Analisi non lineare di buckling di pannelli rinforzati da stringers e rings

Il Metodo degli Elementi Finiti (Finite Element Method, FEM) serve a descrivere il comportamento di una struttura continua mediante una serie di valori calcolati in un numero finito di punti base. Il problema originario viene così approssimato in forma discreta. La struttura è suddivisa in un sistema equivalente di strutture più piccole o unità, dette elementi, tali che il loro assemblaggio dia poi luogo alla struttura di partenza. Si discretizza quindi un continuo ad infiniti gradi di libertà in un insieme di elementi di dimensioni finite tra loro interconnessi in punti pre-definiti (nodi).
Il metodo FEM, implementabile su elaboratori elettronici in modo relativamente semplice ed indipendentemente dalla complessità della struttura, si può applicare sia allo studio di problemi di elasticità lineare ma anche di problemi di elasticità non lineare, plasticità e viscoplasticità. Si possono risolvere sia problemi statici sia problemi di dinamica strutturale (compresa la meccanica impulsiva). Si può predire lo stato di sforzo e deformazione in ciascun elemento partendo dal campo di spostamento nodale utilizzando funzioni di spostamento o “funzioni di forma”, definite in piccole regioni del “continuum”, che legano gli spostamenti nel generico punto dell’elemento finito agli spostamenti nodali.
Ad ogni elemento finito è associata una matrice di rigidezza di elemento che, assemblata con quelle di tutti gli elementi che descrivono la struttura, forma la matrice di rigidezza totale della struttura. La matrice di rigidezza dell’elemento, definita nel sistema di riferimento locale dell’elemento, mette in relazione gli spostamenti e le forze relative a tutti i gradi di libertà dell’elemento mediante una equazione matriciale fondamentale che deriva direttamente dalla legge di Hooke:
(3.1) {F}= [k] ⋅{ f }
ove: {F} è il vettore dei carichi, {f} è il vettore degli spostamenti e [K] è la matrice di rigidezza) e di poter scrivere delle relazioni che permettano di esprimere il campo degli spostamenti, delle deformazioni e delle tensioni in tutto l’elemento, a partire dai valori degli spostamenti nodali.
I vari elementi sono poi connessi tra loro con le regole di trasformazione tra diversi sistemi di riferimento e di assemblaggio della matrice di rigidezza della struttura. I carichi applicati alla struttura sono trasformati in forze e coppie concentrate ai nodi. Si impone quindi l’equilibrio di tutti i nodi della struttura risolvendo il sistema (3.1) che ha come termine noto il vettore delle forze e coppie applicate ai nodi e, come termine incognito, il vettore dell’insieme delle traslazioni e delle rotazioni dei nodi non vincolati. La risoluzione di tale sistema fornisce gli spostamenti nodali di ogni elemento e permette quindi di conoscere, tramite le funzioni di forma, quanto accade all’interno dell’elemento in termini di spostamenti, deformazioni e sforzi.
Nell’ipotesi semplificativa di piccole deformazioni in campo lineare elastico o di analisi indipendenti dal tempo (steady-state), gli elementi della matrice di rigidezza [K] restano costanti. Tale condizione non si verifica però nel caso di analisi di buckling di strutture imperfette poiché la matrice [K] viene a dipendere dagli spostamenti incogniti e quindi non è possibile ottenere una soluzione diretta dell’equazione (3.1) invertendo la matrice di rigidezza.