Ottimizzazione di Manovre per Velivoli ad Ala Rotante

1. Introduzione 2
seguito: in molti casi la scelta delle procedure di emergenza avviene ancora
oggi grazie a procedimenti empirici o semi-empirici, a moltissime prove di volo
e all’esperienza maturata nei decenni dai vari costruttori. Tutto cio` assicura
nella maggioranza dei casi un notevole grado di sicurezza e volabilita` delle
procedure in caso di emergenza, ma puo` difficilmente portare alla generazione
di manovre ottime.
L’algoritmo che verra` esposto si pone in linea con l’attuale stato dell’arte
nella simulazione numerica per l’ottimizzazione di manovre di velivoli ad ala
rotante: questo tipo di strumenti, da poco giunti ad un discreto livello di
maturita` e flessibilita`, permettono di utilizzare semplici modelli di mecca-
nica del volo per la stima delle prestazioni dell’aeromobile, la previsione del
comportamento nelle varie zone dell’inviluppo di volo se non la vera e propria
definizione di nuove strategie di pilotaggio.
1.2 Metodologie e procedure
Gli strumenti di simulazione che presenteremo nel seguito hanno come loro
cuore due elementi essenziali: un modello matematico del velivolo in analisi
ed un algoritmo di ottimizzazione numerica. Le piu` classiche metodologie di
simulazione si basano solo sul primo di questi due elementi: in altre parole
dato il modello dinamico dell’aeromobile, e` pratica comune simulare in avanti
nel tempo la risposta del sistema date le necessarie condizioni iniziali e le sto-
rie temporali dei comandi. Il presente lavoro affronta la soluzione di problemi
appartenenti ad una piu` ampia classe. In particolar modo, l’ottimizzazione
di manovre e` vista come un problema di controllo ottimo: dato un indice di
merito e vincoli e limitazioni su stati e controlli, che traducono la dinamica
del sistema ma anche le specifiche legate all’inviluppo di volo ed eventuali
requisiti di sicurezza, la soluzione del problema e` data dalla storia temporale
degli stati e dei controlli insieme alla traiettoria volata, che massimizza (o
minimizza) l’obiettivo rispettando i criteri prescritti.
I problemi di controllo ottimo sono problemi al contorno, la cui soluzione e`
potenzialmente molto piu` costosa rispetto ai classici problemi di integrazione
in avanti nel tempo delle equazioni di equilibrio dinamico; inoltre, sono spes-
so altamente non lineari e di difficile soluzione, rendendo cos`ı di primaria
importanza l’utilizzo di algoritmi numerici particolarmente robusti. Attual-
mente, i piu` moderni metodi per il controllo ottimo utilizzati nella pratica
sono basati su un processo di trascrizione diretta che rende il problema finito-
dimensionale, seguito poi da una ottimizzazione a parametri discreti, che con-
siste generalmente in un problema di ottimizzazione non lineare (non-linear
programming, NLP) [14, 15]. In sostanza, invece di derivare le equazioni
1. Introduzione 3
del controllo ottimo e quindi discretizzarle opportunamente, si opera inver-
tendo le due fasi: prima avviene la discretizzazione delle equazioni di governo,
che rende il problema finito-dimensionale, successivamente avviene l’ottimiz-
zazione del problema discretizzato. La semplicita` di questo approccio rispetto
al primo consiste principalmente nel fatto che e` necessario conoscere sola-
mente le equazioni di equilibrio dinamico. Inoltre, questa strategia presenta
dal punto di vista numerico una serie di vantaggi che la rendono generalmente
piu` robusta di altre.
Questa metodologia rappresenta l’attuale frontiera nella soluzione di prob-
lemi di controllo ottimo di grandi dimensioni, ed e` caratterizzata da una otti-
ma flessibilita`, che risulta necessaria per la risoluzione di manovre altamente
complesse quali quelle dei velivoli ad ala rotante: e` possibile infatti risol-
vere problemi di controllo ottimo assolutamente generali, inclusi problemi
con sotto-archi ed eventi interni, vincoli su stati, controlli o altri parametri, e
funzioni obiettivo del tutto generali. In questo senso l’utilizzo di queste tec-
niche garantisce l’applicabilita` degli strumenti di simulazione che verranno
esposti ad una vasta gamma di problemi.
