L'analisi dell'incertezza mediante lo studio della teoria dell'utilità attesa di Von Neumann e Morgenstern

La forma matematica della teoria dell'utilità attesa, risale fino a Gabriel Cramer (1728) e Daniel Bernoulli (1738), che hanno cercato di spiegare il cosiddetto paradosso di San Pietroburgo.

Von Neumann e Morgenstern (1944) hanno elaborato formalmente, un metodo di scelta razionale, attraverso la formulazione di alcuni assiomi che permettono, tramite la massimizzazione dell’utilità, di prendere delle decisioni razionali.

Essi hanno dimostrato mediante i cinque assiomi di base, prendendo come riferimento le lotterie (che si distinguono per essere eventi incerti e quindi si potranno verificare con una certa probabilità), la possibilità agli individui di poter associare ad ogni lotteria un’utilità attesa, secondo la desiderabilità soggettiva. In sintesi, una maggiore utilità attesa corrisponde ad una maggiore preferenza da parte del soggetto.

La loro funzione d’utilità è unica fino a trasformazioni lineari positive, nel senso che se la funzione U(x) rappresenta la propensione al rischio di una persona, allora si otterrà una U*(x) se e solo se U*(x)= aU(x)+b per a e b maggiori di zero.
Jacob Marschak (1950) ha riformulato gli assiomi VNM e li ripropone come una definizione di comportamento razionale in condizioni di rischio. Alla luce delle discussioni successive, gli assiomi di VNM sono indicati di seguito.

1) Le preferenze per la lotteria Li, sono complete e transitive.
Completezza sta a significare che per ogni scelta tra la lotteria L1 e L2, L1 è preferito a L2 (si denota L1≽L2), oppure L2 preferito a L1 (L2≽L1), oppure entrambi sono ugualmente attraenti (L1=L2). Per Transitività si intende che se L1≽L2 e L3≽L2 allora L1≽L3 (dove ≽ indica che “è almeno preferito come”). [...]