
obbligazionario, con particolare riferimento all’analisi dei titoli di stato che unitamente 
al crescente interesse destato dai derivati sui tassi d’interesse, hanno portato 
all’elaborazione di modelli della struttura a termine assolutamente innovativi. Il 
contributo più significativo venne da Vasicek (1977), che ne fornì una caratterizzazione 
esplicita in condizioni di non arbitraggio. Nelle ipotesi in cui il tasso istantaneo spot 
seguisse un processo diffusivo, i mercati fossero efficienti e il prezzo di uno zero 
coupon dipendesse in via esclusiva dal tasso spot sulla scadenza, l’autore dimostrava 
che il rendimento atteso del titolo in eccesso rispetto al tasso free risk risultava 
proporzionale alla sua deviazione standard. Successivamente, il problema della 
modellizzazione della struttura a termine dei tassi d’interesse costituì oggetto di studio 
da parte di Cox, Ingersoll e Ross nel 1985, i quali svilupparono un modello 
intertemporale di equilibrio generale in cui il prezzo di uno zero coupon dipendeva dalle 
aspettative, dall’avversione al rischio, dalle alternative d’investimento e dalle preferenze 
intertemporali di consumo degli investitori. La faccenda fu affrontata dagli autori in 
modo diverso rispetto all’approccio seguito dalla letteratura precedente in cui l’analisi 
dei tassi conduceva in ultima analisi alla fissazione di premi per il rischio ad hoc (si 
pensi alla teoria delle aspettative, dei mercati segmentati e dell’habitat naturale). Il 
lavoro di Cox, Ingersoll e Ross sviluppava al contrario un’analisi più approfondita, 
finalizzata ad individuare le determinanti dei differenti risk premia e a precisare 
 8
analiticamente come la variazione di alcune variabili tradizionalmente ritenute rilevanti 
impattasse sulla struttura a termine dei tassi.  
Tutti questi risultati faticosamente raggiunti nel passato, e spesso dati per scontati nel 
presente, hanno contribuito in modo determinante all’evoluzione della teoria finanziaria 
e alla formulazione dei modelli tra i quali rientrano quelli che saranno presentati nelle 
pagine che seguono. Non di meno hanno giocato un ruolo di primo piano gli studi 
condotti in materia di valutazione specifica dei singoli titoli, che abbandonando una 
logica di formazione dei prezzi puramente di mercato, hanno approfondito l’indubitabile 
legame esistente tra valore dell’azione e fondamentali aziendali. Accanto alla ricerca 
rivolta allo studio dei mercati finanziari complessivamente intesi e all’allestimento di 
supporti dottrinali per la costruzione di portafogli efficienti, nel tempo si è così andato 
evolvendo un nutrito filone letterario orientato alla comprensione dei meccanismi che 
stanno alla base della determinazione del valore del singolo titolo. Una fetta sostanziosa 
dei lavori che hanno avuto ad oggetto i mercati dei capitali hanno indagato il legame 
esistente tra forze di mercato e corsi azionari e il trade-off rendimento – rischio da esso 
indotto tra le diverse classi di attività. Di fatto, data una certa allocazione della ricchezza 
tra le possibili alternative d’investimento, i maggiori investitori possono aspettarsi di 
guadagnare un rendimento commisurato all’asset mix prescelto e all’esposizione al 
rischio ad esso associata. Nello specifico un portafoglio sbilanciato verso classi di 
attività rischiose tenderà ad essere premiato con risultati più remunerativi, mentre 
combinazioni di titoli più prudenti saranno ricompensate con rendimenti più contenuti. 
La conseguenza è che per incrementare il valore della propria posizione gli investitori 
potranno procedere in due direzioni: da un lato rivedere la composizione del proprio 
portafoglio per classi di attività, dall’altro scegliere le attività ritenute più profittevoli 
all’interno della stessa classe, mettendo in atto una gestione attiva orientata al 
conseguimento di remunerazioni più consistenti di quelle associate a strategie di 
benchmark. È evidente che in questo caso l’abilità nella scelta dei titoli diviene una 
condizione assolutamente imprescindibile, una condicio sine qua non per un asset 
management di successo. Un valido strumento teorico per la determinazione del fair 
value è dunque importante per l’analisi dei titoli possibili candidati all’inclusione nel 
portafoglio, per l’identificazione delle attività meno profittevoli e per la comparazione 
spazio – temporale degli investimenti alternativi. Una gestione attiva impone la capacità 
 9
di saper riconoscere eventuali mispricing di mercato ovvero quei disequilibri 
temporanei che consentono di aggiungere valore al portafoglio. Si tratta naturalmente di 
un compito di difficile conduzione che la modellizzazione teoretica cerca in qualche 
modo di agevolare, predisponendo supporti logici che aiutino nella comprensione dei 
moventi dei corsi.  
La ricerca della via più corretta per l’apprezzamento di una qualsivoglia attività 
finanziaria e nello specifico di un titolo azionario, ha così impegnato numerosi 
economisti nello sforzo di individuare un criterio di valutazione che sia unanimemente 
accettato e generalmente applicabile. I risultati finora raggiunti sono stati tuttavia 
deludenti sul piano del consenso in quanto hanno portato a metodi differenti di analisi e 
di scelta dei titoli che spaziano da tecniche meramente meccaniche a criteri più 
strutturati, fondati sul convincimento per cui le oscillazioni dei prezzi sarebbero indotte 
dal dinamismo di alcuni fattori specifici e macroeconomici. Scendendo un po’ più nel 