D’altro canto, le potenzialita` dell’approccio proposto superano le stesse
prospettive dell’ottimizzazione di manovre: si mostrera` come, ampliando lo
spazio delle variabili libere del problema di ottimo, sia possibile in linea
di principio utilizzare le medesime procedure per identificare iterativamente
un modello multicorpo aeroelastico e pilotarlo lungo la traiettoria genera-
ta grazie all’ottimizzatore: un’ampia sezione in appendice sara` dedicata alla
presentazione di risultati preliminari concernenti un algoritmo multiscala op-
erante in questo modo, e che rappresenta un interessante sviluppo futuro del
lavoro esposto.
1.3 Riferimenti
Certamente i lavori di Betts sono tra i primi e piu` validi esempi di appli-
cazione delle metodologie di ottimizzazione tramite trascrizione diretta delle
equazioni dinamiche, alle quali faremo nel seguito riferimento. In [15] viene
esposto il problema del controllo ottimo e le caratteristiche dei principali
metodi di risoluzione oggi utilizzati: in generale l’approccio diretto rispetto
a quello inverso evita di introdurre i costati e di derivare le equazioni del con-
trollo ottimo; inoltre la robustezza della trascrizione diretta la fa preferire ai
metodi di shooting, nonostante il gran numero di incognite che e` necessario
mettere in gioco. D’altro canto l’utilizzo di una appropriata discretizzazione
che renda molto sparso il problema e di un solutore capace di sfruttare questa
sparsita` permette oggi di ridurre i tempi di calcolo a livelli piu` che accettabili.
1. Introduzione 4
In [13] queste metodologie sono impiegate per trattare ed esporre l’ottimiz-
zazione della crociera completa di un velivolo da trasporto, mentre [15] espone
problemi di esempio molto eclettici che vanno da alcune applicazioni spaziali
ai robot industriali al colpo ottimo sul green di un campo da golf.
Per quanto riguarda le applicazioni al settore dell’ala rotante, [19] e` forse
il primo esempio di applicazioni del genere: in esso si sottolinea come il
‘critical decision point’ (CDP) per il BO 105 fosse unico per tutto l’inviluppo
di volo e fosse determinato attraverso lunghe e costose prove di volo in cui si
rasentavano pericolosamente i limiti della macchina:
Solo con l’ausilio di metodi teorici e` possibile portare avanti, a
basso costo, una investigazione sistematica ed una consistente
ottimizzazione della procedura di decollo.
In questo lavoro inoltre si scarta per ragioni di costo computazionale la
possibilita` di utilizzare modelli dinamici 2D o 3D e l’ottimizzazione avviene
su dati quasi-stazionari precalcolati; in questo senso la potenza di calcolo
continuamente in crescita ha giocato certamente a favore di metodologie e
modelli, come quello bidimensionale discusso nel Paragrafo 2.2 ed utilizzato
nel presente lavoro, che fino ad alcuni anni fa non sarebbero stati applica-
bili. Zhao e Chen in [23] ed altrove utilizzano un modello a tre equazioni
dinamiche per le velocita` orizzontale e verticale e quella di rotazione del ro-
tore, escludendo la dinamica di beccheggio, e considerano le due componenti
del coefficiente di trazione del rotore principale come controlli del sistema
dinamico. Okuno e Kawachi impiegano in [20] un accurato modello longitu-
dinale che descrive anche la dinamica di beccheggio e propongono una inter-
essante applicazione per il calcolo del diagramma quota-velocita` del velivolo;
in questo caso i controlli sono piu` realisticamente il passo ciclico longitudinale
e collettivo del rotore principale. Sempre Okuno e Kawachi in [21] affrontano
le operazioni V/STOL ed il loro impatto sulla distanza di decollo del veliv-
olo, a dimostrazione dell’effetto delle manovre di emergenza non solo sulla
sicurezza ma sulla accettabilita` o meno delle operazioni della macchina.
