L'analisi statistica multivariata per lo studio delle performance aziendali: la balanced scorecard del mercato alimentare di Murcia (Spagna)

Come introdotto nelle ipotesi del modello, si può verificare che le stime dei parametri di regressione esistono solo se la matrice X’X è invertibile. Affinché questa condizione sia soddisfatta, occorre che la matrice abbia rango pieno e, quindi, che le variabili introdotte nell’analisi non siano dipendenti l’una dall’altra.

Nel caso in cui nel modello vengano introdotte variabili perfettamente dipendenti tra loro, si avrà come conseguenza una errata specificazione del modello, nel senso che il numero dei parametri risulta eccessivo rispetto a quello effettivamente necessario e si è, quindi, in presenza di multicollinearità. Pur nella condizione che non vengano introdotte variabili perfettamente collineari, si possono avere situazioni in cui i rapporti tra di esse siano legate da dipendenza complicate, ad esempio dovute a variazioni concordi delle variabili che, comunque, porteranno il determinante della matrice X’X ad assumere valori molto vicini ad un valore nullo.

Una situazione di multicollinearità delle variabili esplicative ha gravi conseguenze sull’attendibilità della stima dei parametri. In tal caso, infatti, le stime dei coefficienti avranno una varianza molto alta, con la conseguenza che, a volte, potranno assumere un senso sbagliato.

Vi sono due ipotesi di multicollinearità, perfetta ed imperfette. Si parla di multicollinearità perfetta quando viene violata l’assunzione secondo cui nessun repressore è combinazione lineare di uno o più degli altri repressori; in questo caso la matrice X è singolare, e la matrice inversa di (X’X)-1 non è definita.

y = β0 + β1x1i + β2x2i + ei,
x1i = α0 + α1x2i

β2 misura l’impatto di x2 su y tenendo costante le altre variabili indipendenti; se x1 è perfetta combinazione lineare di x2, x1 cambierà quando x2 cambia. Quindi non si potrà tenere costante x1 per stimare β2.

Questa situazione è molto rara, infatti, solitamente quando si parla di multicollinearità tra i repressori si fa riferimento a quella imperfetta, che si verifica quando due o più repressori sono linearmente dipendenti in modo imperfetto, vi sarà una quota di variabilità di un repressore non spiegata dalla variabilità dell’altro repressore:
xli = α0 + α1x2i + ei.

In questo caso, la matrice X, pur avendo rango pieno, ha un determinante molto prossimo a zero. Le conseguenze sono che le stime dei coefficienti (ottenute invertendo X’X), risultano tutte divise per il determinante della matrice X’X, e quindi assumeranno valori molto elevati. Avremo in tal caso delle stime molto instabili e poco significative.