dettaglio, la rottura dottrinale più vistosa si è rivelata essere quella che separa i 
sostenitori della teoria efficientista, da quanti ritengono che tutto sommato il mercato sia 
un sistema ordinato e parzialmente prevedibile nella sua evoluzione futura. Tra i primi è 
diffuso il convincimento che i mercati dei capitali siano efficienti sul fronte informativo 
in ragione del fatto che i prezzi rifletterebbero appieno tutta l’informazione disponibile 
in un dato momento. Ad un siffatto convincimento fanno seguito l’inutilità dello studio 
dei fondamentali aziendali e dell’analisi dell’informazione per l’elaborazione di un 
prezzo indipendente, la casualità dei movimenti azionari e l’imprevedibilità dei 
rendimenti conseguibili. Dall’altro lato, i più convinti assertori della posizione opposta 
ritengono inconfutabile il legame esistente tra prezzi azionari e fondamentali aziendali, 
e perseguibile il tentativo di  prevederne le oscillazioni prospettiche. Nel corso degli 
anni, i numerosi tentativi di tracciare un sentiero logico che conduca ad un 
apprezzamento unanime del valore del titolo hanno arricchito la letteratura finanziaria di 
una grande varietà di modelli, più o meno complessi, più o meno realistici, ma tutti 
accomunati dal medesimo intento: elaborare un paradigma di valutazione che converta 
le stime di dati rilevanti relativi alla generica impresa, in un prezzo di mercato atteso per 
il titolo della società. Da un punto di vista logico il successo riscontrato dalle tecniche di 
valutazione più affidabili unitamente agli sforzi della ricerca, continuamente protesi alla 
messa a punto di modelli sempre più precisi, trova giustificazione nel 
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desiderio/necessità degli investitori di corrispondere per il singolo investimento il 
“giusto prezzo”, ovvero un prezzo che rifletta il valore effettivo dell’attività acquistata.  
La valutazione ha un  ruolo fondamentale in svariate aree della finanza che si estendono 
dalla gestione di portafoglio al campo del Merger and Aquisition fino al più ampio 
settore della corporate finance e questa interdisciplinarità non ha fatto che rendere 
sempre più critico il compito della dottrina finanziaria. 
Nelle pagine che compongono questo lavoro, si farà propria l’idea per cui i prezzi e 
perciò stesso i rendimenti, siano prevedibili o lo siano almeno in parte, in virtù di un 
legame diretto tra l’andamento dei fondamentali aziendali e il valore delle azioni 
emesse. Alla luce di questo convincimento, verranno proposti alcuni modelli di 
valutazione sviluppati nel corso degli ultimi decenni in un contesto dinamico, il cui 
scopo ultimo è la predisposizione di formule di pricing in grado di esprimere il fair 
value del titolo per mezzo di forme funzionali che ne sanciscano la dipendenza da poste 
contabili rilevanti. Si tratta di supporti dottrinali che in comune hanno le medesime 
radici teoretiche che possono essere fatte risalire ai tradizionali Dividend Discount 
Models, o ancor più in generale alla logica del Net Present Value per la valutazione 
degli investimenti.  
Potremmo affermare che la valutazione di un generico investimento è effettuabile per 
mezzo della capitalizzazione dei flussi di reddito da esso generati nel tempo, cosa che 
applicata ai titoli azionari impone che il valore intrinseco di ogni attività dipenda dal 
cash flow atteso che l’investitore riceverà nel futuro in ragione della titolarità 
dell’investimento. Ora, dal momento che si tratta di un payoff atteso dovrà essere 
corretto per mezzo di un processo di allineamento temporale del valore dei flussi che 
tenga conto anche del rischio a cui l’investitore si espone. Il valore di un investimento è 
perciò definito come il valore attuale di un flusso futuro rilevante – in genere dividendi 
o cash flow – attualizzato ad un  tasso che riflette il rischio connaturato all’investimento 
stesso. Il confronto tra il valore stimato e il prezzo di mercato consente in ultima analisi 
di formulare un giudizio complessivo sulla profittabilità del titolo.  
Il valore dell’investimento è un concetto universalmente recepito e di grande interesse. 
Per molti anni, accademici e professionisti hanno utilizzato differenti terminologie per 
indicare il medesimo concetto. Ad esempio anni fa Graham e Dodd si riferivano al 
valore intrinseco come a quel “valore giustificato dai fatti”, ossia primariamente dalla 
 11
capacità dell’impresa di produrre utili. Successivamente Williams definì il valore di un 
titolo azionario come il “valore attuale dei dividendi futuri”, mentre in epoca più recente 
Molodovsky estese il precedente concetto sviluppando un  metodo di attualizzazione dei 
dividendi all’infinito.  
Il primo, significativo passo verso una razionalizzazione dei metodi di valutazione è 
stato compiuto con la trasposizione delle tecniche di valutazione degli investimenti 
proprie del capital budgeting al campo finanziario, cosa che ha portato nel tempo al 
perfezionamento dei ben noti Dividend Discount Models per cui il valore intrinseco di 
un titolo dipenderebbe in via esclusiva dall’attualizzazione dei cash flow da esso 
prodotti. Ora, poiché nel caso di un titolo azionario i cash flow in parola sono 
riconducibili ai dividendi periodicamente staccati, il modello che origina dalle tecniche 
di valutazione su menzionate ha assunto l’appropriato nome di Dividend Discount.  
Da un punto di vista analitico, i dettami logici di questo criterio sono riassunti nella 
seguente formula di pricing. 
 