1.4 Organizzazione del lavoro
La trattazione si sviluppera` nel modo seguente. Nel Capitolo 2 esporremo il
modello numerico di elicottero sviluppato per le applicazioni presentate nel
seguito. Il Capitolo 3 introdurra` la formulazione del problema del controllo
ottimo, le metodologie utilizzate e gli algoritmi impiegati o sviluppati. Col
Capitolo 4 sara` presentata la validazione del modello di elicottero tramite
confronto con quello di un codice esistente utilizzato dal settore di meccanica
1. Introduzione 5
del volo di Agusta. Alcune applicazioni verranno presentate e discusse nel
Capitolo 5. Il Capitolo 6 e` dedicato alla presentazione delle conclusioni e dei
probabili e/o possibili sviluppi aperti dal presente lavoro.
L’Appendice A contiene per comodita` le equazioni del modello di elicot-
tero, mentre nell’Appendice B si trattera` il piu` ampio problema dell’algoritmo
multiscala di steering, esponendo alcuni risultati preliminari.
2. MODELLI DI VELIVOLO IN VOLO MANOVRATO
2.1 Problematiche della modellazione
In questa sezione ci occuperemo di sviluppare in modo conveniente un sem-
plice modello di meccanica del volo di elicottero. Ci si occupera` in particolar
modo di modelli bidimensionali di dinamica nel piano longitudinale: essi
da un lato sono gli unici utilizzati allo stato attuale in bibliografia per ap-
plicazioni del genere, dall’altro permettono di descrivere buona parte delle
manovre di interesse limitando le variabili e la complessita` del modello; le
procedure di emergenza, in particolare, sono progettate nella maggioranza
dei casi come una serie di manovre nel piano longitudinale, per limitarne per
quanto possibile la complessita`.
La ricerca di traiettorie ottime nel caso di elicotteri si scontra immedi-
atamente con la non linearita` delle equazioni, in generale legata alla presen-
za delle forze aerodinamiche e degli accoppiamenti insiti nella modellazione
del rotore principale. Modelli particolarmente accurati, che considerano
per esempio la flessibilita` di alcune parti o la distribuzione nello spazio e
l’evoluzione nel tempo della scia del rotore, non risultano in alcun modo
utilizzabili per ragioni di costo computazionale: il numero delle variabili in
gioco sarebbe in questo caso troppo grande; inoltre, l’ottimizzazione richiede
moltissime valutazioni dei vincoli del sistema, che devono quindi avere un
tempo di calcolo particolarmente contenuto.
D’altro canto modelli quali quelli presentati in [3, 4, 5] sono ancora piu`
che attuali ed ampiamente utilizzati per una stima preliminare del compor-
tamento del velivolo. Come gia` anticipato nel Paragrafo 1.3, le applicazioni
di ottimizzazione di traiettorie per elicotteri si orientano da alcuni anni verso
estensioni dinamiche di questi tipi di modelli: nei testi classici citati, infatti,
le equazioni presentate riguardano prevalentemente le condizioni di volo a
punto fisso e volo avanzato a velocita` costante. Nel caso presente si e` uti-
lizzato un approccio quasi-statico per tener conto dell’effetto della dinamica
del velivolo sull’incidenza delle superfici aerodinamiche, mentre nel caso del
rotore e` stato aggiunto un effetto di smorzamento aerodinamico lineare nel-
la velocita` di beccheggio, che deriva dalla soluzione del problema del rotore
isolato che beccheggia a velocita` costante [3, p. 58].
