Sui processi di nascita-morte con catastrofi

Tutto ebbe inizio da tre ricerche finalizzate alla creazione di un modello del moto browniano: la prima, a Copenaghen, di T. N. Thiele che creò un modello del moto durante lo studio delle serie storiche, nel 1880; la seconda, a Parigi, di L. Bachelier che creò un modello mentre studiava l’andamento del mercato finanziario di Parigi, nel 1900; e la terza di A. Einstein, che propose un modello del moto di piccole particelle sospese in un liquido nel tentativo di convincere i fisici della natura molecolare della materia, nel 1905. Delle tre, la più nota fu quella di Einstein. In termini moderni, egli asserì che il moto browniano era un processo stocastico con traiettorie continue, incrementi indipendenti e incrementi gaussiani stazionari. Purtroppo nel 1905 i processi non esistevano ancora come oggetti matematici in quanto le idee di Borel e Lebesgue sulla costruzione di una teoria della misura furono sviluppate solo durante la prima decade del ventesimo secolo. Nel 1923, N. Wiener costruì il moto browniano combinando i risultati ottenuti da P. Daniell, nel 1913, nella teoria della misura e le serie di Fourier, giustificando così l’approccio di Einstein. Infatti, Wiener usò le idee della teoria della misura per costruire una misura sullo spazio della traiettoria di funzioni continue. Inoltre Wiener ed altri provarono molte proprietà delle traiettorie del moto browniano, ovvero che le traiettorie del moto browniano hanno una variazione quadratica finita diversa da zero e, quasi sicuramente, una variazione infinita su intervalli di tempo compatto. In riconoscimento al suo lavoro, la costruzione del moto browniano è riferita come Processo di Wiener.