 ƒ
 φ
  
  
  
  
  
1
)1(
i
it
it
t
r
D
P  
 
 per cui il prezzo corrente del generico titolo è calcolato come la sommatoria all’infinito 
dei dividendi prodotti, scontati ad un tasso che per semplicità è posto essere costante, 
ma che più appropriatamente dovrebbe presentare una correzione per il rischio oltre che 
una data variabilità temporale. Questa versione generalizzata presenta tuttavia alcune 
difficoltà specie di tipo applicativo, legate alla necessità di stimare un numero infinito di 
flussi di dividendo. 
Se si avanza l’ipotesi di costanza dei dividendi, è facile intuire che la formula sopra 
presentata si riduce a: 
 
r
D
P
t
   
 
La precedente espressione può tuttavia ambire ad una migliore specificazione, specie in 
relazione ai flussi rilevanti che vi compaiono. Innanzi tutto le istanze logiche dei DDM, 
 12
in ragione del fatto che l’impresa è considerata alla stregua di un’organizzazione 
potenzialmente perpetua, impongono la stima di un flusso infinito di dividendi, compito 
non di certo facile nonostante gli attuali strumenti a disposizione. In secondo luogo è 
ragionevole aspettarsi che nel tempo la politica di payout della società vari 
parallelamente alle sue capacità di reddito. Ora, introducendo alcuni assunti 
semplificatori, possiamo immaginare che la prosecuzione nel tempo dell’attività 
caratteristica dell’impresa si svolga in uno stato di crescita in cui i dividendi sono 
supposti aumentare ad un tasso annuo, ritenuto costante, indicato con g. Quindi vale: 
 
)1(
1
gDD
tt
    
  
 
 
Ne fa seguito una siffatta specificazione del prezzo: 
 