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 7
La reperibilita` ed il corretto utilizzo di accurati dati sperimentali puo`
aiutare la modellazione in modo determinante: vedremo come le semplici
equazioni dinamiche di moto nel piano longitudinale, unite ad una equazione
di bilancio per le potenze erogata e necessaria, sono sufficienti per descri-
vere la dinamica di un velivolo caratterizzato da simmetria della geometria,
dei controlli imposti e della condizione di volo [25]. Questi modelli sono
applicabili, con un certo grado di approssimazione, anche al caso di elicot-
teri convenzionali, tipicamente asimmetrici; gli esempi del genere reperibili
in bibliografia [24] si poggiano pero` su accurate correlazioni e validazioni.
In assenza di queste, un modello dinamico del velivolo piu` completo risulta
fondamentale (e potenzialmente piu` accurato, se affiancato da adeguati dati
aerodinamici e sperimentali).
Seguendo l’esempio di molti testi in letteratura, tra cui anche [22], con-
sidereremo quindi un modello piu` sofisticato che dia una rappresentazione
piu` articolata in particolar modo del rotore principale. Questo comporta
il tener conto dell’accoppiamento dei gradi di liberta` nel piano longitudi-
nale con quantita` legate alle equazioni di equilibrio fuori da questo piano.
Per esempio, nel caso di un elicottero convenzionale, la determinazione del-
la trazione del rotore di coda, necessaria per bilanciare la coppia del rotore
principale e mantenere il velivolo nel piano longitudinale, e` fondamentale per
la valutazione della potenza totale necessaria al volo; tutto cio` porta a dover
considerare tra i controlli anche il collettivo del rotore di coda. Risultera`
anche evidente nel seguito come i due angoli di flappeggio longitudinale e
laterale del rotore principale siano accoppiati nel caso di eccentricita` della
cerniera di flappeggio, e non possano essere valutati separatamente, pur in-
tervenendo l’uno principalmente nel piano longitudinale e l’altro in quello
laterale.
2.2 Modelli dinamici 2D nel piano longitudinale
Nello sviluppare il modello numerico di meccanica del volo considereremo
una configurazione convenzionale con un rotore principale ed uno di coda
ed alcune superfici aerodinamiche: i primi saranno descritti tramite mod-
elli combinati di teoria dell’elemento di pala e del disco attuatore, mentre
le seconde verranno rappresentate tramite opportune curve dei coefficienti
aerodinamici in funzione dell’incidenza della singola superficie: in particolare
saranno modellati in questo modo la fusoliera e gli stabilizzatori orizzontale
e verticale.
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 8
2.2.1 Le equazioni della dinamica
Per modellare la dinamica di un velivolo dal punto di vista della meccanica
del volo, esso puo` essere in prima istanza considerato composto di varie parti
rigide, lasciando al modello, rispetto all’elicottero reale, i puri gradi di liberta`,
rigidi appunto, di roto-traslazione nello spazio. La dinamica del sistema si
puo` allora esprimere genericamente in forma canonica, grazie alla legge di
Newton, come 


V˙x˜ = F (x˜,Vx˜,u, t),
˙˜x = Vx˜,
(2.1)
dove i vettori x˜ e Vx˜ hanno sei componenti e rappresentano la posizione e
l’orientazione del corpo nello spazio e le relative velocita` di roto-traslazione,
u e` il vettore dei controlli e t l’istante temporale.
Sottolineiamo subito che la presenza di altri gradi di liberta`, descritti
attraverso apposite equazioni dinamiche, non altera il quadro ma semplice-
mente varia il numero degli stati considerati.