 ƒ
 φ
  
  
  
  
  
  
1
1
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)1(
i
i
it
t
t
r
gD
P  
 
da cui si ricava la più familiare espressione: 
 
)( gr
D
P
t
t
  
   
 
Il principale limite della versione a crescita costante, nota anche come modello di 
Gordon, va individuato proprio nelle ipotesi che circondano il tasso g. Di fatto, 
assumere che la politica di dividendo adottata dalla generica società rimanga inalterata, 
per giunta su di un orizzonte temporale infinitamente lungo, è alquanto riduttivo. La 
teoria finanziaria ha così sviluppato delle tecniche di valutazione alternative, più 
complesse, sebbene non così tanto quanto la versione generalizzata, che prospettano una 
crescita multiperiodale per stadi, ciascuno dei quali risulta contraddistinto da un 
differente tasso di crescita dei dividendi. Partendo dal modello a due stadi, la teoria 
propone una scissione dell’orizzonte temporale di riferimento in due segmenti, di cui il 
primo esteso sino alla data T e caratterizzato dalla prevedibilità dei flussi, vedrà il 
payout dell’impresa crescere ad un tasso arbitrariamente specificato pari a 
1
g , mentre il 
 13
secondo, riconducibile ad uno stato stazionario, si protrarrà da T all’infinito in 
condizioni di crescita costante ad un tasso perpetuo 
2
g . Analiticamente varrà: 
 
 ƒ ƒ
  
 φ
    
  
  
  
  
  
  
  
T
iTi
i
Ti
T
i
i
t
t
r
g
D
r
gD
P
11
21
)1(
)1(
)1(
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Da cui: 
 
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
  
  
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
  
  
  
  
  
  
  
2
21
1
1
1
1
1
1
1
)1(
gr
gg
r
g
gr
gD
P
T
t
t
 
 
Una maggiore articolazione si raggiunge prima con il modello di crescita a tre fasi  e 
successivamente con il lavoro di Fuller e Hsia del 1984, meglio noto come modello H.  
In entrambi si assume l’esistenza di tre periodi, in corrispondenza dei quali i dividendi 
si evolvono secondo diverse specificazioni di g. Più in dettaglio, se consideriamo il 
modello a tre stadi, durante il primo periodo la crescita dei dividendi è segnata da un 
tasso costante che indichiamo con 
A
g , a cui fa seguito un secondo stadio evolutivo che 
potremmo definire di transizione, caratterizzato dalla presenza di un saggio di crescita 
che “salta” in modo discreto ad un valore 
B
g  che si manterrà fino all’inizio del terzo ed 
ultimo periodo, che sarà a sua volta distinto da un tasso finale e perpetuo pari a 
N
g . Più 
verosimilmente si può ipotizzare che il tasso 
A
g  declini gradualmente verso il saggio di 
stato stazionario 
N
g  lungo un periodo di ampiezza 2H, ovvero lungo un periodo durante 
il quale il tasso di crescita si trova esattamente a metà via tra 
A
g  e 
N
g  dopo H anni. 
Questo è l’assunto di base del modello di Fuller e Hsia in cui il prezzo del titolo oggetto 
di analisi finisce per essere determinato come: 
 
N
NAt
N
Nt
t
gr
ggD
gr
gD
P
  
  
  
  
  
  
)()1(
 
 
 14
I presupposti dei modelli in parola possono essere estesi a comprendere un numero 
arbitrariamente grande di stadi di ampiezza paria a 
j
X , e perciò stesso di tassi di 
crescita, nel qual caso si avrà un modello a crescita multipla propriamente detto, in cui il 
valore intrinseco dell’investimento è calcolato come: 
 