Limitandoci ora al semplice moto nel piano longitudinale, ortogonale al
terreno, esso puo` essere caratterizzato attraverso tre gradi di liberta`, due di
traslazione ed uno solo di rotazione. Per semplicita` nella successiva for-
mulazione numerica del problema di ottimo, consideriamo un sistema di
riferimento inerziale fisso col terreno. La dinamica del velivolo nel piano
longitudinale e` rappresentata dal sistema di equazioni differenziali ordinarie
V˙X =
1
m (FXMR + FXTR + FXA),
V˙Z =
1
m (FZMR + FZTR + FZA +mg),
q˙ = 1
J
(MYMR +MYTR +MYA),
X˙ = VX ,
Z˙ = VZ ,
Θ˙ = q,
(2.2)
che descrive l’evoluzione nel tempo della posizione (X,Z) del baricentro del
velivolo (Z positiva verso il basso), del vettore velocita` (VX , VZ), dell’assetto
rispetto al terreno Θ (positivo a cabrare) e della velocita` di beccheggio q. Nel
sistema (2.2) g e` l’accelerazione di gravita`, e m e J rispettivamente la massa
e l’inerzia in beccheggio del velivolo. FXMR , FZMR , MYMR sono le componenti
di forze e momenti generate dal rotore principale, e similmente FXTR , FZTR ,
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 9
MYTR sono le forze ed i momenti del rotore di coda. Infine, FXA , FZA e MYA
sono le forze ed i momenti risultanti dovuti alle superfici aerodinamiche del
velivolo.
Fig. 2.1: Schema dei sistemi di riferimento inerziale e solidale col velivolo utilizzati
per il modello presentato.
Dal punto di vista energetico, il rotore principale, in rotazione con veloc-
ita` ω, puo` fare in molti casi da ‘serbatoio’: e` possibile infatti sfruttare la sua
inerzia per avere un ulteriore margine di potenza, per esempio in condizioni
di emergenza, sacrificando temporaneamente parte della sua energia cineti-
ca. D’altra parte e` accettabile che il rotore ruoti a velocita` inferiore a quella
di riferimento solo per un tempo molto limitato ed in condizioni del tutto
eccezionali: per la sicurezza del velivolo, infatti, mantenere il rotore ad una
determinata velocita` di rotazione e` imperativo perche´ garantisce l’equilibrio
in flappeggio delle pale, che sono soggette principalmente ai carichi aerodi-
namici e alle forze centrifughe, e permette la generazione delle forze aerodi-
namiche necessarie al sostentamento. Per tenere conto di questa importante
dinamica, supponiamo che i rotori siano accoppiati meccanicamente e che le
due velocita` siano quindi legate dal rapporto di trasmissione rt, fissato ad un
valore costante di riferimento. L’equazione differenziale che deriva dal bilan-
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 10
cio complessivo di potenza descrive la dinamica della velocita` di rotazione
del rotore principale:
ω˙ = 1
Jp
(
P
ω
−QMR − rtQTR
)
, (2.3)
dove Jp e` il momento polare di inerzia del rotore principale e P (t) e` la potenza
totale erogata dai motori al tempo t, QMR e QTR sono le coppie dovute
rispettivamente al rotore principale e di coda ed infine rt e` il rapporto tra la
velocita` di rotazione del rotore di coda e di quello principale. La velocita` di
rotazione del rotore viene quindi di fatto aggiunta all’insieme degli stati del
sistema.
Il sistema (2.2–2.3) e` sufficiente a descrivere la dinamica del velivolo nel
piano longitudinale se tutti i termini che vi compaiono possono essere espressi
in termini degli stati e dei controlli relativi al solo piano longitudinale. Questo
e` in generale il caso dei convertiplani [25]. Nel caso degli elicotteri, quantita`
quali le coppie e le forze dei rotori sono invece legate per esempio alla trazione
del rotore di coda o al flappeggio laterale del rotore principale. Il modello
viene quindi arricchito con tre ulteriori equazioni di moto (approssimate)
fuori dal piano longitudinale: se, per l’ipotesi di moto 2-D, si considerano
circa nulle le velocita` di rollio p, di imbardata r e laterale VY , esse si riducono
ad equazioni di equilibrio statico, e formulate in un sistema di assi attaccati
al velivolo (x, y, z) centrati nel baricentro, possono essere scritte come:
FyMR + FyTR +mg sinΦ = 0, (2.4)
MzMR +MzTR +MzV = 0, (2.5)
MxMR +MxTR +MxV = 0. (2.6)
L’angolo di rollio rispetto al terreno, Φ, e` supposto piccolo e quello di imbar-
data rispetto al piano longitudinale, Ψ, nullo1: questo permette di trascurare
effetti secondari come il momento in beccheggio dovuto al rotore di coda,
possiamo allora scrivere
Φ = − arcsin FyMR + FyTRmg . (2.7)
L’equazione (2.4) permette semplicemente di recuperare a posteriori la storia
temporale dell’angolo di rollio, visto che le altre equazioni non dipendono da
Φ.