> ≅)(...)()()1(
2211 nnnnnn
N
t
t
ggXggXggXg
gr
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I Dividend Discount Models  forniscono un importante strumento per la produzione di 
stime esplicite relative a prezzi e rendimenti dei titoli diffusi sui mercati finanziari che 
come sappiamo, rappresentano gli input essenziali per il corretto apprezzamento della 
profittabilità relativa dei diversi titoli.  
Tuttavia la valenza pratica di un siffatto approccio è pregiudicata da alcuni limiti 
teoretici che vanno dalle ipotesi poco realistiche su cui poggia, al fatto di non tenere in 
considerazione alcune variabili rilevanti che sono al contrario largamente valorizzate dal 
mercato, quali le informazioni contabili in senso lato. Tra i difetti maggiori rientrano poi 
gli assunti intorno alla crescita dell’impresa, che in genere tende a presentare un 
andamento erratico o nella migliore delle ipotesi ciclico, che molto si discosta dalla 
semplicistica ipotesi di costanza di g sopra avanzata. Di fatto, il limite più 
ragguardevole che restringe la validità teorica ma soprattutto empirica degli schemi 
classici di valutazione, a cui afferisce tra gli altri la logica Dividend Discount, va 
individuato sia nella difficoltà riscontrabile nella stima di un processo di dividendo 
ragionevolmente continuo per tutti i titoli scambiati, sia nel valore che i partecipanti al 
mercato attribuiscono a dati contabili di sintesi, gli utili in primis, e che nei modelli in 
parola è del tutto trascurato.  
Dunque, sebbene finalità pratiche richiedano una versione del DDM decisamente più 
elaborata, la sua formulazione primitiva ha comunque il merito di fornire un 
interessante strumento per l’analisi delle determinanti del valore, atto a mettere in 
evidenza la dipendenza del fair value di un titolo dalla capacità reddituale dell’impresa, 
dalla quale dipende in ultima analisi l’attitudine della società a distribuire dividendi. 
Un’analoga relazione di proporzionalità diretta sussiste nei confronti del tasso di 
crescita g, nella misura in cui uno sviluppo atteso sostenuto tende ad essere associato ad 
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un valore fondamentale più elevato. Infine nei precetti dei DDM trova conferma 
l’esistenza di un legame inverso tra il profilo di rischio della società, apprezzato per 
mezzo di una opportuna specificazione del tasso di sconto, e il fair value del titolo. Si 
tratta di conclusioni di valenza generale, per certi aspetti intuitive, che ottengono una 
prima razionalizzazione proprio grazie ai DDM. 
Nonostante le critiche, spesso aspre, ricevute dai modelli in parola, essi hanno 
comunque finito per rappresentare il punto di partenza di numerosi altri studi, 
sicuramente meglio specificati, più articolati ed efficaci sul fronte della verosimiglianza, 
ma tutti (o quasi) accomunati dal generale principio di identità tra prezzo e dividendi 
attualizzati. Tra essi rientrano inevitabilmente le tecniche di pricing che saranno tra 
breve presentate, le quali condividono una comune matrice neoclassica rincontrabile 
nelle fondamenta dottrinali dei DDM. 
La premessa alla base di questo lavoro è che lo sviluppo dei numerosi criteri di 
valutazione che si sono via, via succeduti e la messa a punto di strumenti teorici 
adeguatamente specificati consenta di giungere a delle ragionevoli stime di valore per la 
gran parte dei titoli scambiati sui mercati dei capitali. Naturalmente, alcune attività 
risultano più semplici da valutare di altre e i dettagli del processo di valutazione variano 
da titolo a titolo, mentre il grado di incertezza associato alle singole stime risulta spesso 
differente per attività differenti. A questo si aggiunga la molteplicità di elementi spesso 
di difficile apprezzamento che influiscono sulla determinazione dei prezzi.  
I modelli di pricing che ho preso in considerazione hanno in comune, come dicevo i 
presupposti logici dei DDM, dai quali prendono successivamente le distanze attraverso 
opportune rielaborazioni dei dati ritenuti rilevanti come indicatori di valore e attraverso 
l’avanzamento di alcuni postulati di partenza fondamentali per la definizione delle 
forme funzionali che in ultima analisi consentono il pricing del titolo.  
Il primo tra i modelli si basa sul concetto di “utile anormale”, in genere utilizzato per 
indicare una misura di performance che si compone dell’utile conseguito nell’esercizio, 
al netto degli oneri sopportati a seguito dell’utilizzo del capitale impiegato nella 
gestione caratteristica dell’impresa. Si tratta di un concetto che per la prima volta è stato 
teorizzato dalla General Electric nel corso degli anni ’50, e che tuttavia, nonostante i 
suoi pregi e l’ampio consenso ottenuto nella letteratura, ha per lungo tempo lasciato 
quasi indifferente la folta schiera di professionisti impegnati nella spinosa questione