1 L’utilizzo delle equazioni non approssimate e l’introduzione degli altri due angoli di
assetto del velivolo come variabili esplicite del problema non comporterebbe cambiamenti
nel bilancio tra incognite ed equazioni, nel limite in cui venisse specificata una condizione
di pilotaggio come per esempio Ψ = 0 o, piu` realisticamente, Φ = 0.
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 11
In generale la posizione del baricentro non risulta fissa rispetto alla ge-
ometria del velivolo. Per tenere conto di questo, la posizione di ogni elemento
viene espressa rispetto ad un punto di riferimento appartenente alla fusoliera.
In questo senso l’equazione dinamica per la velocita` di beccheggio
Jq˙ = MY , (2.8)
presente in entrambi i sistemi (2.1) e (2.2), puo` essere convenientemente
riscritta come
Jq˙ = MYO + FX(xCG sinΘ− zCG cosΘ) + FZ(xCG cosΘ + zCG sinΘ), (2.9)
dove MYO e` il momento totale delle forze (peso incluso) rispetto al punto di
riferimento O, (xCG, zCG) e` la posizione del baricentro in assi corpo centrati
in O (zCG positivo verso il basso), MY e` il momento risultante rispetto al
baricentro. Il momento di inerzia J nel seguito verra` considerato costante.
Riassumendo, il modello di meccanica del volo e` descritto da un sistema
composto da sette equazioni differenziali ordinarie e tre equazioni algebriche,
e gli stati del sistema sono X, Z, Θ, VX , VZ , q e ω.
2.2.2 Le forze aerodinamiche
I termini che compaiono nelle equazioni (2.2–2.6) possono essere espressi in
maniera piu` conveniente in un sistema di riferimento solidale con la partico-
lare superficie aerodinamica o rotore, rendendo tipicamente tutte le forze in
gioco in termini di trazione, forza H, portanza, resistenza, e cos`ı via [3, 4, 5].
Ovviamente e` necessario applicare trasformazioni geometriche adatte per ri-
portare queste forze nel sistema di riferimento assoluto; queste trasformazioni
dipendono sostanzialmente dalla configurazione e geometria del velivolo. Le
risultanti delle forze nel sistema assoluto verranno separatamente ottenute
nell’Appendice A.
Il calcolo delle forze aerodinamiche in riferimenti locali permette di uti-
lizzare le medesime espressioni per tutte le superfici simili tra loro. Conside-
riamo innanzitutto le superfici rotanti presenti nel nostro modello. Le forze
generate dal rotore j possono essere espresse nel seguente modo:
Tj =ρ(ωjRj)2Aj ctj ,
Hj =ρ(ωjRj)2Aj chj ,
Qj =ρ(ωjRj)2AjRj cqj ,
(2.10)
dove ρ e` la densita` dell’aria, Aj l’area del disco, Rj il suo raggio e ctj , chj ,
cqj i coefficienti di trazione, della forza H e di coppia rispettivamente. In-
tenderemo convenzionalmente per trazione (T ) la forza generata dal rotore
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 12
perpendicolarmente al piano individuato dalla traiettoria descritta dalle es-
tremita` delle pale, con forza H la componente generata nel piano (in direzione
parallela al vento) e con Q la coppia resistente trasmessa all’albero.
Il passo di una pala in funzione della sua posizione sul giro, trascurando
effetti dovuti ad armoniche superiori, puo` essere scritto come
θ = θ0 − A1 cosψ − B1 sinψ, (2.11)
dove θ0, A1 e B1 sono rispettivamente il collettivo ed i ciclici laterale e lon-
gitudinale e ψ e` l’angolo di azimuth della pala, nullo in corrispondenza della
coda e con pale rotanti in senso antiorario osservando il rotore dall’alto.
Fig. 2.2: Schema riassuntivo degli angoli caratteristici del rotore.
Le forze generate dai rotori, espresse nelle relazioni (2.10) in funzione
dei rispettivi coefficienti adimensionali, vengono a questo punto rese nel
riferimento del tip-path-plane [3]. L’incidenza del tip-path-plane del rotore
principale vale
αtppMR = a1s − im + Θ− τ, (2.12)
dove a1s e` il flappeggio longitudinale 2, im e` la rotazione del mast rispetto
2 vedi l’equazione (2.21).
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 13
alla fusoliera e τ e` l’angolo di rampa dell’elicottero. Per il rotore di coda
e` stata considerata essenziale ai fini della modellazione solo la presenza del
controllo del passo collettivo [4, p. 187], scelta che comporta αtppTR = 0 3.
La determinazione della completa disposizione del disco rotore nello spazio
comporta infatti l’utilizzo di ulteriori relazioni che leghino questa ai passi
ciclici 4, aumentando cos`ı il numero delle variabili in gioco. Questo approccio
e` stato utilizzato solo nel caso del rotore principale.
In alcuni riferimenti [5] i coefficienti di forza sono ottenuti come funzioni
delle componenti adimensionali di velocita` tangenziale e normale al tip-path-
plane:
µtpp =
V cosαtpp
ωR ,
λtpp =
V sinαtpp
ωR −
u
ωR,
(2.13)
dove λtpp e µtpp 5 sono i parametri di influsso ed avanzamento del rotore,
mentre u e` la velocita` indotta dal rotore, supposta uniforme sul disco. I
parametri di influsso ed avanzamento possono pero` essere considerati rispetto
al piano di no-feathering, e le relazioni
µnf = µtpp cos a1nf + λtpp sin a1nf ,
λnf = −µtpp sin a1nf + λtpp cos a1nf ,
(2.14)
permettono di passare da un sistema di riferimento all’altro.
Il coefficiente per la forza H puo` essere espresso per entrambi i rotori nel
sistema di riferimento del no-feathering come
(
ch
σ
)
nf
= cd µnf
4
+ clα
2
(
1
3
a1nf θ0 +
3
4
λnf a1nf −
1
2
µnf θ0 λnf +
1
4
µnf a21nf
)
,
(2.15)
dove σ e` la solidita` del rotore, cd e` il coefficiente di resistenza del rotore e clα
e` la pendenza della curva di portanza del profilo della pala.
Per il rotore principale, e` possibile esprimere la trazione nel medesimo
sistema di riferimento come
(
ct
σ
)
nf
= clα
4
[(
2
3
+ µ2nf
)
θ0 + λnf
]
, (2.16)
3
Il disco del rotore di coda ha solo un angolo di cono e non flappeggia, ed essendo Ψ = 0
l’incidenza del disco e` da considerarsi sempre nulla; cio` vuol dire anche che per il rotore
di coda no-feathering-plane e tip-path-plane sono coincidenti.
4 vedi le relazioni (2.23–2.24).
5 nel seguito λtpp e µtpp saranno spesso indicati piu` semplicemente come λ e µ.
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 14
mentre la coppia all’albero, ovvero in direzione parallela al mozzo, espressa
nelle quantita` relative al no-feathering ha la seguente forma:
(
cq
σ
)
=
{
cd
8
(
1 + kB µ2nf
)
−
(
ct
σ
)
nf
[
λnf +
u
ωR (1− kλ)
]
−
(
ch
σ
)
nf
µnf
}
.
(2.17)
Per comodita`, i coefficienti possono essere espressi nel sistema del tip-path-
plane attraverso la nuova trasformazione geometrica
ctMRtpp = ctMRnf cos a1nf + chMRnf sin a1nf ,
chMRtpp = −ctMRnf sin a1nf − chMRnf cos a1nf .
(2.18)
Per quanto riguarda il rotore di coda, l’ipotesi di incidenza nulla del disco
rotore ci permette di scrivere in modo semplice i coefficienti di trazione e di
coppia come
(
ct
σ
)
= clα
4(1 + 3/2µ2)
[(
2
3
− 2
3
µ2 + 3
2
µ4
)
θ0 +
(
1
2
− 3
4
µ2 + 3
4
µ4
)
θ1 +
(
1− µ
2
2
)
λ
]
,
(
cq
σ
)
=
[
cd
8
(
1 + kB µ2
)
−
(
ct
σ
)
kλλ−
(
ch
σ
)
µ
]
,
(2.19)
vista anche l’assenza in questo caso di controlli ciclici. Nelle espressioni
precedenti a1nf e` il flappeggio longitudinale nel riferimento di no-feathering,
kB e` il coefficiente di Bennett per la potenza e kλ e` un fattore correttivo
che tiene conto della disuniformita` della distribuzione di velocita` indotta sul
disco e rende piu` realistica la potenza calcolata in condizione di hovering.
Nelle espressioni (2.16–2.19), ogni quantita` si riferisce al particolare rotore a
cui si riferisce l’equazione, se non diversamente specificato. Infine la velocita`
indotta u viene stimata attraverso la teoria del disco attuatore utilizzando la
relazione implicita
cttpp =
2u
ωR
√
µ2tpp + λ2tpp. (2.20)
La disposizione di un rotore nello spazio risulta fondamentale per poter
legare i controlli longitudinale e laterale di passo imposti alle pale alle forze
generate dallo stesso rotore. Innanzitutto, avendo supposto l’assenza di ar-
moniche superiori per i comandi (dalla 2/giro in su), possiamo trascurare
2. Modelli di velivolo in volo manovrato 15
i contributi delle armoniche superiori per il flappeggio β, comunque molto
piccoli, e scrivere
β(ψ) = a0 − a1s cosψ − b1s sinψ, (2.21)
dove a0 e` la conicita`, e a1s e b1s i flappeggi longitudinale e laterale rispetto
al mozzo. A questo punto l’equilibrio della pala attorno alla cerniera di
flappeggio permette di valutare la conicita`:
a0 =
2 ρ cR2
mb
ct
σ
− 3 g
ω2R
1
2 + eβ
, (2.22)
dove eβ e` l’eccentricita` della cerniera di flappeggio. La soluzione periodica
per il moto di flappeggio [3, 5] permette di scrivere
a1nf =
µnf
1− µ2nf/2
(
8
3
θ0 + 2λnf
)
+
+8
γ

1− µ2nf/2
b1nf −
16
γ
q
ω
, (2.23)
b1nf =
4/3µnf a0
1 + µ2nf/2
− 8
γ

1 + µ2nf/2
a1nf −
q
ω
, (2.24)
dove
 = xCGbl
mb eβ R2
Jβ
. (2.25)
xCGbl e` la posizione adimensionale del baricentro della pala, in questo caso
pari a 0.5, a1nf e b1nf sono gli angoli di flappeggio del rotore rispetto al
piano di no-feathering e c, mb e Jβ sono rispettivamente la corda, la massa
e il momento d’inerzia in flappeggio della pala. Il termine γ e` il ben noto
numero di Lock, definito come
γ = ρ clαcMRR
4MR
Iβ
, (2.26)
con cMR corda delle pale del rotore principale. Si e` tenuto conto in pri-
ma approssimazione dello smorzamento aerodinamico dovuto alla velocita` di
beccheggio aggiungendo la risposta stazionaria di β per q costante [3, p. 58],
che comporta i termini in q/ω nelle equazioni (2.23–2.24) .
Infine, nel sistema del mozzo, abbiamo
a1s = a1nf − B1, (2.27)
b1s = b1nf + A1. (2.28)